2020年安徽省宣城市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
8.答案：D
解析：解：以 D 为原点，DA 为 x 轴， DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直 角坐标系， E（2，0，1），M（2，λ，2），N（2， ， ），D1（0，0，2），F（2，2， 1），
=（0，2，0）， =（-2，0，1），
=（0， ， ），
设平面 D1EF 的法向量 =（x，y，z），
3.答案：D
解析：解：由茎叶图知：
=
=90，
设被污损的数字为 a，
= （83+83+87+90+99+a）=88.4+ ，
∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，
∴88.4+ ≥90，解得 a≥8，∴a=8 或 a=9，
∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ， 故选：D．
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根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论． 本题主要考查古典概率的计算，利用茎叶图求出 x 的值是解决本题的关键．
2.答案：B
解析：解：∵3x-a≥0， ∴x≥ ，
∴A=[ ，+∞），
∵log2（x-2）≤1=log22， ∴0＜x-2≤2， ∴2＜x≤4， ∴B=（2，4]， ∵B⊆A，
∴ ≤2，
∴a≤6， ∴实数 a 的取值范围是（-∞，6]． 故选：B． 解不等式简化集合 A、B，由 B⊆A 得等价不等式，从而可得实数 a 的取值范围． 本题主要考查了集合包含关系的应用及不等式的解法，属基础题．
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（2）如果对∀x∈R，不等式|g（x）|-c≥|x-l|恒成立，求实数 c 的取值范围．
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：由 z（1+2i）=3+i，得 z=
，
∴
．
故选：D． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2020 年安徽省宣城市高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 复数 z 满足 z（1+2i）=3+i，i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 =（ ）
A. +6i
B. l-i
C. -6i
D. 1+i
2. 已知集合 A={x|3x-a≥0}，B={x|log（2 x-2）≤1}，若 B⊆A，则实数 a 的取值范围是（ ）
为棱 AA1、BB1 的中点，M 为棱 A1B1 上的一点，且 A1M=λ
（0＜λ＜2），设点 N 为 ME 的中点，则点 N 到平面
D1EF 的距离为（ ）
A.
B.
D.
的零点为 ， ，
D.
C. λ
D.
9. 已知正项等比数列{an}满足 a9=a8+2a7，若存在两项 am，an，使得 aman=2a12，则 + 的最小值为（ ）
其最小值为 3． 故选：C． 正项等比数列{an}满足 a9=a8+2a7，可得 a7q2=a7（q+2），化为：q2-q-2=0，q＞0，解得
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q=2．若存在两项 am，an，使得 aman=2a12，利用通项公式，化为：m+n=3．可得 m=1， n=2；或 m=2，n=1．即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 已知函数 f（x）=（ax+l）ex，a∈R．
（Ⅰ）当 a=l 时，证明 f（x）+ ≥0： （Ⅱ）当 a=- 时，对于两个不相等的实数 x1、x2 有 f（x1）=f（x2），求证：xl+x2 ＜2．
22. 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，曲线 C 的极坐
所有参加者按年龄情况分为
，
，
，
，
，
，
等七组，其频率分布直方图如图所示，已知
这组的参加者是 6 人．
（1）根据此频率分布直方图求该校参加秋季登山 活动的教职工年龄的中位数；
（2）已知
和
这两组各有 2 名数学教师， 现从这两个组中各选取 2
人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有 1 名数学老师的
十石,令三人从上及和减率分之,只云甲多丙米三十六石,问：各该若干？”其意思
为：“今有白米一百八十石,甲、乙、丙三人来分,他们分得的白米数构成等差数列,
只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得白米
()
A. 96 石
B. 78 石
C. 60 石
D. 42 石
5. 已知 P（m，2）为角 α 终边上一点，且 tan（α+ ）=3，则 cosα=（ ）
标方程为 ρ=8 sin（θ+ ）． （1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点 P（1，0）作倾斜角为 45°的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，试求 + 的值．
23. 已知函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）=2x+1．
（1）解关于 x 的不等式 g（x）≥|x-l|：
10.答案：B
解析：解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|-|PF2|=2a，
∴|PF1|=4a，|PF2|=2a， ∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°， 由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2-2•4a•2a•cos60°， ∴c= a，
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A. 2
B.
C. 3
D. 3
10. 已知双曲线 C： - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为坐标原点．P 是双曲线在
第一象限上的点，直线 PO，PF2 分别交双曲线 C 左、右支于另一点 M，N．若 |PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A. -
B. -1
C. -
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
D. 2-
13. 已知 x，y 满足约束条件
，则（x+l）2+（y+1）2 的最小值为______．
14. 大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的 10 个专 业中，选择 3 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时 兼报，则该考生有_________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
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则 B（2，0），C（0，4），D（1，2）， 设 P（x，2x）， 所以 =（2-x，-2x），
=（-x，4-2x）， =（x，2x），
•（ + ）=-10x2+10x．
所以 x= 时数量积取得最大值： ．
故最大值为 ． 故选 B．
7.答案：A
解析：【分析】 本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数零点的定义，注意结合二次函数的性质进行 分析． 根据题意，设 g（x）=（x-a）（x-b），分析可得 g（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0） 和（b，0），对于 f（x）=2019+（x-a）（x-b）=0，即 g（x）=-2019， 由函数零点的定义可得 g（x）的图象与 y=-2019 的交点为（c，-2019）和（d，-2019）， 结合二次函数的性质分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，设 g（x）=（x-a）（x-b），则 f（x）=g（x）+2019， 若 g（x）=0，则 x=a 或 x=b，即函数 g（x）的图象与 x 轴的交点为（a，0）和（b，0）， 对于 f（x）=2019+（x-a）（x-b）=0，即 g（x）=-2019， 若 f（x）=2019+（x-a）（x-b）的零点为 c，d，则 g（x）的图象与 y=-2019 的交点为（c， -2019）和（d，-2019）， 则有 a＞c＞d＞b. 故选 A．
则
，取 x=1，得
=（1，0，2），
∴点 N 到平面 D1EF 的距离为：
d= = = ．
故选：D． 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出点 N 到平面 D1EF 的距离． 本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题．
A. （-∞，6）
B. （-∞，6]
C. （-∞，12） D. （12，+∞）
3. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合
测评中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均
成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 我国明代珠算家程大位的名著 直指算法统宗 中有如下问题：“今有白米一百八
9.答案：C
解析：解：正项等比数列{an}满足 a9=a8+2a7，∴a7q2=a7（q+2），化为：q2-q-2=0，q＞0， 解得 q=2． 若存在两项 am，an，使得 aman=2a12，则 a12•2m-1•2n-1=2a12，化为：m+n=3． ∴m=1，n=2；或 m=2，n=1．
则 + =3 或 ．
15. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，定义{an}的“优值”为 H=
，现已知{an}
的“优值”Hn=2n，则 Sn=______．
16. 关于 x 的方程 kx- =2 在区间[ ，e]上有两个实根，则实数 k 的最小值是______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
安徽省宣城市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析
安徽省宣城市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）A ．480种B ．360种C ．240种D ．120种【答案】B【解析】【分析】将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有55120A =种，当人脸识别方向有1人时，有2454240C A =种，∴共有360种. 故选：B【点睛】A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】D【解析】【分析】 弄清集合B 的含义，它的元素x 来自于集合A ，且2x 也是集合A 的元素.【详解】因|1|3x -≤，所以24x -≤≤，故{}2,1,0,1,2,3,4A =--，又x ∈Z ，2x A ∈ ，则0,1,2x =， 故集合B ={}0,1,2.故选：D.【点睛】本题考查集合的定义，涉及到解绝对值不等式，是一道基础题.4．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ）A ．{}15x x -<<B ．{}15x x -≤<C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<< 【答案】B【解析】【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I .【详解】 由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<， 所以{}15A B x x ⋂=-≤<，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.5．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值.【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环；第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环；第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环；输出8v =.故选：B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 6．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为n S ，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．63【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S .【详解】因为212log 1log n n a a +=+，所以212log l g 2o n n a a +=，所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q -⨯-===--. 故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．已知复数21ai bi i -=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ）A ．12i -+B ．1C ．5D 【答案】D【解析】 试题分析：由21ai bi i-=-,得()21,1,2ai i bi b i a b -=-=+∴=-=,则12,12a bi i a bi i +=-+∴+=-+== D. 考点：1、复数的运算；2、复数的模.8．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B I 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1【答案】C先化简集合A ，再与集合B 求交集.【详解】 因为{}10212x A x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，{}1,0,1B =-， 所以{}1,0A B ⋂=-.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.9．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2x N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ） A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D【解析】 试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D 考点：集合的运算10．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642 【答案】B【解析】进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径R ==所以外接球的体积3433V r π==, 故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 11．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断．【详解】作出函数()22log x ,0f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩的图象如图，也就是y kx =与()y f x =在2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为12； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为01x ln2， 则切线方程为()2001y log x x x x ln2-=-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1k 2>”的充分不必要条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．12．已知i 是虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】 利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
2020年【部编】安徽省宣城市届高三文数第二次调研测试卷
安徽省宣城市221届高三文数第二次调研测试卷
一、单选题（共12题，共分）
若复数满足 ( 是虚数单位),则的共轭复数是（）
A.
