【湘教版九年级数学上册】2.2.3 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程 PPT精品课件
2.方程(x-3)(x+1)=x-3的解是 A.x=0 B.x=-3
( D )
C.x=3或x=-1
D.x=3或x=0
解析：方程两边有公因式(x-3)，可以利用因式分解法 解方程，原方程变形，得(x-3)(x+1)-(x-3)=0，所以(x3)(x+1-1)=0，即x-3=0或x=0 x =3， 2 1，所以原方程的解为 x =0.故答案为D.
于是得
x=0或x+3＝0, x1=0，x2=－3.
于是得
1 x1 1, x2 . 5
3 x
2
2 x 3 0.
解：原方程可化为
x 2 2 x 1 4 0,
即 于是得 (x+1)2=4. x+1＝2或x+1＝－2,
x1=1，x2=－3.
当堂练习
1.填空
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8； ⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法
⑥
；
适合运用因式分解法 ② ③ ⑤ ⑨ ； 适合运用公式法 ① ⑦ ⑧ ； 适合运用配方法 ④ .
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数不为1，且不能直 接开平方，也不能直接因式分解，所 以适合公式法.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 解得 (x - 6)2 = 40. 开平方,得
解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
②直接开平方法 （x+a )2=C ( C≥0 ） ③公式法 (化方程为一般式） （二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
④配方法
讲授新课
灵活选用方法解方程 例1 用适当的方法解方程：
(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 分析：方程一边以平方形式出现， 所以用因式分解法解答较快. 另一边是常数，可直接开平方法.
x1=
, x2=
拓展提升
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，
用配方法也较简单.
例2 选择合适的方法解下列方程：
1 x
2
3x 0;
2 2 5 x 4x 1 0;
解：(1)因式分解，得 x(x+3)=0.
(2) 这里 a=5, b=－4, c=－1 因而 Δ=b2 - 4ac = 36 > 0,
所以原方程的解为x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5 .
课堂小结
基本思路：降次
一元二次方程 的解法
直接开平方法 配方法 方法 因式分解法 公式法
课后作业
第2章 一元二次方程
2.2.3 因式分解法一元二次方程
第2课时
导入新课
选择合适的方法解一元二次方程
讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解解一元二次方程的基本思路； 2.能根据题目特点选用最恰当的方法求解.（重点）
导入新课
问题： 我们学习过的解一元二次方程的方法有哪些？
①式分解）
3.用适当的方法解下列方程．
(1)x2 －3x＋1＝0； (2)(x－1)2 ＝3；
解：(1)因为a＝1，b＝－3，c＝1，
3 5 －4×1×1＝5，x＝ 2 3 5 3 5 所以原方程的解为x1＝ ，x2＝ . 2 2 (2)两边直接开平方，得x－1＝ 3 ，
所以b2－4ac＝(－3)2
，
所以原方程的解为x1＝1＋ 3 ，x2＝1－ 3 .
3.用适当的方法解下列方程．
(3)x2 －3x＝0； (4)x2 －2x＝4.
解：(3)左边分解因式，
得x(x－3)＝0，x＝0或x－3＝0，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝3.
(4)方程两边都加1，得x2－2x＋1＝4＋1，
所以(x－1)2＝5，x－1＝ 5 ，
因式分解
要点归纳
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），
先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，
若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0 .
5 x1 , x2 5. 3
5x + 1 = ± 1.
解得, x 1= 0 , x2=
（3）x2 - 12x = 4 ;
分析：二次项的系数为1，可用配 方法来解题较快.
新湘教版九年级数学上册课件2.2.3.选取合适的方法解一元二次方程
7．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③12x2 ＋12＋25x＝0；④2(5x－1)2＝3(5x－1)，较简单的方法是( C ) A．依次为：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
直接开平方 法较适宜． (2)解方程(5x－3)2＝7，用_____________
5．(12分)用适当的方法解方程． (1)2(x－3)2＝6；
解：x1＝3＋ 3，x2＝3－ 3；
(2)x2－2x－2＝0；
解：x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3；
(3)(x＋3)2＝2(x＋3)．
解：x1＝－3，x2＝－1.
