对解析几何专题复习的一点思考

对解析几何专题复习的一点思考高三数学复习的目的，一方面是回顾学习过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故”，更要“知新”，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力．一、把握解析几何的基本思想解析几何是数学中最基本的分支学科之一．回顾历史，解析几何的创立是数学史上伟大的创造之一，它是17世纪数学观和方法论出现重大变革的直接结果．笛卡儿、费尔马等数学家，将代数和几何中的一切好的东西，取长补短，融合为一门新的数学，即把代数方法应用于几何，从而创立了解析几何．恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微积分也就成为必要的了”．解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，要用代数方法研究几何图形，首先需要把图形问题转化成代数形式，然后才能用代数方法进行计算，在获得代数结果以后，又需要把代数结果转化为几何结论．一个解析几何问题的解决是通过“几何图形代数化与代数结果几何化”和代数计算来实现的，“几何图形代数化与代数结果几何化”是解析几何的基本思想．2004年的上海市秋季高考数学试卷的一道填空题就直接要求学生写出解析几何的思想本质是什么，这道题目引起一些争议，但命题的意图是好的，指导思想是正确的，在解析几何的复习过程中要强化这种思想．通过具体例子可以说明用代数的方法解决几何问题的优越性，以及用几何的方法解决代数问题的优越性．二、构建解析几何知识的体系解析几何复习时，需要理顺解析几何的知识体系：（1）首先要明确几何中的点与代数中的坐标的对应关系，进而要理解曲线与方程的概念．图形问题代数化是解析几何的核心，它是通过用坐标表示点和用方程表示曲线的观念来实现的．曲线与方程概念的提出在代数与几何之间架起了一座桥梁，使两种数学形式根据需要可以“互化”，然后可以通过对方程的研究来研究曲线的性质，这是解析几何的理论基础．利用这个思想方法去理解概念、公式所反映的数学本质，如两点距离、点到直线的距离、直线的平行与垂直、两条直线的夹角、图形的对称性和曲线交点等都是解析几何中要研究的基本问题，深刻体会教材中是如何用代数形式来解决这些重要几何概念以及位置关系的，那么遇见这些几何表述时就能熟练转化为代数形式来处理．（2）通过对直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等具体曲线的研究，不仅要理解和掌握它们的一些基本性质和结论，更重要的是体会解析几何研究曲线性质的具体方法和思想．（3）了解坐标系的平移、旋转，曲线的参数方程，极坐标系等等知识，体会解析几何解决问题的方法不是单一的，而是多种多样的．例题1 类似于在平面上建立直角坐标系，我们在平面上建立一个斜角坐标系，使得y 轴与x 轴的夹角为60︒．设P 为平面上任意一点，过P 分别作y 轴、x 轴的平行线，分别交x 轴、y 轴于12P P 、点，则12P P 、点分别在x 轴、y 轴上的坐标x y 、称为点P 在斜角坐标系xOy 中的坐标，记为(,)x y ．在坐标平面内，方向与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量分别记为i 和j ．（1）若11(,)A x y 及22(,)B x y ，用1122,,x y x y 、表示A B 、两点的距离AB ；（2）设(1,2)M -，O 为坐标原点，求过点M 且与OM 垂直的直线l 的方程，由此猜测直线l 的一个方向向量并证明你的结论； （3）设抛物线C 是以原点O 为焦点，且以直线1y =为准线，试确定直线10x y -+=与抛物线C 的交点个数．三、掌握研究解析几何问题的基本方法近几年解析几何的考题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法．课堂教学中选择例题要突出题目的普遍性，解题方法要具有代表性，即通性通法．（1）加强解析几何基本知识、基本方法的训练，如熟悉圆锥曲线有关概念的直接应用，求轨迹方程的各种基本方法，讨论直线与曲线的交点或位置关系，与圆锥曲线有关的取值范围等问题，能通过建立函数关系，转化为求函数的值域、最值等等．例题2 如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点. 点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．这个考题具有一定的代表性，熟悉椭圆的焦点等概念，两条直线的垂直关系，点到直线的距离，定点到曲线上的动点的距离的最值等基本要求．（2）解析几何中有许多解题技巧和各种各样的结论，如果死记硬背一些解题技巧或结论，这对分析问题、解决问题能力的培养是很不利的，处理不当只会增加学生的心理负担，使其畏惧数学，从而厌倦数学，不能达到教学效果，学生也没有收获．一方面对这些技巧和结论可以少讲，选择例题的时候目标很明确，使利用基本方法来解比利用技巧来解更有效；另一方面可以对这些技巧或方法进行分析研究，指出它们的利弊．例题3 已知曲线16422=+y x 上有两点P 和Q ，O 为坐标原点，又OP 、OQ 的斜率之积为41，问22OP OQ +是否为定值？ 例题4 问题：“已知曲线1C ：022=++x xy 与曲线2C ：0=++-a y xy x 有两个公共点，求经过这两个公共点的直线方程．”的解法如下：解：曲线1C 方程与曲线2C 方程相加得023=+++a y x ，这就是所求的直线方程． 理由：（1）两个方程相加后得到的方程表示直线；（2）公共点的坐标满足曲线1C方程与曲线2C 方程，则它就满足相加后得到的方程；（3）两点确定一条直线． 