基本事实与定理
基本事实与定理高一知识点
基本事实与定理高一知识点基本事实与定理：高一知识点在高中数学的学习中，我们经常接触到各种基本事实与定理，它们是我们学习数学的基石。
掌握了这些基本事实与定理，我们就能更好地理解数学知识的本质，提高解题能力。
本文将介绍几个高一阶段的基本事实与定理。
一、角的概念及基本性质角是数学中一个基本的概念，它是由两条射线（或称为半直线）共享一个公共端点形成的。
根据角的大小，可以分为锐角、直角、钝角和平角。
锐角的角度小于90°，直角的角度等于90°，钝角的角度大于90°，而平角的角度等于180°。
在角的基本性质中，我们常用到的有垂直角、对顶角和余角等。
垂直角是两条相交直线之间的角，它们的角度相等。
对顶角是两条平行直线被一条横切线所切割而形成的内角，它们的角度相等。
余角是与给定角相加等于90°的角，即互为余角的两个角的和等于90°。
二、三角形与相似三角形三角形是由三条线段（也称为边）所围成的一个封闭平面图形。
根据三条边的长短关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等，而普通三角形的三条边长度都不相等。
相似三角形是指具有相似形状的三角形。
相似三角形有一个重要的性质：对应角相等。
也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
利用相似三角形的性质，我们可以解决很多实际问题，例如测量高楼的高度、测量无法直接到达的距离等。
三、平行线与比例定理在平面几何中，平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
在平行线的研究中，我们常用到两条平行线之间的夹角、平行线与横切线之间的关系等。
平行线的比例定理是指当有两组平行线与一条横切线相交时，各对应线段之间的比例相等。
我们可以利用这个定理求解各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算图形的面积等。
四、勾股定理及其应用勾股定理是三角形中一个经典的定理，它描述了一个直角三角形的边的关系。
立体的四个基本事实
立体的四个基本事实四大公理『公理1』如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
『公理2』过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
换言之：不共线的三点决定一个平面。
『公理3』如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
『公理4』空间平行线的传递性：平行于同一直线的两直线相互平行。
线面垂直「定义」如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作 .「判定」如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.「性质」垂直于同—个平面的两条直线平行。
线面平行「定义」如果一条直线与某个平面没有公共点，则这条直线与该平面平行。
「判定」如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行。
「性质」一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
面面平行「定义」如果两个平面没有公共点，则我们说这两个平面平行。
「判定」如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
「性质」如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。
面面垂直「定义」两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
「判定」如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
「性质」两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
三垂线定理及逆定理「定理1」在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。
「定理2」在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线的射影也垂直。
基本事实与定理概述课件
定理的证明方法
01
02
03
直接证明法
通过逻辑推理，直接证明 定理的正确性。
反证法
假设定理不成立，通过推 理导出矛盾，从而证明定 理的正确性。
归纳法
通过对一系列具体事例进 行观察和总结，归纳出一 般性的结论，进而证明定 理的正确性。
定理的应用场景
数学领域：定理在数学领域中有着广 泛的应用，如代数、几何、概率统计 等领域。
定理在经济学中用于证明市场均衡、最大化利益等经济理论和模型。
定理的拓展与深化研究
定理的推广
对原有定理进行推广，使其能够解决更广泛的问题。
定理的证明方法研究
研究定理的证明方法，深入理解定理的证明思路和技巧。
定理的应用研究
研究定理在不同领域的应用，拓展定理的应用范围和价值。
PART 05
习题与解答
习题一：基本事实的辨析与运用
正确性。
归纳法
通过对个别情况进行分析和归 纳，得出一般性的结论。
构造法
通过构造一个实例或反例来证 明某个命题的正确性。
放缩法
通过放大或缩小数量级，将复 杂问题转化为简单问题，便于
推导和证明。
定理证明中的常见错误
逻辑错误
在推导过程中出现逻辑错误，导致结论不正 确。
定义和性质理解不准确
对定义和性质理解不准确，导致推导过程中 出现偏差。
总结词
理解与辨析
详细描述
本题主要考察学生对基本事实的掌握程度，要求学生对基本事实进行 理解和辨析，能够正确运用基本事实进行推理和证明。
总结词
运用与推理
详细描述
本题要求学生运用基本事实进行推理，通过已知的事实推出未知的事 实，培养学生的逻辑推理能力。
基本事实与定理
十字道初中初二数学下册第八章新授备课授课内容基本事实与定理时间教学目标知识目标公理与定理的概念能力目标.能够用基本事实、定理证明一些命题情感目标通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.教学重、难点重难点：用公理和定理进行证明.教学方法引导发现法教学准备拼图用具、实物投影仪、课件教学过程回顾［师］每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.新授［师］一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：如何证实一个命题是真命题呢？［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.［生乙］这些方法往往并不可靠.［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？［生戊］哦……那可怎么办呢？……［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.［师］对，我们这套教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：［师］同学们来朗读一次.［师］好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以作为证明的依据.在等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结说明一个命题是假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.大家要会灵活运用本节课谈到的公理来证明一些题.Ⅴ.课后作业（一）课后习题（二）预习后面的内容。
