山西省太原市高考数学二模试卷(理科)解析版
20. 已知直线 l 与抛物线 C：x2=2py（p＞0）相交于 A，B 两个不同点，点 M 是抛物线 C
在点 A，B 处的切线的交点．
（Ⅰ）若直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F，求证：FM⊥AB；
（Ⅱ）若点 M 的坐标为（2，-2p），且
，求抛物线 C 的方程．
21. 已知 x1，x2（x1＜x2）是函数 f（x）=ex+ln（x+1）-ax（a∈R）的两个极值点． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明：f（x2）-f（x1）＜2lna．
场馆进行服务，每个运动场馆 3 名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的
概率为______．
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14. 在平面直角坐标系内，由曲线
，
和 轴正半轴所围成的封闭图形的
面积为________．
15. 已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，b2+c2=accosC+c2cosA+a2，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 已知 α∈（0， ），β∈（0， ），且 sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），则下列结论
正确的是（ ）
A. 2α-β=
B. 2α+β=
C. α+β=
D. α-中，SA=SB=SC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为 （ ）
，则△ABC 周长的最小值为______．
16. 已知函数 f（x）=（ax+sinx）（x-sinx）（x≠0）的图象与 g（x）=x2 的图象有四个 不同交点，其横坐标从小到大依次为 x1，x2，x3，x4，则
=______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=（an-1）（an+2），且
19. 已知某保险公司的某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人 称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表：
上年度出险次
数
0
1
2
3
≥4
保费（元） 0.9a
a
1.5a
2.5a
4a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数 0
1
2
3
≥4
A. （-∞，0）
B. （-∞，0]
C. （1，+∞）
D. [1，+∞）
3. 如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入
的 a=18，b=42，则输出的 a=（）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
4. 已知
，
A. 60°
，且
B. 120°
，则向量 与 的夹角为（）
C. 30°
附：
；
P（K2≥k0）0.05 0.0250.0100.005
k0
3.841 5.024 6.635 7.879
①能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为药物有效
②不能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为药物有效
③能在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为药物有效
④不能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为药物有效
22. 已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（其中 φ 为参数），
点 M 在曲线 C1 上运动，动点 P 满足
，其轨迹为曲线 C2．以原点 O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I）求曲线 C2 的普通方程；
（Ⅱ）若点 A，B 分别是射线
与曲线 C1，C2 的公共点，求|AB|的最大值．
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若
，记数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明：
．
18. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯 形，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，△PCD 是正 三角形，PC⊥AC，E 是 PA 的中点． （Ⅰ）证明：AC⊥BE； （Ⅱ）求直线 BP 与平面 BDE 所成角的正弦值．
A.
B.
C.
D.
10. 已知点 P 是直线 y=2x-4 上的动点，点 Q 是曲线 y=x+ex 上的动点，则|PQ|的最小值 为（）
A. 5
B.
C.
D.
11. 已知点 F1，F2 分别是椭圆 C1 和双曲线 C2 的公共焦点，e1，e2 分别是 C1 和 C2 的离
心率，点 P 为 C1 和 C2 的一个公共点，且
D. 150°
5. 已知双曲线的离心率为 ，且经过点
，则该双曲线的标准方程为（）
A.
B.
C.
D.
6. 如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形 的边长为 1，则该几何体各棱中最长棱的长度为（ ）
A. B. C. D.
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7. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列 联表： 患病 未患病 总计 服用药 10 45 55 没服用药20 30 50 总计 30 75 105 由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（）
频数 140
40
12
6
2
该保险公司这种保险的赔付规定如表：
出险序次 第 1 次 第 2 次
第3次
第4次
第 5 次及以 上
赔付金额（元） 2.5a
1.5a
a
0.5a
0
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将所抽样本的频率视为概率． （1）记随机变量 ξ 为一续保人在下一年度的续保费用，η 为其在该年度所获的赔 付金额，求 ξ 和 η 的分布列； （2）若下一年度有 100 万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于 900 万 元，求 a 的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）．
高考数学二模试卷（理科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 i 是虚数单位，则复数 =（ ）
A. 1
B. -1
C. i
D. -i
2. 已知集合 A={x|x（x-1）≤0}，B={x|y=ln（x-a）}，若 A∩B=A，则实数 a 的取值范围
为（ ）
，若
，则 e1 的取值
范围是（）
A.
B.
C.
D.
12. 已知实数 x，y 满足
，若当且仅当
时，z=（x-a）2+（y-b）2 取最
小值（其中 a≥0，b≥0），则 a-2b 的最大值为（）
A. 4
B. 3
C. 2
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 2019 年 8 月第二届全国青年运动会在山西举行，若将 6 名志愿者分配到两个运动
山西省太原市2022届高三数学模拟试题(二)理(含解析)
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
【分析】
（1）根据关系 ，化简知道 是等差数列，再验证 时的情况，最后得到答案.
（2）根据（1）中答案代入 ，利用裂项求和得到 ，然后证明 是递增数列，最后代入1得到答案.
【详解】解：（1）当 时， ， ， ，
当 时， ，
（2）设直线和点 ， 的坐标，联立直线方程和抛物线根据韦达定理得到坐标关系，表示出切线方程，解得 点坐标，得到方程关系，再根据 形成方程组，解得答案.
【详解】解：（1）由题意可得 ，
①当 时，设直线 ，点 ， 的坐标分别为 ， ，
由 ，得 ， ，
过点 为的切线方程为 ，即 ，
过点 的切线方程为 ，
由 得 ， ，
上年度出险次数
保费（元）
随机调查了该险种的 名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数
频数
该保险公司这种保险的赔付规定如下表：
出险序次
第 次
第 次
第 次
第 次
第 次及以上
赔付金额（元）
将所抽样本的频率视为概率.
（1）记随机变量 为一续保人在下一年度的续保费用， 为其在该年度所获的赔付金额，求 和 的分布列；
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用和差公式将式子化简，根据三角函数值关系得到角关系.
【详解】已知：
，
故答案为A
【点睛】本题考查了三角函数和差公式，降次公式，也可以用特殊值法排除得到答案.
9.已知在三棱锥 中， ， ，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
2021届山西省太原市第五中学高三下学期二模数学(理)试题(解析版)
2021届山西省太原市第五中学高三下学期二模数学（理）试题一、单选题1．设集合{}220M x x x =-≥，{}N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a > C ．2a ≥ D ．2a ≤【答案】B【分析】求得集合M ，根据M N ⊆求得实数a 的取值范围. 【详解】()[]2220220,0,2x x x x x x M -≥⇔-=-≤=，由于{}N x x a =<，M N ⊆， 所以2a >. 故选：B2．若复数z 满足：3321iz i i-+=+（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．2i -B ．2+iC ．23i -D ．2+3i【答案】D【分析】求得z ，由此求得z .【详解】()()()()31342221112i i i iz i i i i i +-+-+====-++-， 所以23,23z i z i =-=+. 故选：D3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【解析】函数的图象与性质．4．如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：设向量(,)OC x y =.因为向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,所以33x y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，所以3838y x x yλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩1λμ≥≥,所以3388318x y y xy x --⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即380x y x y ≥⎧⎨-+≤⎩，即D 选项的形式.故选D. 【解析】1.向量的加减法.2.向量的基本定理.3.分类探索的思想. 5．为了得到函数()11sin cos 33f x x x =+的图象，可以将函数()12cos 3g x x =的图象（ ）A ．向右平移34π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移34π个单位长度 D ．向左平移4π个单位长度 【答案】A【分析】通过辅助角公式化简，利用三角函数平移判断即可． 【详解】()11113sin cos 333434f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A.6．在等差数列{}n a 中，11826a a =+，则267a a a ++=（ ） A ．18- B ．6-C ．8D ．12【答案】A【分析】求出56a =-，利用等差数列的通项公式可求得267a a a ++的值. 【详解】118115266a a a a =+=++，所以，56a =-，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()111126575634318a d a d a a a a d a d a =++++=+=+=-++.故选：A.7．在2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，21x 的系数是14，则2x 的系数是（ ） A ．28 B ．56C ．112D ．224【答案】D 【分析】根据21x的系数求得1256n n C +=，由此求得2x 的系数. 【详解】2122nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()2222222222n rrrn r r n rn n C x x C x----⋅⋅=⋅⋅， 令222,1n r r n -=-=+，故()2211122214,56n n n n n n C C -+++⋅==， 令222,1n r r n -==-，故()221111222244456224n n n n n n n n C C C ----+⋅=⋅==⨯=. 故选：D8．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：maxlgA M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ） A ．2A B ．10AC ．100AD ．1000A【答案】C【分析】设甲地地震震级为1M ，乙地地震震级为2M ，首先根据题意求得122M M -=，代入里氏震级的计算公式为：maxlgA M A =求出max 100A A =即可. 【详解】设甲地地震震级为1M ，乙地地震震级为2M ， 因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，所以11221.54.8 1.5()31.54.8101010101010M M M M -⨯==⨯,故122M M -=， 又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A 因为max 0lgA M A =，所以max max 1200lg lg lg 2A A AM M A A A -=-==， 解得：max 100A A =，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为max 100A A =. 故选：C.【点睛】本题主要考查指数对数的运算，掌握指对数的运算规则是高中数学的最基本的要求，需要熟练掌握，是解决问题必要的技能.9．A 同学和B 同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A 同学每局获胜的概率均为23，且每局比赛相互独立，则在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜的概率是（ ） A ．34B ．89C ．79D ．56【答案】B【分析】先分析A 最终能获胜有两种情况，分别计算概率，再相加即得结果. 【详解】在A 先胜一局的条件下，A 最终能获胜有两种情况： （1）第二局甲再次取胜，概率为23； （2）第二局甲败，第三局甲胜，概率为122339⨯=， 故A 最终能获胜的概率为228399+=. 故选：B.【点睛】方法点睛:计算条件概率通常有两种方法; (1)利用条件概率公式()()()P AB P A B P B =；(2)在事件B 已经发生的前提下，相当于缩小了总事件的空间容量，再计算()()()n AB P A B n B =，或利用独立关系直接计算事件B 发生后的概率情况.10．已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．203πC ．4πD ．43π 【答案】A【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB = 设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2， 所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1.∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，222111ON A AO N R =-=-， ∴2111OM ON R =-=--.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即2224(11)R R =+--， 解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.11．在ABC 中，D 是BC 的中点，已知2AD =，22AC =3cos 4B =，则ABC 的面积为（ ）A ．3B 5C 6D 7【答案】D【分析】设AB c =，BC a =，在ABC 和ABD △中利用余弦定理可求出,a c ，即可求出面积.