B.
C.
D.
下列有关命题的说法错误的是（）
A. 若“”为假命题，则与均为假命题
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”的一个必要不充分条件是“”
D. 若命题，，则命题，
设等比数列前项和为，若 ,则（）
A.
B.
C.
D.
已知实数 , 满足，则的最大值为（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12
若方程 ( )表示双曲线,则该双曲线的离心率为（）
A. 1
B.
C.
D. 2
如图,正方体中，为棱的中点，用过点， , 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左(侧)视图为（）
A.
B.
C.
D.
执行如图所示的程序框图,如果输入的、均为3，则输出的等于（）
A.
B.
C.
D.
通过模拟试验，产生了2。
安徽省宣城市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
安徽省宣城市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥【答案】A 【解析】 【分析】设2AB =，取EF 与BC 重合时的情况，计算出0S 以及0V 的值，利用排除法可得出正确选项. 【详解】如图所示，利用排除法，取EF 与BC 重合时的情况.不妨设2AB =，延长MD 到N ，使得//PN AM ．PO OH =Q ，PN MH ∴=，2AH MH =Q ，33AM MH PN ∴==，则13PD AD =， 由余弦定理得22222331132cos 22232224BD AB AD AB AD π⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，32DM==，1332222S=⨯⨯=，又224S=⨯=041SS∴==>，当平面//DEF平面ABC时，4S S=，4S S∴≤，排除B、D选项；因为13PDAD=，14V V∴=，此时，0821VV=>，当平面//DEF平面ABC时，8V V=，8V V∴≥，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．2．已知双曲线22221(0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A B、两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若2AF FB=u u u v u u u v，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【解析】【分析】先求出直线l的方程为y222aba b=-（x﹣c），与y＝±bax联立，可得A，B的纵坐标，利用2AF FB=u u u r u u u r，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x ya b-=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±bax，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴k l222aba b=-，∴直线l的方程为y222aba b=-（x﹣c），与y＝±bax联立，可得y2223abca b=--或y222abca b=+，∵2AF FB=u u u r u u u r，∴222abca b=+2•2223abca b-，∴a 3=b ， ∴c ＝2b ， ∴e 233c a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．3．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅I ð”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅U A B A B ð， 同时⋂=∅⇒⊆U A B A B ð. 故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．32【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出22b a 的值，进而利用离心率公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线的离心率. 【详解】双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可得22241639b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.5．已知向量(1,0)a =r，b =r ，则与2a b -r r共线的单位向量为( )A．1,22⎛- ⎝⎭B．1,22⎛- ⎝⎭C．221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛- ⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，(2=1a b -r r 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =r，b =r ，则()22,0a =r，所以(2=1a b -r r， 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -r r共线的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭. 故选：D.本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.6．已知正四面体A BCD-外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（）A．183B．163C．143D．123【答案】B【解析】【分析】设正四面体ABCD的外接球的半径R，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．【详解】将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则34863Rππ=，得6R=．因为正四面体ABCD的外接球3a=226R=2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为234163a=故选：B．【点睛】本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．7．已知向量11,,2a b m⎛⎫== ⎪⎝⎭r r，若()()a b a b+⊥-r r r r，则实数m的值为（）A．12B．3C．12±D．3±【答案】D【分析】由两向量垂直可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，整理后可知220a b -=r r ，将已知条件代入后即可求出实数m 的值. 【详解】解：()()a b a b +⊥-r r r r Q ，()()0a b a b ∴+⋅-=r r r r ，即220a b -=r r ，将1a =r 和22212b m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r 代入，得出234m =，所以2m =±. 故选:D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理.8． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.9．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+= A ．15-B ．3715C ．3720D ．1315【答案】D 【解析】因为角α的终边经过点()3,4-,所以5r ==,则43sin ,cos 55αα=-=, 即113sin cos 15αα+=.故选D ． 10．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14 C ．16D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 11．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可.【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-， 3S xh =Q ，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭…，当且仅当6x =时取等号，此时123S =故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.12．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a ba b c-==+，所以222214a bcc=，则22244()a c a c-=，即()22220c a-=，故2220c a-=，即2222cea==，所以e=故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届安徽省宣城市高三第二次调研测试文科数学试题
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
3．C
【分析】
根据指数函数对数函数的单调性判断即可；
【详解】
解：因为 ，即 ，
，
所以
故选：C
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题.
4．D
【分析】
根据等差数列的性质 ， ， ， 也成等差数列，结合 ，我们易根据等差数列的性质得到 ， ，代入即可得到答案．
A．存在直线 ，使 ， B．存在平面 ，使 ，
C．存在平面 ，使 ， D．存在直线 ，使 与直线 所成的角都是
9．已知向量 满足 ， ， ，那么向量 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
10．已知实数 满足线性约束条件 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的右顶点为 ，抛物线 的焦点为 ，若在双曲线 的渐进线上存在点 ，使得 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（）
【详解】
解：根据等差数列的性质，
若数列 为等差数列，则 ， ， ， 也成等差数列；
又 ，
则数列 ， ， ， 是以 为首项，以 为公差的等差数列
则 ， ， ，
所以 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列 为等差数列，则 ， ， ， 也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列 ， 与 的关系，是解答本题的关键．
A． B． C． D．
12．已知函数 的值域与函数 的值域相同，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
二、填空题
13．已知函数 的零点在区间 上，则 ______.
