九年级数学上册 第22章 相似形 22.3 相似三角形的性质 教材回归 常见比例式、等积式证明方法作
天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案
22.2 相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教学目标【知识与技能】使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.【过程与方法】1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【情感、态度与价值观】通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.重点难点【重点】直角三角形相似定理的应用.【难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?学生回答:5种.师:哪5种?教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?生:作相似证全等或作全等证相似.师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?生:记得.师:请你叙述一下.学生回答.二、共同探究,获取新知1.推理证明.师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?教师多媒体课件出示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?学生思考、讨论后回答.师:我们知道了哪些条件?生甲:两个直角对应相等.生乙:两边对应成比例.师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?生:还有剩下的一边也是对应成比例的.师:为什么要这样添加呢?生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?学生思考.生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.学生证明并修改.证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.∵BC===k=kB'C',∴===k,∴△ABC∽△A'B'C'.师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.2.例题.教师多媒体课件出示:【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°,当=时,△ABC∽△CDB.即=,BD=.又当=时,△ABC∽△BDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.三、练习新知师:请同学们看课本84页练习1后回答.生甲:△ABF和△ACE.生乙:△EDB和△FDC.师:下面请同学们完成第2题.证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).(2)∴∠B=∠B(公共角),∠ACB=∠CDB,∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).∴∠A=∠A(公共角).∠ACB=∠ADC,∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).师:很好!现在请同学们看第3题.学生计算后回答,然后集体订正得到:解:(1)相似.证明如下:∵BC===6,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.(2)相似.证明如下:∵A'B'===15,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.四、巩固提高师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )A.3m【答案】B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.C.2D.4【答案】B3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )A.∠A=∠B'B.AC=BC,A'C'=B'C'C.AB=3BC,A'B'=3B'C'D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8【答案】D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF= .【答案】第4题图第5题图5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM= 时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)【答案】或6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.五、课堂小结师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.教学反思教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.第2课时何时获得最大利润1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．二、探究新知1．课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为____________；(2)销售额可以表示为____________；(3)所获利润可以表示为____________；(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.(4)设总利润为y元，则y＝－5 000x2＋120 000x－700 000＝－5 000(x－12)2＋20 000∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20 000元．即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．2．课件出示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．三、举例分析例 1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x ＋60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝－5x2＋100x＋60 000＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500当x＝10时，y最大＝60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？解：(1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36.(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大＝36.四、练习巩固1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根； ③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是4ac －b24a；④当b ＝0时，函数的图象关于y 轴对称． 其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4 D ．163．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？ 六、课外作业1．教材第49页“随堂练习”．2．教材第50页习题2.9第1～3题．本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.二次函数与一元二次方程的关系教学目标【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.教学重点①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.教学难点理解二次函数与一元二次方程的联系.教学过程一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3，x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-6=0的较小的根是什么？学生回答：【教学点评】x1≈-1.7.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α，β，则α，β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1，β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1，x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；教学反思通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.11。
九年级数学上册 第22章 相似形22.3 相似三角形的性质第2课时 相似三角形的性质定理2 3课件
12/11/2021
第十九页，共十九页。
A′ D′ B′ A DB
（2）∵△ABC∽△A′B′C′ , AD, A′D′ 是对应(duìyìng)高.
∴ S△ABC =
1 B C ·A D 2
C′
S△A′B′C′ =
1 B'C' ·A'D'
2
C
第六页，共十九页。
A′ D′ B′ A DB
S△ABC S△A′B′C′
1 B C ·A D =2
第2课时 相似(xiānɡ sì)三角形的性质定理2,3
第一页，共十九页。
新课导入
1.相似三角形对应(duìyìng)线段的比等于_相___似___.
(xiānɡ sì)
2.相似(xiānɡ sì)三角形对应高的比、对应比中线的 比与对应角平分线的比都等于_相__似__比__.
