2019华南理工大学《经济数学》作业题参考答案

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经济数学1参考答案

11、
A. B. C. D. 参考答案： C
12、
A. k=0 B. k=1 C. k=2 D. -1/2 参考答案： C
13、
A. （n+1）阶无穷小 B. n阶无穷小 C. 同阶无穷小 D. 高阶无穷小参考答案： A
14、
A. 不含有对数函数 B. 含有反三角函数 C. 一定是初等函数 D. 一定是有理函数参考答案： C
一、单项选择题
1、
A. л B. 2л C. 4л D. 6л 参考答案： C
2、
A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在参考答案： C
3、
A. 1 B. 2 C. 6 D. 1/6 参考答案： C
4、
A.
B. C. D. 参考答案： B
5、
A. B. C. D. 参考答案： C
6、
A. 5/6 B. 1/2 C. -1/2 D. 1 参考答案： A
A. [0,л] B. （0,л） C. [-л/4,л/4] D. （-л/4,л/4）参考答案： C
26、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）
A. 一个 B. 两个 C. 无穷多个 D. 都不对参考答案： C
27、
A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件参考答案： A
7、
A.
B.
C. D.
参考答案： B
8、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）
A. 一个 B. 两个 C. 无. 参考答案： B
10、数列有界是数列收敛的（）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件
D. 既非充分也非必要参考答案： B

大一经济数学试题及答案

大一经济数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 22. 微分方程y'=2y的通解是：A. y=e^xB. y=e^(2x)C. y=2e^xD. y=2e^(2x)3. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2-6xD. x^3-3x4. 利用洛必达法则求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的结果是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定5. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是：A. x=-1C. x=-2D. 无极值点6. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 1B. 3C. 0D. -17. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是：A. xln(x)+1B. xln(x)-1C. xln(x)D. xlnx+18. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 19. 函数f(x)=x^3的二阶导数是：A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x10. 利用定积分的几何意义，计算∫₀¹x²dx的结果是：A. 1/3B. 1/2D. 2二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是______。

2. 微分方程y'+2y=0的通解是______。

3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是______。

4. 利用洛必达法则求极限lim(x→∞) (x²/e^x)的结果是______。

5. 曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线斜率是______。

6. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。

7. 函数f(x)=x^2-4x+4的顶点坐标是______。

8. 函数f(x)=x^3的三阶导数是______。

《经济数学基础12》综合练习及参考答案概要

《经济数学基础12》综合练习及参考答案第一部分微分学一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（）．A ．1->xB ．0≠xC ．0>xD ．1->x 且0≠x2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(x f 的定义域是( )．A ．1],0[B ．)1,(-∞C ．]0,(-∞D )0,(-∞ 3．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1C ．2ln x y =，x x g ln 2)(=D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（）．A ．11++x xB ．x x +1C ．111++xD ．x+11 5．下列函数中为奇函数的是（）．A ．x x y -=2B ．x x y -+=e eC ．11ln+-=x x y D ．x x y sin = 6．下列函数中，（）不是基本初等函数．A ．102=y B ．xy )21(= C ．)1ln(-=x y D ．31xy = 7．下列结论中，（）是正确的． A ．基本初等函数都是单调函数 B ．偶函数的图形关于坐标原点对称 C ．奇函数的图形关于坐标原点对称 D ．周期函数都是有界函数8. 当x →0时，下列变量中（）是无穷大量．A .001.0x B . x x 21+ C . x D . x-29. 已知1tan )(-=xxx f ，当（）时，)(x f 为无穷小量. A . x →0 B . 1→x C . -∞→x D . +∞→x10．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( )．A ．-2B ．-1C ．1D ．211. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（）．A . 左连续B . 右连续C . 连续D . 左右皆不连续 12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（）．A ．21-B ．21C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x13. 曲线y = sin x 在点(0, 0)处的切线方程为（）． A . y = x B . y = 2x C . y = 21x D . y = -x 14．若函数x xf =)1(，则)(x f '=（）．A ．21x B ．-21x C ．x 1 D ．-x 115．若x x x f cos )(=，则='')(x f （）．A ．x x x sin cos +B ．x x x sin cos -C ．x x x cos sin 2+D ．x x x cos sin 2-- 16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）．A ．sin xB ．e xC ．x 2D ．3 - x 17．下列结论正确的有（）．A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（）．A ．p p32- B ．--pp32 C ．32-ppD ．--32pp二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是． 2．函数x x x f --+=21)5ln()(的定义域是．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f． 4．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f．5．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于对称．6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为．7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = ．8. =+∞→xxx x sin lim.9．已知xxx f sin 1)(-=，当时，)(x f 为无穷小量．10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a .11. 函数1()1exf x =-的间断点是 . 12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是．13．曲线y 在点)1,1(处的切线斜率是．14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为．15．已知x x f 2ln )(=，则])2(['f = ． 16．函数y x =-312()的驻点是 . 17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -⨯=，则需求弹性为E p =．18．已知需求函数为p q 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p = .三、计算题1．423lim 222-+-→x x x x 2．231lim 21+--→x x x x 3．0x → 4．2343lim sin(3)x x x x →-+-5．113lim21-+--→x xx x 6．2)1tan(lim 21-+-→x x x x ； 7． ))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 8．20sin e lim()1x x x x x →++ 9．已知y xx x--=1cos 2，求)(x y ' ．10．已知)(x f xx x x+-+=11ln sin 2，求)(x f ' ．11．已知2cos ln x y =，求)4(πy '；12．已知y =32ln 1x +，求d y ． 13．设 y x x x x ln +=，求d y ．14．设x x y 22e 2cos -+=，求y d ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．16．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x x y．18．由方程x y x y=++e )cos(确定y 是x 的隐函数，求y d ．四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）, 求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.5．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？6．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？试题答案一、单项选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C 8. B 9. A 10. C 11. B 12.A 13. A 14. B 15. D 16. B 17. A 18. B 二、填空题1.[-5，2]2. (-5, 2 )3. 62-x 4.43-5. y 轴6.3.67. 45q – 0.25q 28. 19. 0→x 10. 2 11.0x = 12.)1,(--∞，)2,1(-，),2(∞+ 13.(1)0.5y '= 14.(0, +∞) 15. 0 16.x =1 17.2p - 18. 10-p p三、极限与微分计算题1．解 423lim 222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim 2+---→x x x x x = )2(1lim 2+-→x x x = 412．解：231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim1+---→x x x x x =21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3．解0l i x →=x →=xxx x x 2sin lim )11(lim 00→→++=2⨯2 = 44．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---= 333lim lim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25．解 )13)(1()13)(13(lim 113lim2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=-+--→→ )13)(1()1(2lim )13)(1())1(3(lim 2121x x x x x x x x x x x ++----=++--+--=→→ )13)(1(2lim 1x x x x ++-+-=→221-=6．解 )1)(2()1tan(lim 2)1tan(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim 21lim 11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯=7．解：))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x x x --++-∞→ =2323)2(65-=⨯-8．解 20s i n e l i m ()1x x x x x →++=000sin e lim limsin lim 1xx x x x x x x →→→++ =0+ 1 = 19．解 y '(x )=)1cos 2('--x x x=2)1(cos )1(sin )1(2ln 2x x x x x ------ =2)1(sin )1(cos 2ln 2x xx x x----10．解因为)1ln()1ln(sin 2)(x x x x f x +--+= 所以 x x x x x f xx+---+⋅='1111cos 2sin 2ln 2)( 212]cos sin 2[ln 2xx x x --+⋅= 11．解因为 2222tan 22)sin (cos 1)cos (ln x x x x xx y -=-='=' 所以 )4(πy '=ππππ-=⨯-=-1)4tan(42212．解因为 )ln 1()ln 1(312322'++='-x x y=x x x ln 2)ln 1(31322-+ =x x x ln )ln 1(32322-+所以 x x x xy d ln )ln 1(32d 322-+=13．解因为 y x x ln 47+=xx y 14743-='所以 d y = (xx 14743-)d x14．解：因为 xx x y 222e 2)2(2s i n --'-='x x x 22e 22s i n ---=所以 y d x x x xd )e 22s i n (22---=15．解在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xyx y 0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xy xy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++ 故 ]e )1)[ln(1(e )1(xy xyx x x y x y y +++++-='16．解对方程两边同时求导，得 0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e )e (cos -='+)(x y '=yyx y ecos e +-. 17．解：方程两边对x 求导，得 y x y y y '+='e e yy x y e 1e -='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e01e 11=⨯-=18．解在方程等号两边对x 求导，得 )()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y )sin(1)]sin(e [y x y y x y ++='+- )sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故 x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解（1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 q p =-100010，即p q =-100110，所以收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -．（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且 'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．解 C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2 利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令 )(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）． 4．解由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q . 因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，且最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 5. 解因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++ （q >0） q ()=(.)05369800q q ++'=0598002.-q令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=0514*******140.⨯++=176 （元/件）6．解（1）因为 C q ()=C q q ()=2502010q q++'C q ()=()2502010q q ++'=-+2501102q 令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。

