线性代数电子教案(1)
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性代数电子教案(全套)
编制 主讲
林淑容
四川农业大学生命科学与理学院
四川农业大学生命科学与理学院
第0章 前 言 第一章 行 列 式 第二章 矩 阵
第三章 n维向量及其线性相关性
第四章 线性方程组 第五章 二 次 型
四川农业大学生命科学与理学院
第0章 前 言
☞本课程的性质、作用和任务 ☞学习线性代数的具体要求、重点和难点 ☞线性代数的学习方法
4、线性方程组
(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消 去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩； (3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理； (4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；
重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。
四川农业大学生命科学与理学院
四川农业大学生命科学与理学院
本课程的性质、作用和任务
一、关于《线性代数》 线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合
的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一 块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在 两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算 术》，这使我们引以自豪。
学习线性代数的具体要求、重点和难点
4、对称矩阵与二次型
(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型； (3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法； (4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。
电子行业线性代数电子教案
电子行业线性代数电子教案一、引言线性代数是一门重要的数学基础课程，对于电子行业的学生来说尤为重要。
电子行业中的许多问题可以归结为线性代数的问题，因此了解和掌握线性代数的基本概念和方法对于电子行业的工作者非常重要。
本电子教案旨在通过结合电子行业中的实际应用场景，介绍线性代数的基本概念和方法，并通过一些实例和练习帮助学生理解和掌握线性代数的相关知识。
二、教学目标1.了解线性代数的基本概念和方法。
2.掌握线性方程组的解法和矩阵的运算。
3.能够应用线性代数的知识解决电子行业中的实际问题。
三、教学内容1. 线性代数基础（1）向量和矩阵的概念•向量的定义和表示•矩阵的定义和表示（2）向量和矩阵的运算•向量的加法和数乘•矩阵的加法和数乘•矩阵乘法2. 线性方程组（1）线性方程组的定义和表示•线性方程组的一般形式•线性方程组的矩阵表示（2）线性方程组的解法•初等变换法•矩阵消元法•矩阵的逆和逆矩阵3. 电子行业中的应用实例（1）电路分析•电路中的线性方程组•电路中的矩阵表示•用线性代数解决电路问题（2）数字信号处理•线性滤波器•离散傅里叶变换四、教学方法本教案将采用以下教学方法：1.线上课程：通过网络平台提供视频讲解和课后练习，学生可以自主学习和掌握线性代数的知识。
2.实践操作：通过电子行业的实际应用场景，进行实践操作和问题求解，巩固和应用线性代数的知识。
1.网络平台：提供线上课程、学习资料和练习题。
2.电子行业应用软件：提供电路分析和数字信号处理的软件工具，方便实践操作。
六、教学评估1.课堂小测或作业：通过课堂小测或作业对学生的学习效果进行评估。
2.实践项目：通过综合应用线性代数的知识，完成实践项目，并进行评估。
教学计划将根据教学内容和目标进行安排，具体时间安排和教学进度可根据实际情况调整。
教学内容教学方法时间安排线性代数基础线上课程第1周线性方程组解法线上课程第2周电子行业应用实例实践操作和线上课程第3-4周八、结语本电子教案通过对电子行业中线性代数的应用进行介绍和讲解，帮助学生理解和掌握线性代数的知识，并能够应用到电子行业的实际问题中。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
(完整word版)线性代数教案
线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。
2. 知道n 阶行列式的定义。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。
先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。
2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。
n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。
3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。
《线性代数电子教案》课件
