概率与统计：条件概率
概率与统计的基本概念及计算方法
概率与统计的基本概念及计算方法概率与统计是数学中的两个重要分支，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
概率与统计的基本概念及计算方法是我们理解和运用这两个概念的基础。
本文将从概率与统计的基本概念入手，深入探讨其计算方法，并结合实际案例进行说明。
一、概率的基本概念概率是研究随机现象的可能性的数学工具。
它描述了某一事件发生的可能性大小。
概率的基本概念包括样本空间、事件和概率的定义。
样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。
例如，掷一枚骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
事件是样本空间的一个子集，它表示我们感兴趣的结果。
例如，掷一枚骰子得到奇数的事件可以表示为{1, 3, 5}。
概率的定义是指一个事件发生的可能性大小，它的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
计算概率的方法有频率法和古典概型法。
频率法是通过实验的频率来估计概率。
例如，我们可以通过多次掷骰子的实验，统计出掷出奇数的频率，从而估计出掷出奇数的概率。
古典概型法是指在样本空间中，每个结果发生的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的骰子，每个数字出现的可能性相等，所以每个数字的概率为1/6。
二、统计的基本概念统计是研究数据的收集、分析和解释的一门学科。
它通过对一定数量的数据进行分析，推断出总体的特征。
统计的基本概念包括总体和样本、参数和统计量、抽样和抽样误差。
总体是指研究对象的全体，它包含了我们感兴趣的所有个体。
例如，我们想研究全国人口的平均身高，那么全国所有人口就是我们的总体。
样本是从总体中选取的一部分个体，它是总体的一个子集。
参数是用来描述总体特征的数值，例如总体的平均值、方差等。
统计量是用来描述样本特征的数值，例如样本的平均值、方差等。
抽样是从总体中选取样本的过程。
为了保证抽样的公正性和代表性，我们通常采用随机抽样的方法。
抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于样本是从总体中选取的一部分，所以样本统计量与总体参数之间存在一定的误差。
概率与统计知识点总结
概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。
随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷骰子得到的点数就是随机事件。
必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。
比如太阳从东方升起，这就是必然事件。
不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。
比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。
二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。
它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。
计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。
三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。
比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。
几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。
四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。
计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
概率统计第1章1.4-1.5
4
4
P(B A) P( AB) P(B) 1 / 4 1 / 3
P( A) P( A) 3 / 4
§1.4 条件概率与乘法公式 1.4.1 条件概率
【例1.14】某家庭中有两个孩子, 已知其中至少有一个是男 孩, 求两个都是男孩的概率(假设男、女孩出生率相同).
解：用g代表女孩, b代表男孩 A =“该家庭中至少有一个男孩”, B =“两个都是男孩”, 注：在事件A发生条件下, 该家庭两个孩子的情况只能是 bb, bg, gb三种情况之一, 即此时样本空间缩小为
n
n
P(B) P( (BAi )) P(BAi )
i 1
i 1
§1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.1 全概率公式
【定理1.2】设试验E的样本空间为 , A1, A2, …, An为E的 一组事件, 且满足：
(1) A1, A2, …, An两两互不相容, P(Ai) > 0 i =1, 2, …, n
1.4.1 条件概率
【例1.13】定义1.6 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 若P(A) > 0，则称 P(B A) P( AB)
P( A) 为在事件A发生下的事件B发生的条件概率．
不难验证，条件概率 满足概率定义1.5中的三条公理：
(1) 非负性：对任意事件B，P(B | A) = 0；
【例1.16】某人忘记了电话号码的最后一位数字, 因而他随 意地拨号. 求他拨号不超过三次而接通电话的概率.