【详解】设AB c =，BC a =， 在ABC 中，222cos 8+-=a c ac B ，在ABD △中，222cos 222⎛⎫+-⋅⋅= ⎪⎝⎭a a c c B ， 解得4a =，2c =， ∴1sin 72==ABC S ac B △故选：D.12．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作直线l ，且直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为A ，直线l 与另一条渐近线交于点B ，已知O 为坐标原点，若OAB ∆的内切圆的半径为312a -，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．233B ．31+C ．433D ．233或2 【答案】D【分析】分,A B 在y 轴同侧和,A B 在y 轴异侧两种情况进行求解：不妨设A 在第一象限，根据题意作出图形，利用图形中的几何关系求出tan bAOF a=∠的值，再由离心率21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解即可.【详解】有两种情况：（1）若,A B 在y 轴同侧，不妨设A 在第一象限.如图，设OAB ∆内切圆的圆心为M ，则M 在AOB ∠的平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，利用点到直线的距离公式可得，焦点F 到渐近线by x a=的距离为21b c a FA b b a ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又||OF c =，所以||OA a =，又31||||2NA MN a -==， 所以33||2NO a -=， 所以||3tan ||3b MN AOF a NO =∠==， 从而可得离心率22313b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）若,A B 在y 轴异侧，不妨设A 在第一象限如图，易知||FA b =，||OF c =，||OA a =， 因为OAB ∆的内切圆半径为||||||312AB OA OB +--=，所以||||23OB AB a a -=， 又因为222||||OB AB a =+， 所以||3AB a =，||2OB a =， 所以60BOA ∠=︒，60AOF ∠=︒， 则tan 603ba=︒= 从而可得离心率212b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 综上，双曲线C 的离心率为33或2. 故选：D【点睛】本题考查利用双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系求离心率；考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力；利用数形结合思想，正确求解图形中的几何关系和线段长度是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点()2,4P ，则该抛物线的方程是______.【答案】28y x =【分析】分析可知，抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为2y mx =，将点P 的坐标代入抛物线方程，求出m 的值，即可得出抛物线的方程.【详解】由题意可知，抛物线的焦点在x 轴上，可设抛物线的方程为2y mx =， 将点P 的坐标代入抛物线方程，可得216m =，解得8m =， 因此，该抛物线的方程为28y x =. 故答案为：28y x =.14．在某市2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布()98,100N .已知参加本次考试的全市理科学生约100000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第______名.（参考数值：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）【答案】15870【分析】分析可得108μσ=+，计算得出()P X μσ≥+的概率，乘以100000可得结果. 【详解】考试的成绩X 服从正态分布()98,100N ，所以，98μ=，10σ=，所以，108μσ=+，则()()()11080.15872P X X P X P μσμσμσ-≥=≥+==-<≤+，数学成绩为108分的学生大约排在全市第1000000.158715870⨯=名. 故答案为：15870.15．已知函数()2,01ln ,1x x f x x x ≤≤⎧=⎨>⎩，若存在实数1x ，2x 满足120x x ≤<，且()()12f x f x =，则214x x -的最小值为________．【答案】22ln 2-【分析】作出()f x 的图象，由()()12f x f x =，可知122ln x x =，从而212242ln x x x x -=-，221e x <≤，构造函数()()22ln 1e g t t t t =-<≤，求出最小值即可.【详解】作出()f x 的图象，如下图所示，当01x ≤≤时，()[]0,2f x ∈；当1x >时，()()0,f x ∈+∞， 因为()()12f x f x =，所以122ln x x =， 令ln 2x =，得2e x =，则221e x <≤，故212242ln x x x x -=-，令()()22ln 1e g t t t t =-<≤．则()221t g t t t-'=-=，易知函数()2ln g t t t =-在(]1,2上单调递减，在(22,e ⎤⎦上单调递增，所以()()min 222ln2g t g ==-． 故答案为：22ln 2-.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数单调性及最值的应用，利用构造函数是解决本题的关键，属于中档题.三、双空题16．任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的所有可能取值组成的集合为________．【答案】5 {}4,5,32【分析】根据“冰雹猜想”进行计算，由此确定正确结论.【详解】5m =时，各步的结果为168421→→→→，即5次步骤后变成1.4m =时，各步的结果为21421→→→→，即5次步骤后变成1. 32m =时，各步的结果为168421→→→→，即5次步骤后变成1.其它正整数不符合题意，故若第5次步骤后变成1，则m 的所有可能取值组成的集合为{}4,5,32.故答案为：5；{}4,5,32四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，39S =.数列{}n b 满足121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证163n T <. 【答案】（1）21n a n =-，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）设数列{}n a 公差为d ，求出d 的值，可得出数列{}n a 的通项公式，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由121221n n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+，两式作差可得n b 的表达式，再验证1b 是否满足()2n b n ≥的表达式，由此可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求出n T ，即可证得163n T <. 【详解】（1）设数列{}n a 公差为d ，由题可知：1131113392a a S a d d ==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，21n a n ∴=-，当1n =时，113a b =，113b ∴=； 当2n ≥时，由121221nn n a a a b b b ++⋅⋅⋅+=+可得111212121n n n a a a b b b ---++⋅⋅⋅+=+， 两式作差得()1121212n n n n n a b --=+-+=，所以，112122n n n n a n b ---==. 113b =不满足1212n n n b --=，11,1321,22n n n b n n -⎧=⎪⎪∴=⎨-⎪≥⎪⎩；（2）32112135213222n n n T b b b n b --=++++⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅+， 21113232126222n n n n n T ---∴=++⋅⋅⋅++， 22311111522221521823221232222323212n n n n n nn n n T --⎛⎫- ⎪--+⎝⎭∴=++++-=+-=--， 1162316323n n n T -+∴=-<. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()0d d ≠，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 18．叙述并证明两个平面垂直的性质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.【答案】答案见解析.【分析】（1）根据定理叙述即可，再将文字语言转化为符号语言，并论证即可； （2）写出符号语言，并根据面面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.如图，已知αβ⊥，CD αβ=，AB α⊂，AB CD ⊥于点B ，求证：AB β⊥.证明：在β内引直线BE CD ⊥， 则ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角. 由αβ⊥可知：AB BE ⊥又AB CD ⊥，BE β⊂，CD β⊂，BE CD B ⋂= AB β∴⊥（2）已知αβ⊥，βγ⊥，γα⊥，a αβ⋂=，b βγ=，c αγ⋂=，求证：a b ⊥，a c ⊥，bc ⊥.证明：如图，在γ内任取一点(,)P P b P c ∉∉， 过P 在γ内作PA c ⊥于A ，PB b ⊥于B 由上述定理可知：PA PA a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭，PB PB a a ββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭，PA γ⊂，PB γ⊂，PA PB P = a γ∴⊥a c ∴⊥，ab ⊥同理可得b c ⊥.【点睛】本题考查面面垂直的性质，线线垂直的证明，考查逻辑推理能力，运算求解能力，空间想象能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理，并能够证明.这要求考生需要注重教材结论的识记与证明.19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量.最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调查数据如表（单位：人）.是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率；（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中.n a b c d=+++()2P K k≥0.0500.0100.001 0k 3.841 6.63510.828【答案】（1）有；（2）710；（3）数学期望为7，方差为2.1. 【分析】（1）由公式计算2K 可得结论；（2）从样本的中年人中按分层抽样方法求得观看过电影和没观看过的人数，由古典概率公式分别求得抽取的3人中有2人和有3人观看过电影的概率，再由概率加法公式求得答案；（3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，可得出随机变量ξ服从二项分布710,10B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的数学期望、方差公式求得答案. 【详解】解：（1）()22100800300 4.762 3.84170305050K ⨯-==>⨯⨯⨯ 所以有95%的把握认为看此电影与年龄有关.（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中， 观看过电影的有305350⨯=（人），没观看过的有2人， 记抽取的3人中有i 人观看过电影为事件(1,2,3)i A i =.则()2132235323105C C P A C ⋅⨯===，()33335110C P A C ==， 从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影的概率为：()()23317.51010P P A P A =+=+= （3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，则随机变量ξ服从二项分布710,10B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以随机变量ξ的数学期望为7()10710E ξ=⨯=， 方差为77()101 2.11010D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求随机变量概率分布列的步骤： (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出取各值时的概率； (3)列成表格；(4)检验分布列.注意分析随机变量是否满足特殊的分布列，如：两点分布，超几何分布，二项分布，正态分布.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=()3,0A -，(3,0)B .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为椭圆上除A ，B 外的任意一点，直线AP 交直线4x =于点E ，点O 为坐标原点，过点O 且与直线BE 垂直的直线记为l ，直线BP 交y 轴于点M ，交直线l 于点N ，求N 点的轨迹方程，并探究BMO 与NMO △的面积之比是否为定值.【答案】（1）22193x y +=；（2）214x =，是定值4:7. 【分析】（1）由题知3a =，c e a ==c =b = （2）设()()000,0P x y y ≠，依次求得直线AP 方程，E 点坐标，直线BE 斜率，直线l方程，直线PB 方程，N 点坐标（P 点在椭圆，适合椭圆方程，得00,x y 关系代入可得）．然后可计算三角形面积比．【详解】解：（1）由题意，3a =，又c e a ==，c ∴=则b ==.∴椭圆C 的方程为22193x y +=.（2）设()()000,0P x y y ≠，则2200193x y +=.∴直线AP 的方程为00(3)3y y x x =++，取4x =，可得点0074,3y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∵直线BE 的斜率为0000737433y x y x +=-+，∴直线l 的方程为0037x y x y +=-， 又直线PB 的方程为00(3)3y y x x =--， 联立直线l 与PB 的方程，消去y 得()00003373x yx x y x +-=--， ()22000000793733y x y x y x x +-∴⋅=--，① 2002193x y +=，220093x y ∴-=-， 代入①解得点N 的横坐标214N x =，即N 点轨迹方程为：214x =1||3421217||24BB BMONMON N OM x x S S x OM x ⋅∴====⋅△△.故BMO 与NMO △的面积之比为4:7.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：求直线方程，求交点坐标，计算三角形面积，考查了运算求解能力．关键是设出点P 坐标为00(,)x y ，然后依次求解．21．已知函数2()()4xa f x x ae a =-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()()(1)2xg x f x e a x =++-，若()g x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且()()()1212g x g x x x λ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2,4ln 2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. 【分析】（1）求出函数的导数，分0a ≤、0a >两种情况讨论即可；（2）首先求出()g x '，然后可得4a >，1212x x x x e e e e a +=⋅=，12ln x x a +=，()()12g x g x +ln a a a =-，然后可得ln aa aλ<-，然后利用导数求出右边对应函数的单调性，然后可得答案.【详解】（1）因为2()4xa f x x ae =-+，所以()1x f x ae '=-.当0a ≤时，因为0x e >，所以()0f x '>，此时()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 当0a >时，令()0f x '=，得1ln x a=. 当1lnx a <时，()0f x '>，当1ln x a>时，()0f x '<. 此时，()f x 的单调递增区间为1,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为221()24x xa g x e ae ax =-++，所以2()x x g x e ae a '=-+.