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计
鲁教版数学七年级下册8.3《基本事实与定理》教学设计一. 教材分析《基本事实与定理》是鲁教版数学七年级下册第八章第三节的内容，主要介绍了几个重要的数学定理，包括勾股定理、平方差定理和完全平方定理。
这些定理是初中数学的基础，对于学生理解和掌握数学知识体系具有重要意义。
本节课的教学内容不仅要求学生掌握定理本身，还要学会如何运用这些定理解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些简单的数学概念和运算方法已经熟悉。
但是，对于较复杂的数学定理，学生可能还存在着理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，帮助学生深入理解定理的含义和应用。
三. 教学目标1.了解勾股定理、平方差定理和完全平方定理的基本概念。
2.学会运用这些定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明和应用。
2.平方差定理和完全平方定理的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
同时，结合实例讲解，让学生直观地理解定理的应用，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用定理解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何运用数学定理解决问题。
例如，一个直角三角形，两条直角边的长度分别是3cm和4cm，如何求斜边的长度？2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的概念和证明方法。
通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生直观地理解定理的含义。
同时，给出一些勾股定理的应用实例，让学生学会如何运用定理解决实际问题。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些关于勾股定理的实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生巩固对勾股定理的理解和运用。
教师及时批改学生的答案，给予反馈。
八年级上册数学公式,基本事实,定理
八年级上册数学公式、基本事实及定理近年来，数学作为一门重要的学科，在中小学的教学中占据了越来越重要的地位。
在八年级上册数学学习中，数学公式、基本事实以及定理更是成为了学生们必须掌握的重要知识点。
本文将系统地介绍八年级上册数学中的一些重要公式、基本事实以及定理，希望对广大学生们的学习有所帮助。
一、常见数学公式1.1 圆的面积公式圆的面积公式为：$S = \pi r^2$, 其中$r$为半径。
1.2 圆的周长公式圆的周长公式为：$C = 2\pi r$, 其中$r$为半径。
1.3 直角三角形斜边公式直角三角形斜边公式为：$c^2 = a^2 + b^2$, 其中$a$、$b$分别为直角三角形的两条直角边，$c$为斜边。
1.4 二次函数顶点坐标公式二次函数$y = ax^2 + bx + c$的顶点坐标公式为：$(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a})$，其中$\Delta = b^2 - 4ac$。
1.5 等差数列前n项和公式等差数列前n项和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$为前n项和，$a_1$为首项，$a_n$为第n项。
二、基本事实2.1 直角三角形的性质直角三角形的性质包括：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
2.2 圆的性质圆的性质包括：圆的直径是圆的最长直径，圆心到圆上任意一点的距离都相等。
2.3 二次函数的性质二次函数的性质包括：二次函数的抛物线开口方向由二次项系数$a$的正负决定，当$a>0$时抛物线开口向上，当$a<0$时抛物线开口向下。
2.4 函数的奇偶性函数的奇偶性包括：$f(-x) = f(x)$时为偶函数，$f(-x) = -f(x)$时为奇函数。
2.5 三角函数的基本关系三角函数的基本关系包括：$\sin^2x + \cos^2x = 1$，$1 +\tan^2x = \sec^2x$，$1 + \cot^2x = \csc^2x$等。
基本事实与定理课件
05
CATALOGUE
定理的发展历程
古代定理的发现
1 2 3
勾股定理
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中证明了 勾股定理，而在中国，商高早在西周时期就发现 了勾股定理的特例。
毕达哥拉斯定理
古希腊数学家毕达哥拉斯学派在公元前6世纪发 现了这一定理，并证明了直角三角形斜边的平方 等于两直角边的平方和。
示例
在统计学中，归纳法常常被用来总结数据分布规 律和趋势，通过观察和计算得出结论。
04
CATALOGUE
定理的应用场景
数学教育
定理在数学教育中扮演着重要的角色，是数学知识的核心内 容之一。通过学习定理，学生可以深入理解数学概念和原理 ，提高数学思维能力。
在数学教育中，定理的应用场景包括课堂教学、习题练习和 考试等。教师可以通过讲解定理、推导证明和引导学生应用 定理来帮助学生掌握数学知识。
02
CATALOGUE
定理的分类
代数定理
01
02
03
代数定理定义
代数定理是数学中关于代 数对象的性质和关系的定 理，通常涉及代数运算、 代数式、方程等。
代数定理举例
例如，代数基本定理、韦 达定理、二次方程求根公 式等。
代数定理的应用
代数定理在数学的其他分 支和实际应用中都有广泛 的应用，如解方程、不等 式、函数性质等。
科学研究
在科学研究中，定理常常被用来建立理论模型、推导公式和解决问题。例如，在 物理学中，牛顿三定律、能量守究中的定理应用场景还包括实验设计、数据分析和结论推导等。通过应用 定理，科学家可以得出更准确的结论和预测，推动科学研究的进步。
工程实践
定理的证明
证明方法
基本事实的证明通常采用逻辑推理、 反证法、归纳法等数学方法。
3 基本事实与定理
推的理
,最后证实结论(求证)的过程.