解：设Ai =“第i次接通电话”, i = 1, 2, 3 B =“拨号不超过3次接通电话”
则 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P(B) P( ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 1 9 1 9 18 3
概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
概率与统计【题集】-讲义(教师版)
概率与统计【题集】1. 条件概率与相互独立事件1.盒子中有个白球和个红球，现从盒子中依次不放回地抽取个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是 ．【答案】【解析】设事件为第一次抽取的为白球；设事件为第二次抽到红球，∴；∴第一次抽到白球条件下，第二次抽到红球的概率为．故答案为：．【标注】【知识点】超几何分布；条件概率A.B.C.D.2.甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．则甲在局以内（含局）赢得比赛的概率为（ ）．【答案】A【解析】用表示“甲在局以内（含局）赢得比赛”，表示“第局甲胜”，表示“第局乙胜”，则，，，，，，，∴．故选项．【标注】【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式2. 离散型随机变量的分布列、期望与方差A.B.C.D.3.设是一个服从两点分布的离散型随机变量，其分布列为：则的值为（）．【答案】A 【解析】，∴，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列A.B.C.D.4.已知随机变量的分布列如表（其中为常数）则等于（ ）．【答案】C【解析】由概率之和等于可知，∴．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；概率的基本性质5.若随机变量的概率分布如表，则表中的值为 ．【答案】【解析】由随机变量的概率分布表得：，解得．故答案为：．【标注】【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式A. B.C.D.6.设离散型随机变量的分布列为（）．若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）．【答案】AC【解析】由离散型随机变量的分布列的性质得︰，则，，即，离散型随机变量满足，∴，故结果正确的有．故选．【标注】【知识点】期望与方差的性质3. 两点分布7.已知随机变量服从两点分布，且，设，那么．【答案】【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，设，则．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；两点分布A. B. C. D.8.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去描述次试验的成功次数，则（）．【答案】C【解析】设失败率为，则成功率为．∴的分布列为：则“”表示试验失败，“”表示试验成功，∴由，得，即．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列9.若的分布列为：其中，则，．【答案】 ;【解析】，，故答案为：，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列A.和 B.和 C.和 D.和10.若随机变量服从两点分布，其中，则和的值分别是（）．【答案】D【解析】∵随机变量服从两点分布，且，∴，∴，，∴，．故选．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的方差A. B. C. D.11.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（）．【答案】D【解析】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为，，，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为：．故选：．【标注】【知识点】两点分布；离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率乘法公式4. 次独立重复实验与二项分布A.，B.，C.，D.，12.已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（）．【答案】D【解析】由二项分布的期望和方差公式，，则，∴，，∴，∴．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.13.已知服从二项分布的随机变量满足，则（）的值为（）．【答案】B【解析】．故选．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布14.一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，则．【答案】【解析】∵一批产品的次品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的次品件数，∴，∴，故答案为：．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布15.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第，，层停靠，若该电梯在底层载有位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用表示这位乘客在第层下电梯的人数，则．【答案】【解析】服从二项分布，即，∴．【标注】【知识点】n次独立重复试验与二项分布A. B. C. D.16.新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知，，三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于，，三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，记，，三人中被感染的人数为，则的数学期望（）．【答案】B【解析】，，，，故．故选．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望（1）（2）17.