概率论初步(20200920091326)
概率初步重知识点总结
概率初步重知识点总结概率论最早起源于赌博和游戏中心，随着科学技术的发展，概率论得到了迅速发展，被广泛应用于生物学、经济学、统计学、物理学、社会学等各个领域。
概率论的核心思想是通过建立适当的模型来描述随机现象，并利用数学工具来分析这些模型，从而求解相关问题。
概率论的研究对象是概率空间中的随机事件，概率论的研究方法是通过建立概率空间，定义随机事件和概率，并利用概率分布和统计规律来分析和预测随机现象的规律性。
概率论主要包括以下几个方面的内容：概率空间和随机事件、随机变量和概率分布、数理统计和概率模型、随机过程和随机系统等。
从更详细的角度来看，概率论包括概率基本概念和概率公理、条件概率和独立性、随机变量和概率分布、大数定律和中心极限定理、极限理论和数理统计、随机过程和马尔可夫链等。
概率论的重要性不言而喻，在实际生活中，人们经常需要通过科学方法来描述随机现象的规律性，评估随机事件的可能性，预测随机现象的结果。
概率论在经济学、金融学、生物学、医学、社会学、物理学等领域都有广泛的应用。
概率论在现代科学技术中所占的地位非常重要，不仅对于基础研究有着深远的影响，而且在解决现实问题中发挥着重要的作用。
比如，在金融领域中，概率论被广泛应用于股票价格的预测、金融市场的波动分析、风险控制和保险等。
在生物学领域中，概率论被应用于遗传学的研究、细胞生物学的分析、生态系统的模拟等。
在社会学领域中，概率论被应用于人口统计、社会调查、市场调查等。
在物理学领域中，概率论被应用于量子力学、热力学、统计物理学等。
总之，概率论是一门非常重要的数学分支学科，它不仅有着深厚的理论基础，而且在解决现实问题中具有重要的应用价值。
因此，深入研究概率论的理论和方法，对于提高数学素养、拓展科学视野、培养科学思维和解决实际问题都具有重要意义。
下面我们将对概率论的一些基本概念、基本原理和基本方法进行初步总结。
1. 概率空间和随机事件概率空间是概率论研究的基本对象，它是一个三元组(Ω, F, P)，其中Ω 是样本空间，F 是Ω 的一个σ-代数，P 是定义在 F 上的一个概率测度。
第六章 概率论初步 (上)
了解即可 在每次试验中它总是发生
第
事件A发生必然导致事件B发生，称为事
六
件B包含事件A，或称事件A包含事件B
章
第
一
事件包含与相等
了解即可
概
节
率
随
论
机 事
初
件
和事件 事件“A、B中至少有一个发生”为事件A 与事件B的和事件，也称A与B的并，记作
了解即可
步
积事件 事件“A，B同时发生”为事件A与事
(上)
随机试验和 样本空间 样本空间 了解即可 样本点的全体构成的集合
随机事件 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，记作
了解即可
பைடு நூலகம்
事件
随机 了解即可 试验E所对应的样本空间Ω的子集 事件 基本事件 的概 了解即可 样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件
念 必然事件 样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，
2016填13
交换律
运算律
了解即可
结合律 分配律
对偶律
关系 图形
了解即可
件B的积事件，也称A与B的交，记作
了解即可
差事件 事件“A发生而B不发生”为 了解即可 事件A与事件B的差事件，记作
互不相容（或互斥）
了解即可
事件A与事件B不能同时发生，即
事件“B不发生”
随机 对立事件 为事件B的对立事件
事件
（或余事件/逆事
了解即可
的关
件），记作
系与
运算
A∪B=Ω，A∩B=Φ，则A与B 互为对立事件
概率初步全章教案
概率初步全章教案第一章：概率的概念与基础1.1 概率的定义与性质引入概率的概念，解释概率的含义和作用探讨概率的基本性质，如非负性、区间概率等1.2 随机事件与样本空间定义随机事件和样本空间的概念举例说明随机事件和样本空间的运用1.3 条件概率与独立事件引入条件概率的概念，解释条件概率的计算方法探讨独立事件的性质，说明独立事件的概率计算方法第二章：概率的计算与应用2.1 排列组合复习排列组合的基本原理，如排列数、组合数等应用排列组合知识计算事件的概率2.2 概率分布引入概率分布的概念，解释离散概率分布和连续概率分布的特点探讨概率分布的性质，如期望、方差等2.3 概率的应用举例说明概率在实际问题中的应用，如概率论的基本定理、中心极限定理等第三章：随机变量与概率分布3.1 随机变量的定义与分类定义随机变量的概念，解释离散随机变量和连续随机变量的特点举例说明随机变量的运用3.2 概率分布函数引入概率分布函数的概念，解释概率分布函数的性质和计算方法探讨概率分布函数的应用，如概率查询、累积分布函数等3.3 期望与方差定义随机变量的期望和方差的概念，解释期望和方差的计算方法探讨期望和方差的意义和应用，如期望值的最小化、方差的减小等第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律介绍大数定律的概念，解释大数定律的含义和作用探讨大数定律的证明方法和应用，如样本均值的收敛性等4.2 中心极限定理引入中心极限定理的概念，解释中心极限定理的含义和作用探讨中心极限定理的证明方法和应用，如样本均值的分布等4.3 随机过程与马尔可夫链简介随机过程的概念，解释随机过程的特点和应用引入马尔可夫链的概念，解释马尔可夫链的性质和应用第五章：概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用举例说明概率论在社会科学领域的应用，如统计调查、社会统计等5.2 