2020年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年安徽省宣城市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|y=ln(−x)}，则A∩B=()A. ⌀B. {x|x<0}C. {x|−1<x<0}D. {x|0<x<1}2.复数z满足(1+i)z=|√3−i|，则z−=()A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10=20，S20=15，则S30=()A. 10B. −30C. −15D. 25)0.4，则有()4.设，b=315，c=(15A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a5.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问卷调查结果的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个)．根据上图，以下结论错误的是()A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个6.函数f(x)=3x−3−x的大致图象为()x4A. B.C. D.7. 已知cosα=35，则cos2α+sin 2α的值为( )A. 925B. 1825C. 2325D. 34258. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点且倾斜角为30°直线与右支交于点A ，则双曲线离心率取值范围是( )A. (1,2√33) B. (1,2)C. (2√33,+∞) D. (2,+∞)9. 若α,β∈R ，且α≠kπ+π2(k ∈Z),β≠kπ+π2(k ∈Z)则“α+β=π4”是“(tanα+1)(tanβ+1)=2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要10. 口袋里放有大小相同，质量相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，若摸出红球，扣1分；若摸到白球，则加1分．则摸取七次后，总分为3分的概率为( )A. C 75(13)2⋅(23)5 B. C 72(23)2⋅(13)5 C. C 75(13)7 D. C 73(13)2⋅(23)5 11. 已知函数f(x)=(x −a)3−3x +a(a >0)在[−1,b]上的值域为[−2−2a,0]，则实数b 的取值范围是( )A. [0,3]B. [0,2]C. [2,3]D. (−1,3]12. 在四面体ABCD 中，BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，BD ⊥BC ，BD =AD =1，BC =2，则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为( )A. √105B. 3√1010C. √155D. √1010二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(ax −1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是_______．14. 已知|a ⃗ |=1，(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =______．15. —个正整数表如下所示(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)，则第5行中的第4个数是________． 第1行 1 第2行2 3第3行 4 5 6 7 ……16. 已知P 为椭圆y 28+x 22=1上一点，A 、B 分别为椭圆的上、下顶点，直线PA 、PB 分别与直线x =−2交于点C 、D ，O 为坐标原点，则△OCD 的面积的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，A =π4，cosB =√1010．(1)求cos C ；(2)设BC =√5，求△ABC 的面积．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为梯形，BC//AD ，PA ⊥底面ABCD ，AD =2BC =2AC =2AP ，E 为棱PD 上的一点，PB//平面AEC ．(1)若PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPE⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ的值；(2)在(1)的条件下，当PC⊥CD时，求二面角P−AC−E的余弦值．19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=x与抛物线C交于原点O与点P．(1)若△OPF的面积为2，求直线PF的方程；(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点，且直线PA,PB的斜率之积为1，求证：直线l过定点，并求出这个定点的坐标．20.为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示(不完整)：(1)补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；(2)现从上表中不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，求所抽取的6人中“学习成绩优秀”和“学习成绩一般”的人数；(3)从(2)中抽取的6人中再随机抽取3人，求其中“学习成绩优秀”的学生恰有2人的概率．参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：21.设f(x)=(4x+a)lnx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直．3x+1(1)求a的值；(2)若对于任意的x∈[1,+∞)，f(x)≤m(x−1)恒成立，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，射线l：y=√3x(x≥0)，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为．(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程；(2)已知射线l与C 2交于O，M，与C 3交于O，N，求|MN|的值．23.已知函数f(x)=|x−a|+2|x−1|．(1)当a=2时，求关于x的不等式f(x)>5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)−|x−1|≤|a−2|有解，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={x|−1<x<1}，B={x|x<0}；∴A∩B={x|−1<x<0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题主要考查复数的应用，属于中档题．解：由题意得，z=|√3−i|1+i =21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，则z=1+i，故选A．3.答案：C解析：本题考查等差数列的性质，属于基础题．掌握等差数列中的S m,S2m−S m,S3m−S2m,...,成等差数列是解题的关键．解：根据等差数列的性质可知，S10,S20−S10,S30−S20成等差数列．即20，−5，S30−15成等差数列．则有20+S30−15=−10，解得S30=−15．故选C．4.答案：B解析：解：，b=315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．5.答案：D解析：本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题． 先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于选项A ，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A 正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确， 对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确，对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选：D ．6.答案：B解析：本题考查函数图像的应用，解决问题的关键是根据所给函数得到其为奇函数，结合x >0的函数值，排除选项即可．解：由题函数定义域关于原点对称，且f(−x)=3−x −3x (−x )4=−3x −3−xx 4=−f(−x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A ； 当x >0时，3x >1>3−x ，∴f(x)=3x −3−xx 4>0，排除D ； 因为f(3)=33−3−334=36−137<1，f(9)=39−3−994=318−1317>1，所以f(x)=3x −3−xx 在(0,+∞)不是单调递减的，排除C ． 故选B ．7.答案：A解析：由cosα=35，得cos2α+sin 2α=2cos 2α−1+1−cos 2α=cos 2α=925.8.答案：C解析：本题考查双曲线的简单性质，属于中档题．过左焦点且倾斜角为30°直线与右支交于点A ，即ba>tan30°=√33，即b >√33a ，c >2√33a ，从而求出离心率的范围．解：过左焦点且倾斜角为30°直线与右支交于点A ，即ba>tan30°=√33，∴b >√33a ， ∵b =√c 2−a 2， ∴√c 2−a 2>√33a ， 整理得：c >2√33a ， ∴e =ca >2√33，∴e 的范围是(2√33,+∞) 故选C ．9.答案：A解析：因为(tanα+1)(tanβ+1)=2，所以tanαtanβ+tanα+tanβ+1=2，tanα+tanβ=1−tanαtanβ，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1，∴α+β=π4+kπ(k ∈Z).当k =0时，α+β=π4.所以，“α+β=π4”是“(tanα+1)(tanβ+1)=2”的充分不必要条件. 10.答案：B解析：本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由已知得在7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，由此利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出摸取七次后，总分为3分的概率． 解：∵摸取七次后，总分为3分，∴在7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球， ∴摸取七次后，总分为3分的概率为：P =C 72×(13)5×(23)2．故选B ．11.答案：A解析：本题考查导数在求函数值域中的应用，根据导数得到函数的单调性，比较端点值以及极值点求出值域，与已知值域比较得到不等式组，及可求解．解：方法一：将函数f(x)=(x −a)3−3x +a 的图像向左平移a 个单位， 再向上平移2a 个单位，得到g(x)=x 3−3x 的图像，故g(x)=x 3−3x 在[−1−a,b −a]上的值域为[−2,2a].g′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)， 所以当x ∈(−∞,−1)或x ∈(1,+∞)时，g′(x)>0， 故g(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞);当x ∈(−1,1)时，g′(x)<0，故g(x)的单调递减区间为(−1,1)． 又g(−1)=2，g(1)=−2，所以令g(x)=−2，得x 3−3x +2=0， 即(x −1)2(x +2)=0，解得x =−2或x =1．因为a >0，所以−1−a <−1，所以−1−a ≥−2，故0<a ≤1. ①当a =1时，g(x)=x 3−3x 在[−2,b −1]上的值域为[−2,2]， 因为g(−1−a)=g(−2)=−2，所以令g(x)=2，得x 3−3x −2=0，即(x +1)2(x −2)=0，解得x =−1或x =2，所以−1≤b −1≤2，解得0≤b ≤3; ②当0<a <1时，−2<−1−a <−1，0<2a <2，所以b −a <−1，又g(x)在(−1−a,b −a)上单调递增，所以g(x)≥g(−a −1)>−2，此时与题意矛盾． 综上，可知0≤b ≤3，故选A ．方法二：因为f(x)=(x −a)3−3x +a ，所以f′(x)=3(x −a)2−3，令f′(x)=0，得x =a +1或x =a −1.f(a +1)=−2a −2，f(a −1)=−2a +2， 当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表： x (−∞,a −1)a −1(a −1,a +1)a +1(a +1,+∞)f′(x) + 0 − 0 + f(x)↗−2a +2 ↘−2a −2 ↗ ①若f(−1)=−2a −2，则a 3+3a 2−4=0，整理得(a −1)(a +2)2=0，解得a =1或a =−2(舍去)，此时f(x)=(x −1)3−3x +1，令f(x)=−4，解得x =−1或x =2;令f(x)=0，解得x =0或x =3， 因为f(x)在[−1,b]上的值域为[−4,0]，所以0≤b ≤3. ②若f(−1)>−2a −2，因为a >0，所以a −1>−1，要使得f(x)在[−1,b]上的值域为[−2−2a,0]， 则a +1≤b ，所以a −1∈[−1,b]，所以{f(−1)>−2a −2f(a −1)≤0，即{(−1−a)3+3+a >−2−2a 2−2a ≤0，即{(a −1)(a +2)2<0a ≥1，不等式组无实数解． 综上，可得0≤b ≤3，故选A ．12.答案：D解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．