在天猫进行大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：人数消费金额元将当日的消费金额超过元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取人，求至少有位消费者，当日的消费金额超过元的概率．该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案：按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为元、元和元．方案：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有张笑脸、张哭脸，将张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次．每翻到一次笑脸可得元奖励金．如果消费金额不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；超过元且不超过元的消费者均可参加轮翻牌游戏；元以上的消费者均可参加轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由．【答案】（1）（2）．方案投资较少；证明见解析．【解析】（1）记“在抽取的人中至少有位消费者消费超过元”为事件，由图可知，去年消费金额在内的有人，在内的有人，消费金额超过元的“消费达人”共有（人），从这人中抽取人，共有种不同方法，其中抽取的人中没有位消费者消费超过元，（2）共有种不同方法，所以．方案按分层抽样从消费金额在不超过元，超过元且不超过元，元以上的消费者中总共抽取位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为：，，，按照方案奖励的总金额为：（元），方案设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为，，，，由题意，每翻牌次，翻到笑脸的概率为：，所以，，，，所以的分布列为：数学期望为：（元），按照方案奖励的总金额为：（元），因为由，所以施行方案投资较少．【标注】【知识点】组合；离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；古典概型18.（1）（2）（3）年月，我国武汉地区爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，全国各地的学校都推迟年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施，某校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了学校中的名学生对线上课程进行评价打分，其得分情况的频率分布直方图如下：若根据频率分布直方图得到的评分不低于分的概率估计值为．频率组距评分求直方图中的，值，若评分的平均值不低于分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由．若采用分层抽样的方法，从评分在和内的学生中共抽取人，再从这人中随机抽取人检验他们的网课学习效果，求抽取到的人中至少一人评分在内的概率．若从该校学生中随机抽取人，记评分标准在的人数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）（3）满意，证明见解析．．的分布列为：．【解析】（1）（2）由已知得，解得，又，∴，评分的平均值为：，因此该校学生对线上课程满意．由题知评分在和内的频率分别为和，则抽取的人中，评分在内的为人，评分在的有人，记评分在的位学生为 , , ，（3）评分在内的位学生为，，则从人中任选人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共种，其中，评分在内的可能结果为，，，共种，∴这人中至少一人评分在的概率为．学生在分的频率为，用频率估计概率，则每个学生评分在分的概率为，据题意知，的可能取值为，，，，所以，，，，，那么的分布列为：则数学期望，或知．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型；用样本的数字特征估计总体的数字特征问题；众数、中位数、平均数；频率分布直方图；分层随机抽样19.改革开放年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国年至年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（）．（1）（2）（3）体育产业增加值体育产业年增长率从年至年随机选择年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率．从年至年随机选择年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过的年数，求的分布列与数学期望．由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（1）（2）（3）．分布列为：期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【解析】（1）（2）设表示事件“从年至年随机选出年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”．由题意可知，年，年，年，年满足要求，故．由题意可知，的所有可能取值为，，，，且；；；．（3）所以的分布列为：故的期望值．从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业增加值方差最大．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）20.已知某同学每次投篮的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立，该同学投篮次．求至少有次投篮命中的概率．设投篮命中的次数为，求的分布列和期望．【答案】（1）（2）．的分布列为：．【解析】（1）（2）设次投篮至少有次投篮命中为事件，则，∴至少有次投篮命中的概率为．由题意知的可能取值为，，，，，，，，，，，，∴的分布列为：∵，∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望5. 超几何分布A. B. C. D.21.某小组有名男生，名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（）．