依题意，240a a a >⎧⎨->⎩，解得4a >. 因为1x ，2x 是()g x 的极值点，所以1212x x x x e e e e a +=⋅=，则12ln x x a +=.()()12g x g x +1122222212112424x x x x a a e ae ax e ae ax ⎛⎫⎛⎫=-+++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()121222212122x x x x a e e a e e a x x =+-++++ ()()()()12121222121222x x x x x x a e e e e a e e a x x =+--++++ ()22212ln 22a a a a a a =--++ ln a a a =-.所以，由()()()1212g x g x x x λ+>+，可得ln ln a a a a λ->.① 因为4a >，ln 0a >，所以①等价于ln aa aλ<-. 令()ln x x x x ϕ=-，则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x x x x ϕ--+'=-=，(4,)x ∈+∞ 因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>.所以()ϕx 在(0,)+∞单调递增，且2(4)4ln 2ϕ=-.所以，2()4,ln ln 2a a a a ϕ⎛⎫=-∈-+∞ ⎪⎝⎭. 所以λ的取值范围是2,4ln 2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：（1）对于双变量问题，常用方法是通过消元转化为单变量问题；（2）对于恒成立问题，首选方法是分离参数法.22．平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是：222123cos 4sin ρθθ=+. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程和l 的普通方程；（Ⅱ）设()0,1P ，l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，求PM .【答案】（Ⅰ）22143x y +=，1x y +=；（Ⅱ）7. 【分析】（Ⅰ）根据公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；直线l 的参数方程消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程； （Ⅱ）将直线l的参数方程代入椭圆方程得27802t +-=，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，利用韦达定理及直线参数方程中t 的几何意义即可求PM . 【详解】解：（Ⅰ）∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，2223cos 4sin 12ρθρθ+=，223412x y +=，∴C ：22143x y +=又11x y +=++=， ∴直线的普通方程为1x y +=；（Ⅱ）把直线参数方程与椭圆联立223411222t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，27802t +-= 设A ，B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=12167t t =-，(()274814402∆=-⨯-⨯-=>122M PM t t t +∴====， ∴PM的长为7. 23．已知函数())||2|1|(f x x a x a R =-++∈. （1）当4a =时，解不等式()8f x <；（2）记关于x 的不等式()2|3|f x x ≤-的解集为M ，若[4,1]M --⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()2,2-；（2）[]9,4-.【分析】（1）当4a =时23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，进而分类讨论求解即可；（2）根据题意得当[4,1]x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，进而得||8x a -≤恒成立，再结合[4,1]x ∈--即可得答案.【详解】解：（1）当4a =时，()421f x x x =-++，不等式可转化为23,1()6,1432,4x x f x x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩，若()8f x <，1238x x <-⎧⎨-<⎩或1468x x -≤≤⎧⎨+<⎩或4328x x >⎧⎨-<⎩ 解得：21x -<<-或12x -≤<或x ∈∅， 综上，不等式的解集是()2,2-.第 21 页 共 21 页 （2）若[]4,1M --⊆，()23f x x ≤-，即当[]4,1x ∈--时，2123x a x x -++≤-恒成立，在[4,1]--上，10x +≤，30x -≤， |1|1x x ∴+=--，|3|3x x -=-，()23f x x ∴≤-等价于8x a -≤，即88x a -≤-≤，当[]4,1x ∈--时该不等式恒成立， 1848a a --≤⎧∴⎨--≥-⎩，解得94a -≤≤. 即a 的范围是[]9,4-.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，根据解集求参数，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将解不等式转化为恒成立问题求解.。
2022年山西省高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年山西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )A. B. C. D.2.若，则( )A. B. C. D.3.已知集合，，若有2个元素，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.2022年北京冬奥会开幕式各个代表团所身着的运动鞋服品牌一度成为热议话题，运动鞋服是近年来新消费市场中规模相当庞大的品类，如图为2021年中国消费者运动鞋服购置品牌偏好调查，根据该图，下列说法错误的是( )A. 2021年中国运动鞋服消费者为父母长辈购买运动鞋服时选择国产品牌的占比超过B. 2021年中国运动鞋服消费者没有为孩子购买运动鞋服的占比低于C. 2021年中国运动鞋服消费者在为自己购买运动鞋服时选择国外品牌的占比不超过D. 2021年中国运动鞋服消费者在为朋友购买运动鞋服时选择国产品牌的人数超过选择国外品牌人数的2倍5.的展开式中的常数项为( )A. 13B. 17C.D.6.已知圆柱的高，圆，都在球O 的表面上，且球O 的表面积是圆柱侧面积的2倍，则球O 的半径为( )A. 4B. 32C.D.7.已知，若对任意，关于x 的方程无实根，则实数a 的范围是( )A.B.C. D.8.我们把短边与长边之比为的矩形称为黄金分割矩形，黄金分割矩形看起来比较“和谐”，日常生活中的矩形用品如书本、课桌、衣柜和建筑物中的一些矩形结构如窗户、房间等，都常设计成黄金分割的样式，若一面积为的黄金分割矩形一条短边的两个顶点在抛物线C ：的准线上，另一条短边的中点为抛物线C 的焦点F ，则该黄金分割矩形与抛物线C 的一个交点到F 的距离为( )A.B.C.D.9.若存在实数x ，y ，使得成立，且对任意a ，，，则实数t的取值范围是( )A.B.C. D.10.下面关于函数的结论，其中错误的是( )A. 的值域是B. 是周期函数C.的图象关于直线对称 D. 当时，11.在菱形ABCD 中，，点P 在菱形ABCD 所在平面内，则的最小值为( )A.B.C.D.12.已知a 是的一个零点，b 是的一个零点，，则( )A. B.C.D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山西省太原市高考数学二模试卷(理科
2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|x2+x-2＞0}．B={-1，0，1，2}，则（ ）A. A∩B={2}B. A∪B=RC. B∩（∁RA）={-1，2}D. B∪（∁RA）={x|-1＜x＜2}2. 已知 a 是实数， 是纯虚数，则 a 等于（ ）A. 1B. -1C.D.3. 已知，则（ ）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. b＜a＜cD. c＜a＜b4. 如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n≡N（modm）表示正整数 n 除以正整数 m 的余数为 N，例如 10≡4（mod6）．执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A. 11B. 135. 若 是两个非零向量，且角的取值范围是（ ）A.B.C. 14 C.6. 函数的图象大致为（ ）D. 17．则向量 与 夹D.第 1 页，共 16 页A.B.C.D.7. 圆周率 π 是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对 π 进 行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生 N 人， 让每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，再统计出 a，b，1 能构造锐角三角形的 人数 M，利用所学的有关知识，则可估计出 π 的值是（ ）A.B.C.D.8. 设奇函数 f（x）在（0，+∞）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式＜0 的解集为（ ）A. （-1，0）∪（1，+∞）B. （-∞，-1）∪（0，1）C. （-∞，-1）∪（1，+∞）D. （-1，0）∪（0，1）9. 过抛物线 y2=4x 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，设点 M（3，0）．若△MAB的面积为 ，则|AB|=（ ）A. 2B. 4C.D. 810. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=．数列{bn}满足 bn=（-1）n•（2n+1）an，则数列{bn}的前 100 项和 T100 为（ ）A.B.C.D.11. 对于函数．有下列说法：①f（x）的值城为[-1，1]；②当且仅当时，函数 f（x）取得最大值；③函数 f（x）的最小正周期是 π；④当且仅当时 f（x）＞0．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412. 三棱锥 P-ABC 中．AB⊥BC，△PAC 为等边三角形，二面角 P-AC-B 的余弦值为 ，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 8π．则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知（x-1）（ax+1）5 的展开式中，x2 的系数为 0，则实数 a=______．14. 已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右顶点分别为 A，B，点 P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB=120°，则双曲线的离心率为______．15. 已知数列{an}满足（n∈N*），且 a2=6，则{an}的通项公式为______．第 2 页，共 16 页16. 改革开放 40 年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便 了人们的出行需求．某城市的 A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐 公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行 5 分钟，乘坐公交 到离单位最近的公交站所需时间 Z1（单位：分钟）服从正态分布 N（33，42），下 车后步行再到单位需要 12 分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2（单 位：分钟）服从正态分布 N（44，22），从地铁站步行到单位需要 5 分钟．现有下 列说法： ①若 8：00 出门，则乘坐公交一定不会迟到； ②若 8：02 出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若 8：06 出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是______． 参考数据：若 Z～N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜Z≤μ+σ）=0.6826， P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544， P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，且△ABC 外接圆的半径为 1． （Ⅰ）求角 C； （Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18. 如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形，∠BAD=60°，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 四边形 ACFE 为梯形，EF∥AC，点 E 在平面 ABCD 上的射影为 OA 的中点，AE 与 平面 ABCD 所成角为 45°． （Ⅰ）求证：BD⊥平面 ACF； （Ⅱ）求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值．第 3 页，共 16 页19. 已知 F1，F2 是椭圆 C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线 x+y=1 被椭圆截得的弦的中点坐标为．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 F1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，当△ABF2 面积最大时，求直线 l 的方程．20. 为实现 2020 年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学 研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可 以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取 400 件，对其核心部件 的尺寸 x，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸 x 满足：|x-12|≤1 为一级品，1＜|x-12|≤2 为二级品，|x-12|＞2 为三级品． （Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这 400 件样本中抽 取 40 件产品，再从所抽取的 40 件产品中，抽取 2 件尺寸 x∈[12，15]的产品，记 ξ 为这 2 件产品中尺寸 x∈[14，15]的产品个数，求 ξ 的分布列和数学期望； （Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有 100 件产 品，每件产品的检验费用为 50 元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二 级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付 200 元补偿．现从一 箱产品中随机抽检了 10 件，结果发现有 1 件三级品．若将甲设备的样本频率作为 总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检 验？请说明理由； （Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利 润为 500 元/件；二级品的利润为 400 元/件；三级品的利润为 200 元/件．乙种设备产品中一、二、三级品的概率分别是 ， ， ．若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．第 4 页，共 16 页21. 已知函数 f（x）=lnx+ax+1． （Ⅰ）若函数 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （Ⅱ）f（x）≤xex 恒成立，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），曲线 C2的参数方程为（α 为参数），以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线 C2 交于 O，P 两点，射线与曲线 C1交于点 Q，若△OPQ 的面积为 1，求|OP|的值．23 已知 a，b，c 为正实数．（Ⅰ）若 a+b+c=1，证明：；（Ⅱ）证明：．