【综合运用】
15．(12分)观察下面方程x4－13x2＋36＝0的解法．
解：原方程可化为(x2－4)(x2－9)＝0； ∴(x＋2)(x－2)(x＋3)(x－3)＝0； ∴x＋2＝0或x－2＝0或x＋3＝0或x－3＝0； ∴x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3. 请参考上面方程的解法，求出方程x2－3|x|＋2＝0的解．
6．(12 分)(2014·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于 b2－4ac＞0 的情况，她是 这样做的： 由于 a≠0，方程 ax2＋bx＋c＝0 变形为： b c x ＋ax＝－a，…第一步 b b 2 c b 2 2 x ＋ x＋( ) ＝－ ＋( ) ，…第二步 a 2a a 2a 2 b 2 b －4ac (x＋2a) ＝ 4a2 ，…第三步 b2－4ac 2 b x＋2a＝ 4a (b －4ac＞0)，…第四步 －b＋ b2－4ac x＝ ，…第五步 2a
湘教版初中数学九年级上册2.2.3 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程PPT课件
2、用适当方法解下列方程 ① -5x2-7x+6=0 ② 2x2+7x-4=0 ③ 4(t+2)2=3 ④ x2+2x-9999=0
例2. 解方程
① (x+1)(x-1)=2x
② 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
③ (2m+3)2=2(4m+7)
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重要 方法,要作为一种基本技能来掌握.
• 一元二次方程也是刻画现实世界的有效 数学模型.
课后练习 见《学练优》本课练习“课后巩固提升”
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2-3x+1=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0
⑧ 2x2+4x-1=0
适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0
⑨ 2x2-5x-3=0
⑥ 5(m+2)2=8
Байду номын сангаас
适合运用因式分解法 ③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2-3x+1=0 ⑨ 2x2-5x-3=0
适合运用公式法 ① x2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0
④ x2-4x=2
适合运用配方法
⑧ 2x2+4x-1=0
规律： ① 一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
应选用直接开平方法；若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法）
2023-2024学年湘教版九年级数学上册2.2+一元二次方程的解法(选择合适的方法解方程)课件+
复习导入
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：将方程的右边化为0； 右化零
2.因式分解：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积； 左分解
3.降次：方程转化为两个一元一次方程; 两因式
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 各求解
简记口诀：
右化零 左分解 两因式 各求解
探究新知
下列方程用哪种方法求解较简便?说说你的理由，
2.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法.
3.方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出适合的方法时，
则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
知识要点
各种一元二次方程的解法及适用类型
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
3;m）2＝n（n ≥ 0）
其中x1和x2是方程ax²+bx+c=0的两个根。
当堂练习
1.用合适的方法解下列方程：
(1)
3x2-4x=2x
解：方程可化为：
3x2-6x=0
方程左边因式分解得
3x(x-2)=0
∴3x=0或x-2=0
∴x1=，x2=
(2)
(x+3)2=1
解：方程可化为： (x+3)2=3
开方，得
x+3=±
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
复习导入
用配方法解一元二次方程
用配方法解一元二次方程的步骤可概括为：
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法教学设计
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法教学设计一. 教材分析湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》的2.2节《一元二次方程的解法》是本章的重要内容。
本节内容通过介绍一元二次方程的解法，使学生能够灵活运用各种方法解一元二次方程，为后续学习二元一次方程组、不等式组等知识打下基础。
本节课的内容包括：一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）、解的判断（判别式）、方程的根与系数的关系等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了方程与不等式的基础知识，对一元一次方程的解法有了一定的了解。
但一元二次方程的解法相对复杂，需要学生能够灵活运用数学知识，找到解决问题的方法。
此外，学生需要掌握一元二次方程的判别式，以判断方程的解的情况。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的解法（公式法、因式分解法），能够灵活运用各种方法解一元二次方程。
2.过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）。
2.难点：判别式的计算及应用，方程的根与系数的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.讲授法：讲解一元二次方程的解法，引导学生思考，解答学生的疑问。
3.小组合作学习：分组讨论，培养学生的团队合作意识，提高学生的沟通能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对一元二次方程解法的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的解法及实例。
2.练习题：准备不同类型的一元二次方程题目，以便进行课堂练习。
3.黑板：准备好黑板，以便进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
如：某商品打8折后售价为120元，求原价。
九年级数学上册 2.2.3 选择合适的方法解一元二次方程(第2课时) 湘教版
(x+5)(3x-5)=0，
∴x+5=0,3x-5=0，
∴x53 1=-5，x2=
.