2019年华南理工网络继续教育《经济数学》一元微积分及后面随堂练习答案

答题：A. B. C. D.（已提交）
4.(单选题)反余弦函数的值域为。（）
A．；
B．；
C．；
D． .
答题：A. B. C. D.（已提交），求 + ，的定义域是？（）
A．；
B．；
C．；
D． .
答题：A. B. C. D.（已提交）
参考答案：C
B．两个偶函数的和是偶函数；
C．两个奇函数的积是奇函数；
D．两个偶函数的积是偶函数.
答题：A. B. C. D.（已提交）
参考答案：C
问题解析：
4.(单选题)已知的定义域是，，则 + 的定义域是？
A．；
B．；
C．；
D． .
答题：A. B. C. D.（已提交）
参考答案：C
问题解析：
一元微积分
A．可导的函数是连续的，连续的函数不一定可导。
B．可导的函数是连续的，连续的函数一定可导。
C．可导的函数不一定连续，连续的函数不一定可导。
D．可导的函数不一定连续，连续的函数一定可导。
答题：A. B. C. D.（已提交）
参考答案：A
问题解析：
4.(单选题)试求 + 在的导数值为（）
C．；
D． .
答题：A. B. C. D.（已提交）
2.(单选题)设函数，则其反函数是.
A．；
B．；
C．；
D． .
答题：A. B. C. D.（已提交）
3.(单选题)下面关于函数哪种说法是正确的？（）
A．它是多值、单调减函数；
B．它是多值、单调增函数；
C．它是单值、单调减函数；
D．它是单值、单调增函数.

