基本事实与定理
基本事实与定理高一知识点
基本事实与定理高一知识点基本事实与定理：高一知识点在高中数学的学习中，我们经常接触到各种基本事实与定理，它们是我们学习数学的基石。
掌握了这些基本事实与定理，我们就能更好地理解数学知识的本质，提高解题能力。
本文将介绍几个高一阶段的基本事实与定理。
一、角的概念及基本性质角是数学中一个基本的概念，它是由两条射线（或称为半直线）共享一个公共端点形成的。
根据角的大小，可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的角度小于90°，直角的角度等于90°，钝角的角度大于90°，而平角的角度等于180°。
在角的基本性质中，我们常用到的有垂直角、对顶角和余角等。
垂直角是两条相交直线之间的角，它们的角度相等。
对顶角是两条平行直线被一条横切线所切割而形成的内角，它们的角度相等。
余角是与给定角相加等于90°的角，即互为余角的两个角的和等于90°。
二、三角形与相似三角形三角形是由三条线段（也称为边）所围成的一个封闭平面图形。
根据三条边的长短关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，而普通三角形的三条边长度都不相等。
相似三角形是指具有相似形状的三角形。
相似三角形有一个重要的性质：对应角相等。
也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
利用相似三角形的性质，我们可以解决很多实际问题，例如测量高楼的高度、测量无法直接到达的距离等。
三、平行线与比例定理在平面几何中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
在平行线的研究中，我们常用到两条平行线之间的夹角、平行线与横切线之间的关系等。
平行线的比例定理是指当有两组平行线与一条横切线相交时，各对应线段之间的比例相等。
我们可以利用这个定理求解各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算图形的面积等。
四、勾股定理及其应用勾股定理是三角形中一个经典的定理，它描述了一个直角三角形的边的关系。
立体的四个基本事实
立体的四个基本事实四大公理『公理1』如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
『公理2』过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
换言之：不共线的三点决定一个平面。
『公理3』如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
『公理4』空间平行线的传递性：平行于同一直线的两直线相互平行。
线面垂直「定义」如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作 .「判定」如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.「性质」垂直于同—个平面的两条直线平行。
线面平行「定义」如果一条直线与某个平面没有公共点，则这条直线与该平面平行。
「判定」如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。
「性质」一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
面面平行「定义」如果两个平面没有公共点，则我们说这两个平面平行。
「判定」如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
「性质」如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
面面垂直「定义」两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
「判定」如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
「性质」两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
三垂线定理及逆定理「定理1」在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。
「定理2」在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线的射影也垂直。
基本事实与定理概述课件
定理的证明方法
01
02
03
直接证明法
通过逻辑推理，直接证明 定理的正确性。
反证法
假设定理不成立，通过推 理导出矛盾，从而证明定 理的正确性。
归纳法
通过对一系列具体事例进 行观察和总结，归纳出一 般性的结论，进而证明定 理的正确性。
定理的应用场景
数学领域：定理在数学领域中有着广 泛的应用，如代数、几何、概率统计 等领域。
定理在经济学中用于证明市场均衡、最大化利益等经济理论和模型。
定理的拓展与深化研究
定理的推广
对原有定理进行推广，使其能够解决更广泛的问题。
定理的证明方法研究
研究定理的证明方法，深入理解定理的证明思路和技巧。
定理的应用研究
研究定理在不同领域的应用，拓展定理的应用范围和价值。
PART 05
习题与解答
习题一：基本事实的辨析与运用
正确性。
归纳法
通过对个别情况进行分析和归 纳，得出一般性的结论。
构造法
通过构造一个实例或反例来证 明某个命题的正确性。
放缩法
通过放大或缩小数量级，将复 杂问题转化为简单问题，便于
推导和证明。
定理证明中的常见错误
逻辑错误
在推导过程中出现逻辑错误，导致结论不正 确。
定义和性质理解不准确
对定义和性质理解不准确，导致推导过程中 出现偏差。
