齿轮的齿廓曲线
简述渐开线齿廓的啮合特点
简述渐开线齿廓的啮合特点渐开线齿廓是一种常见的齿轮啮合方式，其特点是具有曲率变化的齿廓。
在渐开线齿轮啮合中，两个齿轮的齿廓曲线是相互匹配的，使得齿轮之间可以顺畅地啮合，并传递动力。
渐开线齿廓的啮合特点可以从以下几个方面来描述：1. 齿廓曲线的特殊性：渐开线齿廓是一种特殊的曲线，具有曲率变化的特点。
与其他齿轮啮合方式相比，渐开线齿廓的曲率变化更加平滑，使得齿轮在啮合过程中的运动更加稳定。
这种平滑的曲线使得渐开线齿廓具有较高的传动效率和较低的噪声。
2. 齿廓的中心扩展：渐开线齿廓的中心扩展是指齿廓曲线中心的轨迹不是一个点，而是一个曲线。
这种中心扩展使得齿轮在啮合过程中可以实现相对滑动，减小了啮合时的摩擦和磨损，提高了齿轮的寿命和可靠性。
同时，中心扩展还可以使得渐开线齿轮在高速运动时具有更好的动平衡性能。
3. 齿廓的变位特性：渐开线齿轮的齿廓变位是指齿廓曲线在垂直于齿轮轴线方向上的变化。
齿廓变位可以使得齿轮在啮合过程中实现平稳的传动，减小冲击和振动。
同时，齿廓变位还可以改变齿轮的传动特性，如变速、变转矩等，提高了齿轮传动的灵活性和适应性。
4. 齿廓的接触特性：渐开线齿轮的齿廓接触是指齿轮齿廓之间的接触区域。
由于渐开线齿廓的特殊曲线形状，齿轮在啮合过程中的接触区域相对较大，使得齿轮传递的载荷分布更加均匀，减小了齿轮的磨损和损伤。
同时，齿廓接触还可以改善齿轮的传动效率和承载能力，提高齿轮传动的可靠性。
总的来说，渐开线齿廓具有曲率变化、中心扩展、变位特性和接触特性等特点，在齿轮传动中具有重要的应用价值。
通过合理设计和制造渐开线齿轮，可以实现高效稳定的传动，提高齿轮传动的可靠性和使用寿命。
斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成
斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成
斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成是通过两个齿轮之间的啮合过程。
其中一个齿轮被称为驱动齿轮，另一个齿轮被称为从动齿轮。
首先，确定齿轮的基本参数，包括齿数、模数、压力角等。
然后，根据这些参数计算出齿轮的尺寸和齿廓曲线的形状。
齿廓曲线的形状是通过齿轮的插齿切削来制造的。
插齿切削是一种将切削刀具沿着齿轮齿廓的方向进行切削的方法。
切削刀具的形状和尺寸与所需的齿廓曲线形状相对应。
插齿切削的过程中，切削刀具的齿形会逐渐将齿轮齿廓形成，而切削刀具和齿轮之间的相对运动会导致材料的去除。
最终，通过连续的切削动作，将齿轮的齿廓逐渐形成。
需要注意的是，斜齿圆柱齿轮的齿廓曲面是斜的，而不是垂直于齿轮轴线的。
这是为了使齿轮的啮合更加平稳。
总的来说，斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成是通过插齿切削将切削刀具沿着齿轮齿廓的方向进行切削，使齿轮的齿廓逐渐形成。
齿廓啮合基本定律与齿轮的齿廓曲线
7.2 齿廓啮合基本定律与齿轮的齿廓曲线7.2.1 平均传动比和瞬时传动比的概念一对齿轮的啮合传动是通过主动齿轮1的齿面依次推动从动齿轮2的齿面而实现的，在一段时间内两轮转过的周数1n 、2n 之比称为平均传动比，用i 或12i 表示，若两轮的齿数分别为1z 、2z ，则121221n z i n z == (7-1) 由此可见，两齿轮的平均传动比与其齿数成反比，当一对齿轮的齿数确定后，其平均传动比是一个常数。
但这并不能保证在一对齿廓的啮合过程中，其任一瞬时的传动比（即瞬时传动比）也是常数，因为，这取决于齿面的齿廓形状。