知识点一 公理与定理 【例1】 指出下列真命题哪些是公理,哪些是定理. (1)两点确定一条直线; (2)同角的余角相等; (3)两直线平行,同位角相等;
解:根据公理和定理的概念,结合规定的八条基本事实,可知(1)是公理,(2) (3)是 定理.
公理是不需要进行推理证明的真命题,可以作为判断其他命题真假 的依据;定理都是真命题,但其正确性是需要经过推理证实的,而后又把它作为 判定其他命题真假的依据.
为推理的依据.例如,“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”,简称 “ 等量代换 ”.
2.证明一个命题的正确性,要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出.
其中“已知”是命题的 条件 ,“求证”是命题的结论 ,而“证明”则是由条
件(已知)出发,根据已给出的定义、基本事实和已经证明的定理,经过一步一步
3.(2018淄博)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一
场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是()1 (D)0
4.证明真命题“对顶角相等”的依据是 同角的补角相等
.
5.下列说法错误的是( C ) (A)定理是真命题 (B)公理一定不是假命题 (C)公理与定理没有区别 (D)定义、定理、公理、公式等都是进行推理的依 据 6.下列真命题中,是公理的是( D ) (A)互余的两个角都是锐角 (B)两直线平行,同位角相等 (C)三边都相等的三角形是等边三角形 (D)三边分别相等的两个三角形全等
知识点二 真命题的证明 【例2】 求证:垂直于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,a⊥c,b⊥c,求证:a∥b.
证明:因为a⊥c,b⊥c(已知), 所以∠1=90°,∠2=90°(垂直的定义), 所以∠1=∠2(等量代换). 所以a∥b(同位角相等,两直线平行). 即垂直于同一条直线的两条直线平行.
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典例精讲 定理：同角（等角）的补角相等
写出已知、求证、证明
已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，
∠2+∠4=180 °，求证：∠3=∠4 证明：∵ ∠1+∠3=180° ， ∠2+∠4=180 （已知）° ∴ ∠3=180°- ∠ 1， ∠4=180°- ∠ 2 （等式的基本性质）
∵ ∠1=∠2， ∴ ∠3=∠4
举出几个定理
1、三角形内角和定理
2、同角的补角相等。
3、直角三角形的两个锐角互余。
你还能举出其他的定理吗？
思考？
定理与公理的区别是什么？
公理：是人们实践活动中总结出来的 定理：是通过证明得到的
基本事实、定理、命题的 关系：
命题
真命题 假命题
基本事实（正确性在实践中总结 的，我们称之为公理）
A D O C B
∵∠AOC是直角，
∴∠AOC =90 °， ∵ AOB是一条直线， ∴ ∠COB =180 ° ∠AOC=90 °， ∴ ∠COB 是直角。 同理可证： ∠BOD，∠DOA都是直角。
2、证明：对顶角相等
已知：如图，直线AB和CD相交于点O，∠1
和∠2是对顶角，求证 ∠1 =∠2
分析
如果A是错误的，说明B是第一名，D是最后一名，A与C一 个是第二名，一个是第三名，有可能。 如果B是错误的，就说明B得了最后一名，那就和D的说法相 矛盾，说明D的预测也是错的，与题意不符。 如果C是错误的，说明他不是第一名就是最后一名，要么与 A的说法相矛盾，要么与D的说法相矛盾，说明A或D的预测 也是错的，与题意不符。 如果D是错误的，说明D不是最后一名，结合ABC的说法， 他们也不是最后一名，不可能，与题意不符。
选做
已知：如图，∠BAD=∠EAC
求证：∠1=∠2
解答
证明：∵∠BAD=∠EAC（已知）
∴∠BAD-∠EAD=∠EAC-∠EAD（等 式的性质） ∴∠1=∠2
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数 学家欧几里得(Eyclid,公元前300前后)；找出下 列各个定义并举例．
1、原名: 某些数学名词称为原名. 2、公理: 公认的真命题称为公理. 3、证明: 除了公理外,其它真命题的正确性都通过 推理的方法证实.推理的过程称为证明. 4、定理: 经过证明的真命题称为定理. 经过证明的真 推理的过程 命题叫定理
A D O C B
证明： ∵ ∠1 和∠2是对顶角， ∴OA和 OB互为反向延长线， ∴ ∠AOB是平角， 同理 ∠COD也是平角。 ∴ ∠1 和∠2 都是 ∠AOC的补角， ∴ ∠1 =∠2
3、A,B,C,D,E五名学生猜测自己的数 学成绩， A说：“如果我得优，那么B也得优。” B说：“如果我得优，那么C也得优。” C说：“如果我得优，那么D也得优。” D说：“如果我得优，那么E也得优。” 大家都没有说错。如果A得优，那么 他们之中有几人得优？如果C得优， 那么他们这中至少有几个得优？
+ 原名、公理
一些条件
叫证明
推 理
证实其它命 题的正确性
温馨提示：证明所需的定义、公理和其它定理都 要编写在要证明的这个定理的前面
作业： 必做《配套练习册》8.3 1---4 选做《配套练习册》8.3 5
下课了!
