概率论第十四章概率论初步重要知识点

第十四章 概率论初步第一节 事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。

一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。

例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180º。

另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。

例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。

对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果;（3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。

随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。

样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。

例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i =其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。

例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {}i i 取出球的号码为=则}1021{、、、Λ=Ω称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。

如在例2中， A={}取出球的标号为奇数因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。

相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。

我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：（1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ,记为B A ⊂由例2，{}5球的标号为=B ，则A B ⊂（2）等价 如果B A ⊂同时A B ⊂，则称事件A 与事件B 等价,记为A=B 。

由例2, 若}97531{、、、、C 球的标号为=， 则A=C (3) 交事件 "事件A 与事件B 同时发生",这样的事件称为事件A 与事件B 的交(或积),记作 B A I (或AB)}5{球的标号为=C B I将交事件推广到有限个或可列个事件的情形,称i ni A 1=I 为n 个事件n 、A 、、A A Λ21的交事件,表示n 个事件同时发生；称i i A ∞=1I 为可列个事件ΛΛ、、A 、、A A 21的交事件，表示可列个事件同时发生。

（4）并事件 "事件A 与事件B 至少有一个发生",这样的一个事件称作事件A 与B的并，记作 B A Y记 }3{≤=球的标号D , 则 }975321{、、、、、D A 球的标号为=Y 同样将并事件推广到有限个或可列个事件的情形，称i ni A 1=Y 为n 个事件n 、A 、、A A Λ21 的并事件；称i i A ∞=1Y 为可列个事件ΛΛ、、A 、、A A 21的并事件。

（5）差事件 "事件A 发生而B 不发生",这样的事件称为事件A 与B 的差,记作B A - 。

}9731{、、、B A 球的标号为=- （6）互不相容事件 如果事件A 与B 不能同时发生,也即AB 是一个不可能事件，称A 与B 为互不相容事件，记为 φ=B A I记}4{球的标号为=E , 则A 与E 为互不相容事件(7) 逆事件又称对立事件 设事件A 与B ，如果φ=Ω=B ，A B A I Y , 则称B 为A 的逆事件或对立事件,或称A 与B 互逆，B 也记为A 。

例3、设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则事件"A 发生，B 、C 都不发生"可表为 C B A"A 、B 都发生，C 不发生"可表为 C AB"A 、B 、C 中至少有一个发生"可表为 C B A Y Y"A 、B 、C 中不多于一个事件发生"可表为 C B A C B A C B A C B A Y Y Y"A 、B 、C 中至少有两个事件发生"可表为ABC BC A C B A C AB Y Y Y事件运算满足如下规则：（1）交换律 A B B A Y Y = ， A B B A I I =（2）结合律 )()(C B A C B A Y Y Y Y = ， )()(C B A C B A I I I I =（3）分配律 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y = ，)()()(C A B A C B A Y Y I Y I =（4）De Morgan 定理（对偶原则）B A B A I Y = ，B A B A Y I =推广到有限个和可列个的情形 i n i i n i A A 11===I Y ， i ni i n i A A 11===Y Ii i i i A A ∞=∞==11I Y ， i i i i A A ∞=∞==11Y I事件是Ω的某些子集,如果把"是事件"的这些子集归在一起，则得到一个类，记作F ，称作事件域，即 },:{是事件A A A F Ω⊂=二、随机事件的概率定义1 随机事件A 发生可能性大小的度量（数值），称为A 发生的概率,记作)(A p 。

概率具有下述性质：（1）非负性：任给F A ∈，10≤≤p ； （2）规范性：1)(=Ωp ； （3） 可列可加性：任给F A i ∈，Λ、、i 21=且任意事件两两互不相容，有)()(11∑∞=∞==i ii i A p A p Y 由此可得到以下结论：（1）0)(=φp ，即不可能事件的概率为0；（2）有限可加性，若事件n 、A 、、A A Λ21两两互不相容， 则 )()(11∑===ni ii n i A p A p Y ； （3）事件A 、B ，如果B A ⊂，则有)()()(A p B p A B p -=-，)()(B p A p ≤；（4）对任意事件A ，有 10≤≤p ；（5）对任意事件A ，有)(1)(A p A p -=（6）对于任意事件A 、B ，有 )()()()(B A p B p A p B A p I Y -+= ， )()()(B p A p B A p +≤Y该公式也可推广到有限个事件，较复杂在此省略。