7.2.2 齿廓啮合基本定律如图7-2所示，设主动轮1和从动轮2分别绕O 1、O 2轴转动，角速度分别为ω1、ω2，方向相反，两齿廓在K点接触。
为保证二齿廓既不分离又不相互嵌入地连续转动，要求沿齿廓接触点K 的公法线n -n 方向上，齿廓间不能有相对运动，即二齿廓接触点公法线方向上的分速度要相等，12n n n v v v ==显然，在切线方向上二齿廓接触点的速度不相等，即齿廓沿切线方向存在相对滑动。
根据三心定理，两齿轮的相对速度瞬心在过接触点的公法线n -n 与连心线O 1O 2的交点C 上，其速度为：1122c v OC O C ωω== 由此可得齿轮机构的瞬时传动比：1221O C i O Cωω== (7-2) 从上面的分析可看出，相互啮合传动的一对齿轮，在任一位置时的传动比都与其连心线被齿廓接触点处公法线所分隔的两线段长度成反比。
这一规律称为齿廓啮合基本定律。
该定律表明齿轮的瞬时传动比与齿廓曲线之间的关系。
齿廓啮合基本定律既适用于定传动比齿轮机构，也适用于变传动比齿轮机构。
对于定传动比机构，齿廓啮合基本定律可表达为：两齿廓在任一位置啮合时，过啮合点所作两齿廓的公法线与两轮的连心线相交于一定点。
图7-2 齿廓啮合过程齿廓啮合基本定律表明：1、不同的齿廓曲线，其啮合接触点的公法线与连心线的交点不同，因此其瞬时传动比也就不同。
§10—2齿轮的齿廓曲线
圆盘1上的已知曲线C1就会走出一 1 C 系列的轨迹，作这些轨迹的包络 线，则得到所求的齿廓曲线C2。
三、齿廓曲线的选择 理论上，只要给出一齿廓C1 ，就可以求出另一条满足 定传动比的共轭齿廓C2。但生产实际上，选择齿廓曲线时， 不仅要满足传动比要求，还必须从设计、制造、安装和使 用等方面予以考虑。 目前对定传动比传动的齿轮来说，最常用的齿廓是渐 开线(Involute) ，其次是摆线(Cycloid) 和变态摆线，近年 来出现了圆弧(Arc) 、抛物线(Parabola) 等。 由于渐开线齿廓具有良好的传动性能，便于制造、安 装、测量和互换性好等优点，所有目前绝大部分齿轮都采 用渐开线齿廓。 本章只讨论渐开线齿轮。
一、齿廓啮合的基本定律
(Basic Law of Tooth Profile Meshing)
齿轮传动是靠主动齿轮的齿廓依次推动从动齿轮的齿 廓来实现，且要保证定传动比（i12=ω1/ω2 ）传动，而传动 比i12却与齿廓的形状有关。 1、齿廓啮合的基本要求 、 如图10-4所示为一对相互啮合的齿 轮，主动齿轮1以ω1顺时针转动，齿廓C1 推动齿轮2的齿廓C2以ω2逆时针方向转动。 设两轮在任一点K接触，则两轮在K点处 的线速度分别为VK1、VK2。
目前对定传动比传动的齿轮来说最常用的齿廓是渐开线involute其次是摆线cycloid和变态摆线近年来出现了圆弧arc抛物线parabola由于渐开线齿廓具有良好的传动性能便于制造安装测量和互换性好等优点所有目前绝大部分齿轮都采用渐开线齿廓
齿轮的齿廓曲线(Tooth Profile ) §10—2 齿轮的齿廓曲线
4、节点(pitch point) 和节圆(pitch circle) 、 1）节点 节点P——过齿廓啮合点的公法线与连心线的交点。 节点 2）节圆 节圆 如要求定比传动即i12=C，则应 使O2P/ O1P= C。由于O1、O2为定点， 所以欲使 O2P/ O1P= C，则节点P在 O1O2上必须是定点。 ∴ 定比传动齿轮的齿廓啮合基本定律 可以表述为：要使两齿轮作定传动 比传动，则不论两齿廓在何处接触， 过接触点所作的公法线必须与连心 线交于一定点。
渐开线齿廓及其啮合特点
开线的展角θK。由于KN=AN，由图8-5得
K AON K
KN K tan K K ON