【答案】C【解析】名男生，名女生中任选名参加活动，则女生人数为人时，女生人数为人时，，∴，∴故答案选．【标注】【素养】数学运算；逻辑推理【知识点】超几何分布（1）（2）22.已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球得分，取出一个黑球得分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）个球，记随机变量为取出球所得分数之和．求的分布列；求的数学期望．【答案】（1）（2）分布列为．【解析】（1）（2）的可能取值有：45．，故所求的分布列为所求的数学期望为．【标注】【知识点】超几何分布，，，（1）（2）23.某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从道题目中随机抽取道回答，至少答对道可以晋级．已知甲同学能答对其中的道题．设甲同学答对题目的数量为，求的分布列及数学期望．求甲同学能晋级的概率．【答案】（1）（2）的分布列为数学期望．．【解析】（1）（2）可取，，，，则，，，，的分布列为．甲同学能晋级的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列（1）（2）24.在某年级的联欢会上设计一根摸奖游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出个球，表示摸出红球的个数．求的分布列．（用数字作答）至少摸到个红球就中奖，求中奖的概率．（用数字作答）【答案】（1）（2）．【解析】（1）（2）的取值为，，，，设摸出个红球的概率为，，，，．中奖的概率为．【标注】【知识点】超几何分布；离散型随机变量的数学期望；离散型随机变量的分布列25.年突如其来的新冠疫情，不仅是一场危机，更是一场考验，给人民的生命财产，身体健康和经济社会发展都带来了巨大的挑战．在党中央的坚强领导下，国内疫情防控取得了阶段性的成果．某企业在此期间积极应对疫情带来的影响，拓展线上经营业务，创造就业机会．该企业招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例（1）（2）（3）总计从表中所有应聘人员中随机选择人，试估计此人被录用的概率．从应聘岗位的人中随机选择人．记为这人中被录用的人数，求的分布列和数学期望．表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【答案】（1）（2）（3）．的分布列为：．，，，【解析】（1）（2）（3）由表可得：应聘人员总数为：，被录用的人数为：，所以从表中所有应聘人员中随机选择人，此人被录用的概率为：．可能的取值为，，，∵岗位的人中，被录用的有人，未被录用的有人，∴，，，∴的分布列为：∴．取掉岗位，男性录用比例为：，女性录用比例为：，∴去掉岗位后，男女比例接近，∴这四种岗位是：，，，．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；古典概型；分层随机抽样频率组距重量克（1）（2）（3）26.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为，，，，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．求的值．在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列．用这件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取件产品，求恰有件产品的重量超过克的概率．【答案】（1）（2）（3）．．【解析】（1）（2）频率分布直方图中每个矩形面积之和为，可得，解得．件产品中任取件重量超过克的产品数量为：，的所有取值为，，；，（3），，从流水线上任取件产品，重量超过克的概率为，重量不超过克的概率为，恰有件产品的重量超过克的概率．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；n 次独立重复试验与二项分布；频率分布直方图（1）（2）27.从名演员中选人参加表演．求甲在乙前表演的概率．若甲参加表演，门票收入会增长万元，若乙参加表演，门票收入会增长万元，若甲乙都参加演出，门票收入会增加万元，记门票增长为（万元），求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）记“甲在乙前表演”为事件，∴，∴甲在乙前表演的概率是．可能取值有，，，，∴，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）（2）（3）28.新生婴儿性别比是指在某段时间内新生儿中男婴人数与女婴人数的比值的倍．下表是通过抽样调查得到的某地区年到年的年新生婴儿性别比．年份新生婴儿性别比根据样本数据，估计从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴的概率（精确到）．从年到年这五年中，随机选取两年，用表示该地区的新生婴儿性别比高于的年数，求的分布列和数学期望．根据样本数据，你认为能否否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断？并说明理由．【答案】（1）（2）（3）．的分布列为的数学期望.可以否定，证明见解析；不能否定，证明见解析；无法判断，证明见解析．【解析】（1）（2）设“从该地区年的新生儿中随机选取人为女婴”为事件，则．的可能取值为，，，，，，所以的分布列为（3）所以的数学期望.答案一：可以否定；从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，由样本估计总体，所以可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案二：不能否定；尽管从样本数据看这五年的男婴在新生儿中的比例都高于，但由于抽样调查本身存在一定的随机性，且从数据上看，男女婴在新生儿中的比例都近似于，所以不能否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断；答案三：无法判断；由于样本容量未知，如果样本容量较小，那么通过样本数据不能“否定生男孩和生女孩是等可能的”这个判断，如果样本容量足够大，那么根据样本数据，可以否定“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断．【标注】【知识点】古典概型；离散型随机变量的数学期望；超几何分布；离散型随机变量的分布列（1）（2）（3）29.