2020 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）【答案】答案和解析第 5 页，共 16 页1. A2. A3. B8. D9. D10. C13.14. 15. 2n2-n 16. ②④17. 解：（Ⅰ）∵由正弦定理又，4. D 11. B5. C6. A7. B12. D，可得 sinA= ，sinB= ，sinC= ，∴= ，∴a2-b2= ab-b2，即 ∵C∈（0，π）， ∴C= ．= ，由余弦定理可得 cosC==，（Ⅱ）由正弦定理，可得 c=2sin = ，由余弦定理 2=a2+b2-2ab ≥2ab- ab=（2- ）ab，可得 ab≤ =2+ ，当且仅当 a=b 时等号成立， 可得 S△ABC= absinC= ab≤ ，当且仅当 a=b 时等号成立，即△ABC 面积的最大值为．18. 解：（Ⅰ）证明：取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH∥平面 ABCD，∵BD 在平面 ABCD 内，∴EH⊥BD， 又菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 EH∩AC=H， EH，AC 在平面 EACF 内， ∴BD⊥平面 EACF，∴BD⊥平面 ACF． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 EH⊥平面 ABCD， 以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴， HE 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵EH⊥平面 ABCD，∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EAH=45°， ∵AB=4，∴AO=2 ，AH= ，EH= ， ∴H（0，0，0），A（ ，0，0），D（- ，-2，0），O（- ，0，0），E（0，0， ），平面 ABCD 的法向量 =（0，0，1），=（-2 ，0，0）， =（），∵EF∥AC，∴=（-2 λ，0，0），设平面 DEF 的法向量 =（x，y，z），第 6 页，共 16 页则，取 y= ，得 =（0， ，-2），∴cos＜ ＞= = =- ．∴平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为=．19. 解：（Ⅰ）直线 x+y=1 与 y 轴的交于（0，1）点，∴b=1，设直线 x+y=1 与椭圆 C 交于点 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2= ，y1+y2= ，∴ + =1， + =1，两式相减可得 （x1-x2）（x1+x2）+ （y1-y2）（y1+y2）=0，∴ =-，∴- • =-1，解得 a2=3， ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 F1（- ，0），F2（- ，0），设 A（x3，y3），B（x4，y4）， 讲直线 l 的方程 x=my- 代入 +y2=1，可得（m2+3）y2-2 my-1=0，则 y3+y4= ，y3y4= ，|y3-y4|==，∴= |F1F2|•|y3-y4|= |•|y3-y4|==≤ =，当且仅当=，即 m=±1，△ABF2 面积最大，即直线 l 的方程为 x-y+ =0 或 x+y+ =0．20. 解：（I）抽取的 40 件产品中，产品尺寸 x∈[12，15]的件数为：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18， 其中 x∈[14，15]的产品件数为 40×（0.075×1）=3， ∴ξ 的可能取值为 0，1，2，∴P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，∴ξ 的分布列为：ξ012P第 7 页，共 16 页∴Eξ=0× +1× +2× = ．（II）三级品的概率为（0.1+0.075）×1=0.175， 若对剩余产品逐一检验，则厂家需支付费用 50×100=5000； 若对剩余产品不检验，则厂家需支付费用 50×10+200×90×0.175=3650， ∵5000＞3650， 故不对剩余产品进行逐一检验． （III）设甲设备生产一件产品的利润为 y1，乙设备生产一件产品的利润为 y2， 则 E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，E（y2）=500× +400× +200× =420．∵E（y1）＜E（y2）． ∴应选购乙设备．21. 解：（Ⅰ）由已知得 x＞0，．①当 a≥0 时，f′（x）＞0，此时 f（x）是增函数，故不会有两个零点；②当 a＜0 时，由，得，此时；当．所以 ＜0． 又时，f（x）取得极大值，由 f（x）有两个零点，所以 ，所以 f（x）在（0， ）有唯一零点．，解得-1＜a再取，则．所以 f（x）在（）有唯一实数根．a 的取值范围是（-1，0）．（Ⅱ）f（x）≤xex 恒成立，即 xex≥lnx+ax+1 在（0，+∞）上恒成立，即+∞）上恒成立．令 g（x）=，则．在（0，令 h（x）=x2ex+lnx，则＞0．所以 h（x）在（0，+∞）上递增．而 h（1）=e＞0，h（ ）=，故存在使得 h（x0）=0，即．∴=．令 λ（x）=xex，在（0，+∞）上，λ′（x）=（x+1）ex＞0，所以 λ（x）在（0，+∞）上递增，∴．而在（0，x0）上，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，所以 g（x）在（0，x0）上递减；在（x0， +∞）上，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，故 g（x）在（x0，+∞）上递增．第 8 页，共 16 页所以 g（x）min=g（x0）==所以 a 的取值范围是（-∞，1]．，∴a≤1．22. 解：（Ⅰ）曲线 C1 的参数方程为（t 为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0． 曲线 C2 的参数方程为（α 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0，根据，转换为极坐标方程为 ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于 ρ=4cosθ，设点 P（4cosβ，β），由于直线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ-ρsinθ+1=0．得到 Q（），所以，解得 cosβ=sinβ，所以 ，所以|OP|=4cos．23. 证明：（Ⅰ）=，当且仅当“a=b=c”时取等号；（Ⅱ）==“a=b=c”时取等号． 【解析】1. 解：∵A={x|x2+x-2＞0}={x|x＜-2 或 x＞1}．∴A∩B={2}．故选：A． 先求出集合 A，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 本题考查集合的基本运算，属于基础题．2. 解：∵是纯虚数，∴，0，解得 a=1，故选：A． 利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3. 解：∵，∴0＜a＜ ，∵log0.50.2=log25＞log24，∴b＞2，∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴，∴a＜c＜b， 故选：B． 利用对数函数和指数函数的性质求解．，当且仅当第 9 页，共 16 页本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函 数的性质的合理运用．4. 解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被 3 除余 2， ②被 4 除余 1， 故输出的 n 为 17， 故选：D． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答，属于基础题．5. 解：根据题意，设| |=| |=t，则| + |=mt，再设向量 与 夹角为 θ，则有| + |2=（ + ）2= 2+ 2+2 • =m2t2，变形可得： • = -t2，则有| - |2=（ - ）2= 2+ 2-2 • =2t2-2（ -t2）=4t2-m2t2，变形可得| - |=t，则 cosθ==== × =- ×，又由 1≤m≤ ，则 1≤≤ ，则有- ≤cosθ≤- ，又由 0≤θ≤π，则有 ≤θ≤ ，即 θ 的取值范围为[ ， ]； 故选：C． 根据题意，设| |=| |=t，向量 与 夹角为 θ，又由| + |=mt，由向量模的计算公式变形可得： • = -t2，进而可得| - |的值，由数量积公式可得 cosθ==- ×，结合 m 的范围，分析可得 cosθ 的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．6. 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据 f（1）的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：设，f（1）= ＞0，排除 C，D，选项 B 中一个 x 值对应两个 y 值，不是函数，排除 B， 故选：A．7. 解：学校共有学生 N 人，每人随机写出一对小于 1 的正实数 a，b，得到 N 个实数对（a，b）， 因为 0＜a＜1，0＜b＜1，所以 N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内， 如图所示：第 10 页，共 16 页若 a，b，1 能构造锐角三角形，因为 1 是最长边，所以 1 所对的角为锐角，所以，即 a2+b2＞1，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y2=1 外的有 M 对，由几何概率的概率公式可得：=1- ，所以 π=，故选：B． N 个实数对（a，b）都在边长为 1 的正方形 AOBC 内，若 a，b，1 能构造锐角三角形， 则 a2+b2＞1，所以 N 对实数对落在单位圆 x2+y2=1 外的有 M 对，再利用几何概率的概率 公式即可求出 π 的近似值． 本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题．8. 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0，在（-∞，0）内也是增函数∴= ＜0，即或根据在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数 解得：x∈（-1，0）∪（0，1） 故选：D． 根据函数为奇函数求出 f（1）=0，再将不等式 x f（x）＜0 分成两类加以分析，再分别 利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集． 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础 题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．9. 解：抛物线 y2=4x 的焦点 F 为（1，0），可设直线 l 的方程为 x=ty+1，代入抛物线方程，可得 y2-4ty-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2），可得 y1+y2=4t，y1y2=-4，则|AB|=•|y1-y2|=•=•，第 11 页，共 16 页△MAB 的面积为 |MF|•|y1-y2|= ×2|y1-y2|=4 ，即=4 ，解得 t=±1，则|AB|=•=8，故选：D．求得抛物线的焦点 F 的坐标，可设直线 l 的方程为 x=ty+1，联立抛物线的方程，消去 x，可得 y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得 t，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10. 解：∵，∴当 n=1 时，有 a1=，解得 a1= ；当 n=2 时，可解得 a2= ，故猜想：an=，下面利用数学归纳法证明猜想：①当 n=1，2 时，由以上知道 an=显然成立；②假设当 n=k（k≥2）时，有 ak=成立，此时Sk= + +…+== 成立，那么当 n=k+1 时，有ak+1==也成立． 由①②知：an=n（），=，解得 ak+1=，这说明当 n=k+1 时．∵bn=（-1）n•（2n+1）an，∴bn=（-1）n•（2n+1）•=（-1）∴数列{bn}的前 100 项和 T100=-（ ）+（ ）-（ ）+…+（ 故选：C．）=-1+ =- ．由 an=求出 a1，a2，猜想出 an=，然后用数学归纳法证明猜想，再使用裂项相消法求数列{bn}的前 100 项和 T100． 本题主要考查数学归纳法在求数列通项公式中的应用及裂项相消法在数列求和中的应 用，属于中档题．11. 解：因为 f（x）=，作出函数 f（x）的图象，如图所示：所以， f（x） 的值 城为 [-1，]，①错第 12 页，共 16 页误； 函数 f（x）的最小正周期是 2π，③错误；当且仅当时，函数 f（x）取得最大值，②正确；当且仅当时，f（x）＞0，④正确．故选：B． 根据绝对值的定义将函数 f（x）写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真 假． 本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．12. 解：如图所示，过点 P 作 PE⊥面 ABC，垂足为 E，过点 E 作 ED⊥AC 交 AC 于点 D，连接 PD， 则∠PDE 为二面角 P-AC-B 的平面角的补角，即有cos∠PDE= ，易知 AC⊥面 PDE，则 AC⊥PD，而△PAC 为等边三角形， ∴D 为 AC 中点，设 AB=a，BC=b，AC==c，则 PE=PDsin∠PDE= ×c× = ，故三棱锥 P-ABC 的体积为：V= × ab× = ≤ × = ，当且仅当 a=b= 时，体积最大，此时 B、D、E 共线．设三棱锥 P-ABC 的外接球的球心为 O，半径为 R， 由已知，4πR2=8π，得 R= ． 过点 O 作 OF⊥PE 于 F，则四边形 ODEF 为矩形，则 OD=EF=，ED=OF=PDcos∠PDE=，PE= ，在 Rt△PFO 中，（ ）2=，解得 c=2．∴三棱锥 P-ABC 的体积的最大值为：．故选：D． 由已知作出图象，找出二面角 P-AC-B 的平面角，设出 AB，BC，AC 的长，即可求出三 棱锥 P-ABC 的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有 AC 长度 的字母表示），再设出球心 O，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心 距，半径，底面半径之间的关系求得 AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求． 本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用， 基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题．13. 解：原式=x（ax+1）5-（ax+1）5，因为（ax+1）5=（1+ax）5，故原式 x2 项为：-=，令，即 5a-10a2=0，第 13 页，共 16 页解得 或 a=0（舍）．故答案为： ．将原式转化为 x（ax+1）5-（ax+1）5，然后利用（ax+1）5 的通项研究 x2． 本题考查二项式展开式通项的应用，以及学生利用方程思想解决问题的能力．属于基础 题．14. 解：设 P（m，n）在第二象限，由△PAB 为等腰三角形，∠PAB=120°，可得|PA|=|AB|=2a，可得 m=2acos120°-a=-2a，n=2asin60°= a，即 P（-2a， a），由 P 在双曲线上，可得 - =1，即有 =1，即 a=b，可得 e= ==，故答案为： ． 设 P（m，n）在第二象限，由题意可得|PA|=|AB|=2a，求得 P 的坐标，代入双曲线的方 程，化简可得 a，b 的关系，即可得到所求离心率． 本题考查双曲线的方程和性质，考查任意角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力， 属于基础题．15. 解：数列{an}满足（n∈N*），①当 n=1 时，a1=1，②当 n≥2 时，∴，∴数列{ }从第二项开始是常数列，又 =2，∴ =2，∴（n≥2），又 a1=1 满足上式，∴，故答案为：2n2-n．易求 a1=1，当 n≥2 时，对已知等式变形得，所以数列{ }从第二项开始是常数列，所以 =2，从而求出 an，验证首项满足 an，进而得到{an}的通项公式．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．16. 解：若 8：00 出门，江先生乘坐公交，从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≥45）=．∴江先生仍有可能迟到，只不过概率较小，故①错误；第 14 页，共 16 页若 8：02 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≤41）=时，江先生乘坐公交不会迟到； 若 8：02 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤48）=时，江先生乘坐地铁不会迟到． 