可见，渐开线上任一点的展角θK是压力角αK的函数，称为 渐开线函数，用invαK来表示，即
K invK tanK K
式中：θK和αK的单位为弧度。
这些齿轮齿廓曲线类型中，目前最常用的是渐开线齿轮。 为什么我们喜欢选用渐开线齿轮呢？
渐开线齿廓及其啮合特点
1. 渐开线的形成
如图所示，设半径为rb的圆上 有一直线L与其相切，当直线L沿 圆周作纯滚动时，直线上任一点 K的轨迹称为该圆的渐开线。 该圆称为基圆，rb称为基圆半径， 直线L称为发生线。齿轮的齿廓 就是由两段对称渐开线组成的。 a
渐开线在基圆上的起始点 A处的曲率半径为零。
渐开线齿廓及其啮合特点
4、渐开线的形状取决于基圆的大小。即同一基圆展开的 渐开线的形状完全相同。 在相同展角处： （如图10-7） rb↓→渐开线越弯曲，曲率半径↓； rb↑→渐开线越平直，曲率半径↑； rb→∞，则渐开线成为直线，齿条 的齿廓是直线的渐开线。 5、基圆内无渐开线。 ∵ 渐开线是从基圆开始向外展开的。
渐开线齿廓及其啮合特点
2. 渐开线的特性
(1) 发生线上沿基圆滚过的 长度等于基圆上被滚过的弧长， 即KN=AN。 (2) 发生线NK是即为渐开线 在K 点的法线，又因发生线恒切 于基圆故知渐开线上任意点的法 线恒切于基圆。 (3) 切点N是渐开线上K点的 曲率中心，线段 NK 是渐开线在 K点的曲率半径。渐开线 越接近 基圆的部分曲率半径越小，渐开 线越弯曲，在基圆上曲率半径为 零。
θK叫做渐开线AK段的展角。
图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0-6
标准齿轮和正变位齿轮各参数的变化
标准齿轮和正变位齿轮各参数的变化标准齿轮和正变位齿轮是机械传动中常用的两种齿轮，它们的参数对于传动效率和精度有着重要的影响。
下文将分析它们各参数的变化。
首先，两种齿轮的模数(m)不同。
模数是指齿轮齿条间距离与模圆直径的比值。
标准齿轮的模数范围比较广，通常为0.25~50mm，而正变位齿轮的模数则比较小，一般在0.5~6mm之间。
因此，标准齿轮适用于高速、大功率的传动系统，而正变位齿轮则适用于低速、高扭矩的传动系统。
其次，两种齿轮的齿数(n)和齿轮的压力角(α)也存在差异。
齿数是指齿轮上的齿数，它对于传动比的计算和实际传动效果有着决定性的影响。
标准齿轮通常具有较大的齿数，一般在10~500之间，而正变位齿轮的齿数则相对较小，一般在10~50之间。
而压力角则是指齿轮齿条与齿轮齿面法线的夹角，它直接关系到齿轮的强度和噪音。
标准齿轮的压力角通常为20度，而正变位齿轮则为25度或30度。
另外，两种齿轮的齿廓不同。
齿轮的齿廓是指齿形曲线，不同的齿轮齿廓对于传动噪音和传动效率也有着不同的影响。
标准齿轮采用的是圆弧齿形，其齿廓曲线圆弧半径为1.25m，而正变位齿轮则采用渐开线齿形，其齿廓曲线的形状更加复杂，但是能够提高传动效率和减小传动噪音。
最后，两种齿轮的啮合面也存在差异。
啮合面是指齿轮齿条相互啮合的面。
标准齿轮的啮合面通常为圆弧面，其啮合半径为1.25m，而正变位齿轮则为直线侧面。
因此，标准齿轮具有较大的载荷能力和承载面积，可以适用于高强度的传动系统，而正变位齿轮则具有更小的载荷能力和承载面积，适用于低负载传动系统。
综上所述，标准齿轮和正变位齿轮的各参数变化不同，针对不同的传动系统，可选择相应的齿轮以获得更好的传动效果和精度。
双圆弧正弦曲线齿轮
双圆弧正弦曲线齿轮双圆弧正弦曲线齿轮是一种新型的齿轮设计，它在工业领域中具有广泛的应用。
双圆弧正弦曲线齿轮的主要特点是齿面光滑，齿轮传动噪音低，承载能力强。
1.双圆弧正弦曲线齿轮简介双圆弧正弦曲线齿轮是一种新型的齿轮设计，它的齿面呈双圆弧形状，齿廓线为正弦曲线。
与传统的齿轮相比，双圆弧正弦曲线齿轮具有更优越的性能。