《经济数学基础12》形考作业1参考答案

经济数学基础形考作业1参考答案单项选择题（每题4分，共100分）1、1．函数1()ln(1)f x x =-的定义域为（）.A ．()(]1,22,5B ．[]1,5C ．[)(]1,22,5D ．()1,2(2,5)⋃答案：A1、2．函数1()ln(1)=++f x x 的定义域为（）.A ．()(]1,00,4-B ．[]1,0)(0,4-⋃C ．[)1,0(0,4)-D ．()1,4-答案：A 1、3．函数4)(+-=x x f ）.A ．()(]1,22,4B ．[]1,4C ．[)(]1,22,4D ．()1,4答案：A2、1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）. A ．sin x B ．2x C ．2xD ．5x - 答案：C2、2．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（）. A ．sin x B ．2x C ．e x D ．3x - 答案：D2、3．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（）.A ．sin xB ．2x C ．e xD ．3x - 答案：C3、1．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（）． A ．11++x x B ．x x +1 C ．111++x D ．x+11 答案：A 3、2．设1()x f x x-=，则=))((x f f （）. A ．11x - B ．11x -- C ．1x - D ．2(1)x - 答案：B 3、3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （）. A ．1x B ．21xC ．xD ．2x 答案：C4、1．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（）.A ．x x sinB ．)1ln(x +C ．1e xD ．1sin x x答案：B4、2．当0x →时，下列变量为无穷小量的是（）.A ．xx sin B ．ln x C ．e -x D ．1sin x x答案：D4、3．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（）.A ．xx sin B ．)1ln(x + C ．21e x - D ．12+x x答案：A5、1．下列极限计算正确的是（）.A.1lim sin1x x x →∞= B. 1lim sin 0x x x→∞=C. sin lim1x x x →∞= D.0sin lim 0x xx→=答案：A5、2．下列极限计算正确的是（）.A ．1lim 0=→x xx B ．0lim 1-→=-x xxC ．1lim sin 0→∞=x x xD ．0sin lim0→=x xx答案：B5、3．下列极限计算正确的是（）.A ．1lim=→xx x B ．1lim 0=+→xxxC ．11sin lim 0=→x x xD ．1sin lim=∞→xxx 答案：B 6、1．sin lim→∞-=x x xx（）.A ．1-B ．0C ．1D ．2答案：C 6、2．02sin limx x xx→-=（）. A ．1- B ．0 C ．1 D ．2答案：A 6、3．0sin limx x xx→-=（）. A ．1- B ．0 C ．1 D ．2答案：B7、1．22132lim 76x x x x x →-+=-+（）. A ．15 B ．15-C ．5D ．5- 答案：A7、2．22256lim32→-+=-+xx xx x（）.A．1B．1-C．2D．2-答案：B7、3．22256lim68xx xx x→-+=-+（）.A．12B．12-C．2D．2-答案：A8、1．2231lim424xx xx x→∞-+=++（）.A．14B．34C．0D．1 4 -答案：B8、2．22432lim523xx xx x→∞-+=++（）.A．45B．23C．45-D．23-答案：B8、3．22235lim324xx xx x→∞-+=++（）.A．54B．23C．0D．3 2 -答案：B9、1．224limsin(2)xxx→--=+（）.A．1B．0C ．4-D ．4 答案：C9、2．211limsin(1)x x x →-=-（）. A ．1 B ．0 C ．2- D ．2 答案：D9、3．224limsin(2)x x x →-=-（）. A ．1 B ．0 C ．4 D ．2 答案：C10、1．设22,0(),0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩在0=x 处连续，则k =（）.A ．2-B ．0C ．2D ．1 答案：C10、2．设2,0()1,0x k x f x x ⎧+≠=⎨=⎩在0=x 处连续，则k =（）.A ．1-B ．0C ．12D ．1 答案：D10、3．设21,0(),0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩在0=x 处连续，则k =（）.A ．1-B ．0C ．12D ．1 答案：D11、1．当a =（），b =（）时，函数1sin ,0(),0sin 2,0x b x x f x a x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩在0=x处连续.A ．0,0a b ==B ．0,2a b ==C ．1,2a b ==D ．2,2a b ==答案：D11、2．当a =（），b =（）时，函数1sin ,0(),0sin ,0x x x f x a x x b x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在0=x 处连续.A ．0,0a b ==B ．0,1a b ==-C ．1,1a b ==-D ．1,0a b =-=答案：D11、3．当a =（），b =（）时，函数1sin ,0(),0sin ,0x b x x f x a x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩在0=x 处连续.A ．0,0a b ==B ．0,1a b ==C ．1,0a b ==D ．1,1a b ==答案：D 12、1．曲线y =(1,1)的切线方程是（）.A ．1122y x =+ B ．1122y x =- C ．112y x =+ D ．112y x =-答案：A 12、2．曲线1y =在点(1,0)的切线方程是（）.A ．1122y x =- B ．1122y x =+C ．12y x =D ．112y x =+ 答案：A 12、3．曲线1+=x y 在点(1,2)的切线方程是（）.A ．1322y x =+ B ．1122y x =+ C ．2y x = D ．1y x =+ 答案：A13、1．若函数()f x 在点0x 处可微，则（）是错误的．A ．函数()f x 在点0x 处有定义B ．函数()f x 在点0x 处连续C ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠ D ．函数()f x 在点0x 处可导答案：C13、2．若函数()f x 在点0x 处连续，则（）是正确的．A ．函数()f x 在点0x 处有定义B ．函数()f x 在点0x 处可导C ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠ D ．函数()f x 在点0x 处可微答案：A13、3．若函数()f x 在点0x 处可导，则（）是错误的．A ．函数()f x 在点0x 处有定义B ．函数()f x 在点0x 处连续C ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠ D ．函数()f x 在点0x 处可微答案：C14、1．若x xf =)1(，则d ()f x =（）.A ．1d x x B ．1d x x - C ．21d x x D ．21d x x- 答案：D14、2．若(1)f x x +=，则=')(x f （）.A ．1x -B ．1x -C ．1D ．1- 答案：C14、3．若x xf =)1(，则=')(x f （）.A ．1x B ．1x - C ．21x D ．21x-答案：D15、1．设y x =lg2，则y '=（）．A ．12xB ．1ln10xC ．ln10xD ．1x答案：B15、2．设lg5y x =，则d y =（）．A ．1d 5x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．5d x x答案：B15、3．设y x =lg2，则d A ．12d x x B C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B16、1．设函数2(2)45f x x x +=++，则()f x '=（）.A ．21x +B ．21x + C ．2x D ．25x + 答案：C16、2．设函数2(1)25f x x x +=+-，则()f x '=（）.A ．26x -B ．24x + C ．2x D ．26x + 答案：C16、3．设函数52)1(2++=+x x x f ，则()f x '=（）.A ．22x +B ．24x +C ．2xD ．24x + 答案：C17、1．设3322log 2x y x x =+--，则y '=（）.A ．3132xx x +-B ．2132ln 28ln 2xx x +-- C ．2132ln 2x x x +- D ．2132ln 2ln 2xx x +-答案：D17、2．设3233log 3x y x x =++-，则y '=（）.A ．133ln 3xx x ++B ．22133ln 33ln 3xx x ++- C ．2133ln 3x x x ++ D ．2133ln 3ln 3xx x ++答案：D17、3．设2222log 2-++=x x y x，则y '=（）.A ．122xx x ++B ．21222x x x ++-C ．122ln 2x x x ++D ．122ln 2ln 2xx x ++答案：D 18、1．设232x y x -=-，则y '=（）. A ．()212x - B ．12x - C ．()212x -- D ．12x -- 答案：C 18、2．设2332x y x -=-，则y '=（）.A ．()2532x - B ．()2532x --C ．()2432x -- D ．()2432x -答案：A 18、3．设232x y x +=+，则y '=（）. A ．()212x + B ．2C ．()212x -+ D ．22x + 答案：A 19、1．设y =y '=（）. A ．()321212x --- B ．()3221x ---C ．()121212x -- D ．()1221x --答案：B 19、2．设y =y '=（）. A ．()321532x --- B ．()325532x ---C ．()125532x --D ．()125532x ---答案：B 19、3．设531-=x y ，则y '=（）.A ．()321352x ---B ．()323352x ---C ．()121352x --D ．()123352x --答案：B20、1．设3e sin 2xy x =，则d y =（）.A ．36e cos2d xx x B ．()33e 2cos 2d xx x +C ．33(3e sin 22e cos 2)d xxx x x + D ．33(3e sin 22e cos 2)d xxx x x - 答案：C 20、2．设2ecos3xy x =，则d y =（）.A ．26e sin3d xx x - B ．()22e3sin3d xx x -C ．22(2e cos33e sin 3)d xxx x x - D ．22(2e cos33e sin 3)d xxx x x + 答案：C20、3．设2e sin 3xy x =，则d y =（）.A ．26e cos3d xx x B ．()22e3cos3d xx x +C ．22(2e sin 33e cos3)d xxx x x + D ．22(2e sin 33e cos3)d xxx x x - 答案：C21、1．设2x y =，则d y =（）.A ．2ln 2)dx x B ．2ln 2)d x xC ．2)dx x D ．2ln 2)d x x -+ 答案：A21、2．设3x y =，则d y =（）.A ．3ln3)dx x - B ．3ln 3)d x x -C ．3)d x x -D ．3)dx x -+ 答案：A21、3．设2xy =，则d y =（）.A ．2ln2)dx x -+ B ．2ln 2)d xx -C ．2)d x x -D ．2)dx x -+ 答案：A22、1．设sin(2)3x y x +=，方程两边对x 求导，可得（）. A ．cos(2)3x y += B ．()cos 123y '+= C ．()()cos 2123x y y '++= D ．cos(2)23x y y '+= 答案：C22、2．设cos()4x y x +=，方程两边对x 求导，可得（）. A ．sin()4x y -+= B ．()sin 14y '-+= C ．()()sin 14x y y '-++= D ．sin()4x y y '-+= 答案：C22、3．设sin()4x y x +=，方程两边对x 求导，可得（）. A ．cos()4x y += B ．()cos 14y '+= C ．()()cos 14x y y '++= D ．cos()(1)4x y y ++= 答案：C23、1．设2()ln(1)f x x =+，则()f x ''=（）.A ．22(1)xx -+ B ．22222(1)x x -+C ．22(1)xx + D ．22222(1)x x ++ 答案：B23、2．设()cos f x x x =，则π()2f ''=（）. A ．2π B ．π- C ．2- D ．1-答案：C23、3．设x x x f sin )(=，则π()2f ''=（）. A ．1 B ．π2- C ．π2D ．1- 答案：B24、1．函数23(1)y x =+的驻点是（）. A ．0x = B. 1x = C ．1x =- D ．1x =± 答案： C24、2．函数23(2)y x =-的驻点是（）. A ．0x = B. 2x = C ．2x =- D ．2x =± 答案：B24、3．函数2)1(3-=x y 的驻点是（）. A ．0x = B. 1x = C ．1x =- D ．1x =± 答案：B25、1．设某商品的需求函数为3()10e p q p -=，则需求弹性=p E （）.A ．3p -B ．13-C ．31e 3p-- D ．3p答案：A25、2．设某商品的需求函数为2()50e pq p -=，则需求弹性=p E （）.A ．2p -B ．12-C ．25ep -- D ．2p 答案：A25、3．设某商品的需求函数为2e 10)(p p q -=，则需求弹性=p E （）.A ．2p -B ．12- C ．25ep-- D ．2p 答案：A。

经济数学答案（完整）

经济数学基础作业1及解答（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .答案：0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：13.曲线x y =在)2,1(的切线方程是 .答案：2321+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 25.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案：2π-（二）单项选择题1. 当+∞→x 时，下列变量是无穷小量的是（）.答案：DA ．()x +1lnB ．12+x xC ．21x e- D ．xxsin 2. 下列极限计算正确的是（）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3. 设y x =lg2，则d y =（）．答案：B A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛1，则()()='x f .A.21x B.21x- C.x 1 D.x 1- 答案：B(三)解答题 1．计算极限（1）123lim 221-+-→x x x x 解：2112lim )1()1()2()1(lim 123lim 11221-=+-=+⋅--⋅-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）8665lim 222+-+-→x x x x x解：2143lim )4()2()3()2(lim 8665lim 22222=--=-⋅--⋅-=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x（3）xx x 11lim--→ 解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21111l i m-=+--=→x x（4）423532lim 22+++-∞→x x x x x解：32423532lim 423532lim 2222=+++-=+++-∞→∞→xx x x x x x x x x（5）xxx 5sin 3sin lim 0→解： 535355sin 33sin lim 5sin 3sin lim00=⋅=→→xx x xx x x x （6）)2sin(4lim 22--→x x x解：41222)2sin(2lim )2sin()2()2(lim )2sin(4lim2222=+=--+=-+⋅---→→→x x x x x x x x x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？（2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续. 解： b b xx x f x x =+⋅=--→→)1sin (lim )(lim 01sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x ∴（1）当1=b 时，1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x )(x f 在0=x 处有极限存在，此时a 可取任何值。

经济数学(定积分习题及答案)