此时两种上班方式江先生不迟到的概率相当，故②正确； 若 8：06 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42），故当满足 P（Z≤37）==0.8413 时，江先生乘坐公交不会迟到； 若 8：06 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤44）= =0.5 时，江先生乘坐地铁不会迟到．此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，故③错误； 若 8：12 出门，江先生乘坐公交． ∵从家到车站需要 5 分钟，下车后步行再到单位需要 12 分钟， 乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间 Z1 服从正态分布 N（33，42）， 故当满足 P（Z≤31）时，江先生乘坐公交不会迟到，而 P（Z≤31）＞P（Z≤29）=；若 8：12 出门，江先生乘坐地铁． ∵从家到车站需要 5 分钟，下地铁后步行再到单位需要 5 分钟， 乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间 Z2 服从正态分布 N（44，22），故当满足 P（Z≤38）=时，江先生乘坐地铁不会迟到．由 0.1857＞0.00135， ∴若 8：12 出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，故④正确． 故答案为：②④． 利用正态分布对每一个说法求解器复数的概率，逐项分析，即可选出正确答案． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 μ 和 σ 的应 用，考查曲线的对称性，正确理解题意是关键，考查计算能力，是中档题．17. （Ⅰ）由已知利用正弦定理可得 sinA= ，sinB= ，sinC= ，代入已知等式整理可得= ，由余弦定理可得 cosC，结合范围 C∈（0，π），可求 C 的值．（Ⅱ）由正弦定理可得 c，由余弦定理，基本不等式可求 ab≤ =2+ ，进而利用三角第 15 页，共 16 页形的面积公式可求△ABC 面积的最大值． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理可，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18. （Ⅰ）取 AO 中点 H，连结 EH，则 EH∥平面 ABCD，从而 EH⊥BD，再由 AC⊥BD，能证明 BD⊥平面 ACF． （Ⅱ）以 H 为原点，HA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 H 作 AC 的垂线为 y 轴，HE 为 z 轴， 建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 DEF 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. （Ⅰ）利用点差法和斜率公式即可求出；（Ⅱ）设 A（x3，y3），B（x4，y4），联立直线与椭圆的方程可得（m2+2）y2-2my-1=0， 由三角形面积公式和基本不等式即可求出． 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系， 利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．20. （I）计算各区间尺寸的产品件数，再根据超几何分布计算；（II）计算三极品的概率，分别计算两种情况下的费用得出结论； （III）分别计算两种设备生产一件产品的利润数学期望，得出结论． 本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题．21. （Ⅰ）研究函数 f（x）的单调性、极值情况，根据极值的符号构造出关于 a 的不等式求解； （Ⅱ）不等式恒成立，即可转化为函数的最值问题，因为原函数的单调性不好研究，所以可分离参数 a，即问题转化为在（0，+∞）上恒成立．再研究函数 g（x）=的单调性，求其最小值即可．本题考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，从而解决函数的 零点、不等式恒成立问题．属于较难的题目．22. （Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性 质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的 距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. （Ⅰ）直接利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可． 本题考查基本不等式及柯西不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．第 16 页，共 16 页。
2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(理)试题(带答案解析)
（Ⅱ） 恒成立，求a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数），曲线C2的参数方程为 （α为参数），以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）射线 与曲线C2交于O，P两点，射线 与曲线C1交于点Q，若△OPQ的面积为1，求|OP|的值.
20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图.
根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品.
A． B． C． D．8．设奇函数 在 上为增数，且 ，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
9．过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M（3，0）.若△MAB的面积为 ，则|AB|=( )
A．2B．4C． D．8
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an .数列{bn}满足 则数列{bn}的前100项和T100为( )
2020届山西省太原市高三模拟（二)
数学（理)试题
1．已知集合 ， ，则( )
A． B．
C． D．
2．已知 是实数， 是纯虚数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则( )
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b
4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.n≡N（modm）表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如10≡4（mod6）.执行该程序框图，则输出的n等于( )
2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）
2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数=（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合A={x|x（x-1）≤0}，B={x|y=ln（x-a）}，若A∩B=A，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0）B. （-∞，0]C. （1，+∞）D. [1，+∞）3.如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的a=18，b=42，则输出的a=（）A. 2B. 3C. 64.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. 60°B. 120°C. 30°D. 150°5.已知双曲线的离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.6.如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体各棱中最长棱的长度为（）A.B.C.D.7.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：患病未患病总计服用药10 45 55没服用药20 30 50总计30 75 105由上述数据给出下列结论，其中正确结论的个数是（）附：；P（K2≥k0）0.05 0.025 0.010 0.005k0 3.841 5.024 6.635 7.879①能在犯错误的概率不超过的前提下认为药物有效②不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效③能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效④不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效A. 1C. 3D. 48.已知α∈（0，），β∈（0，），且sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），则下列结论正确的是（）A. 2α-β=B. 2α+β=C. α+β=D. α-β=9.已知在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.10.已知点P是直线y=2x-4上的动点，点Q是曲线y=x+e x上的动点，则|PQ|的最小值为（）A. 5B.C.D.11.已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知实数x，y满足，若当且仅当时，z=（x-a）2+（y-b）2取最小值（其中a≥0，b≥0），则a-2b的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将6名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆3名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率为______．14.在平面直角坐标系内，由曲线，和轴正半轴所围成的封闭图形的面积为________．15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，b2+c2=ac cos C+c2cos A+a2，，则△ABC周长的最小值为______．16.已知函数f（x）=（ax+sin x）（x-sin x）（x≠0）的图象与g （x）=x2的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=（a n-1）（a n+2），且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n}的前n项和为T n，证明：．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，△PCD是正三角形，PC⊥AC，E 是PA的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥BE；（Ⅱ）求直线BP与平面BDE所成角的正弦值．19.已知某保险公司的某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表：上年度出险次数0123≥4保费（元）0.9a a 1.5a 2.5a4a出险次数0123≥4频数140401262出险序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上赔付金额（元）2.5a 1.5a a0.5a0将所抽样本的频率视为概率．（1）记随机变量ξ为一续保人在下一年度的续保费用，η为其在该年度所获的赔付金额，求ξ和η的分布列；（2）若下一年度有100万投保人进行续保，该公司此险种的纯收益不少于900万元，求a的最小值（纯收益=总入保额-总赔付额）．20.已知直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于A，B两个不同点，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点．（Ⅰ）若直线l经过抛物线C的焦点F，求证：FM⊥AB；（Ⅱ）若点M的坐标为（2，-2p），且，求抛物线C的方程．21.已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax （a∈R）的两个极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x2）-f（x1）＜2ln a．22.已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），点M在曲线C1上运动，动点P满足，其轨迹为曲线C2．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若点A，B分别是射线与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．23.已知函数f(x)＝|2x－a|－|x＋2a|(a>0)．(1)当a＝时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)若?k∈R，?x0∈R，使得f(x0)≤|k＋3|－|k－2|成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：A解析：解：A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞a}；∵A∩B=A；∴A?B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（-∞，0）．故选：A．可求出A={x|0≤x≤1}，B={x|x＞a}，根据A∩B=A即可得出A?B，从而得出a＜0．考查描述法、区间表示集合的方法，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集、子集的定义．3.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断语句计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案．【解答】解：输入a=18，b=42，第一次执行判断语句后，b=b-a=42-18=24，不满足退出的条件；第二次执行判断语句后，b=b-a=24-18=6，不满足退出的条件；第三次执行判断语句后，a=a-b=18-6=12，不满足退出的条件；第四次执行判断语句后，a=a-b=12-6=6，满足退出的条件；故输出a值为6，故选：C．4.答案：D解析：【分析】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出夹角．【解答】解：∵；∴=；∴；∴；又；∴与的夹角为150°．故选：D．5.答案：B解析：解：∵双曲线的离心率为，又∵c2=a2+b2，∴b=a．双曲线经过点，验算得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线标准方程为，∵点，在双曲线上，∴，解得a2=4，b2=1，故所求双曲线方程：．故选：B．由双曲线的离心率，得到a与b的关系，设出双曲线方程，代入点的坐标求解．本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．6.答案：C解析：解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一部分，三棱锥A-BCD，正方形的边长为4，长方体的高为3，由题意可得：AD=4，AB=，BD==，故选：C．画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解最长的棱长即可．本题考查三视图求解几何体的几何量，判断几何体的形状是解题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．根据列联表计算K2，对照临界值即可得出结论．【解答】解：根据列联表，计算K2==≈6.109＞5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，①正确；能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，②错误；不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，③错误；不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，④正确．综上，正确的命题序号是①④．故选：B．8.答案：A解析：解：∵sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），∴=sin2α+cos（2α-β）=．将A，B，C，D中的结论代入方程中，只有A能使方程成立．故选：A．由条件得sin2α+cos（2α-β）=，然后将选项代入检验即可得到正确结果．本题考查了两角差的余弦公式和诱导公式，属基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意求得三棱锥S-ABC的外接球的球心，求出半径，代入球的体积公式得答案．【解答】解：如图，∵SA=SB=SC，∴S在底面ABC上的射影D为底面三角形的外心，又AC⊥BC，∴D为AB的中点，又SA=SB=AB=2，∴△SAB外接圆的半径即为三棱锥S-ABC外接球的半径，等于．∴该三棱锥外接球的体积为．故选：A．10.