概率论知识点总结 (1)

概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1)第二章随机变量及其分布 (5)第三章多维随机变量及其分布 (10)第四章随机变量的数字特征 (13)第五章极限定理 (18)二、学习概率论这门课的心得体会 (20)一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。

若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

定义：和事件“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。

记为A∪B。

用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。

定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A ∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。

定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。

定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

定义6：逆事件/对立事件称事件“A 不发生”为事件A 的逆事件，记为ā 。

A 与ā满足：A ∪ā= S,且A ā=Φ。

运算律：设A ，B ，C 为事件，则有（1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪CA(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B ∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C)A(B ∪C)＝(A ∩B)∪(A ∩C)= AB ∪AC（4）德摩根律：小结： 事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。

第二节：1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件A 由k 个样本点组成 . 则定义事件A 的概率为：P(A)＝k/n ＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。

2、 几何概率：设事件A 是S 的某个区域，它的面积为 μ(A )，则向区域S 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为：B A B A =BA B A =P （A ）=μ（A ）/μ（S ） 假如样本空间S 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.概率的性质： （1）P(?)=0, （2）（3） （4） 若A ?B ，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为A 对B 的条件概率，记作P (A |B ).而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P (A |B )仍是概率.乘法公式： 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B )P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则 贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则第五节 ：若两事件A 、B 满足 P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11m m P P ΦΦ ();,,,,2,1,,,11∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=n k k n k k j i A P A P j i n j i A A 则两两互不相容，),(1)(A P A P -=∑==ni i i A B P A P B P 1)()()(｜∑==nj jj i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A 、B 、C ，若P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则称事件 A 、B 、C 相互独立.第六节：定理 对于n 重贝努利试验，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为总结：1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。

3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。

4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。

第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数：设 X 是一个 ，x 为一个任意实数，称函数F(X)=P （X ≤x ）为 X 的分布函数。

X 的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x) 或 F X (x).p q n k q p C k P k n k k n n -===-1,,,1,0)(如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 （x ≤X ）。

3、 离散型随机变量及其分布定义1 ：设x k (k =1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称等式P(X=x k )=P K , 为离散型随机变量X 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中P K,≥0；ΣP k =1分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量X 的分布律，可求出X 的分布函数： ①设一离散型随机变量X 的分布律为P{X=x k }=p k (k=1，2，…)由概率的可列可加性可得X 的分布函数为 ②已知随机变量X 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。

（2）已知随机变量X 的分布函数，可求出X 的分布律：一、 三种常用离散型随机变量的分布. 1（0－1）分布：设随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律为 ∑∑≤≤===≤=x x kx x k k k p x F x X P x X P x F )(}{}{)(即P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0，1. (0<p<1)则称X 服从（0－1）分布,记为X ?（0－1）分布。

（0－1）分布的分布律用表格表示为：X 0 1P 1-p p 易求得其分布函数为2.二项分布（binomial distribution)：定义：若离散型随机变量X 的分布律为 其中0<p<1,q=1-p,则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记为X ?B(n,p).4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X 所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作X ~P (入).、连续型随机变量1概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0（2） (3).X 落在区间(x 1，x 2)的概率 几何意义：X 落在区间(x 1，x 2)的概率P{x 1<X≤x 2}等于区间(x 1，x 2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积．(4).若f(x)在点x 处连续，则有F′(x)=f(x)。

⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=110100)(x p x p x x F {}n k qp C k X P k k k n ,,1,01 ===-,,,,,!)( 210===-k k e k X P kλλ1)(=⎰∞+∞-dt t f {}⎰=-=≤<21)()()(1221x x dx x f x F x F x X x P．概率密度f(x )与分布函数F(x )的关系：(1)若连续型随机变量X 具有概率密度f(x )，则它的分布函数为 (2)若连续型随机变量X 的分布函数为F(x )，那么它的概率密度为f(x )=F′(x ).注意：对于F(x )不可导的点x 处，f(x )在该点x 处的函数值可任意给出。

三种重要的连续型分布：1．均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X 具有概率密度 则称X 在区间(a ，b)上服从均匀分布，记为X ?U(a ，b). 若X ?U(a ，b)，则容易计算出X 的分布函数为 2. 指数分布入>0则称 X 服从参数为 入的指数分布.常简记为 X~E( 入)指数分布的分布函数为 指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量X 满足：对于任意的s>o ，t>0,有则称随机变量X 具有无记忆性。

3. 正态分布 若 X 的概率密度为 ⎩⎨⎧<≥=-000)(x x e x f xλλdtt f x F x ⎰∞-=)()(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)(b x a a b x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤--<=bx b x a ab a x a x x F 10)(⎩⎨⎧≤>-=-0001)(x x e x F xλ{}{}t X P s X t s X P ≥=≥+≥|∞<<∞-=--x e x f x ,)()(22221σμπσ其中 μ和 都是常数， 任意，μ >0，则称X 服从参数为 μ 和 的正态分布. 记作f (x )所确定的曲线叫作正态曲线.的正态分布称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.随机变量函数的分布设X 为连续型随机变量，具有概率密度f x (x)，求Y=g(X) （g 连续）的概率密度。

1．一般方法——分布函数法可先求出Y 的分布函数F Y (y)：因为F Y (y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设l y ={x|g(x)≤y}则再由F Y (y)进一步求出Y 的概率密度 2. 设连续型随机变量X 的密度函数为?X (x), y=f(x)连续, 求Y= f(X)的密度函数的方法有三种：（1）分布函数法；（2）若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则 可用公式法；2σ2σ),(~2σμN X 1,0==σμ(){}⎰⎰<==∈=y x g X l X y Y dx x f dx x f l X P y F y )()()(())(y F y f Y Y '=（3）若y=g(x)在不相重叠的区间I 1,I 2,…上逐段严格单 调，其反函数分别为h 1(y), h 2(y), …,且h ?1(y), h ?2(y), …,均为连续函数，则Y= g(X)是连续型随机变量，其密度函数为对于连续型随机变量，在求Y =g (X ) 的分布时，关键的一步是把事件 { g (X )≤ y } 转化为X 在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P { g (X )≤ y }.。