概率论在自然科学中的应用举例说明概率论在自然科学领域的应用，如物理学中的随机过程、生物学中的遗传概率等5.3 概率论在经济学与管理学中的应用举例说明概率论在经济学与管理学领域的应用，如风险分析、决策理论等5.4 概率论在工程与应用科学中的应用举例说明概率论在工程与应用科学领域的应用，如通信系统中的概率论、可靠性工程等第六章：离散型随机变量及其分布6.1 离散型随机变量的定义引入离散型随机变量的概念，解释其在概率论中的重要性举例说明离散型随机变量的运用6.2 概率质量函数与分布列定义概率质量函数的概念，解释如何计算离散型随机变量的概率分布探讨分布列的性质，如边缘分布、条件分布等6.3 离散型随机变量的期望与方差定义离散型随机变量的期望和方差的概念，解释它们的计算方法探讨期望和方差在离散型随机变量分析中的应用第七章：连续型随机变量及其分布7.1 连续型随机变量的定义引入连续型随机变量的概念，解释其在概率论中的重要性举例说明连续型随机变量的运用7.2 概率密度函数与分布函数定义概率密度函数的概念，解释如何计算连续型随机变量的概率分布探讨分布函数的性质，如累积分布函数、生存函数等7.3 连续型随机变量的期望与方差定义连续型随机变量的期望和方差的概念，解释它们的计算方法探讨期望和方差在连续型随机变量分析中的应用第八章：大数定律与中心极限定理的应用8.1 大数定律的应用探讨大数定律在实际问题中的应用，如估计总体均值、检验总体分布等举例说明大数定律的运用8.2 中心极限定理的应用探讨中心极限定理在实际问题中的应用，如估计样本均值的分布、构建置信区间等举例说明中心极限定理的运用8.3 随机过程与马尔可夫链的应用探讨随机过程在实际问题中的应用，如排队理论、随机行走等举例说明马尔可夫链的运用，如状态转移矩阵、稳态分布等第九章：概率论在实际问题中的应用案例分析9.1 概率论在生物学中的应用案例分析概率论在遗传学、流行病学等生物学领域中的应用案例讨论案例中的概率模型和解决方法9.2 概率论在金融学中的应用案例分析概率论在金融市场分析、风险管理等金融学领域中的应用案例讨论案例中的概率模型和解决方法9.3 概率论在工程学中的应用案例分析概率论在可靠性工程、通信系统等工程学领域中的应用案例讨论案例中的概率模型和解决方法第十章：概率论与现代概率论简介10.1 概率论的发展与现代概率论的起源回顾概率论的历史发展，介绍现代概率论的起源和发展趋势10.2 随机变量的进一步概念与方法探讨现代概率论中的一些高级概念和方法，如随机变量的高级性质、随机过程的分类等10.3 随机分析与随机微积分简介随机分析的概念和基本方法，解释随机微积分在现代概率论中的应用10.4 概率论在当代科学研究中的应用探讨概率论在物理学、生物学、计算机科学等当代科学研究领域中的应用和前景重点解析本章教案主要涵盖了概率初步的全貌，从概率的概念与基础，到概率的计算与应用，再到随机变量与概率分布，到大数定律与中心极限定理，以及概率论在各个领域中的应用。
概率初步全章教案
概率初步全章教案教学对象：高中数学教学目标：1. 理解概率的基本概念和术语；2. 学会计算简单事件的概率；3. 了解随机事件的独立性和互斥性；4. 掌握概率的加法规则和乘法规则；5. 能够应用概率解决实际问题。
教学内容：第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义和例子1.2 样本空间和样本点1.3 事件的定义和例子1.4 事件的集合表示法第二章：简单事件的概率计算2.1 计算单个事件的概率2.2 计算互斥事件的概率2.3 计算独立事件的概率2.4 计算条件概率第三章：随机事件的独立性和互斥性3.1 独立事件的定义和性质3.2 互斥事件的定义和性质3.3 独立性和互斥性的判断方法3.4 独立性和互斥性的应用第四章：概率的加法规则4.1 加法规则的定义和公式4.2 加法规则的应用举例4.3 加法规则的推广和拓展第五章：概率的乘法规则5.1 乘法规则的定义和公式5.2 乘法规则的应用举例5.3 乘法规则的推广和拓展教学方法：1. 采用讲授法，讲解概率的基本概念和公式；2. 利用例题和练习题，培养学生的计算能力和解决问题的能力；3. 组织小组讨论，引导学生思考和探索概率的性质和规律；4. 利用多媒体教学，增加学生的学习兴趣和参与度。
教学评估：1. 课堂提问和回答问题，了解学生的学习情况；2. 布置作业和练习题，检查学生的掌握程度；3. 组织课堂讨论和小组活动，评估学生的参与和合作能力；4. 进行期中和期末考试，综合评价学生的学习成果。
教学资源：1. 教材和参考书，提供概率的基本概念和计算方法；2. 教案和教学笔记，指导教师的教学内容和教学步骤；3. 练习题和测试题，帮助学生巩固知识和提高能力；4. 多媒体课件和教学视频，增加学生的学习兴趣和参与度。
第六章：条件概率和贝叶斯定理6.1 条件概率的定义和性质6.2 条件概率的计算方法6.3 贝叶斯定理的定义和公式6.4 贝叶斯定理的应用举例第七章：随机变量及其分布7.1 随机变量的定义和性质7.2 离散型随机变量的分布律7.3 连续型随机变量的概率密度7.4 随机变量的期望和方差第八章：大数定律和中心极限定理8.1 大数定律的定义和性质8.2 大数定律的应用举例8.3 中心极限定理的定义和性质8.4 中心极限定理的应用举例第九章：概率论在实际问题中的应用9.1 概率论在统计学中的应用9.2 概率论在工程学中的应用9.3 概率论在经济学中的应用9.4 概率论在生物学中的应用10.1 概率论的基本概念和公式10.2 概率论的主要定理和性质10.3 概率论在实际问题中的应用案例10.4 常见问题和难题解答与提示教学方法：1. 采用讲授法，讲解条件概率、随机变量等高级概念；2. 通过案例分析和实际应用，培养学生的应用能力和解决问题的能力；3. 组织小组讨论和课堂互动，引导学生深入理解和掌握概率论的核心思想；4. 利用多媒体教学和实际数据，增加学生的学习兴趣和参与度。
