概率论初步古典概型
概率论与数理统计-古典概型
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而，
P( A) 3 0.3. 10
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N
设 Ak 表示第k 次取得次品，则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是，P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件，其总量可用某种几何特征进行度量；事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为：
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
古典概型的概率公式
古典概型的概率公式古典概型是概率学中最基础也是最重要的概念。
它定义了概率学的基本理论，提出了许多有趣的假设和结论，也服务于数学和计算机科学的发展。
简而言之，古典概型就是通过观察事件是否发生来计算概率的方法，即在一定条件下某事件发生的条件概率，用数学形式来表达就是古典概率公式。
古典概型的概率公式是：P（A）=n（A）/n（S），其中P为概率，A为某事件，S为试验空间，n（A）/n（S）为该事件发生的概率。
其中，n（A）表示满足A条件的结果的数目，n（S）表示满足S条件的结果的总数。
古典概型的概率公式提出的基本概念是：若实验开展了n次，其中A事件发生m次，则A事件发生的概率等于m除以n：P （A）=m/n。
古代概率公式比较简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
在概率论的基本原理分布定理的框架下，古典概型的概率公式可以用来计算试验空间中某事件发生的期望值、方差、及独立事件之间的关系。
古典概型概率公式也为基于古典概型的相关概率学的理论发展提供了基础，形成了一套完整的概率学理论体系，为后来新兴的概率学分支研究提供了基础。
古典概型概率公式也为其他科学领域提供了参考和指导，特别是在计算机技术和信息处理方面更是如此。
古典概型概率公式可以用来建立合理的评估模型，用来估计某事件发生的可能性，也可以用来估计系统中各个组件的可靠度，以及各个系统模型的可信度。
这些估计的结果可以用来衡量分析系统的性能，基于此可以设计出更高效，稳定，可靠的系统。
此外，古典概型的概率公式还可以应用于更多的领域，比如统计、金融学、决策理论、运筹学、社会科学等。
在这些领域，古典概型概率公式通常被用于研究不确定风险及结果，以做出明智的抉择，帮助采取最佳决策。
总之，古典概型的概率公式和它所涵盖的概率学理论，是目前所有概率学的基础。
它有助于更好地理解不确定事件的发展趋势，也为更加明智的决策提供了指导。
古典概型的概率公式也可以用于许多领域，从数学建模到计算机技术等，都有其重要作用，它已成为概率学及其相关领域的重要理论和工具支持。
古典概型的特征与概率计算公式
古典概型的特征与概率计算公式古典概型是概率论中最基本的概型之一，它的特点是每个事件的可能性相等。
在古典概型中，我们可以通过计算样本空间和事件空间的大小来计算事件发生的概率。
1.等可能性：在古典概型中，每个事件的发生概率都是相等的。
2.有限性：古典概型中的样本空间是有限的，即所有可能的结果有限个。
3.独立性：古典概型中的事件之间是相互独立的，即一个事件的发生不会影响其他事件的发生概率。
根据这些特征，我们可以通过以下公式计算古典概型中事件的概率：1.概率的定义：事件A的概率P(A)定义为事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有可能结果发生的总可能性的比值。
即：P(A)=N(A)/N(Ω)，其中N(A)表示事件A的结果数目，N(Ω)表示样本空间Ω中所有可能结果的数目。
2.互斥事件：如果两个事件A和B是互斥的（即A和B不可能同时发生），则它们的概率之和为各自概率的和。
即：P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的（即A的发生不会影响B的发生概率），则它们的概率乘积等于各自概率的乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
4.补事件：事件A的对立事件为A的补事件，记作A'。
补事件是指样本空间中不属于事件A的结果。
事件A的发生与A'的不发生是互斥的。
因此，P(A')=1-P(A)。
5.复合事件：如果事件A和B是两个独立事件，则同时发生的概率为两个事件的概率乘积。
即：P(A∩B)=P(A)*P(B)。
通过以上公式，我们可以计算古典概型中事件的概率。
需要注意的是，在应用这些公式时，必须满足古典概型的特征，即事件是等可能发生的、样本空间是有限的，并且各事件之间是相互独立的。
《古典概型》 知识清单
《古典概型》知识清单一、什么是古典概型古典概型是概率论中一种最基本、最简单的概率模型。
它具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
比如说掷一枚质地均匀的硬币，结果只有正面和反面两种，而且出现正面和反面的可能性是相等的，这就是一个古典概型的例子。
再比如掷一个质地均匀的骰子，出现 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点的可能性相同，这也是古典概型。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数 m ／基本事件的总数 n举个例子，掷一个质地均匀的骰子，求掷出奇数点的概率。
掷出奇数点有 3 种情况（1 点、3 点、5 点），而掷骰子总共 6 种可能结果，所以掷出奇数点的概率 P ＝ 3 ／ 6 ＝ 1 ／ 2 。
三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
这需要我们清楚地知道试验中所有可能的结果有多少个。
2、确定事件 A 包含的基本事件个数 m 。
要准确找出满足事件 A 发生的所有可能情况。
3、代入公式计算 P(A) ＝ m ／ n 。
比如从 1、2、3 这三个数字中随机抽取一个数字，求抽到奇数的概率。
基本事件总数 n ＝ 3，事件“抽到奇数”包含的基本事件个数 m ＝ 2（1 和 3），所以概率 P ＝ 2 ／ 3 。
四、古典概型中的排列组合在计算古典概型的概率时，经常会用到排列组合的知识。
排列：从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
组合：从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记作C(n, m) 。
例如，从 5 个人中选 2 个人排成一排，有多少种排法？这就是排列问题，结果是 A(5, 2) ＝ 20 种。
而从 5 个人中选 2 个人组成一组，不考虑顺序，有多少种选法？这就是组合问题，结果是 C(5, 2) ＝ 10 种。
古典概型
(3)恰有两位乘客在同一层离开,由于没有规定在哪一层离开,故有 种离开方式,有两人在某一层离开,有 种离开方式,其余4人的离开方式不在同一层离开,这有以下三种方式：4人在同一层离开共有 种离开方式;有3个人在同一层离开,另一个人在其余8层中的任一层离开,共有 种可能;4个人都不在同一层离开,共有 种结果.于是,有利结果数为
[例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.