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
由“因”导“果”,执“果”索“因
”是探索证明思路最基本的方法. 言必有据,因果对应.是初学证明者谨 记和遵循的原则.
随堂练习 1、你认为基本事实和定理有哪些相 同点和不同点？
相同点：1、它们都是真命题
2、它们都是做为证明的依据
不同点：1、公理的真实性是通过实践证实的，
而定理的真实性必须通过推理证明。
习题8.4
1、已知：如图，直线AB和CD相交于点O，且 ∠AOC是直角，求证：∠COB，∠BOD， ∠DOA都是直角。
定理（正确性通过推理证实）
证明及证明的一般步骤（难点）
什么是证明？
根据条件、定义以及基本事实(公理)、定理 等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正 确，这样的推理的过程叫做证明。
证明的一般步骤：
（1）根据题意，画图形； （2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、 求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据。
现在所学的基本事实（公理）：
1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条与已知 直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角 相等，那么这两直线平行 5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行。
现在所学的基本事实（公理）：
6、两边及其夹角分别相等的两个三 角形全等。 7、两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等。 8、三边分别相等的两个三角形全等。
如何证明一个命题是真命题呢？
用我们以前学过 的观察,实验,验 证特例等方法.
哦……那可
怎么办
这些方法 往往并不 可靠.
能不能根据已 经知道的真命 题证实呢?
那已经知道的 真命题又是如 何证实的?
知识结论
通过长期实践总结出来，并且被人们公认的
真命题叫做公理 通过推理得到证实的真命题叫做定理
鲁教版数学七年组下册
第八章平行线的有关证明
第三节 基本事实与定理 （一课时） 龙口市北皂学校数学组
自学指导
看课本，思考并回答以下问题： 1、基本事实、定理、的概念 2、会证明定理“同角或等角的补角相等”。 3、证明及证明的一般步骤。
知识探究
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得，将前 人积累下来的丰富的几何学成果整理在系统 的逻辑体系之中。他挑选了一部分数学名词 和一部分公认的真命题作为证实其他命题的 起始依据，定义出其他有关的概念，并运用 推理的方法，证实了数百个有关的命题，使 几何学成为一门具有公理化体系的科学。
答案：如果A得优，那么五 人都得优，如果C得优，那 么至少三人得优
变式引申
4人进行游泳比赛，赛前4名选手A，B，C，
D分别对自己进行预测。A说：“我肯定得第 一名。”B说：“我绝对不会得最后一 名。”C说：“我不可能得第一名，也不会 得最后一名。”D说：“那只有我是最末了 的了！”比赛结果揭晓后，发现他们之中只 有一位预测错误。请指出这是哪一位选手。
解答
A的预测是错误的
本节课你有何收获?
你还有疑问吗? 将你的疑问说出来与你的
同学和老师一起探讨!
ห้องสมุดไป่ตู้cn
考
考 你！
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 2、“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语 句是（ ） A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题 3、下列命题中，属于定义的是（ ） A、两点确定一条直线 B、同角的余角相等 C、两直线平行，内错角相等 D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 4、下列句子中，是定理的是（ ），是公理的 是（ ），是定义的是（ ）， A、若a=b，b=c，则a=c； B、对顶角相等 C、全等三角形的对应边相等，对应角相等 D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等