三、古典概率对于一个随机试验，如何寻求随机事件A 的概率)(A p 呢？先讨论一类较为简单的随机试验，它具有两类共性：（1） 试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间的元素（基本事件）为有限个，}{21n 、、、ωωωΛ=Ω，在一次试验中有且仅有其中的一个基本事件发生；（2） 试验中每个事件i ω)21(、n 、、i Λ=发生的可能性相等，即)()()(21n p p p ωωω===Λ。

具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。

如果古典概型中的所有基本事件的个数是n ，事件A 包含的基本事件的个数是k ，则事件A 的概率为 )(A p = nk例4、盒内有5个双喜牌，3个双环牌乒乓球，从中任取2个，问两个都是双喜牌的概率？解：试验可能出现的结果共有2828=C 种，其中取得两个为双喜牌所包含的基本事件数为1025=C 种357.02810≈=p 例5 、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有2只成双的概率是多少？解：设A 为"4只鞋子中至少有两只成双"的事件，A 为"4只鞋子中没有成双"的事件，基本事件总数为410C 。

A 所包含基本事件数（先从5双中任取4双，再从抽出的4双中每双抽出1只）共有4542C ⨯种， 2182)(410454=⨯=C C A p 所以 21132181)(1)(=-=-=A p A p 例6 、（分房问题） 设有n 个人，每人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住)(N n ≤，求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住；（2）恰好有n 个房间，其中各住一个人。

解：因为每人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有n N 种，它们是等可能的。

指定的n 个房间各有一个人住，其可能总数为n 个人的全排列!n ，nN n p !1= ； n 个房间可以在N 个房间中任意选取，有n N C 种选法，)!(!!2n n N N N n C p n n n N -=⋅= 。

例7、 某班级有n 个人（365≤n ），问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？解：A 为事件"n 个人至少有两个人的生日相同"，A 为事件"n 个人的生日全不相同")!(!)(n N N N A p n -=， )!(!1)(1)(n N N N A p A p n --=-=，)365(=N 四、条件概率1、条件概率前面讨论了一些简单的概率，实际上存在很多复杂的概率问题，比如求在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，也记为求)|(B A p 。

例8、 某班共有60名学生，其中有10名视力减退，而这10名学生中有6名轻度近视，4名高度近视，现在班上任点一名学生，问：（1）点到的学生恰为高度近视的概率；（2）已知点到的一名学生视力减退，该生是高度近视的概率。

解：设为A"点到的学生高度近视"事件，为B"点到的学生势力减退"事件（1） 151604)(==A p (2) 52104)|(==B A p 又 AB 为事件"点到的学生既是视力减退又是高度近视"616010)(==B p ，151604)(==AB p ， )()(601060452)|(B p AB p B A p === 定义 设A 、B 为事件，且0)(>B p ，称)()()|(B p AB p B A p =为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。

条件概率具有概率的三个基本性质：（1）非负性 对任意的F A ∈，0)|(≥B A p ；（2）规范性 1)|(=ΩB p ；（3）可列可加性 对任意的一列两两互不相容的事件i A （Λ、、i 21=），有 )|()|(11B A p B A p i i i i ∑∞=∞==Y例9、 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的）解： Ω={（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）}A={已知有一个是女孩}={（男，女）、（女，男）、（女，女）}B={另一个也是女孩}={（女，女）}314341)()()|(===A p AB p A B p 2、乘法定理定理（乘法定理）设任意事件A 、B ，且0)(>B p ，则有)()|()(B p B A p AB p ⋅=例10、 有编号为1、2、3、4、5的五张卡片，第一次任取一张，且不放回，第二次在剩下的四张中人取一张，试求：（1）第一次取到奇数号卡片的概率；（2）第二次取到奇数号卡片的概率；（3）两次都取到奇数号卡片的概率。