北京大学物理学院量子力学历年考研真题汇编
北京大学量子力学习题集1
[2] 波函数的归一化及 x2, p2 的计算
一维运动的粒子处于状态
ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe−
λ
x
,
⎩ 0,
x≥0 x<0
上，其中 λ > 0 ，A为待求的归一化常数，求(1)
粒子坐标的概率分布函数；(2)粒子坐标的平均
值 x 和粒子坐标平方的平均值 x2；(3)粒子动量 的概率分布函数；(4)粒子动量的平均值 p 和粒
则有
⎡⎢− ⎣
=2 2m
⋅
d2 dx2
+V (x)⎤⎥ψ E (x)
⎦
=
Eψ E (x)
V
(x)
=
E
+
=2 2m
ψ
1 E (x)
⋅
d2 dx2
ψ
E
( x),
−∞< x<∞
(1)
如果给定一个定态波函数ψ E (x) ，则由式(1)
可给出 V (x) − E ，欲分别求出 E和 V (x)，还需
要附加条件,例如设定 V (x) 的零点.
∑ (En − Em )2 n x m 2 n
∑ = − (Em − En ) m x n (En − Em ) n x m n
∑ =
−
⎛ ⎜⎝
−
i=
μ
⎞2 ⎟⎠
n
m pn
n pm
∑ =2
= m p n n pm
μ2
n
=2 =
m
p2
n
μ
式(2)得证.以上利用了完备公式
∑ n n =1
n
∑ (En − Em ) n x m 2 n
北大考研辅导班-北大粒子物理与原子核物理考研703普通物理真题(二)
北大考研辅导班-北大粒子物理与原子核物理考研703普通物理真题（二）2000年703普通物理(含力学、热学、电磁学、光学)真题考试科目：普通物理考试时间：2000年1月23日上午招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向试题：一、（18分）1、（8分）理想气体的比热商（定压热容量与定体热容量之比）记为γ，试导出准静态绝热过程的P－V方程。
2、（10分）以理想气体为工作介质，将高温热源温度记为T1，低温热源温度记为T2，试导出准静态卡诺循环的效率η。
二、（16分）设太阳固定不动，某行星P围绕太阳在一椭圆轨道运动，如图所示，其中位置1为近太阳点，位置2为远太阳点。
将太阳的质量记为M，椭圆半长轴、半短轴分别记为A、B。
利用能量守恒关系和以太阳为参考点的角动量守恒关系，导出P在位置1、2两处的运动速度大小v1、v2；已知椭圆面积为πAB，导出P的轨道运动周期T。
三、（16分）半径为R，质量为m的匀质乒乓球，可处理为厚度可略的球壳。
开始时以角速度ω0围绕它的一条水平直径轴旋转，球心无水平方向速度，今将其轻放在水平地面上，乒乓球与地面之间的滑动摩擦处处相同。
试求乒乓球达到稳定运动状态时，它的转动角速度ω；北大粒子物理与原子核物理考研计算从开始到最后达到稳定运动状态的全过程中，乒乓球动能的损失量E′。
（已知半径为R，质量为m的匀质球壳相对其直径转轴的转动惯量为）四、（16分）边长为a的正六边形分别有固定的点电荷，它们的电量或为Q，或为－Q，分布如图所示。
1.试求因点电荷间相互的静电作用而使系统具有的电势能W；2.若用外力将相邻的一对正、负电荷一起（即始终保持其间距不变）缓慢地移到无穷远处，其余固定的点电荷位置保持不变，试求外力作功量A。
五、（16分）半径为r的长直密绕空心螺线管，单位长度的绕线匝数为n，所加交变电流为I＝I0sinωt。
今在管的垂直平面上放置一个半径为2r,电阻为R的导线环，其圆心恰好在螺线管的轴线上。
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
北京大学-量子力学习题集5
a A 6.设 V (r ) = − + 2 , (a, A > 0) ,求粒子能 r r
量本征值。
解：取守恒量完全集为 ( H , L , Lz ) ，其共 同本征函数为 χ (r ) Ylm (θ , ϕ ) ψ (r , θ , ϕ ) = R(r )Ylm (θ , ϕ ) = r χ (r ) 满足的径向方程
ψ ( x) =
1 2π
∫ ϕ ( P ')e
i − ( p '+ p ) x
dp ' = e
i − xp
ψ 0 ( x)
⎛α ⎞ 其中 ψ 0 ( x) = ⎜ π ⎟ ⎝ ⎠
2
1/ 4
e
−α 2 x 2 2
⎛ mω ⎞ α =⎜ ⎟ ，故有 ， ⎝ ⎠
2 p2 − 2 mω
1/ 2
P = ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = e
任何位置，单位体积内测到一个粒子的概 率为1. 若沿用上面的方法来求归一化系 数，则会出现
∫
∞
−∞
Ae
2 − ikx ikx
e dx = ∫ A dx = ∞ ⋅ A
2 −∞
∞
2
要使积分为1，必须A=0，因此波函数不能 归一，只能归一为δ函数。
1 ∫−∞ 2π exp {−ik ′x} exp {ikx} dx = δ (k − k ′)
⎛a⎞ 2 2 设归一化的本征态为 ⎜ ⎟ ， a + b = 1则 b⎠ ⎝ 由本征方程
⎛ B −iA ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛a⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ ⎝ iA − B ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝b⎠
可以解出本征态为
Ψ± ⎡ ⎤ 1 =⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎢ ⎣ A + (B ∓ A + B ) ⎥ ⎦
北大物理部分真题
北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。