答案：B解析：【分析】本题考查了导数的几何意义、曲线的曲线、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设直线y=2x+c与曲线y=x+e x相切于点Q（a，b）．利用导数，解得切点为Q坐标．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x-4上的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x-4平行的直线y=2x+c与曲线y=x+e x相切于点Q（a，b）．∴y′=1+e x，1+e a=2解得a=0，∴b=1，∴切点为Q（0，1）．Q到直线y=2x-4的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故选：B．11.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆、双曲线的离心率的范围，考查勾股定理和定义法的运用，考查基本不等式的运用，运算能力，属于中档题．设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦点坐标为（±c，0），由椭圆与双曲线的定义和余弦定理，可得，再由求e1的取值范围．【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦点坐标为（±c，0），不妨设P为第一象限的点，由椭圆与双曲线的定义得：PF1+PF2=2a1，①，PF1-PF2=2a2，②，由余弦定理得：PF12+PF22+PF1PF2=4c2，③联立①②③得：3a12+a22=4c2，由e1=，e2=，得，∴，∵，∴∈（），则（，），∴∈（，），∈（，），又e1∈（0，1），∴e1∈（，）．故选：D．12.答案：B解析：解：实数x，y满足的可行域如图：当且仅当时，z=（x-a）2+（y-b）2取最小值（其中a≥0，b≥0），可知（a，b）在可行域中点两条红色线之间，两条红线分别与所给直线垂直．即，a，b满足的可行域如图，当z=a-2b结果可行域的A时，取得最大值：3．故选：B．画出约束条件的可行域，推出a，b满足的不等式组，然后再通过线性规划求解a-2b的最大值．本题考查线性规划的应用，两次线性规划解决问题，是线性规划中点难题．13.答案：解析：解：依题意，所有的基本事件的个数为=20个，甲和乙被分到同一场馆包含=8个，所以志愿者甲和乙被分到同一场馆的概率P==．故答案为：．计算所以基本事件的个数和事件“志愿者甲和乙被分到同一场馆”包含的基本事件个数，代入古典概型的概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，计数原理．本题属于基础题．14.答案：解析：【分析】本题考查定积分的应用，属于基础题.将黑色区域看作两个部分的面积之查，进而用定积分进行计算即可．【解答】解：根据题意画图，其中黑色区域即为所求的封闭图形．∵y=x2和x2+y2=2的交点为（1，1），∴S黑=S扇-S红==．故答案为：．15.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A，利用三角形的面积公式可求bc=3+2，由余弦定理，基本不等式可得a≥，根据余弦定理可求得b+c≥2（），即可求得△ABC 周长的最小值．【解答】解：∵b2+c2=ac cos C+c2cos A+a2，∴2bc cos A=ac cos C+c2cos A，∴由正弦定理可得：2sin B sin C cos A=sin A sin C cosC+sin2C cos A=sin C（sin A cos C+sin C cos A）=sin C sin（A+C）=sin C sin B，∵sin B sin C≠0，∴可得cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．∵=bc sin A=bc，可得bc=3+2，又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc=3+2，可得a≥，当且仅当b=c时等号成立，∴（b+c）2=a2+3bc≥3+2+3（3+2）=4（3+2），可得b+c≥2（），当且仅当b=c时等号成立，∴△ABC周长的最小值为（a+b+c）min=3（）．故答案为：3（）．16.答案：1解析：解：因为f（x）=（ax+sin x）（x-sin x），所以f（-x）=f（x），所以函数f（x）为偶函数，又函数g（x）为偶函数，令（ax+sin x）（x-sin x）=x2，又x≠0，所以（a+）（1-）=1，又x1，x2，x3，x4为从小到大的4个解，由偶函数的对称性可知：x1=-x4，x2=-x3，（a+）（1-）=（a+）（1-）=1，（a+）（1-）=（a+）（1-）=1即（1-）（1-）（1-）（1-）=1故答案为：1．由函数f（x）=（ax+sin x）（x-sin x）知f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数，又函数g（x）=x2为偶函数，且两函数的图象交点横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，所以x1=-x4，x2=-x3．考查偶函数的定义，以及对偶函数图象的理解，函数图象交点的理解．17.答案：解：（I）当n=1时，2S1=（a1-1）（a1+2）=2a1，∵a1＞0，∴a1=2，当n≥2时，2a n=2（S n-S n-1）=（a n-1）（a n+2）-（a n-1-1）（a n-1+2），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，∵a n＞0，∴a n-a n-1-1=0，∴a n-a n-1=1，∴{a n}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列，∴；（Ⅱ）由（I）得a n=n+1，∴，∴T n=b1+b2+…+b n-1+，∵，∴{T n}是递增数列，∴．解析：（Ⅰ）通过已知条件求出首项，利用a n=S n-S n-1，求解数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力．18.答案：（I）证明：设F是PD的中点，连接EF、CF，∵E是PA的中点，∴EF∥AD，，∵AD∥BC，AD=2BC，∴EF∥BC，EF=BC，∴BCFE是平行四边形，∴BE∥CF，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠ABC=∠BAD=90°，∵AB=BC，∠CAD=45°，，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC?AD?cos∠CAD=2，∴AC2+CD2=4=AD2，∴AC⊥CD，∵PD⊥AC，∴AC⊥平面PCD，∴AC⊥CF，∴AC⊥BE；（Ⅱ）由（I）得AC⊥平面PCD，，∴平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PO⊥CD，垂足为O，∴OP⊥平面ABCD，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，则，，，∴，设是平面BDE的一个法向量，则，∴，令x=1，则，∴，∴=，∴直线BP与平面BDE所成角的正弦值为．解析：（I）设F是PD的中点，连接EF、CF，证明BE∥CF，推出AC⊥CD，结合PD⊥AC，得到AC⊥平面PCD，推出AC⊥BE；（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O-xyz，求出平面BDE的一个法向量，通过空间向量的数量积求解直线BP与平面BDE所成角的正弦值．本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.答案：解：（）由题意得的所有取值为，，，，，其分布列为：ξ0.9a a 1.5a 2.5a4ap0.70.20.060.030.01η0 2.5a4a5a 5.5ap0.70.20.060.030.01（）由（）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值为：E（ξ）=0.9a×0.7+a×0.2+1.5a×0.06+2.5a×0.03+4a×0.01=1.035a，该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值为：E（η）=0×0.7+2.5a×0.2+4a×0.06+5a×0.03+5.5a×0.01=0.945a，∴该公司此险种的总收益为100×（1.035a-0.945a）=9a，∴9a≥900，∴a≥100，∴基本保费为a的最小值为100元．解析：（1）由题意得ξ的所有取值为0.9a，a，1.5a，2.5a，4a，η的所有取值为0，2.5a，4a，5a，5.5a，由此能求出ξ和η的分布列．（2）由（1）可得该公司此险种一续保人在下一年度续保费用的平均值，再求出该公司此险种一续保人下一年度所获赔付金额的平均值，从而得到该公司此险种的总收益，由此能求出基本保费为a 的最小值．本题考查概率的求法，考查平均值、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（I）由题意可得，①当k≠0时，设直线，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由，得x2-2pkx-p2=0，∴，过点A为的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由得，∴，∵，∴FM⊥AB；②当k=0时，则直线，，∴FM⊥AB；（Ⅱ）①当k≠0时，设直线l：y=kx+m，点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得x2-2pkx-2pm=0，∴，过点A的切线方程为，即，过点B的切线方程为，由，得，∴，△=4p2k2+16p2＞0，∴=∴p=1或p=2，∴抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y解析：（1）分两种情况讨论，k≠0时，联立方程组求出M的坐标，利用斜率之积为-1即可；k=0时，验证即可；（2）通过联立方程组，根据根与系数关系建立线段|AB|的方程求出p的值即可．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目．21.答案：解：（I）解：函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax（a∈R）由题意得：，x＞-1，令，x＞-1，则，令，x＞-1，则，∴h（x）在（-1，+∞）上单调递增，且h（0）=0，当x∈（-1，0）时，g'（x）=h（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g'（x）=h（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（0）=2-a，①当a≤2时，f'（x）=g（x）＞g（0）=2-a≥0，f（x）在（-1，+∞）单调递增，此时无极值；②当a＞2时，∵，g（0）=2-a＜0，已知x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）=e x+ln（x+1）-ax（a∈R）的两个极值点．∴，g（x1）=0，当x∈（-1，x1）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x1，0）时，g（x）=f'（x）＜0，g（x）单调递减，∴x=x1是f（x）的极大值；∵，g（0）=2-a＜0，∴?x2∈（0，ln a），g（x2）=0，当x∈（0，x2）时，g（x）=f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）=f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴x=x2是f（x）的极小值；综上所述，a∈（2，+∞）；（Ⅱ）证明：法一：由（I）得a∈（2，+∞），，且g（x1）=g （x2）=0，∴x2-x1＞0，，1＜x2+1＜1+ln a，，∴，，∴=．即：f（x2）-f（x1）＜2ln a．法二：由（I）得a∈（2，+∞），f（x）在区间（x1，x2）递减，所以：f（x2）-f（x1）＜0．因为：a∈（2，+∞），所以：1＜a2，所以：ln1＜ln a2=2ln a．即：f（x2）-f（x1）＜0=ln1＜ln a2=2ln a．即：f（x2）-f（x1）＜2ln a解析：（Ⅰ）求函数的导数，令新函数求导即原函数的二阶三阶导数进行判断，讨论a的取值范围可求得a；（Ⅱ）由（I）得，且g（x1）=g（x2）=0，表达f（x2）-f（x1）由不等式性质证明即可．考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，分类讨论思想，属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）设P（x，y），M（x'，y'），∵，∴，∵点M在曲线C1上，∴，∴曲线C1的普通方程为（x'-2）2+（y'-1）2=1，则曲线C2的普通方程为（x-4）2+（y-2）2=4；（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ+4=0，曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-4ρsinθ+16=0，由，得，或，∴或；由，得，或，∴或，∴|AB|的最大值为．解析：（Ⅰ）设P（x，y），M（x'，y'），由已知向量等式可得，得到，消参数可得曲线C1的普通方程为（x'-2）2+（y'-1）2=1，进一步得到曲线C2的普通方程为（x-4）2+（y-2）2=4；（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C1与曲线C2的极坐标方程，分别与射线联立求得A，B的极坐标，可得|AB|的最大值．本题考查解得曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了平面向量的坐标运算及其应用，是中档题．23.答案：解：函数f（x）=|2x-a|-|x+2a|（a＞0）．（Ⅰ）当a=时，f（x）=|2x-|-|x+1|=，不等式f（x）≥1化为或或，解得x≤-1或-1＜x≤-或x≥；所以不等式f（x）≥1的解集为{x|x≤-或x≥}；（Ⅱ）由|k+3|-|k-2|≥-|（k+3）-（k-2）|=-5，当且仅当k≤-3时取“=”，所以对?k∈R，?x0∈R，使得f（x0）≤|k+3|-|k-2|成立，即f（x）min≤-5；由f（x）=|2x-a|-|x+2a|=，x≤-2a时，f（x）=-x+3a是单调减函数，最小值为f（-2a）=5a；-2a＜x＜时，f（x）=-3x-a是单调减函数，且f（x）＞f（）=-；x≥时，f（x）=x-3a是单调增函数，最小值为f（）=-；令-≤-5，解得a≥2；又a＞0，所以实数a的取值范围是．解析：本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．（Ⅰ）当a=时利用分段讨论法去掉绝对值，求对应不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）求出|k+3|-|k-2|的最小值M，再求f（x）的最小值N，由此列不等式N≤M求出a的取值范围．。
山西省太原市2020届高三模拟试题(二) 数学(理)【含答案】