第六章定积分习题 6－11.利用定积分的定义，计算由抛物线2y x =、直线x = a , x = b 及x 轴所围的图形的面积(0)S a b ≤≤.解将区间[],a b n 等分，则每个小区间的长均为i b ax n -∆=于是第i 个小区间为 (1),b a b a a i a i n n --⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦,取小区间的右端点为i ξ，即ib a a i n ξ-=+，则2()()(1,2,,)i b a f a i i n n ξ-=+=因为222211()()()(2)nnn i i i i a b a b a b aS f x a i i n n n ξ==---=∆=++∑∑ 2222111()2n n ni i i b a b a b a a a i i n n n ===⎡⎤---=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑222(1)()(1)(21)226n n b a n n n b a b a na a n n n ⎡⎤+-++--=++⎢⎥⎣⎦222()(1)()(1)(21)()6a b a n b a n n b a a n n ⎡⎤-+-++=-++⎢⎥⎣⎦ 而222()(1)()(1)(21)lim ()6lim n n n a b a n b a n S n b a a n n →∞→∞⎡⎤-+-++=-++⎢⎣=⎥⎦()22()()3b a b a a a b a ⎡⎤-=-+-+⎢⎥⎣⎦223311()()()33b a a ab b b a =-++=-所以 2331d ().3b a x x b a =-⎰2.利用定积分的定义，计算下列积分：(1)1d x x⎰ (2)10d x e x ⎰解 (1) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即i i n ξ=，则()(1,2,,)i i f i n n ξ== 因为()11221()1112nn i i i nni i n n S f x i i n n n n ξ===+⋅=∆=∑∑∑ = ＝两端取极限，得2(1)1li l 22m m i n n n n n n S →→∞∞+== 所以11d 2x x =⎰.(2) 将区间[]0,1n 等分，则每个小区间的长均为1i x n ∆=，于是第i 个小区间为1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 取小区间的右端点i x 为i ξ，即iin ξ=，则 ()(1,2,,)i n i f e i n ξ==因为111112111(()()())nn i i i n n n n n n i i e e e e n S f x n ξ==⎡⎤===+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦∆∑∑111(1)1nn e e n e -=-两端取极限，得1111(1)(1l )1lim lim111imnnn n n nn ne e e e S e ne e n∞→∞→→∞--===---所以 10d 1x e x e =-⎰.2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)4π=⎰ (2)⎰-232cos ππx d x = 0(3)22sin 0xdx ππ-=⎰ (4)⎰-22cos ππxd x =2⎰20cos πxd x解 (1) 因为单位圆221x y +=在第一象限的方程为y =所以根据定积分的几何意义知0x⎰为单位园在第一象限的面积.故4x π=⎰.(2) 因为当322x ππ-≤≤时，曲线cos y x =在x 轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，322cos d 0x x ππ-=⎰.(3) 因为当22x ππ-≤≤时，函数sin y x =在x 轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，22sin d 0x x ππ-=⎰.(4) 因为 cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为偶函数，其图形关于y 轴对称且都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知，222cos d2cos dx x x x πππ-=⎰⎰.4.将下列极限表示成定积分：(1)2111 lim()14n n n n nn n n →∞++++++(2)1 lim n n →∞解（1）因为211114nn n nn n n++++++222211111121()1()1() 111()ninnn n ninn=⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦=+∑所以21lim)(1114n nn n nn n n→∞++++++1221111lim d11()nnixi n xn→∞===++∑⎰.（2）令1yn=[]1ln ln(1)ln(2)ln(2)lny n n n n n=⋅+++++-[] 1ln(1)ln(2)ln(2)lnn n n n n n=⋅+++++-112ln(1)ln(1)ln(1)nn n n n⎡⎤=⋅++++++⎢⎥⎣⎦111ln(1)nin n==+⋅∑因为lim lnny→∞＝11lim ln(1)nniin n→∞=+⋅∑＝1ln(1)dx x+⎰而yey ln=，所以1lim ln ln(1)dlim ny x xny e e→∞+→∞⎰==.习题6－2 1.确定下列定积分的符号：(1)21ln d x x x⎰ (2)4401cos d 2xx π-⎰(3)10sin cos d cos sin x x x x x x x -+⎰ (4)11||d x x-⎰解 (1) 因为被积函数()ln f x x x =在[1,2]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知,21ln d 0.x x x >⎰(2) 因为被积函数41cos ()2x f x -=在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 4401cos d 0.2x x π->⎰(3) 因为被积函数sin cos ()cos sin x x x f x x x x -=+在[]0,1上连续，且()0f x ≤，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知, 10sin cos d 0.cos sin x x xx x x x -<+⎰(4) 因为被积函数()||f x x =在[-1,1]上连续，且()0f x ≥，但()f x 不恒等于0，所以由性质6知 11||d 0.x x ->⎰2.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.(1)120d x x⎰与130d x x⎰ (2)320d x x⎰与330d x x ⎰(3)21ln d x x⎰与221ln d x x⎰ (4)43ln d x x⎰与423ln d x x⎰解 (1) 因为在[]0,1上，232(1)0x x x x -=-≥，即 23x x ≥ 所以 11230d d .x x x x ≥⎰⎰(2) 因为在[]1,3上，232(1)0x x x x -=-≤，即 23x x ≤所以 1123d d x x x x≤⎰⎰.(3) 因为在[]1,2上，20ln 1,ln ln ln (1ln )0x x x x x ≤<-=-≥即 2ln ln x x ≥所以 22211ln d ln d .x x x x ≥⎰⎰(4)因为在[3,4]上，1ln x <，()2ln ln ln 1ln 0x x x x -=-< 即 2ln ln x x <所以 44233ln d ln d .x x x x <⎰⎰3.估计下列积分值： (1)()4211d xx+⎰ (2)()52441sin d x x ππ+⎰(3)arctan d x x(4)202d x xe x -⎰解 (1) 因为被积函数2()1f x x =+在区间[]1,4上单调递增,所以在区间[]1,4上有22117x ≤+≤，14x ≤≤即故由定积分的估值定理，得()42161d 51xx ≤+≤⎰(2) 设被积函数()21sin f x x =+，则由()'sin20f x x ==，得驻点为 12,2x x ππ==.且()3532,1,,24242f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 211sin 2x ≤+≤故由定积分的估值定理，得()52441s i n d 2x x ππππ≤+≤⎰.(3) 设被积函数()arctan f x x x =，x ∈⎣ 因为'2()a r c t a n 01x f x x x =+>+，则()f x在⎣上单调递增，所以当x ∈⎣时，arctan f x x f ≤≤即arctan x x ≤故由定积分的估值定理，得2a r c t a n d.93x x ππ≤≤(4) 因为22022d d x x xxe x e x--=-⎰⎰，设被积函数2()x xf x e-=，[]0,2x ∈令()2'()210x xf x x e-=-=，得驻点为1411,(),(0)1,22x f e f -===且2(2)f e =，所以当[]0,2x ∈时， 2124xxee e --≤≤ 故由定积分的估值定理，得 212242d 2xxee x e --≤≤⎰即2102422d 2.x x e e x e---≤≤-⎰4.证明下列不等式：(1)2x π≤≤(2) 1126x π≤≤⎰证（1）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦而 20cos 1x ≤≤所以10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故由定积分的估值定理，得2x π≤≤（2）令()f x =()f x 在[]0,1上连续，且'()f x =令'()0f x =，得驻点23x =，且12(0)(1),()23f f f ===所以1[0,1]2x ∈故由定积分的估值定理，得1126x π≤⎰5.求下列极限：（1）10limd 1n xxn x e xe →∞+⎰（2）120lim d 1nn xxx→∞+⎰解 (1) 设被积函数()1n xx x e f x e =+，则[]()0,1f x 在上连续，由积分中值定理知，在区间（0，1）内，至少存在一点ξ，使得10d (0,1)11n x n x x e e x e e ξξξξ=∈++⎰ 故 10lim lim 01d 1n x n x n n x e e x e e ξξξ→∞→∞==++⎰.