《线性代数电子教案》PPT课件第一章：线性代数简介1.1 线性代数的意义和应用解释线性代数的概念和重要性探讨线性代数在工程、物理、计算机科学等领域的应用1.2 向量和空间定义向量及其几何表示介绍向量的运算，如加法、减法、数乘和点积1.3 矩阵和矩阵运算介绍矩阵的定义和基本性质探讨矩阵的运算，如加法、减法、数乘和乘法第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义和性质解释线性方程组的含义和基本性质探讨线性方程组的解的存在性和唯一性2.2 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤演示高斯消元法的具体操作过程2.3 矩阵的逆定义矩阵的逆及其性质探讨矩阵的逆的求法和应用第三章：矩阵的特征值和特征向量3.1 特征值和特征向量的定义解释特征值和特征向量的概念探讨特征值和特征向量的性质和关系3.2 矩阵的特征值和特征向量的求法介绍求解矩阵的特征值和特征向量的方法演示求解矩阵的特征值和特征向量的具体过程3.3 矩阵的对角化定义矩阵的对角化及其条件探讨矩阵对角化的方法和应用第四章：向量空间和线性变换4.1 向量空间的概念和性质解释向量空间的概念和基本性质探讨向量空间的基、维数和维度4.2 线性变换的定义和性质定义线性变换及其性质探讨线性变换的矩阵表示和特征值4.3 线性变换的图像和应用介绍线性变换的图像和性质探讨线性变换在图像处理等领域的应用第五章：行列式和矩阵的秩5.1 行列式的定义和性质解释行列式的概念和基本性质探讨行列式的计算方法和性质5.2 矩阵的秩的定义和性质定义矩阵的秩及其性质探讨矩阵的秩的求法和应用5.3 矩阵的逆和行列式的关系探讨矩阵的逆和行列式之间的关系演示利用行列式和矩阵的秩解决实际问题的方法第六章：二次型和正定矩阵6.1 二次型的定义和性质解释二次型的概念和基本性质探讨二次型的标准形和判定方法6.2 矩阵的正定性和二次型的应用定义正定矩阵及其性质探讨正定矩阵的判定方法和应用6.3 二次型的最小二乘法介绍最小二乘法的原理和步骤演示最小二乘法在实际问题中的应用第七章：特征值和特征向量的应用7.1 特征值和特征向量在控制理论中的应用探讨特征值和特征向量在控制理论中的重要作用演示利用特征值和特征向量分析线性系统的稳定性7.2 特征值和特征向量在信号处理中的应用解释特征值和特征向量在信号处理中的重要性探讨利用特征值和特征向量进行信号降噪等处理的方法7.3 特征值和特征向量在图像处理中的应用介绍特征值和特征向量在图像处理中的作用演示利用特征值和特征向量进行图像降维和特征提取的方法第八章：向量空间的同构和商空间8.1 向量空间的同构定义向量空间的同构及其性质探讨同构的判定方法和性质8.2 向量空间的商空间解释向量空间的商空间的概念和性质探讨商空间的构造和运算规则8.3 向量空间的同构和商空间的应用探讨向量空间的同构和商空间在数学和物理学中的应用演示利用同构和商空间解决实际问题的方法第九章：线性代数在优化问题中的应用9.1 线性代数在线性规划中的应用解释线性规划问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决线性规划问题的方法9.2 线性代数在非线性优化中的应用介绍非线性优化问题的概念和基本性质探讨利用线性代数方法解决非线性优化问题的方法9.3 线性代数在机器学习中的应用解释机器学习中的线性代数方法探讨利用线性代数方法进行数据降维、特征提取和模型构建的方法第十章：总结和拓展10.1 线性代数的核心概念和定理总结线性代数的核心概念和定理强调其在数学和科学研究中的重要性10.2 线性代数的拓展学习和研究方向介绍线性代数的拓展学习和研究方向鼓励学生积极探索线性代数的应用和创新10.3 线性代数的练习和参考资源提供线性代数的练习题和解答推荐相关的参考书籍和在线资源，供学生进一步学习和参考重点和难点解析重点一：向量和空间的概念及运算向量是线性代数的基本元素，其运算包括加法、减法、数乘和点积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
于是(1–2)
p1Tp2
=
0,
但是1
, 故p pT 2 1 2 线性代数电子教案(1)
=
0.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵
定理4.9. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得
Q –1AQ = = diag(1, 2, …, n), 其中1, 2, …, n为A的全部特征值,
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量
定理4.7. 实对称矩阵的特征值均为实数.
定理4.8. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同
的特征值, p1, p2是对应与它们的特 征向量, 则p1与p2正交.
事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,
从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例1.
求A
=
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|E–A| =
–3
1
1
–3
= (–2)(–4).
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于2=4, (4E–A)x = 0 即
x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0
解之得
x1 x2
=k
1 1
可得
0 10
200
Q = 1/ 2 0 1/ 2 , Q1AQ = QTAQ = 0 4 0 .
1/ 2 0 1/ 2
004
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
注: 对于2=3=4, 若取(4E–A)x = 0的基础解系
2=(1, 1, 1)T, 3=(–1, 1, 1)T,
= O.
由此可得(k1p1, k2p2, …, kmpm) = O.
因而k1 = k2 = … = km = 0.