解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型 ,而有利事件 发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以
一、古典概型
一个随机试验,数学上是用样本空间 、事件域 和概率 来描述的.对一个随机事件 ,如何寻求它的概率 是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:
对于一个试验 ,如果具有:
(1)样本空间 的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为 个,并记它们为 ,
(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有
.
[例7] 9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，求事件 ：每一组有一名女生，及事件 ：3 名女生在同一组中的概率.
解：(1)9名学生中有3名女生，将3名女生随机地分成3组，每组3人，共有 种分法.
对于事件 ,先将男生分到组里去,每组2名,这有 种,再将女生分到每一组,每组一名,共有3!种,因此 的有利样本点共有 种.所以
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。
每个基本结果出现的可能性相等。
111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。
112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。
12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。
互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。
121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。
122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。
13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。
确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
代入公式计算 P(A) 。
132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。
确保对基本事件的界定清晰无误。
14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。
141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。
完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。
15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。
明确性：能够清晰地定义和区分。
151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。
152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。
16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。
抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。
摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。
161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。
古典概型及其概率计算公式
古典概型及其概率计算公式古典概型是概率论中最简单的模型之一，适用于试验结果只有有限个可能结果、这些结果发生的概率相等的情况。
在古典概型中，可以使用概率计算公式来计算特定事件发生的概率。
首先，我们来了解一下古典概型的基本概念和特点。
古典概型由以下两个要素组成：1.试验空间：试验的所有可能结果构成的集合，记为S。
例如，一次掷硬币的试验空间为S={正面，反面}。
2.事件：试验空间的子集，即试验的一些结果或一些结果组成的集合。
事件可以用大写字母A、B、C等表示。
在古典概型中，如果试验的所有可能结果有n个，且这些结果发生的概率相等，则每个结果发生的概率为1/n。
这种情况下，事件A的概率可以用以下公式计算：P(A)=n(A)/n(S)其中，n(A)表示事件A中的结果个数，n(S)表示试验的结果个数。
接下来，我们通过几个具体的例子来进一步理解和应用古典概型及其概率计算公式。
例子1：一枚骰子的掷出结果。
试验空间S={1,2,3,4,5,6}，共有6个可能的结果，每个结果发生的概率为1/6事件A：出现偶数点数；事件B：出现奇数点数。
n(A)=3，n(B)=3因此，事件A的概率为P(A)=n(A)/n(S)=3/6=1/2；事件B的概率为P(B)=n(B)/n(S)=3/6=1/2例子2：一副扑克牌中抽出一张牌的结果。
试验空间S={52张不同的牌}，共有52个可能的结果，每个结果发生的概率为1/52事件A：抽出一张红心牌；事件B：抽出一张大于10的牌。
n(A)=26，n(B)=16因此，事件A的概率为P(A)=n(A)/n(S)=26/52=1/2；事件B的概率为P(B)=n(B)/n(S)=16/52=4/13例子3：一个有5个不同颜色的球的盒子中抽出3个球的结果。
试验空间S={所有可能的颜色组合}，共有C(5,3)=10个可能的结果，每个结果发生的概率为1/10。
事件A：抽出的3个球颜色不相同。
n(A)=C(5,3)=10。
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将5卷文集任意排放，共有 P55种不同的排法．
A：1 2 3 4 5或5 4 3 2 1共2种
所以
P A 2 1
P55 60
三、等可能事件和对立事件的概率
1.等可能事件及其概率：一次试验有n种等可能 出现的结果.其中事件A包含m种，则P( A) m n