山西省太原市2020届高三模拟试题（二）数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}022>-+=x x x A ．{}2101，，，-=B 则 A ．A∩B={2} B ．A ∪B= RC ．{}2,1)(-=A C B RD ．{}21)(<<-=x x A C B R 2．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a= A ．1 B ．-1 C ． 2 D ．2- 3．已知2.05.055.02.0log 2log ===c b a ，，，则A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b4．右边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡ 4（ mod6）．执行该程序框图，则输出的n 等于A ．11B ．13C ．14D ．175．若b a ，是两个非零向量，且]31[，，∈==+m b m a m b a ．则向量b 与b a -夹角的取值范围是 A ．]32,3[ππ B ．]65,3[ππ C ．]6532[ππ， D ．]65[ππ， 6．函数)1ln(1)(+-=x x x f 的图象大致为7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N 人．让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是A ．N M 4 B ．N M N )(4- C ．N N M +2 D ．NNM 24+ 8．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0．则不等式0)()(<--xx f x f 的解集是A ．（-1，0） （1，+∞）B ．（-1，0） （0，1）C ．（-∞，-1） （1，+∞）D ．（-∞，-1） （0，1）9．过抛物线x y 42=的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）．若△MAB 的面积为24．则|AB|=A ．2B ．4C ．32D ．810．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．且满足nn n S S a 2)1(-=．数列{}n b 满足n n n a n b )12()1(+⋅-=，则数列{}n b 的前100项和100T 为A ．100101 B ．100101- C ．101100- D ．10110011．对于函数x x x x x f cos sin 21)cos (sin 21)(--+=．有下列说法：①f （x ）的值城为[-1，1]； ②当且仅当)(42Z k k x ∈+=ππ时，函数f （x ）取得最大值；③函数f （x ）的最小正周期是π；④当且仅当))(222(Z k k k x ∈+∈πππ，时f （x ）＞0．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．412．三棱锥P —ABC 中．AB ⊥BC ，△PAC 为等边三角形，二面角P —AC —B 的余弦值为36-，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π ．则三棱锥体积的最大值为 A ．1 B ．2 C ．21 D ．31 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知5(1)(1)x ax -+的展开式中，x 2的系数为0，则实数a = ．14．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上一点，若△PAB 为等腰三角形，∠PAB= 120°，则双曲线的离心率为 ． 15．已知数列{a n }满足11(1)11n n a a n n n n +-=-++（n ∈N *），且a 2=6，则{a n }的通项公式为 ． 16．改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A 先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z 1（单位：分钟）服从正态分布N(33,42)，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z 2（单位：分钟）服从正态分布N(44,22)，从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： ①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； ③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； ④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是 ．参考数据：若Z~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z ≤μ＋σ) = 0.6826，P(μ－2σ＜Z ≤μ＋2σ) = 0.9544，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22sin sin 2sin A C a bB --=，且△ABC 外接圆的半径为1．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠BAD = 60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，四边形ACFE 为梯形，EF//AC ，点E 在平面ABCD 上的射影为OA 的中点，AE 与平面ABCD 所成角为45°． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACF ；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知F 1，F 2是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为)41,43(P （Ⅰ）求椭圆C 的方程；20．（本小题满分12分）为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．下图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x ，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x 满足： 121x -≤为一级品，1122x -＜≤为二级品，122x -＞为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸x ∈[ 12，15]的产品，记ξ为这2件产品中尺寸x ∈[14，15 ]的产品个数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验? 请说明理由；（Ⅲ）为加大升级力度，厂家需增购设备。
山西省太原市高考数学二模试卷(理科)
2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知=（1+i）2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D． +i2．已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）B．{x|x＞3，x∈N} C．{4，8}D．[4，8] 3．已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知S n是等差数列a n的前n项和，且S3=2a1，则下列结论错误的是（）A．a4=0 B．S4=S3C．S7=0 D．a n是递减数列5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．﹣D．07．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A．3 B．5 C．6 D．810．已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m 与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．211．已知f（x）=x2e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2， +）C．（，2）D．（+，+∞）12．已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0，]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知sin（﹣α）=﹣，0＜α＜π，则sin2α=．14．（2x+﹣1）5的展开式中常数项是．15．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A 在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．16．已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=log2a n（n∈N*），求数列{b n•c n}的前n项和T n．18．某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖．19．如图（1）在平面六边形ABCDEF ，四边形ABCD 是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，分别沿直线AD ，BC将△DEF ，△BCF 翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF ．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E 、F 、M 、N 四点共面； 结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个； 结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E ﹣AD ﹣B 和二面角F ﹣BC ﹣A 都是60°，求二面角A ﹣BE ﹣F 的余弦值．20．如图，曲线C 由左半椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0，x ≤0）和圆N ：（x ﹣2）2+y 2=5在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q （均异于点A ，B ）分别是M ，N 上的动点．（1）若|PQ |的最大值为4+，求半椭圆M 的方程；（2）若直线PQ 过点A ，且=﹣2，⊥，求半椭圆M 的离心率．21．已知函数f （x ）=（mx 2﹣x +m ）e ﹣x （m ∈R ）． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）当m ＞0时，证明：不等式f （x ）≤在（0，1+]上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知=（1+i）2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D． +i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由=（1+i）2，得．∴．故选：B．2．已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）B．{x|x＞3，x∈N} C．{4，8}D．[4，8]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}={1，2，4，8}，∴（∁U A）∩B={4，8}，故选：C3．已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可求出及的值，而在方向上的投影计算公式为，从而求出该投影的值．【解答】解：，；∴在方向上的投影为：．故选A．4．已知S n是等差数列a n的前n项和，且S3=2a1，则下列结论错误的是（）A．a4=0 B．S4=S3C．S7=0 D．a n是递减数列【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d．由S3=2a1，可得：a1+a2+a3═3a1+3d=2a1，可得a1=﹣3d．利用通项公式与求和公式即可判断出A，B，C的正误．由于无法判断d的正负，因此无法判断等差数列{a n}的单调性，即可判断出D的正误．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S3=2a1，可得：a1+a2+a3═3a1+3d=2a1，可得a1=﹣3d．则a4=﹣3d+3d=0，S4=S3，S7==7a4=0，因此A，B，C正确．由于无法判断d的正负，因此无法判断等差数列{a n}的单调性，因此D错误．故选：D．5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】求出四个全等的直角三角形的三边的关系，从而求出sinθ的值即可．【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为，不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1，∴大正方形边长为，小正方形的边长为1．∴四个全等的直角三角形的斜边的长是，较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，故sinθ=，故选：B．6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．﹣D．0【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，n的值，观察规律可知，S的取值以6为最小正周期循环，由于2017=336×6+1，可得：n=2018时不满足条件n≤2017，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=2满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=3满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=4满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=5满足条件n≤2017，执行循环体，S=0，n=6满足条件n≤2017，执行循环体，S=0，n=7满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=8…观察规律可知，S的取值以6为最小正周期循环，由于2017=336×6+1，可得：n=2017时，满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=2018不满足条件n≤2017，退出循环，输出S的值为．故选：A．7．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．【解答】解：f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且图象关于x=1对称，排除B，C，取特殊值，当x=时，f（x）=2ln＜0，故选：D8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：该几何体是一个高h=1的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC 的底AB=1，高CD=1，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图知：该几何体是一个高h=1的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC的底AB=1，高CD=1，∴该几何体的体积为V===．故选：D．9．已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A．3 B．5 C．6 D．8【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，画出2x﹣3y+4=0对应的直线，然后分类求出目标函数的最大值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，在目标函数的上方并满足约束条件的区域使得目标函数为负数，故目标函数的绝对值是其相反数，由线性规划可知，目标函数最小值在A（1，4）处取得，（2x﹣3y+4）min=﹣6，故z max=|2x﹣3y+4|=6；由图可知，在目标函数的下方并满足约束条件的区域使得目标函数为正数，故目标函数的绝对值是其本身，由线性规划可知，目标函数最大值在B（2，1）处取得，（2x﹣3y+4）max=5，故z max=|2x﹣3y+4|=5．综上所述，目标函数的最大值为6．故选：C．10．已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m 与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线方程的a，b，c，可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，联立直线方程，可得x的二次方程，运用判别式大于0以及韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式求得AB的长，由点到直线的距离公式可得O 到AB的距离，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=，b=1，c==2，右焦点为（2，0），则抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（2，0），即有2=，解得p=4，即抛物线方程为y2=8x，联立直线y=kx+m，可得k2x2+（2km﹣8）x+m2=0，判别式△=（2km﹣8）2﹣4k2m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，点M（2，2）是AB的中点，可得=4，且2=2k+m，解得k=2，m=﹣2．满足判别式大于0．即有x1+x2=4，x1x2=1，可得弦长AB=•=•=2，点O到直线2x﹣y﹣2=0的距离d==，则△OAB（O为坐标原点）的面积是d•|AB|=××2=2．故选：D．11．已知f（x）=x2e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2， +）C．（，2）D．（+，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数的性质判断f（x）的单调性和极值，得出方程f（x）=t的根的分布情况，从而得出关于t的方程t2﹣kt+1=0的根的分布情况，利用二次函数函数的性质列不等式求出k的范围．【解答】解：f′（x）=2xe x+x2e x=x（x+2）e x，令f′（x）=0，解得x=0或x=﹣2，∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=，当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0．作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t，则当t=0或t＞时，关于x的方程f（x）=t只有1解；当t=时，关于x的方程f（x）=t有2解；当0＜t＜时，关于x的方程f（x）=t有3解．∵g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）上有1解，在（，+∞）∪{0}上有1解，显然t=0不是方程t2﹣kt+1=0的解，∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有1解，∴，解得k＞．