以B 为原点，BD 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 解：在四面体ABCD 中，BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，BD ⊥BC ，BD =AD =1，BC =2，以B 为原点，BD 为x 轴，BC 为y 轴，过B 作平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0，1)，B(0,0，0)，C(0,2，0)，D(1,0，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)， 设异面直线AB 与CD 所成角为θ， cosθ=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅√5=√1010． ∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√1010．故选：D ．13.答案：2解析：本题主要考查了二项式特定项的系数，以及二项展开式的通项，同时考查了计算能力，属于基础题．二项展开式的通项T r+1=C 5r (ax)5−r (−1)r =(−1)r a 5−r C 5r x 5−r ，令5−r =3可得r =2，从而有a 3C 52=80，即可求a 的值．答案：解：二项展开式的通项T r+1=C 5r (ax)5−r (−1)r =(−1)r a 5−r C 5r x 5−r ．令5−r =3可得r =2，∴a 3C 52=80，∴a =2． 故答案为：214.答案：−1解析：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题． 由(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ 得(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，化简可得． 解：由(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ 得(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，得a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =0，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−1， 故答案为：−1．15.答案：19解析：本题主要考查推理的应用，属于基础题.根据表中数据得出规律即可得解． 解：根据题意可知第n 行有2n−1个数，此行最后一个数的为2n −1， 那么第4行的最后一个数是24−1=15， 该数表中第5行的第4个数是19． 故答案为19．16.答案：8−4√2解析：解：∵P 为椭圆y 28+x 22=1上一点，A 、B 分别为椭圆的上、下顶点，∴P(√2cosα,2√2sinα)，0≤α≤2π，A(0,2√2)，B(0,−2√2)， ∴直线PA ：y−2√2x=√2(sinα−1)√2cosα，直线PB ：y+2√2x=√2(sinα+1)√2cosα，∵直线PA 、PB 分别与直线x =−2交于点C 、D ， ∴C(−2,2√2cosα−4sinα+4cosα)，D(−2,−4sinα+2√2cosα+4cosα)，∴△OCD 的面积S =12×2×|2√2cosα−4sinα+4cosα+4sinα+2√2cosα+4cosα|=|4√2+8cosα|，∴当cosα=−1时，△OCD 的面积的最小值为S min =8−4√2． 故答案为：8−4√2．设P(√2cosα,2√2sinα)，0≤α≤2π，A(0,2√2)，B(0,−2√2)，求出直线PA 和直线PB ，由直线PA 、PB 分别与直线x =−2交于点C 、D ，求出C(−2,2√2cosα−4sinα+4cosα)，D(−2,−4sinα+2√2cosα+4cosα)，由此能求出△OCD 的面积的最小值．本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆参数方程、直线方程、三角函数的性质的合理运用．17.答案：解：(1)∵cosB =√1010． ∴sinB =√1−cos 2B =3√1010， ∴cosC =−cos(A +B)=sinAsinB −cosAcosB =√22×3√1010−√22×√1010=√55． (2)∵cosC =√55，∴sinC=√1−cos2C=2√55，∵AC=BCsinBsinA =√5×3√1010√22=3，∴S△ABC=12BC⋅AC⋅sinC=12×√5×3×2√55=3．解析：(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算cos C的值．(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C，利用正弦定理可求AC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：(1)连接BD，交AC于点F，连接EF.因为四边形ABCD为梯形，BC//AD，AD=2BC，所以DF=2BF，所以BD=3BF.因为PB//平面AEC，平面AEC∩平面PBD=EF，所以PB//EF，所以PD=3PE，故λ=3．(2)因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PA⊥DC.因为PC⊥CD，PA∩PC=P，所以DC⊥平面PAC，所以AC⊥DC．设G为AD的中点，连接CG，则AB=CG=AG=GD=BC.又因为AC=BC，所以△ABC为等边三角形，故∠BAD=120°．如图建立空间坐标系A−xyz．设AB=2，则，D(0,4，0)，，，.由DC⊥平面PAC，得平面PAC的一个法向量．设平面AEC的一个法向量为n=(x,y，z)，则令y=3，则．，因为二面角P−AC−E为锐角，所以二面角P−AC−E的余弦值为2√77．解析：(1)连接BD，交AC于点F，连接EF，可由PB//平面AEC得PB//EF，由三角形相似可求λ．(2)建立空直角坐标系，利用坐标法求角．19.答案：解：(1)联立方程y=x与y2=2px，得P(2p,2p)，∴S△OPF=12|OF|⋅|y P|=p22=2，解得p=2，于是F(1,0),P(4,4)，所以直线PF的方程4x−3y−4=0；(2)设直线l:x=my+t，与抛物线C联立得：y2−2mpy−2pt=0，∴y A+y B=2mp，y A y B=−2pt，由得m2p+2t>0，于是k PA⋅k PB=y A−y Px A−x P ⋅y B−y Px B−x P=y A−2py A22p−2p⋅y B−2py B22p−2p=2py A+2p⋅2py B+2p =4p2y A y B+2p(y A+y B)+4p2=4p2−2pt+4mp2+4p2=1，∴−2pt+4mp2=0，即t=2mp，所以直线l:x=m(y+2p)恒过定点(0,−2p)．解析：本题考查了抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，直线系方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(1)联立方程y=x与C:y2=2px(p>0)，得P(2p,2p)，利用三角形的面积求p，然后求解直线方程即可；(2)设直线l:x=my+t，与抛物线C联立得：y2−2mpy−2pt=0，利用韦达定理求出直线的斜率，推出t=2mp，然后求出直线l:x=m(y+2p)恒过定点(0,−2p)．20.答案：解：(1)填表如下：学习成绩优秀学习成绩一般总计使用手机103040不使用手机402060总计5050100由上表得K2=100×(10×20−40×30)240×60×50×50≈16.667>10.828．故有的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关．(2)由题意得，所抽取的6位不使用手机的学生中，“学习成绩优秀”的有6×4060=4人，“学习成绩一般”的有6×2060=2人.X的所有可能取值为1，2，3．P(X=1)=C41C22C63=420=15，P(X=2)=C42C21C63=1220=35，P(X=3)=C43C20C63=420=15．所以X的分布列为：X123P 153 515故数学期望为EX =1×15+2×35+3×15=2．(3))设“学习成绩优秀”的4人为A,B,C,D ，“学习成绩一般”的2人为a,b ，所以抽取3人的所有结果为(A,B,C )，(A,B,D )，(A,B,a )，(A,B,b )，(A,C,D )，(A,C,a )，(A,C,b )，(A,D,a )，(A,D,b )，(A,a,b )，(B,C,D )，(B,C,a )，(B,C,b )，(B,D,a )，(B,D,b )，(A,B,b )，(C,D,a )，(C,D,b )，(C,a,b )，(D,a,b )，共20个，其中“学习成绩优秀”的学生恰有2人的结果有(A,B,a )，(A,B,b )，(A,C,a )，(A,C,b )，(A,D,a )，(A,D,b )，(B,C,a )，(B,C,b )，(B,D,a )，(B,D,b )，(C,D,a )，(C,D,b )，共12个，所以所求概率P =1220=35.解析：本题考查了独立性检验，考查了离散型随机变量的分布列与方差，属于基础题目． (1)根据已知条件将列联表补充完整，然后由公式计算即可；(2)X 的所有可能取值为1，2，3，求出相应的概率，然后由公式求解． (3)通过列举基本事件求古典概型．21.答案：解：(1)f′(x)=(4x+ax+4lnx)(3x+1)−3(4x+a)lnx (3x+1)2由题设f′(1)=1， ∴4+a 4=1，∴a =0． (2)f(x)=4xlnx3x+1，∀x ∈[1,+∞)，f(x)≤m(x −1)，即4lnx ≤m(3x −1x −2) 设g(x)=4lnx −m(3x −1x −2)，即∀x ∈[1,|+∞)，g(x)≤0， ∴g′(x)=4x −m(3+1x 2)=−3mx 2+4x−mx 2，g′(1)=4−4m①若m ≤0，g′(x)>0，g(x)≥g(1)=0，这与题设g(x)≤0矛盾②若m ∈(0,1)，当x ∈(1,2+√4−3m23m)，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)≥g(1)=0，与题设矛盾．③若m ≥1，当x ∈(1,+∞)，)，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)≤g(1)=0，即不等式成立 综上所述，m ≥1．解析：(1)求导，由题意可得f′(1)=1，代入即可求得a 的值；(2)由题意可知：4lnx ≤m(3x −1x −2)恒成立，构造辅助函数，求导，分类讨论即可求出m 的取值范围本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查导数与函数的单调性和最值的关系，考查计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)射线l：y= √3x(x≥0)，转换为极坐标方程为：θ= π 3(ρ≥0)．曲线C1的参数方程为为参数)，转换为直角坐标方程为x29 + y24 =1，所以曲线C1的普通方程为x29 + y24 =1；(2)曲线C2的方程为x2+(y−2)2=4，所以x2+y2−4y=0，因为x2+y2=ρ2，，所以，即ρ=4sinθ，所以曲线C2极坐标方程为：ρ=4sinθ，射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，所以．解析：本题考查的知识要点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极坐标方程的几何意义，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用极坐标方程的几何意义列出．23.答案：解：(1)当a=2时，不等式为|x−2|+2|x−1|>5，若x≤1，则−3x+4>5，即x<−13，若1<x<2，则x>5，舍去，若x≥2，则3x−4>5，即x>3，……………(4分)综上，不等式的解集为(−∞,−13)∪(3,+∞)；……………(5分)(2)∵f(x)−|x−1|=|x−a|+|x−1|≥|1−a|当且仅当(x−a)(x−1)≤0时等号成立，∴题意等价于|1−a|≤|a−2|，∴a≤32，……………(4分)].……………(5分)∴a的取值范围为(−∞,32解析：(1)当a=2时，化简不等式，去掉绝对值符号，然后求解关于x的不等式f(x)>5的解集；(2)利用绝对值的几何意义，求出f(x)−|x−1|的最值，即可推出a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查计算能力．。
安徽省宣城市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
安徽省宣城市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】 因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 2．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=I ，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。