（2）将方程化为一般形式，得3x2-4x-1=0.
这里a=3，b=-4，c=-1，
∴b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28＞0，
x 4 2∴8
2
2
∴7 x1=
2
7
， ，
x2=
.
课堂小结
一元二次方程 的解法
1、填空：
① x2-3x+1=0 3t2+t=0
② 3x2-1=0
③-
④
5(m+2)2=8
⑦
5x-3=0
x2-4x=2
⑤ 2x2-3x+1=0
⑥
3y2-y-1=0 ② 3⑧x2-12=x02+4x-⑥1=50(m+2)2⑨=8 2x2③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2-3x+1=0⑨ 2x2-5x-3=0
原方程变形，得(x-3)(x+1)-(x-3)=0，所以(x-3)(x+1-1)=0，
即x-3=0或x=0，所以原方程的解为x =3，x =0.故答案为D.
பைடு நூலகம்
1
2
3.用适当的方法解方程：
（1）3x（x+5）=5（x+5）；（2）3x2=4x+1.
解：（1）原方程可变形为3x(x+5)-5(x+5)=0即
用(公4)式x 法－来2解x＝；4方. 程(2)的左边是一个完全平方的形
式，适合用直接开平方法来解；方程(3)的左边可以
分解因式，适合用因式分解法来解；将方程(4)化为
一般形式后，可知一次项系数是偶数，故适合用配
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法说课稿
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法说课稿一. 教材分析湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》的2.2节主要介绍了一元二次方程的解法。
这部分内容是在学生已经掌握了方程的基本概念和一元一次方程的解法的基础上进行学习的，旨在让学生掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数和不等式打下基础。
本节内容共包括三种解法：因式分解法、公式法和对症下药法。
因式分解法是通过对方程左边进行因式分解，使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式，从而求出方程的解；公式法是利用一元二次方程的根的公式，直接计算出方程的解；对症下药法是根据方程的特点，选择合适的解法进行求解。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程的解法相对于一元一次方程的解法更加复杂，需要学生能够灵活运用已学的知识，进行适当的变形和运算。
同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力，能够根据方程的特点，选择合适的解法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用因式分解法、公式法和对症下药法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：因式分解法的运用，公式法的记忆和运用，对症下药法的选择。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，引导学生直观地理解一元二次方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引出一元二次方程的解法。
2.自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，引导学生发现解法之间的联系。
3.合作交流：让学生分组讨论，总结一元二次方程的解法，并进行展示。
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计1
湘教版数学九年级上册2.2《一元二次方程的解法》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程的解法》是湘教版数学九年级上册第二章第二节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
通过本节的学习，学生能够熟练运用各种方法解一元二次方程，并为后续学习其他数学知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程的解法与一元一次方程的解法有很大的不同，需要学生能够理解和掌握。
在学习过程中，学生可能会对公式法和解根公式的推导过程感到困惑，需要教师进行耐心讲解和引导。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
2.过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：公式法和解根公式的推导过程。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解一元二次方程的解法，引导学生理解和解根公式的推导过程。
2.案例分析法：通过典型例题，让学生掌握一元二次方程的解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。
4.实践操作法：让学生动手解一元二次方程，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教师准备：备好相关教学内容，准备典型例题和练习题。
2.学生准备：预习一元二次方程的解法，了解一元二次方程的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师讲解一元二次方程的解法，包括公式法、因式分解法等。
重点讲解公式法和解根公式的推导过程。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决典型例题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和分析。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程 选择合适的方法解一元二次方程
8 ．【 易 错 题 】 已 知 (x2 ＋ y2)(x2 ＋ y2 － 2) ＝ 3 ， 则 x2 ＋ y2 ＝ _____3_______．
【点拨】设 x2＋y2＝m，则原方程可化为 m(m－2)＝3， 整理得 m2－2m－3＝0，∴(m＋1)(m－3)＝0， ∴m＝－1(不合题意，舍去)，m＝3. ∴x2＋y2 的值为 3. 本题易错点：忽略 x2＋y2 为非负数，没有舍去－1.