(2) 设被积函数1()1,()0,12n x f x f x x ⎡⎤=≤⎢⎥+⎣⎦则在上连续，由积分中值定理知，在区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，至少存在一点ξ，使得1201d (0,)112n n x x x ξξξ=∈++⎰故120d l 1im lim 01n n n nx x x ξξ→∞→∞=++=⎰.6*. 设f (x ), g (x )在[a ,b ]上连续，求证：(1) 若在[a , b ]上，f (x )≥0且()d baf x x⎰=0，则在[a , b ]上, f (x )≡0;(2) (2) 若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ) 且()d ()d bbaaf x xg x x=⎰⎰，则在[a , b ]上，必有 f (x )≡ g (x )解（1）用反证法.若)(x f 不恒等于为零，则至少存在一点] ,[0b a x ∈，使得)(0x f 0≠.不妨假设)(0x f ＞0，且) ,(0b a x ∈，则由)(x f 在]b , [a 的连续性知，0lim ()()0x x f x f x →=>，根据定理 2.3得推论2知，在点0x 的某个邻域内，就必有0)(21)(0>>x f x f .于是由性质4，得0000()d ()d ()d ()d bx x baax x f x x f x x f x x f x xδδδδ-+-+=++⎰⎰⎰⎰0000001()d ()d ()02x x x x f x x f x x f x δδδδδ++--≥>⋅=⋅>⎰⎰由此与已知⎰=bax x f 0d )(矛盾，反证法之假设不成立，即()0f x ≡.（2）令)()()(x f x g x F -=，则在]b , [a 上就必有0)(≥x F ，且d )(=⎰x x F ba.由（1）的结论可知，在]b , [a 上就必有0)(≡x F ，即)()(x g x f ≡.7*. 设f (x )在区间[a , b ]上连续，g(x)在区间[a , b ]上连续且不变号，求证至少存在一点ξ∈(a , b)，使得⎰⎰=ba b a x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ.证因为)(x f 在]b , [a 上连续，必有最大值M 和最小值m ，所以 ] , [b a x ∈∀，有()m f x M ≤≤.设0)(>x g ，则有 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤由定积分的性质5，得⎰⎰⎰≤≤bababaxx g M x x g x f x x g m d )(d )()(d )(于是，有Mxx g xx g x f m baba≤≤⎰⎰d )(d )()(又由介值定理知，在( , )a b 内，必存在一点ξ，使得()()d ()()d baba f x g x xf g x xξ=⎰⎰故⎰⎰=b abaxx g f x x g x f d )()(d )()(ξ (,)a b ξ∈.习题 6－31. 1. 已知函数sin d xy t t=⎰，求当x = 0及4x π=时, 此函数的导数.解因为'sin d )'si (n xy x x x==⎰所以 00'|sin |sin 00x x y x =====44'|sin |sin4x x y x πππ====2. 2. 求由00d cos d 0y xt e t t t +=⎰⎰决定的隐函数y （x ）对x 的导数. 解将方程两边对x 求导并注意到y 为x 得函数，得'cos 0y e y x ⋅+=解出'y ，得 'c o s yy e x -=-.3. 3. 当x 为何值时，2()d x t I x te t-=⎰有极值？此极值是极大值还是极小值？解由2'()0xI x xe -==，得驻点0x =，而当0x <时，'()0I x <，当0x >时，'()0I x >所以，当0x =时，()I x 有极值，此极值是极小值(0)0I =.4. 4. 计算下列导数：(1)20d d x t x ⎰(2)32d d x x t x ⎰202d (3)cos d d x t t t x ⎰解(1) 22'0d ()2d xt x x ==⎰323'2'd (2))()d x x t x x x =-⎰2=20224234d (3)cos d cos ()'2cos .d x t t t x x x x x x =-⋅=-⎰5. 5. 计算下列定积分：(1) 2214()d x t x x ++⎰(2) 220()d x a x +(3) 1⎰ (4) 42021331d 1x x xx -+++⎰(5)52032d x x x-+⎰ (6)101d x x -⎰| (7)(1)d xt t t-⎰ (8)d ()bax x a b <⎰(9) 21(1)()1(1)2x x f x xx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩, 求20()d f x x ⎰.解 (1)23221147()d (4ln )4ln 233x x t x x tx tx ++=++=++⎰.00222d()d 11(2)1 1 (().033)x x a a x x a aa aa ππ===-=++(3) 1110012d()11arcsin 222x xπ===⎰⎰.420222113013311(4)d (3)d 11(arctan )| 1.4x x x x xx x x x π---++=+++=+=+⎰⎰(5) 因为被积函数22232,01,2532(32),12x x x x x x x x x ⎧-+≤≤≤≤⎪-+=⎨--+<<⎪⎩或所以122201520(32)32d (32d d )x x x x x x xx x =-+--++-⎰⎰⎰5221(32)d 14.2x x x +-+=⎰ (6) 因为在本题中，变量为x 且01x ≤≤，t 为参数，但是可以取任意实数，即本题结果应为t 的函数. 所以设1()d I t x t x=-⎰，则当0t ≤时，得111()d ()d 2I t x t x x t x t =-=-=-⎰⎰当01t <<时, 得11201()d ()d ()d 2ttI t x t x t x x x t x t t =-=-+-=-+⎰⎰⎰当1t ≥时, 得111()d ()d 2I t x t x t x x t =-=-=-⎰⎰故 21, 021(), 0121, 12t t I t t t t t t ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.(7) 因为被积函数(1), 0(1)(1),01(1), 1t t t t t t t t t t t -≤⎧⎪-=--<≤⎨⎪-≥⎩，且x 为参数可取一切实数，所以应分下列情况讨论：当0x ≤时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-⎰当01x <<时，有320()(1)d 32xx x I x t t t =-=-+⎰ 当1x ≥时，有320111()(1)d (1)d 323xx x I x t t t t t t =-+-=-+⎰⎰故 323232,032(),01321,1323x x x x x I x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩.(8) 令被积函数0x =,得0x =，按数0在区间[],a b 的不同位置状况，可分为下列几种情况：① 当0a b <<时，得221d d ()2b b a a I x x x x b a ==-=--⎰⎰② 当0a b <<时，得02201d d ()2b a I x x x x b a =-+=+⎰⎰ ③ 当0a b <<时，得221d ()2b a I x x b a ==-⎰故综上所述，有2222221(), 021(), 21(), 002bab a a b b a b a I x dx a bb a --<<+⎧⎪⎪⎪==<<⎨⎪-<<⎪⎪⎩⎰.(9) 因为21(1)()1(1)2x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩所以 212120101208()d ()d (1)d ()d 23d f x x f x x f x x x x x x +=++==⎰⎰⎰⎰⎰.6. 6. 求下列极限：(1)001lim (1sin 2)d xx t tx →+⎰(2) 2001lim arctan d x x t t x →⎰(3)22limcos d x x x t t → (4)* 2220lim d xx t x e t e t x-→∞⎰解 (1) 0001lim(1sin lim(1sin 2) 1.2)d xx x t x t x →→+==+⎰(2)202000arctan 1lim arc 21lim lim 222(1tan )d x x x x x x x t t x →→→==+=⎰.(3)2222400cos dlim4cos0d.xx xxxtxtxt t→→→===222222222222dlim lim(12)1(4)lim dlim.2(12)x txx xx xtx x xxt e t x exe e xxxet e tx-*→→∞→∞→∞∞=+==+=⎰⎰7*. 设23,[0,1)(),[1,2]x xf xx x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，求()()dxx f t tΦ=⎰在[0，2]的表达式，并讨论Φ(x)在[0, 2]上的连续性与可导性.解因为当10<≤x时，⎰==Φxxttx323d)(当21≤≤x时，4123011()d d124x xx t t t tΦ=+=+⎰⎰所以)(xΦ的表达式为34, 013()1, 12412xxxxx⎧≤<⎪⎪Φ=⎨⎪+≤≤⎪⎩又因为)(xf在区间)1,0[与]2,1(上为初等函数，显然为连续函数.2311111lim()lim1,lim()lim1lim()1x x x xxf x x f x xf x--++→→→→→=====而即由1lim()(1)1xf x f→==知，)(xf在1=x处连续. 所以)(xf在区间]2,0[上连续. 故由定理6.5知，函数)(xΦ在区间]2,0[上可导.8*.设f(x)在[a, b]上可积，求证：当x∈(a, b)时，Φ(x)=0()dxf t t⎰在[a, b]上连续(提示: 注意可积函数的有界性).证因为设对任意的x, x x+∆∈(a, b)时,有()()()()d()d()dx x x x xa a xx x x x f t t f t t f t t+∆+∆Φ=Φ+∆-Φ=-=⎰⎰⎰又由f(x)在[a, b]上可积知,存在常数M>0, 使得()f x M≤所以()()d dx x x xx xx f t t M t M x+∆+∆∆Φ=≤≤∆⎰⎰而00lim0,lim()0x xx x∆→∆→∆=∆Φ=则故()xΦ在[a, b] 上任意一点x处连续, 即()xΦ在[a, b]上连续.习题6－41. 