2.双圆弧正弦曲线齿轮的特点双圆弧正弦曲线齿轮的主要特点有以下几点：（1）齿面光滑：双圆弧齿形降低了齿面上的应力集中，使得齿面更加光滑，减少了齿轮传动过程中的噪音。
（2）承载能力强：双圆弧正弦曲线齿轮的齿形设计使得齿轮的承载能力得到提高，适用于重载工况。
（3）传动精度高：双圆弧正弦曲线齿轮的齿形精度高，使得传动精度也得到提高。
3.双圆弧正弦曲线齿轮的应用领域双圆弧正弦曲线齿轮在工业领域中具有广泛的应用，如汽车、航空航天、风力发电等领域。
4.双圆弧正弦曲线齿轮的制造工艺双圆弧正弦曲线齿轮的制造工艺较为复杂，主要包括铸造、锻造、焊接等。
由于齿形的特殊性，制造过程中需要采用先进的数控加工设备和高精度测量仪器。
5.双圆弧正弦曲线齿轮的优缺点优点：（1）齿面光滑，传动噪音低；（2）承载能力强，适用于重载工况；（3）传动精度高，性能稳定；缺点：（1）制造工艺复杂，成本较高；（2）对齿轮材料要求较高，限制了应用范围。
6.双圆弧正弦曲线齿轮的发展趋势随着科技的发展，双圆弧正弦曲线齿轮将会有以下发展趋势：（1）制造工艺的不断优化，降低成本；（2）新材料的应用，拓宽应用领域；（3）智能化、自动化技术的融入，提高齿轮传动系统的性能。
总之，双圆弧正弦曲线齿轮是一种具有优越性能的新型齿轮设计。
在工业领域中，它具有广泛的应用前景。
《机械设计原理》齿轮的齿廓曲线
§6-2 齿轮的齿廓曲线
2. 齿廓曲线的选择
共轭：按一定的规律相配的一对。
共轭齿廓：能按预
轭
定传动比规律相互啮
合传动的一对齿廓。
给定预定的传动比和 一条齿廓曲线，可根据 齿廓啮合基本定律求得 另一条齿廓曲线。
§6-2 齿轮的齿廓曲线
能满足一定传动比规律的共轭齿廓曲线有很多。
➢ 瞬时传动比为多少？
2
O2
根据速度瞬心可知，瞬时传动比：
i12 1 / 2 O2P / O1P
§6-2 齿轮的齿廓曲线
O1
1
n K
n
P C2 C1
此式表明：相互啮合传动的一对 齿轮，在任意位置时的传动比，都 与其连心线O1O2被其啮合齿廓在接 触点处的公法线所分成的两线段长 成反比。
这个规律称为齿廓啮合基本定律。
第6章 齿轮机构
§6-2 齿轮的齿廓曲线
主要内容： ➢ 齿廓啮合基本定律 ➢ 齿廓曲线的选择
平均传动比：
i12 n1 / n2 z2 / z1
§6-2 齿轮的齿廓曲线
O1
1. 齿廓啮合基本定律
1
➢ 怎样才能使一对齿廓连续接触而传
n 动？
vc1 vc2
K
n
P C2 C1
两齿廓沿接触点的公法线方向的 速度应相等；相对速度只能沿接触 点处的公切线方向。
比传动。
r2 P 点在轮1或2的运动平面上的轨迹为
一个圆，称为节圆（pitch circle）。
2
O2
传动过程中，两齿轮的节圆作纯滚 动。
§6-2 齿轮的齿廓曲线
变传动比传动：两齿廓的节点P 按其传动比
的变化规律在其连心线上移动。
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(5)基圆内无渐开线。
B2
B1
rb1
思考：10-20
K
KO2
o2 KO1 o1
三、渐开线方程式及渐开线函数
αk
k
rk是渐开线在任意点K的向径。当渐开线与 vk
rr cos 其共轭齿廓在K点啮合时，在三角形BOK
中
A
θk
rk αk
B
bK
K
rb
O
)
tan K
BK rb
AB rb
rb(K K)
正压力总是沿法线方向，故其传
力方向不变。这对于传动的平稳 rb2
性是有利的。
ω2
啮合线与节圆公切线之间的夹角α’ ， O2
称为啮合角(working pressure angle)
实际上α’ 就是节圆上的压力角
注意！！啮合线、啮合点的公法线和基圆的内公切
线三线合一
.
