概率论之条件概率

j 1
i 1, 2, ..., n
第一章 概率论的基本概念
Bayes公式的使用
§3条件概率
我们把事件B看作某一过程的结果， 把 A1, A2 , , An 看作该过程的若干个原 因， 根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB A 已知
入场 券
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。‛
例7 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打 破的概率为1／2，若第一次落下未打破，第二次落 下打破的概率为 7／10，若前两次落下未打破，第 三次落下打破的概率为 9／10。试求透镜落下三 次而未打破的概率。
贝叶斯（Bayes）公式
若事件B1, B2 , · · · · · · , Bn是样本空间的一组分割，且 P(A)>0, P(Bi)>0，则
P( ABi ) P( Bi ) P( A | Bi ) P( Bi | A) P( A) P( A) P( Bi ) P( A | Bi ) n P( B j ) P( A | B j )
§5
条件概率
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式
条件概率
0 定义：对事件 A、B，若 P ( A) ，则把 P( AB) P( B | A) P( A)
称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率， 简称条件概率. 事实上，P(A|S) = P(A)，P(B|S) = P(B). 相对地，有时把概率P(A)、 P(B)称作无条件概率.
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B) A、B互斥
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)>0
2）全概率公式:
2. 全概率公式
定义 设为试验E的样本空间, B为E的事件, A1 , A2 , , An为的一个划分, 且P( Ai ) 0 (i 1,2, , n),则 P( B) P( B | A1 ) P( A1 ) P( B | A2 ) P( A2 ) P( B | An ) P( An ) P( Ai ) P( B | Ai )
例3 人们为了了解一支股票未来一定时期内价 格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如 利率的变化 .现在假设人们经分析估计利率下调的概 率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们 估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概 率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概 率为40%，求该支股票将上涨的概率.
例3 已知某厂家的一批产品共100件，其中有 5件废品．为慎重起见，他对产品进行不放回 的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至 少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产 品．求采购员拒绝购买这批产品的概率。
一场精彩的足球赛将要举行, 5个 球迷好不容易才搞到一张入场券.大家 都想去,只好用抽签的方法来解决.
波利亚罐子模型续
罐中有 b 个白球、r 个红球，每次从中任 取一个，取出后将球放回，再加入c 个同 色球和 d 个异色球. (1) (2) (3) (4) 当 c = 1, 当 c = 0, 当 c > 0, 当 c = 0,
b个白球,r个红球
d = 0 时，为不返回抽样. d = 0 时，为返回抽样. d = 0 时，为传染病模型. d > 0 时，为安全模型.
P ( B1 ) 0.3, P ( B2 ) 0.5, P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01,
故 P( A) P( B1 )P( A B1 ) P(B2 )P( A B2 ) P(B3 )P( A B3 )
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发生 的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 解
例 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件 是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件， 现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产 的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB). 300个 300个 乙厂生产 乙厂生产 189个是
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的）
例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． 已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑 球的概率；
例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某 一个年龄段的人在下一年仍然存活的概 率．根据统计资料可知，某城市的人由出生 活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概 率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活 到51岁的概率是多少？
标准件
甲、乙共生产
1000 个
1.4.3 全概率公式
引例 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个 红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得 红球的概率.
1
2
3
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验 E的 样 本 空 间 , A1 , A2 ,, An 为 E 的一组事件 ,若
n i
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个 原因引起的概率，则用Bayes公式
即求 PA B
返回主目录
例 某工厂有四条流水线生产同一产品, 已知这四条流水线 的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线 的次品率依次为0.05,0.04,0.03 及0.02.现从该工厂的这一 产品中任取一件,问取到次品的概率是多少?
解 以Ai (i 1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，
以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。
因为B A1 A2 A3，故有
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
7 9 3 1 1 1 1 . 2 10 10 200
小结
P ( AB ) 1.条件概率 P ( B A) P ( A)
乘法定理
P ( AB) P ( A) P ( B A)
全概率公式
P( A) P( B1 ) P( A B1 ) P( B2 ) P( A B2 ) P( Bn ) P( A Bn )
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( Bi ) P ( A Bi )
例(续) 某工厂有四条流水线生产同一产品,已知这四条流水线 的产量分别点到总产量15%,20%,30%和35%,又知这四条流水线 的产品不合格率依次为0.05,0.04,0.03及0.02.现从该工厂的 这一产品中任取一件,问取到不合格品的概率是多少? 若厂部规定, 出了不合格的产品要追究有关流水线的责 任. 现在在出厂的该产品中任取一件,检查出现为不合格品,但 该产品系哪一条流水线生产的标志已看不清楚, 问厂方应怎样 处理这条不合格品的责任较为合理?
0 1 Ai A j , i , j 1,2,, n; 0 2 A1 A2 An ,
则 称 A1 , A2 ,, An 为 样 本 空 间 的一个划分 .
A2
A 1
An 1
A3
An
（三）全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用
i 1 n
全概率公式
ห้องสมุดไป่ตู้
全概率公式的文氏图解释：
B5
将事件A分解 为若干个互不 相容的较简单 事件之和.
B1
AB1 AB2
A
B3
AB5
AB4
AB 3
B4
B2
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A是 由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
例 设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8，能活 过25岁的概率是0.4．问现龄20岁的该种动物能活25岁的概 率是多少？ 解： 以 A表示某该种动物“能活过20岁”的事件； 以 B 表示某该种动物“能活过25岁”的事件； 由已知,有：
P( A) 0.8,
于是，所求概率
P ( B ) 0.4, P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) P ( B ) 0.4 0 .5 P( B) P ( A) 0.8
P( B | A)
二、乘法公式
定理1 设 P( A) 0, 则有 P( AB) P( A)P(B A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
P ( ABC ) P ( A) P ( B A) P (C AB).
摸彩模型
n 张彩票中有一张中奖，从中不返回 地摸 取，记 Ai为‚第 i 次摸到中奖
券‛ ，则 (1) P(A1) =1/n .
(2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n .
(3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n , i=1, 2, ……, n.
摸 彩 模 型 (续)
• n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai 为‚第 i 次摸到奖券‛ ，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, ……, n • 结论：不论先后，中彩机会是一样的.