计算下列定积分：(1)30(1sin )d x xπ-⎰(2) 1x(3)x(4)2120d t tet-⎰(5)21ex⎰ (6)22cos cos 2d x x x ππ-⎰(7)22xππ-⎰(8)xπ⎰解 (1) 330(1sin )d d sin d x x x x xπππ-=-⎰⎰⎰20d (1cos )d cos x x xππ=+-⎰⎰3014(cos cos )33x x x ππ=+-=-12242222224422244cos (2)sin d sin sin cos 1sin d d sin sin 1 d d 1.4sin t x x t txtt t t tt tt t tπππππππππππ=-===-=-⎰⎰⎰⎰⎰令202201(3)21 13).()2x x a a x =-==--(4)222120112122200d()1.2d t t t te e t e et ------=-=-=⎰⎰2221211121(5)(1ln )d(1ln )2(1ln)1).e e e x x x x -=++=+=⎰⎰22202222032200(6)cos cos 2d 2(12sin )d sin 2d sin 4sin d sin 42 2sinsin .33x x x x xx x xx x πππππππ-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰22(7)2x xππ-=⎰11222203222sin(cos )d 2(cos )d cos 24 2(cos ).33x x xx x x πππ==-=-⋅=⎰⎰2202(8)d d d x x xx x x xxx πππππππ==-=-=⎰⎰⎰2. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1)sin d x x ππ-⎰ (2)422sin d x xππ-⎰(3)12x⎰(4)323423tan d 21x xx x x -++⎰解（1）因为sin x 在[],ππ-上为奇函数，所以sin d 0x x ππ-=⎰.（2）因为4sin x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以 22202422222000122111 sin 21cos 2sin d ()d (12cos 2cos 2)d 21cos 4d 2113 sin 4.4422826212x x x x x x x xx x x πππππππππππ---++===⋅-=⋅++⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰（3）因为221)(arcsin x x -在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是偶函数，所以1122202x x=⎰⎰11323220022(arcsin )d(arcsin )(arcsin )|.3324x x x π===⎰（4）因为3242tan 21x x x x ++在[]3,3-上是奇函数，所以323423tan d 021x xx x x -=++⎰.3. 证明下列各题：(1) 1122111d d 11x x t tt t =++⎰⎰(2)11(1)d (1)d mn n m x x x x x x-=-⎰⎰(3) 20sin d 2sin d nn x x x x ππ=⎰⎰证 (1) 令211,d d t t y y y ==-，则11112222111d d 1d d 1111xxxx y y t t ty yt =-===++++⎰⎰⎰⎰左端 = 右端.10111(1)d 1(1)d (1)d (1)d m n m n n m n m x x x x u u u uu u u x x x =-=---=-=-=⎰⎰⎰⎰(2)左端令右端.2022202(3)sin d sin ()d()222cos d 2cos d n n nn x x x u u u u u u uπππππππππ--==+++==⎰⎰⎰⎰左端令2022sin d 2sin d 2nn u y y y x x πππ===--⎰⎰令右端.4.* 设()f x 在[0,1]上连续且单调减少，求证：对任给()0,1α∈，均有1()d ()d f x x f x xαα>⎰⎰证由于1()d ()d f x x x t f t tαααα=⎰⎰令, 则当01,0t α<<<<时，01,0t t t αα<<<<<且又由已知()f x 在[0,1]上单调减少，所以()()f x f x α≥于是11()d ()d ()d f x t f t t f t tαααα=>⎰⎰⎰即 10()()f x dx f x dxαα>⎰⎰.5. 5. 计算下列积分：(1)1d x xe x -⎰ (2)1ln d ex x x⎰(3)41x⎰ (4)1arctan d x x x⎰ (5) 220cos d x e x x π⎰ (6)2(sin )d x x xπ⎰ (7)1ln d e ex x⎰(8)1(1)3d xx x-⎰(9)21cos ln d e x x xπ⎰解 (1)1111100002d d 1.x x x x xe x xe e x e e e -----=-+=--=-⎰⎰(2)22221111111ln d (1).2224l 4n d eee ex e x x x x x x e x -==-=+⎰⎰(3)44112ln x x =⎰⎰411422112ln 2d 8ln 244(2ln 21)x x x x-=-=-=-⎰.221011020101arctan |d 221111 ( 4)arcta (arctan ).24d 22n 4x x x x x x xx x x ππ-+=⋅--=-=⎰⎰222222022220220sin 2sin d 2cos 4cos d 24(5)c c s o o s d d xxx xx x exe x xe exe x xe e x x xex ππππππππ-=-=+=--⎰⎰⎰⎰移项解得 22c o sd 1(2)5.xe x x e ππ=-⎰22003203230301 si 1(6)(sin n 2642)d (1cos 2)d 21 cos 2d 62si 1 co n s 2.644642d cos 2d x x x x x xx x x x x x x x x x x x xππππππππππππ=-+=-+=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰ (7) 令 ln 0x =，则1x =1111111111ln d ln d ln d 1 ln d ln |d 2(1).eeeee eeex x x x x xx x x x x x e =-+=-++-=-⎰⎰⎰⎰⎰111101221(8)(1)3d (1)3ln 3(1)1 33ln 3ln 311ln 32 3.ln 3(ln 3)ln 3x x xxxx x x d x dx -=--=--=-=⎰⎰⎰222211121(cos(ln)|sin(ln )d9)cos ln 1cos(ln d d )e e e e x x x x x xe x xπππππ+=--=⎰⎰⎰移项解得 212co 1(1s ln d ).2e x x e x ππ=-⎰6. 已知20cos d (2)x x x π+⎰= m , 求20sin cos d 1x x x x π+⎰.解2200sin cos sin 2d d 2122x x x x x t x x x ππ==++⎰⎰01sin d 22t t t π+⎰ 02011d(cos )221cos 1cos 111d ().0222222(2)t t t t t m t t ππππ=-+=-⋅+=+-+++⎰⎰ 7. 设2(2),()d .xyba bf x a xe f t t ++=⎰求解设2t x a =+，则222222()d 2(2) d 2d 2d (2).y a y a x b b x y a y a yb a b bbx y a b bf t t f x a x x e xxbe b e x b y a b e b ----+-=+=⋅⎡⎤=⋅-=--⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰8. 设1(2)2f =，'(2)0f =，20()d 1f x x =⎰，求12''0(2)d x f x x⎰. 解 201''2011(2 d )d (2)2x f x x f x x '=⎰⎰习题 6－51. 利用定义判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，试计算其值.(1)411d x x +∞⎰ (2)2d 22xx x +∞-∞++⎰(3)0d axe x +∞⎰(4)0(1)d a x x+∞+⎰(5)21x⎰(6)1e⎰(7)220d (1)x x -⎰(8)2()d (0)aax a xa α->⎰解（1）344111111d limd lim ()3ttt t x x x xx +∞-→+∞→+∞==-⎰⎰3111lim ().333t t -→+∞=-+=（2）02220d d d 222222x x xx x x x x x +∞+∞-∞-∞=+++++++⎰⎰⎰02200220d d lim lim 2222d(1)d(1)lim lim .1(1)1(1)t t t t t t t t x x x x x x x x x x π→-∞→+∞→-∞→+∞=+++++++=+=++++⎰⎰⎰⎰（3）当a < 0时， 01lim d t ax t e x a →+∞=-⎰,所以广义积分收敛于1a -；当a ≥0时，0limd t axt e x→+∞=+∞⎰,所以广义积分发散.（4）当a < -1时，01lim (1)d 1a t x x a +∞→+∞+=-+⎰，所以广义积分收敛于11a -+；当a ≥-1时，0lim (1)d a t x x +∞→+∞+=∞⎰, 所以广义积分发散.（5）因为21210lim lim 1)d t tεεε+++→→+⎰30182lim (33t t ε+→=+=所以广义积分收敛且收敛于83.（6）因为 x = e 为瑕点，且存在ε>0,有0011lim lim e e εεεε++--→→=⎰⎰01lim arcsin(ln )lim[arcsin ln()arcsin(ln1)]e x e εεεε++-→→==--arcsin12π==.所以原瑕积分收敛，且1.2eπ=⎰（7）因为212222001d d d (1)(1)(1)x x xx x x =+---⎰⎰⎰且112(1)1lim lim 1x dxxεεεε++---→→==+∞-⎰即120d (1)x x -⎰发散, 所以原瑕积分发散.(8) 因为212()()d 1aaaax a x a x ααα+--=+⎰,且当 α= -1时，2()d aax a xα-⎰原式发散；当α< -1时，221()d 1(1)()aaaax a x x αααα-==∞--+-⎰发散；当 α> -1时，原式=12()d (1)aaa x a x ααα+-=+⎰收敛.所以当α≤-1时，原式发散；当α> -1时，原式收敛于1(1)a αα++.2. 2. 