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概率论与数理统计课件-条件概率
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
1 2
《概率统计》
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
(3) 如果A、B相互獨立，則有
P( AB) P( A)P(B) P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) 1 P( A)P(B) 或 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
設 A＝{其中有１件正品}，B＝{另１件也是正品}，則
P(B | A)
P( AB) P( AB) P( A) 1 P( A)
C72 C120
1
C32 C120
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例3.設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率 為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？ 解: 設A={活到20歲}，B={活到25歲}
解：設A ={至少有一個女孩}，B={兩個都是女孩} 則所求概率為 P(B | A) （為什麼？） (1)利用縮減樣本空間法
縮減的樣本空間為： {{男,女}, {女,男}, {女,女}}． 於是， P(B | A) 1 .
3 (2)利用公式法
P(B | A) P( AB) P( AB) 1/ 4 1 . P( A) 1 P( A) 11/ 4 3
1．定義 設A、B二事件，如果滿足等式
P(AB)=P(A)P(B) 則稱A、B為相互獨立的事件．
顯然，必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件A都相互獨立．
２．性質 (1)若P(A)>0, P(B)>0,
則A和B獨立
P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A)
(2)如果 A、B 相互獨立,則 A 與B ，A與 B ，A 與B 也相互獨立．
概率论与数理统计第五节 条件概率.ppt5(最新版)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P ( B) P ( Ai ) P ( B｜Ai )
i 1
3
对求和中的每一 项用乘法公式
代入数据计算便可得结果， 我们这里略去计算。
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
例题选讲 例题1 设在10个同一类型的元件中有7个一等品, 从这些元件中不放回地连续取3次,每次取一个元件, 7 ( ) 求: 1) 3次取得一等品的概率 24 119 2) 3次中至少一次取得一等品的概率 （ ）
120
例题2 设P( A) 0.5, P( B) 0.4, P( A | B) 0.6 求P( AB), P( A | A B)的值
解 设Ai 第i次取出黑球，i 1, 2,...n, 则所 求的概率为P ( A1... An1 An1 1... An ) p
则 p P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( An1 | A1 An1 1 ) *P( An1 1 | A1 An ) P( An | A1 An1 An1 1 An-1 )
B
AB A
S
2 定义
P( AB) 设A,B是两个事件且P(A)>0,称 P( B A) P( A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
条件概率也符合概率的公理化定义中的三个条件：
1) 非负性 对于每一事件B,有P(B|A)>=0;
2) 规范性 对于必然事件S,有P(S|A)=1;
3) 可列可加性 :
也可以直接按条件概率的含义来求 P(B A) ：
概率论与数理统计第一章第四节：条件概率
§1.4 条件概率
1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下，事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下， P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间 产品有60件，而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B｜Ai )
n
,
P(Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)
1. 条件概率的定义
在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件A已经发生” 的条件下，事件B发生的概率。
通常记事件A发生的条件下, 事件B发生的 概率为 P(B|A)。
一般情况下， P(B|A) ≠P(B) 。
Ch1-2
引例 袋中有7只白球, 3只红球, 白球中
P(A, P(B, P(AB),P(B|A)
解
甲车间产品数
乙车间产品数
总
数
合格品数 54 32 86
次品数 6 8 14
总数 60 40 100
P(A) 86 0.86 P(B) 60 0.6 P(AB) 54 0.54
100
100
100
而求P(B|A)实质上是求在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲车间 产品有60件，而其中合格品有54件,所以
8 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就
得到在概率计算中常用的全概率公式。
全概率公式
设A1, A2,…, An是两两互斥的事件，且 P(Ai)>0, i =1, 2, …, n; 另有一事件B, 它总是与 A1, A2, …, An 之一同时发生，则
n
P(B) P( Ai )P(B｜Ai ) i 1
P(Ai | B)
P(Ai )P(B｜Ai )
n
,
P(Aj )P(B｜Aj )
j 1
i 1, 2,, n .