利用上述方法解下列问题：若曲线1222=+y x 与曲线3b ax y +=2有且只有3个公共点，且它们不共线，则 经过这3个公共点的圆的方程是 ．四、关注研究性学习，培养探索精神和创新实践能力由于解析几何知识内容丰富，与其它数学知识关系密切，所以值得研究的数学素材很多，复习时可以注意复习方式的改善．（1）可以采用专题研究学习的形式，教师设计一些专题，让学生去做研究和整理．如让学生去整理总结过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点时，会有哪些有意义的结论；如举例说明求动点的轨迹方程的方法；如探究求直线被曲线截得的线段的中点的轨迹的各种方法，又如可以研究与圆锥曲线有关的定值、定点问题等等，这种学习方法使学生不知不觉就翻阅了许多资料，理解问题的能力得到锻炼．（2）研究性课程已经作为新课程，另外近年来高考中增加了探索性、研究性等能力型试题，其本质是突出对探究精神，创造能力与综合素质的考查，教师精心设计问题进行研究性学习，激发学生兴趣，启发学生思维，引导学生主动参与到数学研究过程中，鼓励学生自主学习，提出问题，合作探究，培养创新意识和实践能力，在此过程中获取对知识和情感的亲身体验．例题5 （2003春季第21题）已知椭圆具有性质：若N M 、是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PN PM 、的斜率都存在，并记为PM k 、PN k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值. 试对双曲线12222=-b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明． 学生解决这个问题不难，用的方法也是很基本的，关键是通过这个问题，怎样让学生提出新的问题进行研究，进而不断有新的发现和新的创造，从而使学生对数学入迷．解决这个问题的过程中，学生先后提出了下面几个问题： 问题1：怎么会想到有这样的结论？ 问题2：抛物线有类似的结论吗？ 问题3：怎么会有这样的结论？ 问题4：关于二次曲线定义的讨论？ 问题1的解决不困难，圆有直径所对的圆周角等于90︒，但椭圆中显然没有这个结论，可是把圆周角等于90︒改为两直角边所在直线的斜率乘积等于1-时，就有题目的大胆猜想了．问题2，由于圆、椭圆、双曲线都是有对称中心的曲线，而抛物线没有，所以抛物线似乎没有这方面的结论．问题3本身就是一个挺怪的问题，这个问题是学生在课堂上提出的，其他学生对此问题的反映是：还有这样的问题，这就更加引起我的注意，后来我是通过设计下面的问题来解决的．例题 6 若对一个直角坐标平面上的点(,)x y 作变换,12'=⎧⎪⎨'=⎪⎩x x y y ，可以将圆222:+=C x y r 变为椭圆:E 2224''+=x y r ．设圆C 的两条互相垂直的直径AB 和CD ，且AB 的斜率为()0k k ≠，则在上述变换下，AB 和CD 变换为过椭圆中心的弦''A B 和''C D ．求弦''A B 和''C D 所在的直线方程．这道题目本身值得研究的东西很多，如研究这种变换的各种性质，这里发现通过变换之后，圆变成椭圆，圆中的弦AB 的斜率由()0k k ≠变成2k ，所以，在圆中的两条互相垂直的弦的斜率乘积等于1-时，变换到椭圆的两条弦时，它们的斜率的乘积还是定值，只是这个定值与变换有关，提出问题的学生对这样的解释是能够接受的．顺便的，我在此基础上提出下面新的问题，让学生去探究这种变换的新的价值，如这种变换可以很好的解释椭圆中的平行弦的中点是过椭圆中心的一条弦，又如设计下面的问题来研究椭圆面积的计算：例题7 已知点()1,0A ，点()4,0B ，动点P 到点B 的距离等于到点A 的距离的两倍．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过动点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 的中点，求动点M 的轨迹方程；（3）关于平面图形的面积有下面的定理（平面中的祖暅原理）：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，用平行于这两条直线的任意直线截这两个图形，如果这条直线被这两个图形截得的线段长相等，那么这两个图形的面积相等．利用这个定理求椭圆221312x y +=的面积，并说明你的推理过程． 学生对能用这样的方法来求椭圆的面积感到很惊讶！又会纷纷提出类似于“如何求二次曲线与直线围成的区域的面积的计算方法”等等问题，如果需要的话，下面这又是一个好问题：例题8 已知抛物线22y px =的一条弦AB 为1122(,),(,)A x y B x y ，过AB 的中点作x 于C ．（1）求证：31216ABC y y S p ∆-=； （2）分别过AC 、BC 的中点作x 轴的平行线交抛物线于D 、E ，试求ACD ∆和BCE ∆面积之和与ABC ∆（3）再对AD 、CD 、CE 、BE 继续下去，若将抛物线被AB 截得的封闭图像的面积定义为所做出的三角形面积 之和的极限，求这个面积．关于问题4，是一个学生在课后对我提出的问题，他说，解析几何教材中圆、椭圆、双曲线（它们的定义算相同）、抛物线的几何定义都是各不相同的，能否将它们统一起来，我反问，那么你对这个问题思考到什么程度？为什么突然会问这个问题？他说，课本中是给出了一种统一的定义，但是没有把圆包括进来，今天又想到一种统一定义，即与两个定点的两条连线的斜率乘积为定值的动点轨迹，但是它又不能包括抛物线，这时候我想起阿波罗圆，圆可以看成到两个定点的距离比值为定值的动点轨迹，椭圆、双曲线也类似勉强可以，但是抛物线可以吗？到底怎样才能将它们的定义统一起来呢？这都是可以激励学生进一步思考研究的．。