总结词
理解与辨析
详细描述
本题主要考察学生对基本事实的掌握程度，要求学生对基本事实进行 理解和辨析，能够正确运用基本事实进行推理和证明。
总结词
运用与推理
详细描述
本题要求学生运用基本事实进行推理，通过已知的事实推出未知的事 实，培养学生的逻辑推理能力。
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计一. 教材分析《基本事实与定理》是鲁教版数学七年级下册第八章第三节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方差定理和完全平方定理。
这些定理是初中数学的基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。
本节课的教学内容不仅要求学生掌握定理本身，还要学会如何运用这些定理解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些简单的数学概念和运算方法已经熟悉。
但是，对于较复杂的数学定理，学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，帮助学生深入理解定理的含义和应用。
三. 教学目标1.了解勾股定理、平方差定理和完全平方定理的基本概念。
2.学会运用这些定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明和应用。
2.平方差定理和完全平方定理的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
同时，结合实例讲解，让学生直观地理解定理的应用，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用定理解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学定理解决问题。
例如，一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3cm和4cm，如何求斜边的长度？2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的概念和证明方法。
通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的含义。
同时，给出一些勾股定理的应用实例，让学生学会如何运用定理解决实际问题。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对勾股定理的理解和运用。
教师及时批改学生的答案，给予反馈。
八年级上册数学公式,基本事实,定理
八年级上册数学公式、基本事实及定理近年来，数学作为一门重要的学科，在中小学的教学中占据了越来越重要的地位。
在八年级上册数学学习中，数学公式、基本事实以及定理更是成为了学生们必须掌握的重要知识点。
本文将系统地介绍八年级上册数学中的一些重要公式、基本事实以及定理，希望对广大学生们的学习有所帮助。
一、常见数学公式1.1 圆的面积公式圆的面积公式为：$S = \pi r^2$, 其中$r$为半径。
1.2 圆的周长公式圆的周长公式为：$C = 2\pi r$, 其中$r$为半径。
1.3 直角三角形斜边公式直角三角形斜边公式为：$c^2 = a^2 + b^2$, 其中$a$、$b$分别为直角三角形的两条直角边，$c$为斜边。
1.4 二次函数顶点坐标公式二次函数$y = ax^2 + bx + c$的顶点坐标公式为：$(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})$，其中$\Delta = b^2 - 4ac$。
1.5 等差数列前n项和公式等差数列前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$为前n项和，$a_1$为首项，$a_n$为第n项。
二、基本事实2.1 直角三角形的性质直角三角形的性质包括：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2.2 圆的性质圆的性质包括：圆的直径是圆的最长直径，圆心到圆上任意一点的距离都相等。
2.3 二次函数的性质二次函数的性质包括：二次函数的抛物线开口方向由二次项系数$a$的正负决定，当$a>0$时抛物线开口向上，当$a<0$时抛物线开口向下。
2.4 函数的奇偶性函数的奇偶性包括：$f(-x) = f(x)$时为偶函数，$f(-x) = -f(x)$时为奇函数。
2.5 三角函数的基本关系三角函数的基本关系包括：$\sin^2x + \cos^2x = 1$，$1 +\tan^2x = \sec^2x$，$1 + \cot^2x = \csc^2x$等。
基本事实与定理课件
05
CATALOGUE
定理的发展历程
古代定理的发现
1 2 3
勾股定理
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中证明了 勾股定理，而在中国，商高早在西周时期就发现 了勾股定理的特例。
毕达哥拉斯定理
古希腊数学家毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发 现了这一定理，并证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方和。
示例
在统计学中，归纳法常常被用来总结数据分布规 律和趋势，通过观察和计算得出结论。
04
CATALOGUE
定理的应用场景
数学教育
定理在数学教育中扮演着重要的角色，是数学知识的核心内 容之一。通过学习定理，学生可以深入理解数学概念和原理 ，提高数学思维能力。