若令AD 1＝m ，AB ＝n ，则m ⊥n ，但m 不垂直于l若m ⊥l ，由平面ABCD ⊥平面11ADD A 可知，直线m 垂直于平面β，所以m 垂直于平面β内的任意一条直线n∴m ⊥n 是m ⊥l 的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m ⊥n ⇒m ⊥l ？和m ⊥l ⇒m ⊥n ？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．3．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】A【解析】【分析】由函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln 1f e e ==-，进而求得1(())f f e 的值，得到答案. 【详解】由题意函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩， 则11()ln1f e e ==-，所以1313(())(1)2(1)2f f f e -=-=--=，故选A. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种【答案】C【解析】【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．已知向量()0,2=r a，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x=（ ） A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B【解析】【分析】 由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】由题意1cos 32a b a b π⋅===r r r r ， 所以0x >，且2x =2x =.故选：B.【点睛】 本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.7．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C【解析】【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题． 8．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ）A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅【答案】C【解析】【分析】 先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?，再求M N ⋃. 【详解】 因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝⎦，本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π【答案】C【解析】【分析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知， 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为120o ， 由正弦定理可得2324sin120AD ==o ，解得2AD =， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以222222OA =+=该几何体外接球的表面积为：(24232S ππ=⋅=.本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ）A B ．3 C ．12 D 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值.【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q ，由正弦定理得b c a b a a b c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.11．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-【答案】A【解析】【分析】依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，()0,0A ∴，()1,3B ，()4,3C ，()5,0D 因为点E 在线段CB 的延长线上，设()0,3E x ，01x < AE BE =Q()()2220031x x +=-解得01x =-()1,3E ∴-()4,3C Q ，()5,0D CD ∴所在直线的方程为353y x =-+因为点M 在边CD 所在直线上，故设(),353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r ()1,343E x M x -=--u u u r()()()3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+- 23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.12．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2， 4πC ．2， 3π-D ．2， 6π 【答案】D【解析】【分析】 由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案【详解】由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=，21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭， 2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届安徽省宣城市高三二调理科数学试题
宣城市2020届高三年级第二次调研测试数学(理科)考生注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合23{|1}{|2},x A x log B x x x =<=-…则A B =I .{|23}A x x ≤< .{|3}B x x < .{|23}x x C ≤„ .{|23}D x x <„2.设复数z 满足()12,z i i -=+则复数z 的共轭复数．．．．在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若48161,3SS S S S == A.35B.12C.13D.310 4.已知, 235,,,ln 2ln 3ln 5a b c ===则 A.a<c<b B .a<b<c C .b<a<c D .b<c<a5.国家正积极推行垃圾分类工作,教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查(每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个)如图是调查结果的统计图,以下结论正确的是A.回答该问卷的受访者中,选择的(2)和(3)人数总和比选择(4)的人数多B.回答该问卷的受访者中,选择“校园外宣传”的人数不是最少的C.回答该问卷的受访者中,选择(4)的人数比选择(2)的人数可能多30人D.回答该问卷的总人数不可能是1000人6.函数()33|1||1|x xf x x x --=++-的图象大致是7.已知()0,,απ∈ 11sin 2cos 22αα=+则cos a =A. 0.05555A B D 或 8.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>已知双曲线的右焦点F,过点F 且倾斜角为π4的直线与双曲线右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是(.A())...B C D +∞+∞9.已知下列两个命题,命题甲:平面α与平面β相交;命题乙:相交直线l,m 都在平面α内, 并且都不在平面β内,直线l,m 中至少有一条与平面β相交.则甲是乙的 A.充分且必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件10.口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{}n a11n n a n -⎧=⎨+⎩，第次摸取白球，第次摸取红球如果S n 为数列{}n a 的前n 项和,那么73S =的概率为+1,第n 次摸取红球255712.33AC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2525527721.31323.3C B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23275.132D C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.已知函数()()212ln 2)(102f x x ax x a a α+=--++>的值域与函数()y f f x ⎡⎤=⎣⎦的值域相同,则a 的取值范围为(].0,1A [)44.1,.0,.,33B C D ⎛⎤⎡⎫+∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭12.如图.正四面体ABCD 的顶点A,B,C 分别在两两垂直的三条射线OX,OY ,OZ 上,则在下列命题中,错误的为 A.O-ABC 是正三棱锥B.二面角D-OB-A 的平面角为π3 C.直线AD 与直线OB 所成角为π4 D 直线OD ABC ⊥平面二、填空题:本题共4小题,每小题5分共20分13.41)(12)x x x -+（的展开式中,x 3的系数为 ▲14.||1,||0,OA OB OA OB ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 点C 在AOB ∠内,且,3AOC π∠=设(),R OC mOA nOB m n =+∈u u u r u u u r u u u r 则mn = ▲15.将正整数排成下表 1 2 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 … … ….试问2020是表中第 ▲ 行的第 ▲ 个数(本题第一空2分,第二空3分)16.若椭圆22143x y +=上有两点P,Q(不是长轴的端点),O 为原点,若直线OP,OQ 斜率分别 为12,K K 且满足123,4K K =-则()()22OP OQ+=u u u r u u u r ▲三、解答题:共70分。
2020年安徽省宣城市高考数学二模试卷(文科)
2020年安徽省宣城市高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．（3分）已知全集U R =，集合3{|log 1}A x x =<，2{|2}B x x x =-…，则(A B =I ) A ．{|23}x x <„ B ．{|3}x x < C ．{|23}x x 剟 D ．{|23}x x <„2．（3分）设复数z 满足(1)2z i i -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（3分）已知143a -=，31log 4b =，131log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（3分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于( )A ．310B ．13C ．19D ．185．（3分）函数33()|1||1|x xf x x x --=++-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是( )A ．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B ．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C ．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D ．回答该问卷的总人数不可能是1000人7．（3分）已知(0,)2πα∈，若sin22cos22αα-=，则sin (α= )A ．15B 5C 3D 258．（3分）若直线m ，n 表示两和不同的直线，则//m n 的充要条件是( ) A ．存在直线l ，使m l ⊥，n l ⊥ B ．存在平面α，使m α⊥，n α⊥ C ．存在平面α，使//m α，//n αD ．存在直线l ，使m ，n 与直线l 所成的角都是45︒9．（3分）已知向量,a b r r 满足||1a =r ，||2b =r ，|2|21a b +r r ，那么向量a r 与b r 的夹角为() A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 10．（3分）已知实数x ，y 满足线性约束条件4102202360x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…，则12y x --的最小值为( )A ．13-B ．12-C ．1D ．211．（3分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右顶点为A ，抛物线2:16(0)C y ax a =>的焦点为F ，若在双曲线E 的渐进线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则双曲线E 的离心率的取值范围是( )A ．5(1,]4B ．(1,2)C ．5[,)4+∞D ．(2,)+∞12．（3分）已知函数21()2(2)1(0)2f x lnx ax x a a α=-+-++>的值域与函数[()]y f f x =的值域相同，则a 的取值范围为( ) A ．(0，1] B ．[1，)+∞C ．(0，4]3D ．4[3，)+∞二、填空题13．（3分）已知函数()24f x lgx x =+-的零点在区间(k ，1)()k k Z +∈上，则k = ． 14．（3分）在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则3568a a a a +=+ ． 15．（3分）已知0x >，0y >，1411x y +=+，则x y +的最小值为 ． 16．（3分）在三棱锥P ABC -中，AB PC ==，3AC PB ==，1BC =，当三棱锥P ABC -的体积取最大时，其外接球的表面积为 ． 三、解答题17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2cos sin sin b A Bc C=-． （1）求角A 的大小；（2）若a =4b =，求ABC ∆的面积．18．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？。