这就证明了p1, p2, …, pm是线性无关的.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
定理4.3. Ann ~ 对角矩阵 有n个线性无关的
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
1 2 3 例7. A = 1 4 3 有一个2重特征值.
1a5
(1) a = ?
(2) A 是否可以相似对角化?
1 2 3 解: |EA| = 1 4 3
1 a 5
= (2)(2 8 + 18+3a).
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
………… an1 an2 … a1n
A的迹: tr(A) = a11 + a22 + … + a1n
(1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);
(2) tr(kA) = ktr(A);
(3) tr(AB) = tr(BA).
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
性质4. 设A~B, 则tr(A) = tr(B). 证明: P 1AP = B
例5. 设为方阵A的特征值, 证明() = 22 –3 +4.
为(A) = 2A2 –3A +4E的特征值.
证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A)x = (2A2 –3A +4E)x
= 2(A2)x–3Ax +4x
= 22x–3x +4x
= (22 –3 +4)x
= ()x,
tr(B) = tr(P 1AP) = tr(APP 1) = tr(A).
§4.1 相似矩阵
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
四. 相似对角化 1. 定义:
§4.1 相似矩阵
1 0 … 0
A~ =
0 2 … 0
…………
= P 1AP
0 0 … n
P = (1, …, n)可逆 1, …, n线性无关
对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR).
对于2=3=1,
求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T.
对应于2=3 =1的特征向量为线性k代p数电2子(教0案(1)kR).
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例3. 求
的特征值和特征向量.
解: |E–A| = (+1)( –2)2.
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
200
200
例8. A = 0 0 1 ~ B = 0 y 0
01x
0 0 1
(1) x = __0__, y = __1__.
100 011 (2) P =__0___1___1__满足P 1AP = B.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
所以 ()为 (A)的特征值. 线性代数电子教案(1)
例6. 设1, 2, …, m为方阵A的m个不同的特征值,
p1, p2, …, pm为依次对应于这些特征值的特 征向量, 证明p1, p2, …, pm线性无关.
证明: 若k1p1 +k2p2 +…+kmpm = 0, 则
(k1p1, k2p2, …, kmpm)
则需要将它们正交化. 取1= 2,
2= 3
[3, 2] ||2||
2 =
1 1 1
1 3
1 1 1
=
2 3
2 1; 1
再单位化, 即得
0 1/ 3 2/ 6
Q = (q1, q2, q3) = 1/ 2 1/ 3 1/ 6 .
1/ 2 1/ 3 1/ 6
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A
的对应于1, 2, …, n的标准正交特
征向量.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
400 例9. 把A = 0 3 1 正交相似对角化.
013
解: |E–A| = (–2)(–4)2.
所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2E–A)x = 0的基础解系1= (0,1, –1)T. (4E–A)x = 0的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化即
特征向量.
定理4.4.
1, …, s
☺
1 A 2 1, …, r
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
定理4.4.
☺
1 A 2
1, …, s
1, …, r
§4.3 矩阵可相似对角化的条件
定理4.5.
推论. 若Ann有n个不同的特征值, 则A可以 相似对角化.
例1, 例2, 例3
线性代数电子教案(1)
例1.
求A
=
3 1
1 3
的特征值和特征向量.
解:
|E–A| =
–3
1
1
–3
= (–2)(–4).
所以A的特征值为1=2, 2=4.
对于1=2, (2E–A)x = 0 即
x1 + x2 = 0 x1 x2 = 0
解之得
x1 x2
=k
1 1
(0 k R).
A的对应于1=2的特征向量为线性代数kk电子(教0案(1) kR).
性质7. |E–A| = |E–AT|.
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
例4. 设为方阵A的特征值, 证明2为A2的特征值. 证明: 因为为A的特征值, 即有非零向量x使Ax = x,
于是(A2)x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = 2x, 所以2为A2的特征值.
第四章 矩阵的特征值和特征向量
二. 相似矩阵的定义
§4.1 相似矩阵
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.
易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; (2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C.
§4.1 相似矩阵
===
|P 1||A||P|
|P|1|A||P|
|A|
性质3. 设A~B, 则r(A) = r(B).
证明: P 1AP = B r(A) = r(B).
线性代数电子教案(1)
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n
所以A的特征值为1= –1, 2= 3= 2.
(–E–A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T.
对应于1= –1的特征向量为kp1 (0kR).
(2E–A)x = 0的基础解系:
p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T.
对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3
(k2, k3不同时为零).
§4.4 实对称矩阵的相似对角化
例10. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为