在数学教育中，定理的应用场景包括课堂教学、习题练习和 考试等。教师可以通过讲解定理、推导证明和引导学生应用 定理来帮助学生掌握数学知识。
02
CATALOGUE
定理的分类
代数定理
01
02
03
代数定理定义
代数定理是数学中关于代 数对象的性质和关系的定 理，通常涉及代数运算、 代数式、方程等。
代数定理举例
例如，代数基本定理、韦 达定理、二次方程求根公 式等。
代数定理的应用
代数定理在数学的其他分 支和实际应用中都有广泛 的应用，如解方程、不等 式、函数性质等。
科学研究
在科学研究中，定理常常被用来建立理论模型、推导公式和解决问题。例如，在 物理学中，牛顿三定律、能量守究中的定理应用场景还包括实验设计、数据分析和结论推导等。通过应用 定理，科学家可以得出更准确的结论和预测，推动科学研究的进步。
工程实践
定理的证明
证明方法
基本事实的证明通常采用逻辑推理、 反证法、归纳法等数学方法。
3 基本事实与定理
推的理
,最后证实结论(求证)的过程.
知识点一 公理与定理 【例1】 指出下列真命题哪些是公理,哪些是定理. (1)两点确定一条直线; (2)同角的余角相等; (3)两直线平行,同位角相等;
解:根据公理和定理的概念,结合规定的八条基本事实,可知(1)是公理,(2) (3)是 定理.
公理是不需要进行推理证明的真命题,可以作为判断其他命题真假 的依据;定理都是真命题,但其正确性是需要经过推理证实的,而后又把它作为 判定其他命题真假的依据.
为推理的依据.例如,“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”,简称 “ 等量代换 ”.
2.证明一个命题的正确性,要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出.
其中“已知”是命题的 条件 ,“求证”是命题的结论 ,而“证明”则是由条
件(已知)出发,根据已给出的定义、基本事实和已经证明的定理,经过一步一步
3.(2018淄博)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一
场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()1 (D)0
4.证明真命题“对顶角相等”的依据是 同角的补角相等
.
5.下列说法错误的是( C ) (A)定理是真命题 (B)公理一定不是假命题 (C)公理与定理没有区别 (D)定义、定理、公理、公式等都是进行推理的依 据 6.下列真命题中,是公理的是( D ) (A)互余的两个角都是锐角 (B)两直线平行,同位角相等 (C)三边都相等的三角形是等边三角形 (D)三边分别相等的两个三角形全等
知识点二 真命题的证明 【例2】 求证:垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,a⊥c,b⊥c,求证:a∥b.
证明:因为a⊥c,b⊥c(已知), 所以∠1=90°,∠2=90°(垂直的定义), 所以∠1=∠2(等量代换). 所以a∥b(同位角相等,两直线平行). 即垂直于同一条直线的两条直线平行.
鲁教版数学七年级下册8.3基本事实与定理优秀教学案例
在总结归纳环节，我将完成以下任务：
1.学生总结：让学生回顾本节课所学的内容，分享自己的收获和感悟。
2.教师点评：针对学生的总结，给予积极评价，强调重点，指出不足。
3.知识梳理：对本节课所学的基本事实与定理进行梳理，形成系统的知识结构。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将采取以下措施：
1.布置作业：根据学生的学习情况，分层布置作业，让学生在课后巩固所学知识。
1.将学生分成若干小组，确保每组学生的能力均衡，以便于开展合作学习。
2.设计具有合作性的学习任务，引导学生在讨论、交流中共同解决问题，提高学生的合作能力。
3.教师在小组合作过程中进行巡回指导，关注学生的个体差异，给予及时反馈和鼓励。
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，有助于学生总结经验，提高自我认知：
4.设计不同难度的练习题，使学生在分层训练中提高解题能力，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学的情感，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心。
2.倡导严谨、务实的学术态度，培养学生追求真理的精神。
3.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，认识数学的价值，增强学生的责任感。
4.培养学生克服困难的勇气，树立正确的价值观，使学生形成积极向上的人生态度。
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结自己在学习基本事实与定理过程中的收获和不足，形成个性化的学习策略。
2.组织课堂交流，让学生分享自己的学习心得和经验，互相借鉴，共同提高。
3.教师对学生的学习过程和成果进行全面、客观的评价，注重评价的激励作用，提高学生的自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将采取以下步骤：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013-2014学年度第二学期数学导学案 主备： 审核人 签审人： 使用时间：
中学 编号：NSZX13-14-B 班级： 学生姓名：
导
学
案
装
订
线
8.3 基本事实与定理
【学习目标】
1.掌握九条基本事实作为证明的出发点和依据.