安徽省宣城市2020届高三第二次调研考试数学理科试题(解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x2﹣x≥2}，则A∩B＝（）A．{x|2≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x≤3} 2．设复数z满足z（1﹣i）＝2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S4S8=13，则S8S16等于（）A．310B．13C．19D．184．已知，a=2ln2，b=3ln3，c=5ln5，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（）A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D．回答该问卷的总人数不可能是1000人6．函数f(x)=3x−3−x|x+1|+|x−1|的图象大致是（）A．B．C．D．7．已知α∈（0，π），12sin2α＝cos2α+1，则cosα＝（）A．√55或0B．√55C．2√55D．2√55或08．已知双曲线C：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．[√2，+∞）B．（√2，+∞）C．（2，+∞）D．（1，+∞）9．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l，m都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l，m中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（）A．充分且必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n={−1，第n次摸取白球+1，第n次摸取红球，如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A ．C75（13）2（23）5 B ．C72（23）2（13）5C ．C75（13）2（23）5 D ．C73（13）2（23）5 11．已知函数f （x ）＝2lnx −12ax 2+(α−2)x +a +1(a ＞0)的值域与函数y ＝f [f （x ）]的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，43]D ．[43，+∞）12．如图．正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线OX ，OY ，OZ 上，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．O ﹣ABC 是正三棱锥B ．二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π3C ．直线AD 与直线OB 所成角为π4D ．直线OD ⊥平面ABC二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分 13．(x −1x)(1+2x)4的展开式中，x 3的系数为 ．14．|OA →|＝1，|OB →|=√3，OA →•OB →=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =π3，设OC →=m OA →+n OB →（m ，n ∈R ），则m n= ．15．将正整数排成如图：试问2020是表中第 行的第 个数．16．若椭圆x 24+y 23=1上有两点P ，Q （不是长轴的端点），O 为原点，若直线OP ，OQ斜率分别为K 1，K 2，且满足K 1K 2=−34，则(OP →)2+(OQ →)2= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．在△ABC 中，cosB =√33；sinC =√69．（1）求sin A ；（2）若△ABC 的面积S =√2，求BC 的边长．18．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝3√2，PC =√19． （1）求证：EF ∥平面PDC ；（2）若∠CDP ＝120°，求二面角E ﹣CP ﹣D 的平面角的余弦值．19．已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜8）的焦点为F 点Q 是抛物线C 上的一点，且点Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 不经过Q 点且与抛物线交于A ，B 两点，QA ，QB 的斜率分别为K 1，K 2，若K 1K 2＝﹣2，求证：直线AB 过定点，并求出此定点．20．某生物公司将A 型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒未注射 10 x 注射 40 y 总计5050现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为12．（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2≥k0）0.100.010 k0 2.706 6.635 21．已知函数f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈R．（1）当m＝3时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=−2√3+4cosθy=2+4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为{x=−2√3+m y=√3m（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若P(−2√3，0)，求1|PM|2+1|PN|2的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若关于x的不等式|2m+1|≥f（x+3）+3|x+5|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 3x ＜1}，B ＝{x |x 2﹣x ≥2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |2≤x ＜3}B ．{x |x ＜3}C ．{x |2≤x ≤3}D ．{x |2＜x ≤3}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝{x |x ≤﹣1或x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． 故选：A ．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．设复数z 满足z （1﹣i ）＝2+i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 解：由足z （1﹣i ）＝2+i ，得z =2+i1−i =(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=12+32i ， ∴z =12−32i ． 则z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（12，−32），位于第四象限． 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4S 8=13，则S 8S 16等于（ ）A ．310B ．13C ．19D ．18【分析】根据等差数列的性质S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12也成等差数列，结合S 4S 8=13，我们易根据等差数列的性质得到S 8＝3S 4，S 16＝10S 4，代入即可得到答案． 解：根据等差数列的性质，若数列{a n }为等差数列，则S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12也成等差数列； 又∵S 4S 8=13，则数列S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12是以S 4为首项，以S 4为公差的等差数列 则S 8＝3S 4，S 16＝10S 4， ∴S 8S 16=310故选：A ．【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据数列{a n }为等差数列，则S 4，S 8﹣S 4，S 12﹣S 8，S 16﹣S 12也成等差数列，然后根据等差数列的性质，判断数列S 8，S 16与S 4的关系，是解答本题的关键． 4．已知，a =2ln2，b =3ln3，c =5ln5，则（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【分析】利用对数的运算性质先化为a =30ln215，b =30ln310，c =30ln56，再利用指数函数的性质得到310、215、56的大小，结合对数函数的性质即可得到a ，b ，c 的大小关系． 解：a =2ln2=3015ln2=30ln215，b =3ln3=3010ln3=30ln310，c =5ln5=306ln5=30ln56， ∵310＝（32）5＞（23）5＝215＝（25）3＞（52）3＝56，∴ln310＞ln215＞ln56，∴30ln310＜30ln215＜30ln56，即b＜a＜c，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5．国家正积极推行垃圾分类工作，教育部办公厅等六部门也发布了《关于在学校推进生活垃圾分类管理工作的通知》．《通知》指出，到2020年底，各学校生活垃圾分类知识普及率要达到100%某市教育主管部门据此做了“哪些活动最能促进学生进行垃圾分类”的问卷调查（每个受访者只能在问卷的4个活动中选择一个）如图是调查结果的统计图，以下结论正确的是（）A．回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数多B．回该问卷的受访者中，选择“校园外宣传”的人数不是最少的C．回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30人D．回答该问卷的总人数不可能是1000人【分析】对于A，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少；对于B，选择“校园外宣传”的人数是最少的；对于C，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30%；对于D，回答该问卷的总人数不可能是1000人．解：对于A，答该问卷的受访者中，∵选择的（2）和（3）人数总和所占百分比为：15.75%+27%＝42.75%，选择（4）的人数的百分比为45.75%，∴回答该问卷的受访者中，选择的（2）和（3）人数总和比选择（4）的人数少，故A 错误；对于B，回该问卷的受访者中，由扇形统计图得选择“校园外宣传”的百分比最小，∴选择“校园外宣传”的人数是最少的，故B错误；对于C，回答该问卷的受访者中，选择（4）的人数比选择（2）的人数可能多30%，故C错误；对于D，回答该问卷的总人数不可能是1000人，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查扇形统计图等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．6．函数f(x)=3x−3−x|x+1|+|x−1|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及趋近性，结合选项即可得出答案．解：函数的定义域为R ，f(−x)=3−x −3x |−x+1|+|−x−1|=3−x −3x|x−1|+|x+1|=−f(x)，故函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD ； 又x →+∞时，f （x ）→+∞，可排除选项C ． 故选：B ．【点评】本题考查函数图象的运用，涉及了函数的奇偶性，考查数形结合思想及极限思想，属于基础题．7．已知α∈（0，π），12sin2α＝cos2α+1，则cos α＝（ ）A ．√55或0 B ．√55C ．2√55D ．2√55或0 【分析】利用二倍角公式化简已知可得sin αcos α＝2cos 2α，结合范围α∈（0，π），分类讨论可得cos α＝0，或sin α＝2cos α，进而即可求解．解：∵12sin2α＝cos2α+1， ∴sin αcos α＝2cos 2α， ∵α∈（0，π），∴cos α＝0，或sin α＝2cos α，由于sin 2α+cos 2α＝（2cos α）2+cos 2α＝1，解得cos 2α=15，解得cos α=√55，或−√55（舍去）．∴cos α＝0，或√55． 故选：A ．【点评】本题主要考查了三角函数的的二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．8．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[√2，+∞）B ．（√2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（1，+∞）【分析】若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点．则：该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率ba所以ba≥1e 2=c 2a 2=a 2+b 2a2≥2∴e ≥√2 故选：A ．【点评】本题考查的知识点：双曲线的性质及应用及相关的运算问题．9．已知下列两个命题，命题甲：平面α与平面β相交；命题乙：相交直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l ，m 中至少有一条与平面β相交．则甲是乙的（ ） A ．充分且必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲，从而甲是乙的充要条件． 解：命题甲：平面α与平面β相交，命题乙：相交直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内，直线l ，m 中至少有一条与平面β相交．∴由面面间的相互关系得到：甲⇒乙，乙⇒甲∴甲是乙的充要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的求法，考查空间中面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，属于基础题．10．口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n={−1，第n次摸取白球+1，第n次摸取红球，如果S n为数列{a n}的前n项和，那么S7＝3的概率为（）A．C75（13）2（23）5B．C72（23）2（13）5C．C75（13）2（23）5D．C73（13）2（23）5【分析】推导出a n＝1的概率P1=23，a n＝﹣1的概率P2=13，S7＝3是指在7次取球中，5次取到红球，2次取到白球，由此能求出S7＝3的概率．解：口袋里放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n}，a n={−1，第n次摸取白球+1，第n次摸取红球，S n为数列{a n}的前n项和，∴a n＝1的概率P1=23，a n＝﹣1的概率P2=13，∴S7＝3是指在7次取球中，5次取到红球，2次取到白球，∴S7＝3的概率为P=C75(13)2(23)5．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．已知函数f （x ）＝2lnx −12ax 2+(α−2)x +a +1(a ＞0)的值域与函数y ＝f [f （x ）]的值域相同，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，43] D ．