当k 为何值时，广义积分2d (ln )k xx x +∞⎰收敛？k 为何值时，该广义积分发散？k 为何值时，该广义积分取得最小值？解因为1222(ln )d (ln )d(ln )lim1(ln )bk kkb x x x x kx x -+∞+∞-→∞==-⎰⎰而当1=k 时，广义积分发散；当1<k 时，112d 1lim[ln ln 2]1(ln )k kk b x b k x x +∞--→∞=-=∞-⎰，广义积分发散；当1>k 时，1122d 11lim(ln )(1)(ln )(1)(ln 2)bkk k b x x x k x k +∞--→∞-==--⎰所以当1≤k 时，积分发散；当1>k 时，广义积分收敛于11(1)(ln 2)k k --.又设1(ln 2)()1k F k k -=-，则12(ln 2)[ln(ln 2)ln(ln 2)1]()(1)k k F k k --+'=-由0)(='k F ，得驻点011ln(ln 2)k =-，且当0k k <时0)(<'k F ，当0k k >时0)(>'k F ，故当11ln(ln 2)k =-时，该广义积分取得最小值. 3. 已知0sin d 2x x x π+∞=⎰，求证：（1）0sincos d 4x x x x π+∞=⎰ （2）220sin d 2x x x π+∞=⎰ 证（1）00sin cos 1sin 21d d(2).22224x x x x x x x ππ+∞+∞==⋅=⎰⎰ 222002000sin 1(2)d sin d()sin 2sin cos d 0sin 2sin d 2d .2xx x x x x x x xx xx t x t x t x t π+∞+∞+∞+∞+∞=-+∞=-+===⎰⎰⎰⎰⎰4*.求函数2()(2)dx tf x t e t-=-⎰的最大和最小值.解因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+∞）内的最值.令222'()2(2)0xf x x x e-=-=，则得驻点为x=且当0x<'()f x> 0,当x>, '()f x< 0，故x=f(x)在[0，+∞]的极大值点，也是最大值点，且222200max()(2)d(2)d1t t tf x f t e t t e e t e----==-=--=+⎰⎰－而000()lim()(2)d(2)d1t t txf f x t e t t e e t+∞+∞+∞---→+∞+∞==-=---=⎰⎰(0)0f=所以min()(0)0.f x f==5. 用欧拉函数表示下列积分,并指出它们的收敛范围:（1）0d(0)nxe x n+∞->⎰(2)101(ln)d p xx⎰(3)()d0nm xx e x n+∞-≠⎰(4)1d(1)mnxxx-+∞+⎰解（1）11100111d d() (0)nx un ne x x u e u x nn n n-+∞+∞--==Γ>⎰⎰（2）10(1)10011(ln)d ln d dp p u u px u u e u e u ux x+∞--+-+∞=-=⎰⎰⎰(1) (1)p p=Γ+>-.(3)11001111d d()(0)nmm x n u nm mx e x u x e u un n n n+-+∞+∞--++==Γ>⎰⎰.（4）111()100d, (1)d11(1)mm n mnx x ux u x u u ux ux-+∞---==-+-+⎰⎰(,) (0)m n m n mβ=->>6. 利用欧拉积分计算下列积分：（1）0x⎰（2）642sin cos dx x xπ⎰解（1）331112233(1)d(,)22x x x xβ--=-=⎰⎰311311112(,)(,)22242228πββ-==⋅=.（2）令112221sin,d(1)d2u x x u u u--==-7511164222001sin cos d(1)d2x x x u u uπ--=-⎰⎰1751155133(,)(,).2222222888512ππββ=⋅=⋅=⋅⋅=7*.判别下列广义积分的敛散性：（1）21ln sin d xx x x +∞⎰(2）11d x x +∞⎰（3）0x ⎰ （4）201(1cos )d x x x π-⎰解（1）因为 [)1,,x ∀∈+∞有ln sin ()0x x f x x x =⋅≥而32lim ()limsin 0x x x f x x →+∞==故广义积分21ln sin d xx x x +∞⎰收敛.（2）因为 [)1,,x ∀∈+∞有1arctan 1()0f x x==≥而121sin lim()lim201x x x x f x x→+∞=⋅=>故广义积分11d xx +∞⎰发散.（3）因为 x = 0为瑕点，且(]0,1,x ∀∈恒有()01f x e=≥-且连续.而12sin 0lim ()lim lim 1sin 1x x x x x xx f x x e +++→→→⋅===-故广义积分1sin 0d 1x x e -⎰收敛.（4）因为x = 0为瑕点，且0,2x π⎛⎤∀∈ ⎥⎝⎦，恒有1cos ()0nx f x x -=≥ 而 2000, 21lim ()lim 0, 2 2p n p x x n p x f x n p x ++--→→>-≥⎧=⎨=-<⎩ 所以当1p ≥时,得 12n -≥,即3n ≥时，该积分发散;当0< p < 1时，得n - 1 < 2，即n < 3时，广义积分201(1cos )d x x x π-⎰收敛.综合习题六1.填空: (1) 若1120()d ()d ,a xf x x f x x =⎰⎰则a = .(2)12(2)d ()d ,b xf x x xf x x =⎰⎰若则b = .(3 ) 若2(23)d 0, .kx xx k -==⎰ 则(4 ) 若(1)d ,xy t t =-⎰则y 的极小值为 .解（1）2 ；（2） 4；（3）1 、0；（4）12-.2. 单项选择：（1）下面积分错误的是（）.①22sin d 0x x ππ-=⎰②122x x π-==⎰⎰③1211d 121xx x -=-=--⎰④22(6x x π--=-⎰(2)下列广义积分中，（）不收敛. ①11lnd 1x x -⎰②12()d 112e x x x +∞+-+⎰③42x⎰④e+∞⎰（3）若1(1ln )d e I x x=-⎰，则下列不等式（）是正确的.①10I e <<②1I e -<<③01I e ≤≤- ④1I e <<（4）若011()d ()22xf t t f x =-⎰且f （0）=1，则f （x ）=（）. ①2xe ②12x e ③2x e ④212x e解（1）③; （2）④; （3）③; （4）③.3.计算下列极限：（1）1lim n n i n →∞= （2）112limp p p p n n n +→∞+++（3）lim ()d x ax a x f t t x a →-⎰（其中()f t 为连续函数）(4）2(arctan )d limxx t t 解（1）11lim n n i x n →∞==⎰=1)x +⎰()32122(1)133x =+=|10（2）11121limlim pp p pn p n n i n i n n n +→∞→∞=+++⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 1011d 1p x p x ==+⎰（3）因为f （x ）为连续函数,(()d )'()xaf t t f x =⎰且由积分中值定理有()()d ()xaf t t f x a ξ=-⎰且a x ξ<<所以 ()()l i m ()d l i m x a x a x a x x f x a f t t x a x a ξ→→⋅⋅-=--⎰lim ()().x axf af a ξ→==(4)2(arctan )d limxx t t2(arctan )d limxx t t x ⋅=2220(arctan )d limlim (arctan )4xx x t tx xπ→+∞→+∞===⎰4.计算下列积分：（1）20sin d 1cos x xxx π++⎰ (2)40ln(1tan )d x xπ+⎰(3)20(sin )d x x xπ⎰(4)2201d 1cos xx π+⎰解（1）因为222000sin sin d d d 1cos 1cos 1cos x x x x x x x xx x πππ+=++++⎰⎰⎰而 222200d 1sec d d(tan )1cos 222x x x x x x x x πππ==+⎰⎰⎰ =2200tan tan d ln 2222x x x x πππ⋅-=-⎰2200sin 1d d(1cos )1cos 1cos x x x x x ππ=-+++⎰⎰20ln(1cos )ln 2x π=-+=所以20sin d (ln 2)ln 21cos 22x x x x πππ+=-+=+⎰.（2）因为4ln(1tan )d 4x x x tππ+=-⎰令041tan ln[1] d(-)1tan tt t π-++⎰440[ln 2ln(1tan )] d ln 2ln(1tan )d 4t t x xπππ=-+=-+⎰⎰所以41ln(1tan )d ln 2ln 2248x x πππ+=⋅=⎰.（3）因为222001(sin )d d cos 2 d 22x x x x x x x x πππ=-⋅⎰⎰⎰而 230 d 26x x ππ=⎰220020011cos 2 d d(sin2)2411 sin 2sin 2 d d(cos 2) 424x x x x x x x x x x x x πππππ==-=⎰⎰⎰⎰0cos 2sin 2484x x x πππ⋅=-=所以 32(sin )d 64x x x πππ=-⎰.（4）令 tan x = t, 则x = arctan t,2d d 1t x t =+ 且221cos 1x t =+22200021d 1d 1cos 21t x xt π+∞+∞=+++⎰⎰⎰lim b →+∞=. 5. 计算下列广义积分.（1）221ln d (1)x xxx +∞+⎰(2)3022arctan d (1)x xx +∞+⎰(3) ⎰2d sin ln πxx(4)1x⎰解 (1)22211ln 11d ln d()2(1)1x x x x x x +∞+∞=-++⎰⎰22111ln 111lim ()lim d 2211bb b b x x x x x →+∞→+∞=-+⋅++⎰2111lim ()d 21b b xx x x →+∞=-+⎰20111lim ln ln(1)ln 2224bb x x →+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦.(2) 2arctan , tan , d d sec x t x t x t t ===令则且2223/223/200arctan d sec d (1)(1tan )x t x t t x t π+∞==++⎰⎰2cos d t t tπ⎰222000d(sin )sin sin 1.2t t t ttdt ππππ==-=-⎰⎰(3) 因为1211/2ln sin lim ()lim lim (2)cos 0sin x x x x xx f x x x xx+++-→→→==-=。