年月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目个数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜．求甲、乙两人共答对个问题的概率．试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由．求乙答对题目数的分布列和期望．【答案】（1）（2）（3）．乙胜出的可能性更大，证明见解析．分布列为：期望．【解析】（1）（2）（3）推出两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个．然后求解甲、乙两名学生共答对个问题的概率．甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个，两人共答题，甲答对个，乙答对个，所以甲、乙两名学生共答对个问题的概率﹔．故答案为：．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件，则，为对立事件，求出的概率，得到结论．设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲胜的概率，设乙获胜为事件，则，为对立事件，所以，，所以乙胜出的可能性更大．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解期望．设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，，，，，，，所以随机变量的分布列为：所以期望．【标注】【知识点】离散型随机变量的分布列；离散型随机变量的数学期望；古典概型的概率计算（涉及计数原理）6. 正态分布A. B. C. D.30.已知随机变量，若，，则=（）．【答案】D【解析】根据题意，，∵随机变量，∴，故选：．【标注】【知识点】正态分布31.已知随机变量服从正态分布，若，则．【答案】【解析】因为，所以．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.32.下列有关说法正确的是（ ）．的展开式中含项的二项式系数为的展开式中含项的系数为已知随机变量 服从正态分布，，则已知随机变量 服从正态分布，，则【答案】ACD【解析】、选项：对于二项式的展开式中项为，∴系数为，二次项系数为，故正确，错误；、选项：对于随机变量服从正态分布，∵，∴，∴，又∵对于随机变量服从正态分布且正态分布为∴，故正确、正确．故选．【标注】【知识点】求二项式展开式的特定项；求项的系数或二项式系数；正态分布33.在某市年月份的高三质量检测考试中，所有学生的数学成绩服从正态分布，现任取一名学生，则他的数学成绩在区间内的概率为 ．（附：若，则，．)【答案】【解析】∵学生的数学成绩服从正态分布，∴，．故答案为．【标注】【知识点】正态分布A.B.C.D.34.在一次数学测验中，学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，分为优秀线．下面说法正确的是（ ）．附：；；．学生数学成绩的期望为学生数学成绩的标准差为学生数学成绩及格率超过学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC 【解析】，，∴，显然正确，错误；．，故正确；．，故错误．故选．【标注】【知识点】正态分布35.已知随机变量，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）．A.B.C.D.的取值比的取值更集中于平均值左右两支密度曲线与轴之间的面积均为【答案】B【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：因为，，故正确；由图可知，故错误；因为正态分布曲线越瘦高，数据越集中，故正确；根据正态分布曲线的性质可知，故正确．故选 B .【标注】【知识点】正态分布（1）（2）（3）36.某市需对某环城快速道路进行限速，为了调查该道路的车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，根据测量的车速制成下表：车速频数经计算，样本的平均值，标准差，以频率作为概率的估计值．已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于需矫正速度．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，求该车辆需矫正速度的概率．从样本中任取辆车，求这辆车均需矫正速度的概率．从该快速车道上的所有车辆中任取辆，记其中需矫正速度的车辆数为．求的分布列和数学期望．【答案】（1）．（2）（3）．分布列：，．【解析】（1）（2）（3），，∴小于有辆，大于有辆，∴所求概率．．，，，∴，，，∴分布列：，∴．【标注】【知识点】正态分布；离散型随机变量的数学期望；古典概型（1）1（2）37.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图：分数频率组距根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩．精确到个位）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占．2估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）从该市高三理科学生中随机抽取人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望．（说明：表示的概率．参考数据（，）【答案】（1）12（2）．．分布列为：∴．【解析】（1）12（2）．设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为，则，∴，∴，解得．由题意可知，∴，，，，，，∴的分布列为：∴．【标注】【知识点】n 次独立重复试验与二项分布；离散型随机变量的数学期望38.《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理，化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、，，，、、、共个等级，参照正态分布原则，确定各等级人。
数学中的概率与统计揭秘随机事件的规律与趋势
数学中的概率与统计揭秘随机事件的规律与趋势数学中的概率与统计学是一门研究随机事件的规律与趋势的学科，它在各个领域具有广泛的应用。
通过概率与统计的方法，我们可以揭示事物背后的规律，做出科学决策，并为未来的发展提供依据。