[43，+∞）【分析】对函数f （x ）求导，利用导数求得f （x ）的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 解：f′(x)=2x−ax +(a −2)(x ＞0)，由于a ＞0，故函数f ′（x ）在（0，+∞）上为减函数，又f ′（1）＝0， 故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0， ∴函数f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f(x)max =f(1)=−12a +a −2+a +1=32a −1，且x →+∞时，f （x ）→﹣∞，故函数f （x ）的值域为(−∞，32a −1]，作出函数f （x ）的草图如下，由图可知，要使函数f （x ）的值域与函数y ＝f [f （x ）]的值域相同，则需32a −1≥1，解得a ≥43，故选：D ．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于a 的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题． 12．如图．正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线OX ，OY ，OZ 上，则在下列命题中，错误的为（ ）A ．O ﹣ABC 是正三棱锥B ．二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π3C ．直线AD 与直线OB 所成角为π4D ．直线OD ⊥平面ABC【分析】在A 中，AC ＝AB ＝BC ，OA ＝OB ＝OC ，从而O ﹣ABC 是正三棱锥；在B 中，设OB ＝1，求出平面OBD 的法向量m →=（1，0，﹣1），平面OAB 的法向量n →=（0，0，1），二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π4；在C 中，设OB ＝1，求出cos ＜AD →，OB →＞=|AD →⋅OB →||AD →|⋅|OB →|=12=√22，直线AD 与直线OB 所成角为π4；在D 中，利用向量法求出OD ⊥AB ，OD ⊥AC ，从而直线OD ⊥平面ABC ．解：正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线OX ，OY ，OZ 上， 在A 中，∵AC ＝AB ＝BC ，OA ＝OB ＝OC ，∴O ﹣ABC 是正三棱锥，故A 正确； 在B 中，设OB ＝1，则A （1，0，0），B （0，1，0），D （1，1，1），O （0，0，0），OD →=（1，1，1），OB →=（0，1，0）， 设平面OBD 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅OB →=y =0m →⋅OD →=x +y +z =0，取x ＝1，得m →=（1，0，﹣1）， 平面OAB 的法向量n →=（0，0，1），cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=2=√22，二面角D ﹣OB ﹣A 的平面角为π4，故B 错误；在C 中，设OB ＝1，则A （1，0，0），B （0，1，0），D （1，1，1），O （0，0，0），AD →=（0，1，1），OB →=（0，1，0），cos ＜AD →，OB →＞=|AD →⋅OB →||AD →|⋅|OB →|=12=√22， ∴直线AD 与直线OB 所成角为π4，故C 正确；在D 中，设OB ＝1，则A （1，0，0），B （0，1，0），D （1，1，1），O （0，0，0），C （0，0，1），OD →=（1，1，1），AB →=（﹣1，1，0），AC →=（﹣1，0，1），OD →⋅AB →=0，OD →⋅AC →=0，∴OD ⊥AB ，OD ⊥AC ， ∵AB ∩AC ＝A ，∴直线OD ⊥平面ABC ，故D 正确． 故选：B ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力与运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分13．(x−1x)(1+2x)4的展开式中，x3的系数为8．【分析】根据式子特点，可先求出（1+2x）4的通项，然后分别求出它的展开式中的x2，x4项的系数，然后相减即可．解：对于（1+2x）4，其通项为T k+1=C4k2k⋅x k，k＝0，1， (4)令k＝2和4，可得对应项的系数为：C42⋅22=24，C44⋅24=16．故所求的x3的系数为24﹣16＝8．故答案为：8．【点评】本题考查二项展开式的通项、以及利用通项研究特定项的系数的问题，还考查了学生的计算能力与逻辑推理能力．属于基础题．14．|OA→|＝1，|OB→|=√3，OA→•OB→=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=π3，设OC→=m OA→+n OB→（m，n∈R），则mn=1．【分析】依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．解：因为OA→⋅OB→=0，所以OA→⊥OB→，故可建立直角坐标系，则OA→=（1，0），OB→=（0，√3），故OC→=m OA→+n OB→=m（1，0）+n（0，√3）＝（m，√3n），又点C在∠AOB内，且∠AOC＝60°，所以tan60°=√3nm，所以nm=1故答案为：1．【点评】本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题．15．将正整数排成如图：试问2020是表中第11行的第997个数．【分析】由题意得第n 行有2n ﹣1个数，由此利用等比数列的前n 项和公式能求出结果．解：由题意得第n 行有2n﹣1个数，20+2+22+23+24+25+26+27+28+29=1−2101−2=1023，20+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210=1−2111−2=2047，∴2020是表中第11行的第997个数． 故答案为：11，997．【点评】本题考查表中数字的位置的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．若椭圆x 24+y 23=1上有两点P ，Q （不是长轴的端点），O 为原点，若直线OP ，OQ斜率分别为K 1，K 2，且满足K 1K 2=−34，则(OP →)2+(OQ →)2= 7 ．【分析】设P 、Q 的坐标分别为（2cos α，√3sin α），（2cos β，√3sin β），通过K 1K 2=−34，可知cos （α﹣β）＝0，不妨取β=α+π2；然后用含有α和β的式子表示出OP →2+OQ →2，借助诱导公式和同角三角函数的平方关系进行化简整理即可得解． 解：设P 、Q 的坐标分别为（2cos α，√3sin α），（2cos β，√3sin β）， ∵K 1K 2=−34，∴√3sinα2cosα⋅√3sinβ2cosβ=−34，即cos （α﹣β）＝0，∴α−β=π2+kπ，k ∈Z ，不妨取β=α+π2， ∴(OP →)2+(OQ →)2=4cos 2α+3sin 2α+4√3sinαcosα+4cos 2β+3sin 2β+4√3sinβcosβ=4cos 2α+3sin 2α+4√3sinαcosα+4sin 2α+3cos 2α−4√3sinαcosα ＝4+3＝7． 故答案为：7．【点评】本题考查椭圆中的计算，还涉及三角函数中的常用公式，解题的关键是用参数设点的坐标，考查学生的知识迁移能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．在△ABC 中，cosB =√33；sinC =√69．（1）求sin A ；（2）若△ABC 的面积S =√2，求BC 的边长．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，cos C 的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，（2）由（1）利用正弦定理可求a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ＝2√3：3：1，设a ＝2√3k ，b ＝3k ，c ＝k ，则由三角形的面积公式解得k ＝1，即可求得a 的值．解：（1）∵cosB =√33，∴可得sin B =√1−cos 2B =√63，∵sinC =√69，√69＜√63，即sin C ＜sin B ，C 为锐角，可得cos C =√1−cos 2C =5√39，∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =√63×5√39+√33×√69=2√23．（2）∵sin A =2√23，sin B =√63，sinC =√69，∴a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C =2√23：√63：√69=2√3：3：1，设a ＝2√3k ，b ＝3k ，c ＝k ，则由三角形的面积公式S =12bc sin A ＝2，可得12×3k ×k ×2√23=√2，解得k ＝1，∴a ＝2√3．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，点E，F分别为AD，BP的中点，AD＝3，AP＝3√2，PC=√19．（1）求证：EF∥平面PDC；（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．【分析】（1）取PC的中点为M，连结FM，DM，四边形EFMD是平行四边形，EF ∥DM，EF∥平面PDC．（2）由余弦定理求出CD＝2，以D为原点，在平面CDP内过D作DP的垂线为x轴，DP为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．解：（1）证明：取PC的中点为M，连结FM，DM，∵F，M分别为BP、PC的中点，∴FM∥BC，且FM=12BC，又四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC，且ED=12 BC，∴FM∥ED，且FM＝ED，∴四边形EFMD是平行四边形，∴EF∥DM，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴EF ∥平面PDC ．（2）解：∵AD ⊥平面PDC ，四边形ABCD 为平行四边形，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝3√2，PC =√19．∠CDP ＝120°，∴cos120°=CD 2+PD 2−PC 22×CD×PD =2√2)222×CD×√(3√2)2−3=−12，解得CD ＝2， 如图，以D 为原点，在平面CDP 内过D 作DP 的垂线为x 轴， DP 为y 轴，DA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，3），B （√3，﹣1，3），C （√3，﹣1，0），D （0，0，0），E （0，0，32），P （0，3，0），设平面CEP 的一个法向量m →=（x ，y ，z ），CP →=（−√3，4，0），EP →=（0，3，−32）， 则{CP →⋅m →=−√3x +4y =0EP →⋅m →=3y +(−32)z =0，取y ＝1，得m →=（√3，1，2）， 平面CDP 的一个法向量n →=（0，0，1）， 设二面角E ﹣CP ﹣D 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√1+4+163=2√9331． ∴二面角E ﹣CP ﹣D 的平面角的余弦值为2√9331．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题． 19．已知抛物线C ：y 2＝2px （0＜p ＜8）的焦点为F 点Q 是抛物线C 上的一点，且点Q 的纵坐标为4，点Q 到焦点的距离为5． （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 不经过Q 点且与抛物线交于A ，B 两点，QA ，QB 的斜率分别为K 1，K 2，若K 1K 2＝﹣2，求证：直线AB 过定点，并求出此定点．【分析】（1）由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，设Q 的坐标，由题意可得p 的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AQ ，QB 的斜率之积，由题意可得参数之间的关系，进而求出直线AB 恒过的定点，注意直线不过Q ，所以求出符合题意的定点的坐标．解：（1）由题意Q （8p ，4），直线方程为x =−p2，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，由题意可得|8p+p2|＝5，解得p ＝2或8，由题意可得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；（2）由题意设直线l 的方程为：x ＝my +b ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立直线l 与抛物线的方程可得{x =my +by 2=4x，整理可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则{△=16m 2+16b ＞0y 1+y 2=4m y 1y 2=−4b ，①由（1）可得Q （4，4）可得K 1•K 2=y 1−4x 1−4⋅y 2−4x 2−4=−2， 即（y 1﹣4）（y 2﹣4）＝﹣2（x 1﹣4）（x 2﹣4）， 即（y 1﹣4）（y 2﹣4）＝﹣2（my 1+b ﹣4）（my 2+b ﹣4），整理可得（1+2m 2）y 1y 2+（2mb ﹣8m ﹣4）（y 1+y 2）+2b 2﹣16b +48＝0， 将①代入可得：b 2﹣10b +24＝16m 2+8m ，即（b ﹣5）2＝（1+4m ）2， 所以b ﹣5＝1+4m ，或b ﹣5＝﹣1﹣4m ， 即b ＝6+2m ，或b ＝4﹣4m ，所以直线l 的方程为：x ＝my +6+2m ，即x ﹣6＝m （y +2）恒过（6，﹣2）， 或者x ＝my ＝4﹣4m 即x ﹣4＝m （y ﹣4）恒过（4，4）， 而由题意可得直线l 不过Q （4，4）， 可证得直线AB 恒过定点（6，﹣4）．【点评】本题考查抛物线的性质，直线恒过定点的求法，属于中档题．20．某生物公司将A 型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒未注射 10 x 注射 40 y 总计5050现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为12．