2.对立事件及其概率： 事件E、F满足：E U F ，且E I F ， 则E、F叫对立事件，
m1
THT, TTH},
CHale Waihona Puke 1 3，P( A1)m1 n
3 8
(2)A2={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH }
m2
8 1，P( A 2)
m2 n
7 8
例2.一部5卷文集，将其按任意顺序排放在书 架上试求其恰好按先后顺序排放的概率．
解：设 A={5卷文集按先后顺序排放}
一、随机事件与古典概型 必然现象：必然会出现的现象 不可能现象：必然不会出现的现象 随机现象：在一定条件下有可能出现也有
可能不出现且有统计规律的现象
判断下列现象是否为随机现象？ （1）在标准大气压下，水在0oC时结冰。 （2）明年上海5月份的平均温度为20oC
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。
如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一 个基本事件的概率都是 1 。
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事 件，那么事件A的概率 P( A) m
n
注意：
(1) 0 P( A) 1
(2)P() 1, P() 0
(3)若 {1，2，2，L ，n }， 则P(1 ) P(2 ) L P(n ) 1
解：10个同学出生的基本事件数为1210；
记"10个同学在不同的月份出生"为A，
则A所包含的事件数为P1120，
P( A)
P 10 12
1210
0.0039
P( A)
1
P( A)
0.9961
例3.一个袋子中有10个红色球，5个蓝色球， 10个无色球，这些球的质地、形状都一样， 同时抽取2个球. (1) 都是有色球的概率是多少？ (2) 至少有一个是无色球的概率是多少？
随机抛掷两颗骰子，朝上的面的两数和为多
少的可能性最大？
卡当曾予言说押7最好 ！
点数之和分别可为2～12共11种。从图中可
知，7是最容易出现(6次)。 则7出现的概率是6/36=1/6
123456 1234567 2345678 3456789 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
解：抛掷三枚均匀的硬币的基本事件数为23 8；
(1)记"三枚硬币都是字朝上"为A， 则A所包含的事件数为1， P( A) 1 8
( 2)记 " 三枚硬币中至少一枚字朝上，一枚图朝上 "
为B，"三枚都是字朝上或图朝上"为C，则B C，
显然C包含的事件数为2.
P(C ) 2 1 P(B) P(C ) 1 1 3
概率：对随机事件出现可能性大小的数值 度量叫做这个随机事件的概率。
随机事件A的概率记做P( A)
古典概型
生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：
基本事件只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同 具有这两个特点的概率模型叫古典概型.。
显然P(
A)
随机事件A所包含的事件数 试验中所有的事件数
二、古典概型的求解步骤
17.1 概 率论 初 步 --古典概型
《重要的艺术》一书的作者、意大利医生兼 数学家卡当，曾大量的进行过赌博。他在赌 博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。
据说卡当曾参加过这样的赌法：把两颗骰 子掷出去，以每个骰子的点数之和作为赌博 的内容。已知骰子的六个面上分别为1～6点， 那么，赌注下在多少点上最有利
记A的对立事件为A，则P( A) P( A) 1
例1.在100件产品中有90件一等品和10件二等
品，从中随机取出4件产品.求(1) 恰有一件二
等品的概率；(2)至少含有一件二等品的概率.
解：在100件产品中取出4件产品，所有的基本
事件数为C1400； (1)记"随机取出的4件产品中恰有1件二等品"
例1 .将一枚硬币抛掷三次。设：
(1)事件 A1为“恰有一次出现正面”， (2)事件 A2为“至少有一次出现正面”，
求 P (A1 ), P (A2 )。 解：设H为正面；T为反面，
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT},
n = 2×2×2＝8，
(1)A1={HTT,
为A，则A所包含的事件数为C930C110，
P( A)
C930C110 C4
100
1424 4753
0.30
(2)记"随机取出的4件产品中至少含有1件二等品"
为B，则B的对立事件B所包含的事件数为C940，
P(B)
C940 C4
100
0.65
P(B)
1
P(B)
0.35
例2.求随机抽取的10个同学中，至少有2个在 同一月份出生的概率.
17世纪中期，喜欢赌博的贵族梅莱向友人 数学家帕斯卡（1623～1662，法国数学家、物 理学家、哲学家）写信提了好多问题．事实
上概率论正是从梅莱的这封信开始的．帕斯
卡收到信以后和费马交换了意见，发展成了 概率论．
帕斯卡
费马
拉普拉斯
引例：掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：
(1) 出现5点； (2) 出现奇数点； (3) 出现的点数大于4； (4) 出现7点； (5) 出现的点数小于7；
试验的所有可能的结果都叫做试验结果或基本事件 所有可能的基本事件所组成的集合叫做基本事件全集
记作： {1，2，2，L ，n }
必然事件 : 试验后必定出现的事件，
不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件， 记作。
随机事件所组成的集合常用A、B…表示，它是Ω的子 集。必然事件和不可能事件都是随机事件.
解：25个球中任意抽取
2个的基本事件数为C
2；
25
(1)记"抽取的2个球中都是有色球"为A，
则A所包含的事件数为C125，
P( A)
C125 C225
7 20
(2)记"抽取的2个球中至少有一个无色球"为B，
则B A， P(B) P( A) 1 P( A) 13 20
例4.抛掷三枚均匀的硬币，求下列事件的概 率： (1)三枚硬币都是字朝上； (2) 至少有一 枚字朝上，一枚图朝上.