2.会用这九条证明其他定理 【教学重、难点】
1.掌握九条公理
2.学会书写证明过程
【导学流程】
一、自主预习（明白什么是公理、定理。
，用时15分钟）————宋体五号加粗
1.创设教学情境
（1）同学们举出我们学过的一些真命题的例子. 2.出示学习目标
（1）.掌握九条基本事实作为证明的出发点和依据. （2）.会用这九条证明其他定理 3.学生自主学习，完成预习题 自主学习41---43，预习例题 4.组内交流质疑
归纳：一、定理的概念
一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理. 问题：
你能再举出一些基本事实或定理的例子吗？
命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题吗？如果是，说明理由，如果不是，请举出反例 证明的概念
一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 二、展示交流（用时15分钟） 5.小组汇报交流
1、两点确定一条直线。
2、两点之间，线段最短。
3、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
5、同位角相等，两直线平行。
6、如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（SSS ）.
7、如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（SAS ）
8、如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(ASA).
9、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
6.教师精讲点拨
例1在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． 1）命题是真命题还是假命题？
2）你能将命题所叙述的内容 用图形语言来表达吗？
命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． （3）这个命题的题设和结论分别是什么呢？
题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条； 结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条．
命题 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. （4）你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？ 已知：b ∥c ， a ⊥b 求证：a ⊥c ．
三、反馈拓展（用时15分钟）
请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢？ 已知：b ∥c ，a ⊥b ．
求证：a ⊥c ．
注：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 7.课堂巩固训练
1.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图3，∠A +∠B =180º， 求证∠C +∠D =180º.
证明：∵∠A +∠B =180º（已知），
∴AD ∥BC （ ）. 又∵ AD ∥BC （ ）. ∴∠C +∠D =180º（ ）.
8.教学小结提升 填空 已知：如图1，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：EG ∥FH ． 证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF =∠1 （ ）； ∴∠AEF =∠2 （ ）． ∴AB ∥CD （ ）．
∴∠BEF =∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）；
∴∠BEF －∠4=∠CFE －∠3．
即∠GEF =∠HFE （ ）．
∴EG ∥FH （ ）．
9.课堂达标检测
在下面括号内，填上推理的根据.
已知：如图6，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，且∠1=∠2. 求证：BE ∥CF.
证明：
∵AB ⊥BC ，BC ⊥CD （已知），
∴ = =90°（ ）.
∵∠1=∠2（已知），
∴ = （等式性质）.
∴BE ∥CF （ ）.
9.课堂达标检测
如图,已知直线a 、b 被直线c 所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据: (1)∵a ∥b,∴∠1=∠3(_________________); (2)∵∠1=∠3,∴a ∥b(_________________);
(3)∵a ∥b,∴∠1=∠2(__________________);
(4) ∵a ∥b,∴∠1+∠4=180º (_____________________) (5)∵∠1=∠2,∴a ∥b(__________________); (6)∵∠1+∠4=180º,∴a ∥b(_______________).
D
C
B
A
a b
1
2 3 c 4。