本文将探讨数学中的概率与统计，并揭秘随机事件的规律与趋势。
一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间。
0表示不可能事件，1表示必然事件，其他数值表示事件发生的可能性大小。
概率可以通过实验、经验或数学推导得到。
例如，掷硬币的结果是正面或反面，两种结果的概率都是0.5。
二、概率的计算方法1.古典概型：对于等可能发生的事件，可以用古典概型来计算概率。
例如，一枚骰子的点数有6个可能结果，每个结果的概率都是1/6。
2.几何概型：对于连续随机事件，可以用几何概型计算概率。
例如，某地每天的降雨量服从正态分布，我们可以通过计算曲线下的面积来得到某个降雨量区间的概率。
3.条件概率：当事件A的发生受到其他事件B的影响时，我们可以通过条件概率来计算事件A在已知B发生的情况下的概率。
例如，在试卷成绩已知的情况下，计算学生得到A的概率。
三、统计学的基本概念统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。
它通过对样本进行推断，来获取总体的信息。
统计学在科学研究、社会调查和商业决策中起着重要的作用。
1.总体和样本：总体是指研究对象的整体，样本是从总体中选取的一部分。
通过对样本进行统计分析，我们可以推断总体的特征。
2.描述统计学和推断统计学：描述统计学用来描述数据的集中趋势和离散程度。
推断统计学则利用样本数据来推断总体的特征，并给出估计值和置信区间。
3.参数和统计量：在统计学中，总体的特征称为参数，样本的特征称为统计量。
通过统计量估计参数可以帮助我们了解总体的特征。
四、概率与统计的应用概率与统计学广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学、工程技术和医学健康等。
1.自然科学：在物理学、化学和生物学等领域，概率与统计学可以用来分析实验数据，验证科学假设，揭示事物的规律。
概率与统计学中的关键公式整理
概率与统计学中的关键公式整理在概率与统计学中，有许多重要的公式被广泛应用于数据分析、推断和决策过程中。
这些公式能够帮助我们对数据进行有效的统计分析，并从中获取有用的信息。
本文将对概率与统计学中的关键公式进行整理和介绍，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、概率公式1. 条件概率公式条件概率是指在给定某个条件下，事件发生的概率。
条件概率可以使用以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
2. 边际概率公式边际概率是指在多个事件中某一个事件发生的概率。
边际概率可以使用以下公式计算：P(A) = ∑ P(A∩Bi)其中，P(A)表示事件A发生的概率；P(A∩Bi)表示事件A和事件Bi同时发生的概率；∑表示对所有可能的事件Bi求和。
3. 联合概率公式联合概率是指多个事件同时发生的概率。
联合概率可以使用以下公式计算：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
二、统计学公式1. 期望值公式期望值是指随机变量的平均值，可以用来衡量数据的中心趋势。
期望值可以使用以下公式计算：E(X) = ∑ (xi * P(xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值；xi表示随机变量X可能取的值；P(xi)表示随机变量X取值为xi的概率；∑表示对所有可能的取值xi求和。
2. 方差公式方差是衡量数据的离散程度，可以用来评估数据的分散程度。
方差可以使用以下公式计算：Var(X) = E((X-μ)^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差；E表示期望值；X表示随机变量X的取值；μ表示随机变量X的期望值。
条件概率与统计学基础
一年级上册语文工作计划（13篇）一年级上册语文工作计划（13篇）一年级上册语文工作计划篇1 一.复习目标：1.通过复习掌握声母、韵母的发音，准确拼读音节，正确书写。
2.准确认读255个生字，会默写其中的129个字，掌握基本笔画。
3.进一步正确、流利地朗读课文，能背诵指定的课文。
4.正确使用普通话，养成说普通话的习惯，能认真与别人交谈，认真听别人讲话，努力了解讲话的主要内容。
二.复习重点：1.复韵母和鼻韵母的发音。
2.熟读255个字，会听写129个字，掌握24种笔画名称。
三 .复习的难点：1.由字组成的词语、以及课文中的反义词、数量词的掌握。
2.课文的朗读和背诵。
四.复习内容。
1.拼音部分：6个单韵母，23个声母，9个复韵母，9个鼻韵母，16个整体认读音节，给字选择正确的读音。
2.字词部分：A.听写129个字和由129个字组成的词语。
掌握24种笔画名称，能按笔顺规则正确书写129个字。
B.本书中出现过的反义词、数量词。
C.字形变化，给字加一笔，去一笔，变一笔。
D. 观察图形，认识事物，了解事物与拼音和字之间的联系，进行音节、字、启、图的连接训练。
3.句、课文部分。
A.课文的阅读、背诵指定的课文，重点训练根据课文内容填空。
B. 认识句号、问号、叹号。
根据不同的语气读好这些句子。
C.能仿照练习中的句式练习说话，如：谁在什么地方干什么什么地方有什么有有还有。
D.能看图复述图意，并用一句话或几句话说出图意，进行拓展练习，指导画、写结合。
五.班级情况分析：班级人数47人，根据平时的表现来看，班内大部分学生的学习积极性较好，但有5个左右学生上课的接受能力较弱，注意力不集中，学习成绩较差。
拼音部分的基础较差，复韵母，鼻韵母，整体认读音节部分掌握不够。
对于后进生，需要教师给予个别辅导。
在生字的认识上，班内学生只有少数几个能够认识并读出以及由字组成词进行应用。
因此，在复习阶段应努力着重于认读生字这方面。
六.复习措施：1.根据课后作业和课堂作业本单元试卷的内容，整理好复习内容。
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(6) 互补性 P( A ) 1 P( A) 例 在1100这100个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被6或8整除的概率; （2）取到的数既不能被6也不能被8整除的概 率; （3）取到的数能被6整除而不能被 8整除的概率。
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 十人依次从袋中各取一球(不放回)，问
一般地，有下列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1).
