7.第七讲 概率与统计——古典概型与概率可乘
概率论与数理统计-古典概型
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而，
P( A) 3 0.3. 10
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N
设 Ak 表示第k 次取得次品，则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是，P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件，其总量可用某种几何特征进行度量；事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为：
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
古典概型古典概率PPT优秀课件
通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型 概率的方法和步骤吗？
想 一 想 ？
例2（掷骰子问题）：将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数。 问：⑴两数之和是3的倍数的结果有多少种？ 两数之和是3的倍数的概率是多少？ ⑵两数之和不低于10的结果有多少种？ 两数之和不低于10的的概率是多少？
第
二 6 7 8 9 10 11 12
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
小学奥数 五升六 奥数 五年级奥数 第7讲概率与统计——两个知识点：古典概型与概率可乘性
的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“去”
字，即可以参加。那么这四人谁被抽中的概率最大？
A．1 号
B．4 号
C．一样大
D．无法确定
5．甲、乙、丙三人在百步之外射箭恰好射到靶心的概率分别为 40%、50%、60%，如果该
射手在百步之外各射箭一次，
⑴现三人各射箭一次，三人都没有射中的概率是多少？
⑵现三人各射箭一次，求至少两人射中的概率；
A．12%、68%
B．15%、65%
C．18%、62%
D．10%、60%有 6 个班，每个班各有 30 名学生。现要在 6 个班中随机选出 2 个班
参加植树活动，活动中发现树苗不够，抽取 4 名去取树苗。那么五年级学生中小李被
抽中的概率为多少？
A． 1 3
B． 1 15
C． 8 15
D． 1 45
4．有编号为 1、2、3、4 的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样
(★★★) A、B、C、D、E、F 六人抽签推选代表，公正人一共制作了六枚外表一样的签，其中只有 一枚刻着“中”，六人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被选为代表。 那么这六人被抽中的概率分别为多少？
(★★★★) 甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是 ： 1、2、1
352 ⑴现三人各投篮一次，求三人都没进的概率； ⑵现三人各投篮一次，求至少两人投进的概率；
2
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．阿奇一次掷出了 6 枚硬币，结果恰有 3 枚硬币正面朝上的概率是多少？
A． 1 8
B． 1 4
C． 5 16
D． 1 16
古典概型的特征和概率计算公式课件(40张)
14
[解] (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本 事件．
分别是 A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共 3 个． (2)从袋中取两个球的等可能结果为球 1 和球 2，球 1 和球 3，球 1 和球 4，球 1 和球 5，球 2 和球 3，球 2 和球 4，球 2 和球 5，球 3 和球 4，球 3 和球 5，球 4 和球 5.故共有 10 个基本事件．
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为____．
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37
1 3
[基本事件为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙
乙甲，共 6 个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共 2 个，所以
甲站在中间的概率为2 6＝1 3.]
3．广州亚运会要在某高校的 8 名懂外文的志愿者中选 1 名，其
的．如果试验的所有 可能结果 (基本事件)数为 n，随机事件 A 包含的 基本事件数为 m ， 那 么 事 件 A 的 概 率 规 定 为 P(A)
＝
.
思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该
试验是古典概型吗？
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[提示] 不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若 相同才是，否则不是．
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1．古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型 的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式 P(A)＝mn 时，关 键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，从而求出 m，n.
2．求某个随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件 的总数，常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．
用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有 {1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共 6 个，所以 P(A)＝165＝ 2 5.
概率论与数理统计之古典概率.
计算 S 以及感兴趣的事件 A 所包含的样本点数，分别记 作n和m. 计算得 P( A) .mn
备注
• • 放回抽样 取出元素旋即放回，参加下一次抽取， 即每次抽取都是在全体元素中进行. 不放回抽样 某元素一旦被取出就不再参加以后 的抽取，所以每个元素至多被选中一次．
第一章 概率论的基本概念
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
二、古典概率的定义
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为： A包含的样本点个数 P(A)＝k/n＝ S的样本点总数 称此概率为古典概率.
P13 例1
古典概型的解题步骤：
1.
2. 3.
选取适当的样本空间 S，判断是否为古典概型（有限性、 等可能性）.
第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 3 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？ 解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
第一章 概率论的基本概念
美国数学家伯格米尼曾经做过一个 别开生面的实验，在一个盛况空前、 人山人海的世界杯足球赛赛场上，他 随机地在某号看台上召唤了 22 个球迷， 请他们分别写下自己的生日，结果竟 发现其中有两人同生日.
用上面的公式可以计算此事出现的概率为
P( A) =1-0.524=0.476
即22个球迷中至少有两人同生日的概率 为0.476.