第二页，共十九页。
新课探究
思考
相似三角形周长(zhōu chánɡ)的比和面积的比分别与相 似比有什么关系？
C
C′
A
B A′
B′
第三页，共十九页。
如图△ABC∽△A′B′C′ , 相似比为k, AD、 A′D′ 为高线. (1)这两个相似三角形周长(zhōu chánɡ)比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？
A
A′
9, 25
解方程, 得 A D 3 . AB 5
∴ AD 3 . DB 2
D B
第十二页，共十九页。
A
E C
随堂演练
1. 两个相似三角形对应边比为 3:5, 那么相似比 为______, 周3∶长5(zhōu chánɡ)比为___3_∶_5_, 面积比为 _9_∶__2_5_.
沪科版数学九年级上册第22章《相似三角形》复习教学设计
沪科版数学九年级上册第22章《相似三角形》复习教学设计一. 教材分析《相似三角形》是沪科版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握相似三角形的性质和判定方法，以及相似三角形在实际问题中的应用。
本章内容是学生以前学过三角形知识的进一步拓展，也是为后续学习相似多边形、相似圆等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等。
同时，他们具备一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但是，对于相似三角形的性质和判定方法，学生可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深入理解相似三角形的性质和判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的性质和判定方法，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的问题解决能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：相似三角形的性质和判定方法在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己发现相似三角形的性质和判定方法。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力和沟通能力。
3.案例教学法：教师通过列举实际问题，引导学生运用相似三角形的知识解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似三角形的性质和判定方法。
2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生运用相似三角形的知识解决问题。
3.学具：准备一些三角形模型，供学生观察和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等。
然后，教师提出本节课的主题——相似三角形，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用课件展示相似三角形的性质和判定方法，引导学生观察、思考，自己发现相似三角形的性质和判定方法。
沪科版九年级数学上册22.3相似三角形性质优秀教学案例
1.布置一道综合性较强的作业题，让学生运用相似三角形的性质解决实际问题。
2.要求学生在作业中运用所学知识，注重解题过程的简洁性和逻辑性。
3.鼓励学生进行自我评价，总结自己在相似三角形学习中的优点和不足。
4.教师对学生的作业进行批改和评价，关注学生的成长和进步。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过现实生活中的实例引入相似三角形的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
2.问题导向的教学策略：通过设计一系列有针对性的问题，引导学生思考相似三角形的定义和性质，激发了学生的思维活力，培养了学生的解决问题的能力。
3.小组合作的学习方式：组织学生进行小组讨论和合作交流，培养了学生的团队协作能力和沟通能力，提高了学生的学习效果。
4.反思与评价的环节：引导学生进行自我反思和互评，让学生总结自己在学习过程中的优点和不足，明确了今后的学习方向。
2.运用小组合作、讨论交流的方式，让学生分享彼此的想法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学概念与具体的图形相结合，提高学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的内在动力，使学生感受到数学的趣味性和魅力。
2.让学生在探究相似三角形性质的过程中，体验到成功的喜悦，增强学生的自信心和自尊心。
3.创设互动环节，让学生分组讨论，分享生活中遇到的相似三角形问题，培养学生主动参与、乐于探究的学习态度。
（二）问题导向
1.设计一系列有针对性的问题，引导学生思考相似三角形的定义和性质，如“什么是相似三角形？相似三角形的性质有哪些？”
2.通过提问，让学生思考相似三角形在实际问题中的应用，如“如何利用相似三角形的性质解决面积问题？”
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计2
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计2一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。
本节主要让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
教材通过引入生活中的实例，引导学生发现相似三角形的性质，并通过大量的练习让学生熟练掌握。
本节内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于图形的变换也有了一定的了解。
但是，学生对于抽象的数学概念的理解仍然有所欠缺，需要通过具体的实例来帮助理解。
同时，学生的逻辑思维能力有所差异，需要通过适量的练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，并能够运用性质解决实际问题。
2.培养学生的观察能力、动手能力以及逻辑思维能力。
3.提高学生运用数学解决生活问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握相似三角形的性质。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实例引入相似三角形的性质，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.小组合作：学生在小组内讨论相似三角形的性质，培养学生的合作意识。
3.练习巩固：通过大量的练习让学生熟练掌握相似三角形的性质。
4.拓展应用：引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例以及练习题目。
2.练习题：准备相关的练习题目，以便让学生在课堂上进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一个生活中的实例，如古建筑的设计，引导学生发现古建筑中的三角形与实际生活中的三角形相似。
让学生思考：为什么古建筑中的三角形与实际生活中的三角形相似？从而引入相似三角形的性质。
2.呈现（10分钟）引导学生观察相似三角形的性质，并通过PPT展示相关的性质。
让学生自己总结出相似三角形的性质，如对应边成比例，对应角相等。
3.操练（10分钟）让学生在小组内进行讨论，通过实际的例子来运用相似三角形的性质。
九年级数学上册第22章相似形22.3相似三角形的性质
第十五页，共二十八页。
相似三角形的性质
相
对应 高的比 (duìyìng)
似 对应中线的比
三
角 对应角平分线的比
形
周长的比
都等于(děngyú)相似比.