例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取 一只，观察其颜色后放回，并再放 入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续 取球4次,试求第1、2次取得白球、 第3、4次取得红球的概率。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
某商店搞抽奖活动.顾客需过三关,第i关 从装有i+1个白球和一个黑球的袋子中抽取一只,抽 到黑球即过关.连过三关者可拿到一等奖.求顾客能 拿到一等奖的概率. 解:设Ai: “顾客在第i关通过”;B: “顾客能拿 到一等奖”,
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 1 1 (A|B)=P(A)? (1)P(A)≥0；=> P(B|A)=P(AB)/P(A)≥0 何时 P(A|B)>P(A)? (2) P(S)＝ 1; => P(S|A)=P(AS)/P(A)=1 (3) 可列可加性 何时P(A|B)<P(A)?
设BC=¢ , P( BC|A)=P{(BC)A}/P(A)
概率与统计
条件概率
概率的公理化定义
若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一 事件A，均赋予一实数P(A)，满足： (1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 归一性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两 两互不相容的事件，则 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。
P( A1 A2 A3 A4 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )P( A4 | A1 A2 A3 )
2 P ( A1 ) 5
3 P ( A2 | A1 ) 6
3 P( A3 | A1 A2 ) 7 4 P ( A4 | A1 A2 A3 ) 8
设A——第一次取到红球, (2) P( B) 2 1 3 2 2 2 B——第二次取到红球. 5 A5
(1) P( B | A) 1
4
2 1 1 (3) P( AB) 2 A5 10
A——第一次取到红球,
B——第二次取到红球
S=
A
B
显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两
个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样
本点，则
nAB P( B | A) nA
P( AB) P( B | A) P( A)
nAB nA
n n
P( AB) P( A)
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
(5.2)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p13)
“条件概率”是“概率”吗？
2.概率的性质
(1) P( ) 0
(2) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，则
P ( A1 ... An ) P ( Ai )
i 1 n
(3) 单调不减性：若事件AB，则P(A)≥P(B)
(4)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有
第一个人取得红球的概率是多少？
第二 个人取得红球的概率是多少？
答：设A i表示第i人取到红球,i 1, 2,...,10 9! 1 P( Ai ) , i 1, 2,...,10 10! 10
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人 取到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球 ，则第二个人取到红球的概率 又是多少？
已知事件A发生的条件下， 事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
1.4 条件概率
一、定义 例3 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽 取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的 概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率
答:顾客能拿到一等奖的概率为1/60.
三、全概率公式与贝叶斯公式
例 4.(p15) 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的 同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别 为 1/4 、 1/4 、 1/2 ，且三家工厂的次品率分别为 2 ％、 1 ％、 3 ％，试求市场上该品牌产品的次品 率。
新 40 旧 20
30 10
nA 60
nAB 40
n AB 2 P( B | A) nA 3
某牌号的电视机使用到3万小时的概率为0.6， 使用到5万小时的概率为0.24，一台电视机已使用 到3万小时，求这台电视机能使用到5万小时的概率。 解:设A={使用到3万小时},B={使用到5万小时}，于是
=P(B|A)+P(C|A) =P(BACA)/P(A)=P(BA)/P(A)+P(CA)/P(A)
例2(p14) 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有 红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一 球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球 的概率。
红 白
设A--从盒中随机取到一只红球.
B--从盒中随机取到一只新球.
P( A) 0.6, P( AB) P( B) 0.24
则
P( AB) P( B A) 0.4 P( A)
二、乘法公式 (p14) 设A、B为两个事件，P（A）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A).
(1.4.1)
式(1.4.1)就称为事件A、B的概率乘法公式。 式(1.4.1)还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).