概率论与数理统计初步(第一节-随机事件与概率)
第七章 概率论与数理统计初步第一节 随机事件与概率1．1 随机试验与随机事件1．随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。
有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。
例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。
另一类现象却呈现出非确定性。
例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。
又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。
这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。
人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。
概率论中研究的试验具有如下特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。
例1 掷一枚均匀 了，观察出现的点数。
试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。
分别用1，2，3，4，5，6表示。
例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。
试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。
分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。
2．随机事件在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。
全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。
在例1中，该随机试验有6个基本事件，分别为1，2，3，4，5，6，故该试验的样本空间}6,5,4,3,2,1{=Ω。
第九章 概率论初步
9.3 概率的基本公式
例 某市发行日报和晚报两种报纸，该市住户中订日报的占 50%，订晚报 的占 60%，既订日报又订晚报的占 30%，求该市中下列住户所占的百分比．
（1）至少订一种报纸；（2）至多订一份报纸；（3）两种报纸都不订．
解：对于该市住户，设事件 A {订日报} ，事件 B {订晚报} ，则事件 AB { 既 订 日 报 又 订 晚 报 } ． 根 据 条 件 ， 有 P(A) 0.5 ， P(B) 0.6 ， P(AB) 0.3 ．
9.2 随机事件的概率
9.2.2 古典概型
现在介绍一类可以直接计算随机事件概率的简单随机试验，
此类试验具有如下两个特征：
（1）有限性：试验的样本空间由有限个样本点组成，可表示
为
{1,2,L ,n} ； （2）等可能性：每次试验中各个样本点出现的可能性相同，
有
P(1) P(2 ) L
P(n )
10 28
5 14
．
（2）设事件 B { 取到 1 个白球 1 个黑球} ，则事件 B 发生相当于在 5 个
白球中任取 1 球，在 3 个黑球中任取 1 球，共有 C51C31 种取法，故事件 B 所含 样本点个数为 C51C31 15 ，因此
P(B)
C51C31 C82
15 28
．
9.3 概率的基本公式
2.事件的和与积、事件的互斥
9.1 随机事件
定义 4 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生所构 成的事件称为事件 A 与事件 B 的和（或并），记作 AUB．
9.1 随机事件
事件 A 与事件 B 同时发生所构成的事件称为事件 A 与事件 B 的积（或交）， 记作 AB （或 AI B ）．
第十一章 概率论初步
概率论在以下几个方面与其它数学课程不 同：
研究的现象更加接近日常生活 推理方法更加接近人类的真实思维模式 根据概率统计得出的结论：一个是告诉你将要发生的结果，再一 个是告诉你这个结果发生的可能性。实际上，它能够告诉你多种 可能的结果以及各种结果出现的可能性
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
写出例1、例2中各个随机试验的样本空间，并 用其相应的基本事件表示事件：“取得的球的 号数大于2”；“接到的电话查询次数大于 40”。 解：例1中，每次取得的球的号数是1，2，3， 4，5中的一个数，所以共有5个样本点，取得 的球的号数为i这一样本点，记为ωi（i=1，2， 3，4，5），因此样本空间为Ω={ω1，ω2， 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) ω3，ω4，ω5}。
设事件A为“任取的一数是偶数”，求P（A）
设事件B为“任取的一数是5的倍数”求P（B）
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
袋内装有5个白球和5个黑球，从中任取两球 设事件A为“取到的都是白球”，求P（A）。
设事件B为“恰取到一只黑球”，求P（B）。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
(AB)C=A(BC)
分配律：
(A B)C=AC BC
(AB) C=(A C)(B C)
对偶律：
=
AB
=
A B
第十一章 概率论初步