该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导 致B发生的每个原因的概率。
B AB AB
P(AB) P(A) P(B | A) P( AB) P( A) P(B | A)
《条件概率》课件
答案2
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
《条件概率》ppt课件
contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
两次都取到白球的概率为$frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} = frac{9}{25}$。解析：第一次取到白球 的概率为$frac{6}{10}$，第二次取到白球的概率为 $frac{6}{10}$，因此两次都取到白球的概率为 $frac{6}{10} times frac{6}{10} = frac{36}{100} =
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contents
目录
• 条件概率的定义 • 条件概率的性质 • 条件概率的应用 • 条件概率的实例分析 • 条件概率的习题与解答
CHAPTER 01
条件概率的定义
条件概率的数学定义
定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作P(A|B)。
公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
条件概率的几何意义
条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条 件下，事件A发生的概率，这可以表示 为在事件B发生的条件下，事件A发生 的区域与整个样本空间的比值。
CHAPTER 02
条件概率的性质
条件概率的加法性质
总结词
条件概率的加法性质是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当某一事件B发 生时，另一事件A发生的概率等于两事件 A和B同时发生的概率加上A不发生但B发 生的概率。
贝叶斯决策
贝叶斯决策是一种基于贝叶斯定理的决策方法，通过计算不 同行动方案在不同自然状态下的期望效用值，选择最优的行 动方案。贝叶斯决策中需要用到条件概率来计算不同自然状 态下的期望效用值。
在机器学习中的应用
分类器设计
在分类器设计中，常常需要计算不同类别下的条件概率，以设计最优的分类器。例如， 在朴素贝叶斯分类器中，通过计算不同特征在不同类别下的条件概率，实现分类器的设
概率论课件-条件概率
则 B1, B2, B3 是样本空间 的一个划分,
且 P(B1 ) 0.15, P(B2 ) 0.80, P(B3 ) 0.05,
P( A B1) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.03. (1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.
P( AC) 1 P( AC) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由貝葉斯公式得所求概率為
P(C A)
P( AC)P(C)
P( AC)P(C) P( AC)P(C)
0.087.
即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人 患有癌症.
(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的
概率;
(2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是 次品, 为分析此次品出自何厂, 需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.
解 设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i 1,2,3)
表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”.
證明
P ( Bi
A)
P(Bi A) P( A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
i 1,2,,n.
P(ABj)P(Bj)
j 1
引例4：一班與二班各有40人分班上課，其中一班有 20名女生，二班有18名女生。現從兩個班中 任選一名學生，假設每人被選到的可能性相 同，每班被選到的可能性也相同。已知選到 了一名女生，問她來自一班的可能性是多少？
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
且 P(B1 ) 0.15, P(B2 ) 0.80, P(B3 ) 0.05,
P( A B1) 0.02, P( A B2 ) 0.01, P( A B3 ) 0.03. (1) 由全概率公式得
P( A) P( A B1)P(B1) P( A B2 )P(B2 ) P( A B3 )P(B3 ) 0.0125.
P( AC) 1 P( AC) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由貝葉斯公式得所求概率為
P(C A)
P( AC)P(C)
P( AC)P(C) P( AC)P(C)
0.087.
即平均1000個具有陽性反應的人中大約只有87人 患有癌症.
(1) 在仓库中随机地取一只元件 ,求它是次品的
概率;
(2) 在仓库中随机地取一只元件, 若已知取到的是 次品, 为分析此次品出自何厂, 需求出此次品由三 家工厂生产的概率分别是多少. 试求这些概率.
解 设 A 表示“取到的是一只次品”, Bi (i 1,2,3)
表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”.
證明
P ( Bi
A)
P(Bi A) P( A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
i 1,2,,n.
P(ABj)P(Bj)
j 1
引例4：一班與二班各有40人分班上課，其中一班有 20名女生，二班有18名女生。現從兩個班中 任選一名學生，假設每人被選到的可能性相 同，每班被選到的可能性也相同。已知選到 了一名女生，問她來自一班的可能性是多少？
则 A3 、A4 为事件第三、四次取到白球.