进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
古典概型 课件
(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6， 4)，(6，5)，(6，6)．共 36 个基本事件．
(2)“出现的点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事 件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6， 3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有： {A1，B2}，{A1，B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
(1)xy≤3 情况有 5 种，所以小亮获得玩具的概率＝156. (2)xy≥8 情况有 6 种，所以获得水杯的概率＝166＝38. 所以小亮获得饮料的概率＝1－156－38＝156＜38，即小 亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)将一枚骰子先后抛掷两次，则： (1)一共有几个基本事件？ (2)“出现的点数之和大于 8”包含几个基本事件？
(1)解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可 能结果为：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共 4 种可能．
答案：C
(2)解：法一(列举法)： (1)用(x，y)表示结果，其中 x 表示骰子第 1 次出现的点 数，y 表示骰子第 2 次出现的点数，则试验的所有结果为： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2， 1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3， 2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4， 3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，
4．整数值随机数的产生及应用
概率论与数理统计古典概型
Ω={{正面向上}，{反面向上}}， 所以Ω的基本事件总数为2。 设A={正面向上} [或设A表示“正面向上”事件]，则A包含
的基 本事件为{正面向上}，即它包含的基本事件总数为1。
何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑“顺序”时用排列，不考虑
“顺序”时用组合。另外，当考虑“顺序”时，样本空间及所关心的事 件A 所包含的基本事件总数的计算，都要用排列，反之亦然。
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古典概型
4.3 古典概型的概率计算举例（利用运算性质）
例6.口袋中有6只球，其中白球4只，黑球2只。现从中任取1只(取 后不放回)，然后再任取1只，求：(1)取到2只白球的概率?(2)取到 两个颜色相同的球的概率?(3)至少取到1只白球的概率? 解：6只球中的任意2只球的一种排列，是一个基本事件，因此，所 有可能的基本事件总数为P62。 设A={取到2只白球},B={取到2只黑球} ,C={取到两个颜色相同 的球} ,D={至少取到1只白球} 。 则A包含的基本事件总数为P42，B包含的基本事件总数为P22， 则P(A),P(B)可求。 而显然，C=A∪B=A+B；D+B=Ω（即D与B互逆）， 从而有，P(C)= P(A)+P(A)； P(D)=1- P(B)。
§１.３ 古典概型
一、古典概型的定义
二、古典概型计算公式 三、古典概型计算步骤 四、古典概型计算举例 五、几何概型及其计算
《概率统计》
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1. 古典概型
古典概型
若试验E具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个， 即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。
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第七讲概率与统计——古典概型与概率可乘
知识点汇总：
例题练习：
1、一枚硬币连抛4次，求恰有2次正面的概率。
【举一反三】
一枚硬币连抛3次，至少有一次正面向上的概率______。
2、某列车有4节车厢，现有6个人准备乘坐。
设每一位乘客进入每节车厢的可能性是相等的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率为多少
3、某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生。
现要在6个班中随机选出2个班参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，抽取4名幸运观众。
那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为________。
【举一反三】
学校门口经常有小贩搞摸奖活动。
某小贩在一只黑色口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球。
搅拌均匀后，每2元摸1个球，奖品的情况标注在球上(如图)。
如果花4元钱，同时摸2个球，那么获10元奖品的概率为______。
4、A、B、C、D、E、F六人抽签推选代表，公正人一共制作了六枚外表一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被选为代表。
那么这六人被抽中的概率分别为多少？
5、甲、乙、丙三人投篮，投进的概率分别是：
⑴现三人各投篮一次，求三人都没进的概率；
⑵现三人各投篮一次，求至少两人投进的概率；
小试牛刀
1．阿奇一次掷出了6枚硬币，结果恰有3枚硬币正面朝上的概率是多少？
2．三个人乘同一辆火车，火车有十节车厢，则至少有两个人上同一节车厢的概率是多少？
3．中关村小学五年级有6个班，每个班各有30名学生。
现要在6个班中随机选出2个班参加植树活动，活动中发现树苗不够，抽取4名去取树苗。
那么五年级学生中小李被抽中的概率为多少？
4．有编号为1、2、3、4的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人照字母顺序先后抽签，抽完不放回，谁抽到“去”
字，即可以参加。
那么这四人谁被抽中的概率最大？
5．甲、乙、丙三人在百步之外射箭恰好射到靶心的概率分别为40%、50%、60%，如果该射手在百步之外各射箭一次，
⑴现三人各射箭一次，三人都没有射中的概率是多少？
⑵现三人各射箭一次，求至少两人射中的概率；。