AB
AB 数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
概率论初步
概率论初步一、知识要点（一）等可能事件（古典概型）的概率：P（A）=等可能事件概率的计算步骤：①计算一次实验的基本事件总数n；②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m；③依公式P（A）=求值.（二）几何概型（1）几何概率模型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件的区域长度（面积或体积）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）二、经典例题例1、从52张扑克牌（无大小王）中任取一张，取到“黑桃A”的概率是多少？取到“A”的概率又是多少？例2 、将一个圆盘8等分，指针绕着中心较快的旋转，令指针突然停止，求指针停在偶数区域内的可能性大小。
例3、选择题（1）下列事件中是必然事件的是( )．A ．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球B ．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏C ．小红期末考试数学成绩一定得满分D ．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上（2）同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件中是不可能事件的是( )． A ．点数之和为12 B ．点数之和小于3 C ．点数之和大于4且小于8 D ．点数之和为13（3）下列说法中正确的是( )．A ．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定B ．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大C ．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大D ．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等（4）从不透明的口袋中摸出红球的概率为51，若袋中红球有3个，则袋中共有球( )． A ．5个 B ．8个C ．10个D ．15个例4、在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它 作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗?为什么?三、巩固提升1、同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是______，______．2、有10张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢?3、小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0～9这10 个数字中的一个)，第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少?4、有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1，2，3，4，那么从每组中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?两张牌的牌面数字之和等于几的概率最小?5、口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球4个，1求：(1)口袋里黄球的个数；(2)任意绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是3摸出1个红球的概率．四、知识总结1.古典概型的适用条件：实验结果的有限性和所有结果的等可能性.2.几何概型的特点：①实验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等. 3.概率的性质①非负性：在随机试验E 中，对其中任意一个事件A ，有0≤P （A ）≤1； ②规范性：必然事件P （E ）=1； 不可能事件：P （∅）=0； 对立事件：P （ ）=1-P （A ） 五、课后作业1．一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对的概率为( )． A ．1B ．21C ．31D ．412．掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“3”朝上的概率为( )． A ．61B ．41C ．31D ．213．一个口袋共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率是( )． A ．54B ．53C ．52D ．514. 用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．A 同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”B 同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”你同意两人的说法吗?如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大?。