故选D．12．已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0，]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥在[0，]恒成立，令g（x）=，x∈[0，]，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），f′（x）=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在[0，]递增，则f′（x）≥0在[0，]恒成立，即a≥在[0，]恒成立，令g（x）=，x∈[0，]，则g′（x）=，令g′（x）＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令g′（x）＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知sin（﹣α）=﹣，0＜α＜π，则sin2α=﹣．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=﹣，0＜α＜π，∴sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣，故答案为：﹣．14．（2x+﹣1）5的展开式中常数项是﹣161．【考点】DB：二项式系数的性质．=（﹣1）5﹣r.【分析】（2x+﹣1）5的展开式中通项公式：T r+1==2r﹣k x r﹣2k．令r﹣2k=0，即可得出．的通项公式：T k+1=（﹣1）5﹣r．【解答】解：（2x+﹣1）5的展开式中通项公式：T r+1==2r﹣k x r﹣2k．的通项公式：T k+1令r﹣2k=0，则k=0，r=0；k=1，r=2；k=2，r=4．因此常数项=+×2×+=﹣161．故答案为：﹣161．15．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A 在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD 上的射影恰好为DE的中点，利用勾股定理，建立方程，求出三棱锥外接球的半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则BF==，∴AF==，设球心到平面BCD是距离为h，则1+h2=+（﹣h）2，∴h=，r==，∴该三棱锥外接球的表面积为=．故答案为．16．已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为cot52.5°．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，求出∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BOC，由余弦定理，基本不等式可求OB•OC≤，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵∠BAC=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣30°=150°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×150°=75°，∴∠BOC=180°﹣75°=105°．∵BC=1，∴由余弦定理可得：1=OB2+OC2﹣2•OB•OC•cos105°≥2OB•OC﹣2•OB•OC•cos105°，整理可得：OB•OC≤，=OB•OC•sin105°≤×sin105°=∴S△OBC==cot52.5°．故答案为：cot52.5°．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=log2a n（n∈N*），求数列{b n•c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，已知首项后可得数列{a n}的通项公式，代入b n=a n+a n+1得数列{b n}的通项公式；（2）由c n=log2a n求得数列{c n}的通项公式，进一步得到数列{b n•c n}的通项公式，再由错位相减法求得数列{b n•c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，则a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣2n+2=2n，当n=1时，a1=S1=22﹣2=4﹣2=2，满足a n=2n，故数列{a n}的通项公式为a n=2n，∴b n=a n+a n+1=2n+2n+1=3•2n；（2）c n=log2a n=，∴b n•c n=3n•2n．令R n=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，则2R n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴==（1﹣n）•2n+1﹣2．∴．则．18．某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，满足二项分布B（3，），由此能求出顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值．（2）按方案b一次抽中的概率P（B）==，假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，），方案b的抽法满足二项分布B2～（1，），设所得奖金为w2，求出；假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，），设所得奖金为w3，求出．由此能求出要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．【解答】解：（1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，按方案a一次抽中的概率P（A）==，此时满足二项分布B（3，），设所得奖金为w1，则=，∴顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值为9元．（2）按方案b一次抽中的概率P（B）==，假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，），方案b的抽法满足二项分布B2～（1，），设所得奖金为w2，则==10.5，假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，），设所得奖金为w3，∴=2×=9．∵，∴要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．19．如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC 将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）分别连结MN、EM、FN，推导出AD⊥平面EMN，BC⊥平面FMN，由结论1得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．再由AD、BC⊂平面ABCD，MN⊂平面ABCD，利用结论2得到平面EMN和平面FMN重合，由此能证明E、F、M、N四点共面．（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）分别连结MN、EM、FN，则由题意知：①AD⊥MN，AD⊥EM，∵MN、EM⊂平面EMN，∴AD⊥平面EMN．②BC⊥MN，BC⊥FN，∵MN，FN⊂平面FMN，∴BC⊥平面FMN．由结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个，得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．又∵AD、BC⊂平面ABCD，MN⊂平面ABCD，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到过MN垂直于平面ABCD的面是唯一的，∴平面EMN和平面FMN重合，∴E、F、M、N四点共面．解：（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，则∠EME′=∠FNF′=60°，由题意可知：EM=1，FN=2，∴ME′=，EE′=，NF′=1，FF′=，E′F′=，，以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，﹣，0），B（1，，0），E（0，0，），F（0，，），=（0，4，0），=（1，﹣），=（0，），=（1，，﹣），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（），设平面BEF的法向量=（a，b，c），则，取c=﹣5，得=（﹣6，，﹣5），∴cos＜＞==﹣，由图形知二面角A﹣BE﹣F是钝二面角，故二面角A﹣BE﹣F的余弦值为﹣．20．如图，曲线C由左半椭圆M： +=1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且=﹣2，⊥，求半椭圆M的离心率．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）A（0，1），B（0，﹣1），故b=1，|PQ|的最大值为4+=a+2+，解得a，即可得出．（2）设PQ方程：y=kx+1，与圆N的方程联立可得：（k2+1）x2+（2k﹣4）x=0，解得Q．根据，可得P．由⊥，可得：x P•x Q+（y P+1）•（y Q+1）=0，把点P，Q的坐标代入可得：解得k，即可得出．【解答】解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），故b=1，|PQ|的最大值为4+=a+2+，解得a=2．∴半椭圆M的方程为： +y2=1（﹣2≤x≤0）．（2）设PQ方程：y=kx+1，与圆N的方程联立可得：（k2+1）x2+（2k﹣4）x=0，x A+x Q=，x A=0，∴Q．，可得（x Q，y Q﹣1）=﹣2（x P，y P﹣1），故P．=（x P，y P+1），=（x Q，y Q+1）．由⊥，可得：x P•x Q+（y P+1）•（y Q+1）=0，把点P，Q的坐标代入可得：•+•=0，解得k=，∴P．联立直线PQ与作半椭圆M可得：x2+=0，可得x P=﹣=﹣，解得a=，∴e===．21．已知函数f（x）=（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性，问题转化为≥（1+）（2+），令g（x）=e x﹣x （x+1），x＞1，则g′（x）=e x﹣（2x+1），令h（x）=e x﹣（2x+1），x＞1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣[mx﹣（m+1）]（x﹣1）e﹣x，（1）m=0时，则f′（x）=（x﹣1）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）m＜0时，令f′（x）＜0，则1+＜x＜1，令f′（x）＞0，则x＜1+或x＞1，故f（x）在（﹣∞，1+]和（1，+∞）递增，在（1+，1）递减；（3）m＞0时，令f′（x）＜0，则x＜1或x＞1+，令f′（x）＞0，则1＜x＜1+，则f（x）在（﹣∞，1]和（1+，+∞）递减，在（1，1+）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，m＞0时，f（x）在（0，1]递减，在（1，1+）递增，x∈（0，1]时，f（x）=＜≤＜m≤，x∈（1，1+）时，f（x）＜f（1+）=（2m+1），=，下面证明（2≤，即证≥（1+）（2+），令g（x）=e x﹣x（x+1），x＞1，则g′（x）=e x﹣（2x+1），令h（x）=e x﹣（2x+1），x＞1，则h′（x）=e x﹣2＞0，故h（x）=g′（x）在（1+∞）递增，且g′（1）=e﹣3＜0，g′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，），使得g′（x0）=0，即﹣（2x0+1）=0，故x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，x∈（x0，）时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，）递增，故g（x）min=g（x0）=﹣﹣x0=﹣+x0+1=﹣+＞0，x＞1时，g（x）＞0，即e x＞x（x+1），故≥（1+）（2+），∴不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）C2的参数方程为（t为参数），代入=1，得﹣2tsinα=0，利用参数的意义，求|AB|的最大值及此时点B的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），普通方程为=1；曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1，直角坐标方程为xtanα﹣y﹣1=0；（2）C2的参数方程为（t为参数），代入=1，得﹣2tsinα=0，∴t1+t2=，t1t2=0，∴|AB|=||=||，∵0＜α＜π，且α≠，∴sinα∈（0，1），∴|AB|max=，此时B的坐标为（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，解不等式即可；（2）问题转化为m≤2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x，令t（x）=2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x，求出t（x）的最小值，求出m的范围即可．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，f（x）=，∴f（x）≥3，解得：x≤﹣1或x≥1；（2）f（x）≤|+1|⇒|x+m|+|2x﹣1|≤|x+1|，∵x∈[m，2m2]且m＞0，∴x+≤|x+1|﹣|2x﹣1|⇒m≤2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x，令t（x）=2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x=，由题意得⇒m＞，t（x）min=t（2m2）≥m⇒m≤1，∴＜m≤1．2017年6月3日。
山西省太原市迎泽区太原实验中学2024届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．2．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．2222i - D ．2222i + 3．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）A 6B 6C ．32π D ．23π 4．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 9895607388748677799497 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．86．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21B ．63C ．13D ．848．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元9．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 11．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．812．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
_2020年太原市高三二模考试数学理科及其答案
∵EH⊥平面 ABCD，∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EAH=45°，.............6 分
又 AB=4，则
，
∴
，E（0，0， ），
易知 = =
为平面 ABCD 的一个法向量，
，=
， ∵EF∥AC，∴ =
......................................8 分 ，
18. （本小题满分 12 分）
证明(Ⅰ) 取 AO 的中点 H，连结 EH，则 EH⊥平面 ABCD，
∵BD 在平面 ABCD 内，∴EH⊥BD， .........................................2 分
又菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 EH∩AC=H，
EH、AC 在平面 EACF 内,
(Ⅱ) 由正弦定理 c 2 得 c 2sin 2 ，..............................................................7 分
sin C
4
由余弦定理 2 a2 b2 2ab 2 2ab 2ab (2 2)ab ，.........................9 分 2
∴ ab 2 2 2 , 当且仅当 a b 时等号成立, ............................................10 分 2 2
∴ SABC
1 2
absin C
2 ab 4
2 1， 2
第1页共6页
∴ SABC最大值
2 1， 2
............................12 分
解（Ⅰ）由
x y