(完整版)概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结
〔14〕 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发
伯努利
生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 概型
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，那么 A 发生的概率为1 p q ，用
Pn(k) 表示 n 重伯努利试验中 A 出现 k(0 k n) 次的概率，
数 F(x) 表示随机变量落入区间〔– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F ( ) lim F (x) 0 ， F ( ) lim F (x) 1；
分布列的形式给出：
机变 量的 分布 律
X P(X
xk )
|
x1, x2,, xk,
p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足以下条件：
〔1〕 pk 0 ， k 1,2,，
pk 1
〔2〕 k1
。
实用文档.
.
〔 2 〕 设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，假设存在非负函数 f (x) ，对任意实 连 续 数 x ，有
算
于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
实用文档.
.
属于 A 而不属于 B 的局部所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，那么表示 A 与 B 不可
xa, ba
x<a， a≤x≤b
x
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
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《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：nn n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n nn A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A P A 2所含样本点数： 363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A P A 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：n n A A A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃......2121 n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2121)§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
概率论和数理统计知识点总结
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§ 2 •样本空间、随机事件1•事件间的关系 A B 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生A、」B ={x x w A或x w B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A, B中至少有一个发生时，事件 A B发生Ac B ={x x E A且x E B}称为事件A与事件B的积事件，指当A, B同时发生时，事件A'B发生A —B ={x x乏A且x更B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A —B发生A* B •：,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B = 5且 B =•，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2•运算规则交换律A _• B二B _• A A ' B二B - A结合律(A B) 一C = A 一(B 一C) (A 一B)C = A(B 一C)分配律A _( B - C)二(A 一B厂(A C)A -(B 一 C) =(A - B)(A - C)徳摩根律A = A - B A - B = A B§ 3 .频率与概率定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A n称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A), 称为事件的概率1 •概率P(A)满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件 A 0乞P(A)乞1(2)规范性：对于必然事件S P(S) =1(3)可列可加性：设A I,A2,…，A n是两两互不相容的事件，有P( A k)=7 P(A k)( n可k」k=1以取：：)2.概率的一些重要性质：(i)P( ) =0n n(ii)若A I,A2,…，A n是两两互不相容的事件，则有P( A k)二二P(A k)( n可以取：：)k4 k 4(iii )设A，B是两个事件若A B，则P(B _ A) = P(B) _ P(A)，P(B) _ P(A)(iv )对于任意事件A, P(A) <1(v)P(A j=1—P(A) (逆事件的概率)(vi )对于任意事件A, B有P(A 一B)二P(A) P(B) - P(AB)§ 4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即人=3打｝2｛気｝2…U｛e J ，里i i, iz…，i k是1,2, n中某k个不同的数，则有/F \ k A包含的基本事件数巳厲./^卫「飞中基本事件的总数§ 5.条件概率(1)定义：设A,B是两个事件，且P(A) 0,称P(B| 为事件A发生的条P(A)件下事件B发生的条件概率(2)条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B A ⊂ 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅B}x x x { ∈∈=⋃或A B A 当A ，B 中至少有一个发生时，事件发生B A ⋃称为事件A 与事件B 的积事件，指当B}x x x { ∈∈=⋂且A B A A ，B 同时发生时，事件发生B A ⋂ 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅B}x x x { ∉∈=且—A B A 当A 发生、B 不发生时，事件发生B A —，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事φ=⋂B A 件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件且S =⋃B A φ=⋂B A A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律)()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律BA B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数称为A n 事件A 发生的频数，比值称为事件A 发生的频率n n A 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率满足下列条件：)(A P （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有n A A A ,,,21 （可以取）∑===nk k n k k A P A P 11)()( n ∞2．概率的一些重要性质：（i ）0)(=φP （ii ）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）n A A A ,,,21 ∑===nk knk kA P A P 11)()(n ∞（iii ）设A ，B 是两个事件若，则，B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ） （逆事件的概率）)(1)(A P A P -=（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即，里}{}{}{2]1k i i i e e e A =个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且，称为事件A 发生的0)(>A P )()()|(A P AB P A B P =条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
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概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律的数学学科，在自然科学、工程技术、社会科学、经济管理等众多领域都有着广泛的应用。
以下是对概率论与数理统计中一些重要知识点的详细总结。
一、随机事件与概率1、随机试验随机试验是指在相同条件下可以重复进行，试验结果不止一个且事先不能确定的试验。
2、样本空间样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合。
3、随机事件随机事件是样本空间的子集。
4、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。
5、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
6、古典概型具有有限个等可能结果的随机试验。
7、几何概型样本空间是某个区域，且每个样本点出现的可能性与区域的面积、体积等成正比。
8、条件概率在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
9、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
10、全概率公式将复杂事件的概率通过划分样本空间分解为简单事件的概率之和。
11、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率。
二、随机变量及其分布1、随机变量用数值来描述随机试验的结果。
2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量。
3、离散型随机变量的概率分布列出随机变量的取值以及对应的概率。
4、常见的离散型随机变量分布包括 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。
5、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量。
6、连续型随机变量的概率密度函数用于描述连续型随机变量的概率分布。
7、常见的连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
8、随机变量的函数的分布已知随机变量的分布，求其函数的分布。
三、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成的向量。
2、二维随机变量的联合分布函数描述二维随机变量的概率分布。
3、二维离散型随机变量的联合概率分布列出二维离散型随机变量的取值组合以及对应的概率。
4、二维连续型随机变量的联合概率密度函数用于描述二维连续型随机变量的概率分布。
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将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全
概率公式；
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i 1，2，…， n ，
（13）
n
A Bi
2°
i1 ， P( A) 0 ，
则
贝叶斯 公式
P(Bi / A)
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
（11） 若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
独立性
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、A 与 B 也都相互
Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB AB，AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，
若满足下列三个条件： （4）概
1° 0≤P(A)≤1，
率的公
2° P(Ω) =1
理化定
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
义
P Ai P(Ai)
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（2）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件 、 样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 本 空 间 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大 和事件 写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一 定是必然事件。
①关系：
（3）事 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分（，A 发生必有事件 B
件 的 关 发生）： A B
系 与 运 如果同时有 A B， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于
独立。
1
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
算
B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
1
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2,, Bn 满足
1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
（12） 全概公 式
n
A Bi
2° ， i1 则有 P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。 全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：
1
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，
（6）几 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 何概型 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P(A) L(A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。
L()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) （7）加
同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不
相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
A 不发生的事件)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
第 1 章 随机事件及其概率
（1）随 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果
机 试 验 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则
和 随 机 称这种试验为随机试验。
事件 试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事
件，它具有如下性质：
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
当 AB 不相容 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) 法公式
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （8）减
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（10） 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公 式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
i1 i1
则称 P(A)为事件 A 的概率。
（5）古 典概型
1° 1,2 n ，
2°
P(1 )
P(2 )
P(n )
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1,2 m 组成的，则有
P(A)= (1) (2 ) (m ) = P(1) P(2 ) P(m )
m n
A所包含的基本事件数 基本事件总数
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P(AB) 为事件 A 发生
P( A)
（9）条 条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P(AB) 。
P( A)
件概率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)