（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2≥k 0）0.10 0.010 k 02.7066.635【分析】（1）先根据题意补充完整2×2列联表，然后由K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 解：（1）由条件知，x ＝40，y ＝10，A ＝50，B ＝50， ∴K 2=100×(10×10−40×40)250×50×50×50=36＞10.828，故有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效． （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 403C 100C 503=247490，P （ξ＝1）=C 402C 101C503=195490，P（ξ＝2）=C401C102C503=45490，P（ξ＝3）=C400C103C503=3490．∴ξ的分布列为ξ0123P247490195490454903490∴数学期望E（ξ）=0×247490+1×195490+2×45490+3×3490=35．【点评】本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．21．已知函数f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣mx，m∈一、选择题．（1）当m＝3时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）若x＞0时，f（x）＞0恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入函数解析式，求导函数，再求出f′（0）与f（0）的值，利用直线方程的点斜式得答案；（2）由f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即ln（x+1）−mxx+2＞0．设g（x）＝ln（x+1）−mxx+2，可得g′（x）=x2+(4−2m)x+4−2m(x+2)2(x+1)令x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝0，可得△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2），分0≤m≤2，m＜0，m＞2三类分析求解满足题意的m的取值范围．解：（1）当m＝3时，f（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣3x，f′（x）＝ln（x+1）+x+2x+1−3．则f′（0）＝﹣1，又f（0）＝0，∴曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为x+y＝0；（2）由f（x）＞0，得（x+2）ln（x+1）﹣mx＞0，即ln（x+1）−mxx+2＞0．设g（x）＝ln（x+1）−mxx+2，则g′（x）=1x+1−m(x+2)−mx(x+2)2=x2+(4−2m)x+4−2m(x+2)2(x+1)．令x2+（4﹣2m）x+4﹣2m＝0，△＝（4﹣2m）2﹣4（4﹣2m）＝4m（m﹣2）．①若△≤0，即0≤m≤2，g′（x）＞0，当x＞0时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，满足题意；②若m＜0，g′（x）＞0，当x＞0时，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0恒成立，满足题意；③若m＞2，当x＞0时，由g′（x）＝0，解得x1=m−2−√m2−2m＜0，x2=m−2+√m2−2m＞0．y＝g（x）在（0，x2）上单调递减，则g（x2）＜g（0）＝0，不满足题意．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=−2√3+4cosθy=2+4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为{x=−2√3+m y=√3m（m为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若P(−2√3，0)，求1|PM|+1|PN|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =−2√3+4cosθy =2+4sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为(x +2√3)2+(y −2)2=16，整理得x 2+y 2+4√3x −4y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθρ2=x 2+y 2，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ−4√3cosθ．（2）直线l 的参数方程为{x =−2√3+my =√3m转换为直线的标准参数式为{x =−2√3+12ty =√32t（t 为参数）代入圆的直角坐标方程为t 2−2√3t −12=0， 所以t 1+t 2=2√3，t 1t 2＝﹣12， 所以1|PM|+1|PN|=1t 12+1t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2(t 1t 2)=12+2412=14．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +2|． （1）求不等式f （x ）＞0的解集；（2）若关于x 的不等式|2m +1|≥f （x +3）+3|x +5|有解，求实数m 的取值范围． 【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数，然后求解不等式的解集．（2）利用绝对值的几何意义，求出f （x +3）+3|x +5|的最小值然后求解不等式的解集． 解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +2|．可得f(x)={x −3，x ≥12−3x −1，−2＜x ＜12−x +3，x ≤−2，当x﹣3＞0时，得x＞3；当﹣3x﹣1＞0时，得−2＜x＜−13；当﹣x+3＞0时，得x≤﹣2，综上可得不等式f（x）＞0的解集为(−∞，−13)∪(3，+∞)．（2）依题意|2m+1|≥（f（x+3）+3|x+5|）min，令g（x）＝f（x+3）+3|x+5|＝|2x+5|+|2x+10|≥|﹣2x﹣5+2x+10|＝5．∴|2m+1|≥5，解得m≥2或m≤﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解集，分段函数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
安徽省宣城市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
安徽省宣城市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．6π 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像，函数对称轴方程为82k x ππ=-+，由图可得1x 与2x 关于38x π=对称，即得解. 【详解】函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像如图，对称轴方程为32()42x k k Z πππ+=+∈， ()82k x k Z ππ∴=-+∈， 又330,48x x ππ<<∴=Q ， 由图可得1x 与2x 关于38x π=对称， 1233284x x ππ∴+=⨯=本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 2．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 3．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-．其单调性及极值情况如下：x2,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2a - 2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x ' +_0 +()f xZ 极大值]极小值Z若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D.该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.4．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A 3B ．66C ．34D ．36【答案】B 【解析】 【分析】设1AA c =u u u v v ，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v，根据向量线性运算法则可表示出1AB u u u v 和1BC u u u u v ；分别求解出11AB BC ⋅u u u v u u u u v 和1AB u u u v ，1BC u u u u v ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>u u u v u u u u v，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =u u u v v，AB a =u u u v v ，AC b =u u u v v由题意得：12a b ⋅=v v ，12b c ⋅=v v ，12a c ⋅=v v1AB a c =+u u u v v v Q ，11BC BC BB b a c =+=-+u u u u v u u u v u u u v v v v()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++=u u u v u u u u v v v v v v v v v v v v v v v v又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+=u u u v v v v v v v()222212222BC b a cb ac a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=u u u u vv v v v v v v v v v v v1111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅u u u v u u u u vu u u v u u u u v u u u v u u u u v即异面直线1AB 与1BC 6本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的5．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.6．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫---⎪+⎝⎭【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 7．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．99【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.8．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）A ．13B ．2 C 22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出12OB AF =，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】设抛物线2:4C y x =的准线为:1l x =-，直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，， 如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则12OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为12， ∴点B 的坐标为1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，把1,22B ⎛⎫⎪⎝⎭代入直线()()10y k x k =+>， 解得223k =， 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题. 9．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =【答案】D 【解析】 【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.10．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易. 11．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式化简函数为cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要想在括号内构造2π变为正弦函数，至少需要向左平移4π个单位长度，即为答案.【详解】由题可知，22cos 1cos 2cos 28284x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对其向左平移4π个单位长度后，cos cos sin 442y x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其图像关于坐标原点对称故m 的最小值为4π故选：B 【点睛】本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题.12．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】C 【解析】 【分析】由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=u u u r u u u r，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。