1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。
(2)求基态粒子对球壁的压强。
1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。
(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。
在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。
1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。
(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。
1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。
2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。
2018年北京师范大学959量子力学考研试题
3.（30分）氢原子基态波函数为
(1)求动量空间波函数 ;
(2)计算基态动能的目名称：量子力学
4.（30分）考虑一个在方向为正子方向，强度为B的均匀磁场中的中性自旋1/2粒子，其初态是 的本征态，这是 为任意方向 的单位矢量， 为泡利算符在该方向的投影。
(1)求解初态；
(2)解出态随时间的演化；
(3)计算 ， 的可能测量值，相应几率和期望值的时间演化。
（提示：磁矩 ）
5.（30分）一个粒子在二维x-y平面运动，其哈密顿量为H ,Px、Py动量的x、y分量， 为常数，物理上正比于外磁场，请求解能量本征方程，给出能级和能量本征函数的形式。（提示：可以选力学量完全集为（H，Px），谐振子的能量本征函数可写为 其中 ）
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北京师范大学
2018年硕士研究生入学考试试题
部（院、系）：物理学系
科目代码：959科目名称：量子力学
参考公式：
1.泡利矩阵： ， ，
2.积分公式：
1.（30分）
(1)算符 ， 的对易满足 ,k为常数，如果 是 的本征函数，证明 是 的本征函数；
(2)若 为厄米算符，证明 的平均值必为非负实数；
(3)一个质量为m的粒子满足动量空间的薛定谔方程： ,其中 ,a为常数，求势函数 。
北京大学602量子力学考研参考书、历年真题、复试分数线
二、录取和调剂：
1、考生能否录取，以考生的总成绩名次为准。复试成绩不及格的考生不能录取。各学
院（系、所、中心）拟录取名单经批准后公布。 2、我校未录取考生，达到国家分数线并符合调剂规定的，按教育部要求进行调剂。
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三、2015 北京大学 602 量子力学考研参考书 数学分析（一、二、三册）方企勤等北京大学出版社 配套习题集
有人引用量子力学中的随机性支持自由意志说，但是第一，这种微观尺度上的随机性和 通常意义下的宏观的自由意志之间仍然有着难以逾越的距离；第二，这种随机性是否不可约 简(irreducible)还难以证明，因为人们在微观尺度上的观察能力仍然有限。自然界是否真
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有随机性还是一个悬而未决的问题。对这个鸿沟起决定作用的就是普朗克常数。统计学中的 许多随机事件的例子，严格说来实为决定性的。
在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体 系的一种可能状态。对应于代表该量的算符对其波函数的作用；波函数的模平方代表作为其 变量的物理量出现的几率密度。 二、北京大学 602 量子力学考研复试分数线
90
90
管理学 (12)
50 50
90
90
艺术学 (13)
50 50
90
总分 360 370 345 360
345
345 320 320 350 350
备注
北大-新加坡国 立大学汉语言 文字学双硕士 班为 340。
（2）、联考： 考试科目
专业学位 应用统计 025200 金融硕士 025100 税务硕士 025300
90
50 50
90
北京大学-量子力学习题集4
比较后得
1 C1 = C0 2
1 ， C−1 = C0 2
由波函数归一得
1 C0 = 2
。
1 ψ = [Y11 + Y1−1 + 2Y10 ] 2
ˆ2 = B ˆ 2 = 1， 5. Hermite算符 与 满足 A ， ， 均无简并，求 （1）在A表象中 与 的矩阵表达式，并求 的本征函数表示式； （2）在B表象中 与 的矩阵表达式，并求 的本征函数表示式； （3）A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
= C1Φ1 +C2Φ2
（4）
其中
C1 = (exp(−iω1t ) + exp(−iω2t )) / 2 ，
C2 = (exp( −iω1t ) − exp( −iω2t )) / 2
（5）
| C1 |2 = {1 + cos(ω1 − ω2 )t}2 ，
| C2 |2 = {1 − cos(ω1 − ω2 )t}2
其中 所以静电势能为
由
，得
所以
体系的Hamilton量为
所以
因为
考虑到这里不过是一级微扰论，而H '又只 是在核子体积内起作用。 这里a为 Bohr半径。
所以计算中可略去径向波函数中的指数， 认为 ，由此得1s态能移
2p态能移
10. 粒子在二维无限深方势阱中运动,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a ⎧ 0, V =⎨ ⎩ ∞, x < 0, x > a , y < 0, y > a
A = (a1 + a2 ) / 2 + ((a1 − a2 ) / 2) cos( E1 − E2 )t /