华南理工数学试题及答案

华南理工数学试题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 2答案：B3. 矩阵A=\[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]的行列式是（）。

A. -2B. 2C. 5D. 8答案：A4. 函数y=e^x的反函数是（）。

A. ln(x)B. e^xC. x^eD. x^2答案：A5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C6. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数f(x)=x^2-4x+4的值域是（）。

A. [0, +∞)B. (-∞, 0]C. (-∞, 4]D. [4, +∞)答案：A8. 极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^2+2x+1)的值是（）。

A. 1B. 0C. 2D. -1答案：A9. 函数y=ln(x)的定义域是（）。

A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：A10. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数是______。

答案：3x^2-32. 函数f(x)=x^2-4x+4的极小值是______。

答案：03. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是______。

答案：2和44. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x+C5. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的单调递增区间是______。

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《经济数学》作业题
一、计算题
1．某厂生产某产品，每批生产x 台得费用为()5200C x x =+，得到的收入为2()100.01R x x x =-，求利润.
解：利润=收入-费用
Q （x ）=R(x)-C(x)=5x-0.01x^2-200
2
．求0x →. 解：原式=0lim x
→230lim x
→0
lim x →3/2=3/2
3．设213lim 21
x x ax x →-++=+，求常数a . 解：有题目中的信息可知，分子一定可以分出（x-1）这个因式，不然的话分母在x 趋于-1的时候是0，那么这个极限值就是正无穷的，但是这个题目的极限确实个一个正整数2，所以分子一定是含了一样的因式，分母分子抵消了，
那么也就是说分子可以分解为（x+1）(x+3)因为最后的结果是（-1-p ）=2所以p=-3,那么也就是说（x+1）(x+3)=x^2+ax+3 所以a=4
4．设()(ln )f x y f x e =⋅，其中()f x 为可导函数，求y '.
解：y '=
)('.).(ln ).(ln '1)()(x f e x f e x f x
x f x f +
5．求不定积分ln(1)x x dx +⎰.
解：
c x x x x x dx x
x x x x dx x
x x x x x x dx x
x xdx x x dx
x x x x x x dx x x x x dx x x ++-+-+=+-+-+=+-++-+=++-+=+-+-+=++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)1ln(2
12141)1ln(2111212141)1ln(2112141)1ln(2112121)1ln(21121)ln(21)1(2)1ln(21)1ln(222222222222
5．设1
ln 1b
xdx =⎰，求b.
解：
e
b b b b b b b b x xd x x b
===-=----⎰1
ln 0ln )1(0ln )
(ln ln 1
7．求不定积分⎰+dx e
x 11. 解：⎰+dx e x
11.=ln(1)x c e --++
8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=4 ,
4, 416)(2x a x x x x f 在),(+∞-∞连续,试确定a 的值.
解：x 趋于4的f(x)极限是8 所以a=8
9．求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的平面图形的面积.
解：首先将两个曲线联立得到y 的两个取值y1=-2,y2=4 X1=2,x2=8 2
42(4)2y dy y --
++⎰=-12+30=18
10．设矩阵263113111,112011011A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求AB . 解；AB = 8
112123
61
01-- 所以，|AB| = -5
11．设2()21f x x x =-+，1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求矩阵A 的多项式()f A . 解：将矩阵A 代入可得答案f(A)=
751512-- -21533-⎛⎫ ⎪-⎝⎭+10301⎛⎫ ⎪⎝⎭=0000⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．设101111211A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，求逆矩阵1-A .
解：(|)P A B =1/3, (|)P B A =1/2 (|)P A B =()()31()11
P A P AB P B -=-
13．甲、乙二人依次从装有7个白球，3个红球的袋中随机地摸1个球，求甲、乙摸到不同颜色球的概率.
解：有题目可得（1-7/10*(6/9)-3/10*(2/9) ）=42/90
二、应用题
14．某煤矿每班产煤量y （千吨）与每班的作业人数x 的函数关系是
)12
3(252x x y -=（360≤≤x ），求生产条件不变的情况下，每班多少人时产煤量最高？
解：某厂每月生产x 吨产品的总成本为4011731)(23++-=x x x x C (万元),每月销
售这些产品时的总收入为3100)(x x x R -=（万元），求利润最大时的产量及最大
利润值.
解：利润函数为
L()=R()-C()=-1/3
15．甲、乙两工人在一天的生产中，出现次品的数量分别为随机变量12,X X ，且
解：仅从概率分布看，不好直接对哪位工人的生产技术更好一些作业评论，但由数学期望的概念，我们可以通过比较E （
1X ），E （2X ）的大小来对工人的生产技术作业评判，依题意可得
310()k k
E X x p =∑k ＝
00.410.32.023.011=⨯+⨯+⨯+⨯=
320()k k
k E X y p ==∑
00.310.520.2300.9=⨯+⨯+⨯+⨯=
由于12()()E X E X >，故由此判定工人乙的技术更好一些。

显然，一天中乙
生产的次品数平均比甲少1
10。