因此所求概率为 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 )P( A3 A1 A2 )P( A2 A1 )P( A1 ) ta t ra r . r t 3a r t 2a r t a r t
条件概率教育文档
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条件概率是概率论中一个重要的概念，用于描述在已知某些条件的情况下，事件发生的可能性。
本文档将介绍条件概率的基本概念、计算方法及其在实际应用中的意义。
基本概念
条件概率是指在已经发生某个事件B的条件下，事件A发生的概率。
记作P(A|B)，读作“在B发生的条件下，A发生的概率”。
计算方法
条件概率的计算可以使用以下公式：
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
实际应用
条件概率在实际应用中有广泛的应用，特别是在统计学和机器研究领域。
以下是一些实际应用场景：
1. 疾病诊断：医生根据患者的症状和检查结果，计算某种疾病的概率，以辅助诊断。
2. 市场调研：根据消费者的个人信息和购买行为，计算某种产品销售的概率，指导市场营销策略。
4. 事件预测：根据历史数据和已知条件，计算未来事件发生的概率，用于风险评估和决策制定。
总结
条件概率是概率论中的重要概念，描述了在已知某些条件的情况下，事件发生的可能性。
通过计算条件概率，我们可以在实际应用中进行疾病诊断、市场调研、自然语言处理和事件预测等任务。
理解和应用条件概率对于深入理解概率论和提升决策能力具有重要意义。
概率论与数理统计条件概率PPT课件
（ 1 ） P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) = 0 . 9 × 0 . 9 = 0 . 8 1 （ 2 ） P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A B ) = 0 . 9 + 0 . 9 － 0 . 8 1 = 0 . 9 9
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
《概率统计》
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
《概率统计》
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
（3）P(A B A B)=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)
问题：条件概率P(B|A)与普通概率有何关系？
P(B| A) 6 6 / 20 P( AB ) 10 10 / 20 P( A)
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§1.4.1 条件概率
一、 条件概率
1.定义1 设A，B为随机试验E 的两个事件，且P(A)＞0，则称
P(B| A)P(AB) P(A)
为在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率. 注：条件概率与普通概率有相类似的性质，如，
则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85
因 A、B、C 相互独立，所求概率分别为
(1) P(ABC)
(2) P(ABC)
(3) P ( A B C A B C A B C A B C )
算法 (1) P (ABC ) P (A )P (B )P (C )
(2) P (A B C )P (AB )1 C P (AB ) C (3) 略.
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二、多个事件的独立性
(1) 3个事件相互独立的定义
三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P(AB) P(A)P(B)
P(AC) P(A)P(C)
《条件概率》课件
在机器学习中的应用
01
分类器设例如，朴素贝
叶斯分类器就是基于条件概率的分类器之一，它可以根据已知特征的概
率分布来预测未知样本的类别。
02
聚类分析
在聚类分析中，条件概率可以帮助我们确定不同数据点之间的相似性或
差异性。例如，基于密度的聚类算法可以利用条件概率密度函数来评估
数据点之间的相似性或差异性。
03
强化学习
在强化学习中，条件概率可以帮助我们确定在不同状态下采取不同行动
的概率。例如，Q-learning算法可以利用条件概率来评估在不同状态下
采取不同行动的期望回报。
04 条件概率的实例分析
抛硬币实验的条件概率分析
总结词：直观理解
详细描述：通过抛硬币实验，理解条件概率的概念。假设硬币是均匀的，那么正 面朝上的概率是0.5。在硬币已经连续出现几次正面朝上的情况下，下一次抛掷 仍然是正面朝上的概率仍然是0.5，即条件概率不变。
全概率公式与贝叶斯公式
总结词
全概率公式和贝叶斯公式是条件概率的 两个重要公式，全概率公式用于计算一 个事件的概率，而贝叶斯公式则用于更 新一个事件的概率。
VS
详细描述
全概率公式将一个事件的概率分解为若干 个互斥事件的概率之和，而贝叶斯公式则 是在已知先验概率和新信息的情况下，更 新一个事件的概率。这两个公式在统计学 、机器学习和数据分析等领域有着广泛的 应用。
B
题目2答案与解析
出现一个正面和一个反面的概率为0.75。解 析：出现一个正面和一个反面意味着出现 HH、HT、TH、TT四种情况中的三种，其
D
概率为C(2,1) / C(2,2) * C(2,1) / C(2,2) =
3/4。
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56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
概率统计-条件概率
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左