§10－4 渐开线齿轮基本参数和几何尺寸
轮齿介于分度圆与齿顶圆之间的部分 称为齿顶，其径向高度称为齿顶高，
N2
K’
P C2 C1
两齿廓基圆相切，又因基圆为定圆， rb2
其为定直线。
ω2
两轮中心连线也为定直线，故
O2
交点P必为定点。
i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1 =const
工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附 加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使
用寿命，提高机器的. 工作精度。
Vk
k K
Fn rk
NB rb k k
KA0
力方向与速度方向所夹锐角
O
为渐开线上该点之压力角
αk(pressure angle)。
基圆
rb＝rk cosαk
离中心越远，渐开线上的压力角
越大。基圆上的压力角为0。
(4)渐开线形状取决于基圆 基圆越大，渐开线越平直，
当rb→∞，变成直线。
Σ3 Σ1
§10－2 齿轮的齿廓曲线
o1
传动比：i主从=ω主/ω从
ω1
1.齿廓啮合基本定律
n
根据三心定律可知：P点为相对瞬心。 v12
k
由： v12 ＝O1P ω1 ＝O2P ω2 得： i12 ＝ω1/ω2＝O2P /O1P
P n
ω2
齿廓啮合基本定律(fundamental law
o2
of gearing):
1
o1
N1 N1' c
c'
ЗЗ
o2
2
o'2
'
由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。
3.齿廓间正压力方向不变
N1N2是啮合点的轨迹，称为 啮合线(the trajectory of contact) 由渐开线的性质可知：
啮 合 线 又 是 接 触 点 的 法 线 ，N2
O1 ω1
N1 α’ K K’ P C2 C1
rb
K K
可得渐开线的极坐标方程式：
rKrb/cosK
K inK v tg .K K
例10-21
例10-21
.
四 、 渐开线齿廓的啮合特性
O1
ω1
1.渐开线齿廓满足定传动比要求(the
N1
transmission ratio is constant)
K
两齿廓在任意点K啮合时，过 K点处两齿廓的公法线必然同时与
装(manufactured and assembled easily)、测量和互换使用等 优点。因此它的应用最为广泛，故本章着重介绍渐开 线齿轮(involutes gears)。
.
§10－3 渐开线齿廓及其啮合特性
一、 渐开线的形成(Generation of Involutes)和特性
(1)渐开线的形成
发生线
K
当直线沿一圆周作相切纯滚 动时，直线上任一点的轨迹 AK，称为该圆的渐开线。
B
rb
定直线
基圆
.
A
k
O
.
二、渐开线的性质
发生线
(1)BK = A B
(2) BK为渐开线在K点的法 线，又因发生线恒切于基 圆，故知渐开线上任意点 的法线切于基圆。
(3)渐开线上点Ｋ的压力角 定义：啮合时K点正压
ω1
设想在P点放一只笔，则笔尖 节圆 在两个齿轮运动平面内所留轨迹。 a
n k
两节圆相切于P点，且两轮节 点处速度相同，故两节圆作纯滚 动(rolling without slipping)。
中心距： a=r’1+r’2
P n
ω2 r’2
o2
凡能按给定传动比规律相互啮合传动的一对齿廓称为
共轭齿廓
.
2.齿廓曲线的选择 凹凸圆弧齿轮啮合
一、外齿轮(external gear)
1.名称与符号
分度圆（d 和 r）
齿距pk 齿厚sk 齿槽宽ek 分度圆 齿顶圆
齿顶圆（da 和 ra）
齿根圆（df 和 rf） 齿顶高ha
基圆 齿根圆
基圆（db 和 rb）
齿数 厚sk
z齿齿距槽pk宽ek齿
齿根高hf
rf rb
ra rk
o
pk sk ek
基节pb=法节pn
理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造
和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐 开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态 摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。
渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。
渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安
.
Involutes(渐开线) gears
.
凡能按预定传动比规律相互啮合传动的一对齿廓称为共轭齿廓。一
2.齿廓曲线的选择 般说来，对于预定的传动比，只要给出一轮的齿廓曲线，就可根据 齿廓啮合基本定律求出与其啮合传动的另一轮上的共轭齿廓曲线。 渐开线(involutes) ——应用最广
摆线 圆弧 抛物线
为了便于计算齿轮各部分尺寸，在齿 轮上选择一个圆作为尺寸计算基准，
称该圆为齿轮的分度圆。
p
同一圆上
se ha h hf
齿距 (周节)—— pk= sk +ek 同侧齿廓弧长
B pk
sk
ek
pn
pb
rb
rf r ra
法向齿距(法节) —— pn = pb(基节)
齿宽(face-width)—— B
O
a a'
2、中心距的可分离性
•渐开线齿廓啮合的中心距可 变性——— 当两齿轮制成后， 基圆半径便已确定，以不同的 中心距(a或a')安装这对齿轮， 其传动比不会改变。对加工和 装配很有利。
i1 2
1 2
o2c o1c
rb 2 rb 1
i1' 2
1
' 2
o
' 2
c
'
o1c '
rb 2 rb 1
N2
N2'
互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比，
都与连心线O1O2被其啮合齿廓的在接触处的公法线 所分成的两段成反比。
如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。
由于O2 、O1为定点，故P必为一个定点，称为节点
(the pitch point) 。
o1
节圆(the pitch circห้องสมุดไป่ตู้e)：
r’1