面积的比等于(děngyú)相似比的平方
12/11/2021
第十六页，共二十八页。
例1：如图，在△ABC中，边BC=60cm，高AD=40cm
B
B ',
AB A 'B '
BC B 'C '
A D , A ' D '分 别 是 B C 、 B 'C '的 高 线
图18.3.9
A D B A 'D 'B '
又 B B'
A B D ∽ A 'B 'D '
结论：相似(xiānɡ sì) 三角形对应高的比
AD A 'D '
AB A 'B '
的 倍. 10
4.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，（1）
它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是
.
（2）它们1的00面cm积、之4和0是cm58平方厘米，这两个三角形的面积
分别是
.
12/11/2021
50cm2、8cm2
第二十二页，共二十八页。
5.已知两个等边三角形的边长之比为2 ：3，且 它们(tā men)的面积之和为26cm2，则较小的等边三
A B D ∽ A 'B 'D '
沪科九年级数学上册第22章3 相似三角形的性质
类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质
全等三角形
相似三角形
C
C'
C
C'
图形 A
B A'
B'
整体：形状相同，大小相同，完全重合
AB
A'
B'
整体：形状相同，大小不一定不同，不 一定能重合
性质 角：对应角相等 线段：对应边相等 对应边上的高线、中线相等 对应角的角平分线相等
角： 对应角相等
线段：对应边成比例，都等于相似比 对应边上的高线之比等于相似比吗？ 对应边上的中线之比等于相似比吗？ 对应角的角平分线之比等于相似比吗？
求这两个三角形的周长比和面积比.
解：∵ 两个三角形相似，且一对对应边分别为32 cm，12 cm ， ∴两个三角形的相似比为32∶12= 8∶3. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比是8∶3. ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴两个三角形的面积比是64∶9.
典型例题
60 cm
D
C
2
2
2
AB AC BC 2
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2，
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
相似三角形的性质定理1：
相
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的
似
比都等于相似比.
三
角
形
的
性
质
用相似三角形的性质定理1解决问题：
定
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
42 x 8
解这个方程，得x=18，42–x=24. 答：这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
2022九年级数学上册 第22章 相似形22.2 相似三角形的判定第2课时 相似三角形的判定定理1
5 即3 2
AC 3
AC
，∴AC＝
5 2
.
BA
12．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿 AB边向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s 的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，以P，Q，B 为顶点的三角形与△ABC相似？
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2022/5/62022/5/6Friday, May 06, 2022
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022/5/62022/5/62022/5/65/6/2022 9:04:01 AM
11、人总是珍惜为得到。2022/5/62022/5/62022/5/6M ay-226-May-22
解：△BCD∽△BAC.理由如下：∵BD＝ 4 ，AB
4
3
＝3，BC＝2，∴ B D 3 2 ， B C 2 ，
BC 2 3 B A 3
∴ B D B C . ∵∠DBC＝∠CBA， BC BA
∴△BCD∽△BAC.
(2)若CD＝
5 3
，求AC的长．
解：∵△BCD∽△BAC，∴ C D B C ，
BC BA
16
8
过2秒或0.8秒时，以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似．
1.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似时，易找错对应边而判断错误． 2.考虑问题不周全而出错．例如：在△ABC中，AB＝9，AC＝6.点M在边AB上，且AM＝3， 点N在AC边上．求当AN的长为多少时，△AMN与原三角形相似．解决此问题应分类讨论： ①△AMN∽△ABC；②△AMN∽△ACB.
6．△ABC如图，那么以下四个三角形中，与△ABC相似的 是( C)