(3)4x2－4 2x＋1＝0；
解：∵a＝4，b＝－4 2，c＝1，∴b2－4ac＝(－4 2)2－4×4×1＝16.
∴x＝4
2± 2×4
16＝
2±1 2.
∴x1＝
22＋1，x2＝
2－1 2.
(4)(3x－4)2＝9x－12.
原方程可变形为(3x－4)2＝3(3x－4)，即(3x－4)2－3(3x－4)＝0，
1．_公__式__法___适用于所有一元二次方程．配方法是为了推导出 _求__根__公__式_____．
2. 解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为 __一__元__一__次__方__程____，即降次，其本质是把方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)左边的二次三项式分解成两个一次多项式的乘积，即 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，其中 x1 和 x2 是方程 ax2＋bx ＋c＝0 的两个根．
6．现定义运算“★”，对于任意实数 a，b，都有 a★b＝a2－3a＋ b，如：3★5＝32－3×3＋5.若 x★2＝6，则实数 x 的值是 ___－__1_或__4____．
【点拨】由 x★2＝6，根据新定义，得 x2－3x＋2＝6，即 x2－3x －4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4.
2.第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程课件数学湘教版九年级上册
（B ）
A．x2-8x+（-4）2=31 C．x2+8x+42=1
B．x2-8x+（-4）2=1 D．x2-4x+4=-11
3.解下列方程 (1)3(x＋1)2＝13；
解：方程两边都除以3，得(x＋1)2＝19 ，
开平方，得x＋1＝±
1 3
，即x＋1=13或x＋1
=
−
1 3
，
∴x1＝－23 ，x2＝－43.
一元二次方程配方的方法： 在方程两边都加上一次项系数一半的平方——注意是在二次项 系数为 1 的前提下进行的.
例2：用配方法解下列方程： (1) x2 + 10x + 9 = 0；
解：配方，得 x2 + 10x + 52-52 + 9 = 0， 因此 (x + 5)2 = 16， 由此得 x + 5 = 4 或 x + 5 = -4， 解得 x1 = -1，x2 = -9.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.1 配方法
第2课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
1.理解配方法，知道用配方法解二次项系数为1的一元二次方 程的基本步骤. （重点） 2.体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点）
填一填 你能填上适当的数使等式成立吗？
(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2 ； (2)x2－6x＋__9__＝(x－__3__)2 ； (3)x2＋6x＋5＝x2＋6x＋__9__－__9_＋5
解： x2 + 4x - 12= 0 移项
x2 + 4x = 12 两边都加上 4
x2 + 4x + 4 = 12 + 4
湘教版初中数学九年级上册2.2.3 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程1
湘教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！湘教版初中数学和你一起共同进步学业有成！2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第2课时选择合适的方法解一元二次方程教学目标能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点，会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理,通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法。
重难点关键1. 重点:会根据不同的方程特点选用恰当的方法,使解题过程简单合理。
2. 难点:通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想。
教学过程一、用不同的方法解一元二次方程3x2 -5x-2=0(配方法,公式法,因式分解法)教师点评:三种不同的解法体现了同样的解题思路：把一元二次方程"降次"转化为一元一次方程求解。
二、把下列方程的最简洁解法选填在括号内。
(A)直接开平方法(B) 配方法(C) 公式法(D)因式分解法(1)7x-3=2x2 ( )(2)4(9x-1)2=25 ( )(3)(x+2)(x-1)=20 ( )(4) 4x2+7x=2 ( )(5) x2+2x-4=0 ( )小结:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。
其中,公式法是一般方法,适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法,在解符合方程左边易因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时,非常简便。
三、将下列方程化成一般形式,再选择恰当的方法求解。
(1)3x2=x+4(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2(3)(x+3)(x-4)=6(x+1)2-2(x-1)2说明:将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能,而且能为解法的选择提供基础。
四、阅读材料,解答问题:材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以视(x2-1)为一个整体,然后设x2-1=y,原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1,y2=4。