地基承载力确定的土工表格法
第十二讲 桥梁地基承载力检测
4.当地经验确定法
凭经验确定看持力层地基承载力是否满足 此法用于地基处于较好的岩石或硬质土时,且桥梁受力简单力不大 时可用,要求评定人员有较高的理论及实际工作经验. 确定步骤： (1)确定桥梁基础所需的承载力, (2)确定桥梁基础所处地基的类别。粘性土、砂类土、碎卵石类土、 黄土、冻土、岩石。 (3)确定土的状态。包括天然松密和稠度状态。 (4)对比确定土的容许承载力是否满足要求 (5) 也可对比邻近的同类桥梁情况做出判断
过其 平均值的 30%,取此平均值作为该土层的地基承载力特征值 (fak) 。
2.2 深层平板载荷试验
在拟试验的土层上，人工开挖试坑至预定深度，承压板采用直径为 0.8m，的刚性板，紧靠承压板周围外侧的图层高度应不小于80cm。
深层平板载荷试验的承压板采用直径为 0.8m 的刚性板, 紧靠承压板
周围外侧 的土层高度应不少于 80cm 。加荷等级可按预估极限承载力的 1/10~1/15分级施加。每级加荷后,第一个小时内按间隔 10min 、 10min 、 10min 、 15min 、 15min , 以后为每隔半小时测读一次沉降。当在连续两小 时内,每小时的沉降量小于 0.1mm 时,则认为已趋稳定,可加下一级荷载。
荷均匀传至地基土上，通过实测地基土在荷载作用下的变形，得 到荷载试验P-S曲线，以此推求地基土变形模量和地基承载力。 深层平板荷载试验的试验深度不应小于5m。深层荷载试验与 浅层荷载试验的区别在于土是否存在边载，荷载作用于半无限体 的表面还是内部。
地基在荷载作用下达到破坏状态的过程可以分为3个阶段：
确定地基承载力的方法
1.现场原位测试法： 堆载进行荷载试验； 标准贯入实验； 动力及静力触探等； 3.地基规范查表法： 查地基规范中持力层地基基本承载 力 查表看持力层地基承载力是否满足 按现行规范提供的经验公式计算 2.按理论公式计算： 用公式计算持力层地基承载 力是否满足，再结合建筑物对沉 降的要求确定地基允许承载力
地基承载力标准值计算表格(填数据即可)
13 73.30 35.60 57.08 12.77 0.22 0.888 50.69
μ
2 i
nμ 2
1
n 1
பைடு நூலகம் 4.678 2 )δ n n
g*b+Md*g*d+Mc*ck,其中Mb/Md/Mc取值如下表内插取得:
Mb 0.61 -1.48 0.8 -2.8 1.1 -2.8 1.4 -5.6 1.9 -8.6 2.6 -10.2 3.4 -10.2 4.2 -10.2 5 -10.2 5.8
Md 3.44 -1.29 3.87 -2.13 4.37 -2.91 4.93 -4.31 5.59 -5.81 6.35 -7.41 7.21 -10.47 8.25 -13.17 9.44 -17.16 10.84
岩土工试验成果计算表 界 限 液限 (%) 71.00 69.00 73.00 65.00 68.00 66.00 70.00 80.00 62.00 69.00 71.00
数 量(n) 最大值(max) 最小值(min) 平均值(fm) 标准差(σ) 变异系数(δ ) 修正系数(ψ ) 标准值 注:1、计算公式如下:
注:内摩角数值填入黄色空格内,相对应的M值即可在灰色条带上得到. 参数 数值 Mb 0.1 Md 1.39 Mc 3.71 g ) 1.66 g) 1.66 b(m) 3
岩土工试验成果计算表 界 限 塑限 塑性指数 (%) (%) 37.00 34.00 34.00 35.00 38.00 35.00 33.00 32.00 34.00 34.00 32.00 34.00 36.00 34.00 40.00 40.00 32.00 30.00 37.00 32.00 35.00 34.00
地基承载力确定的土工表格法
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------坏。
1、地基承载力：指地基土单位面积上所能随荷载的能力。
地基承载力问题属于地基的强度和稳定问题。
2、容许承载力：指同时兼顾地基强度、稳定性和变形要求这两个条件时的承载力。
它是一个变量，是和建筑物允许变形值密切联系在一起。
3、地基承载力标准值：是根据野外鉴别结果确定的承载力值。
包括：标贯试验、静力触探、旁压及其它原位测试得到的值。
4、地基承载力基本值：是根据室内物理、力学指标平均值，查表确定的承载力值，包括载荷试验得到的值）。
通常0f f f k ψ=5、极限承载力：指地基即将丧失稳定性时的承载力。
二、地基承载力确定的途径目前确定方法有：1．根据原位试验确定：载荷试验、标准贯入、静力触探等。
每种试验都有一定的适用条件。
2．根据地基承载力的理论公式确定。
3．根据《建筑地基基础设计规范》确定。
根据大量测试资料和建筑经验，通过统计分析，总结出各种类型的土在某种条件下的容许承载力，查表。
一般：一级建筑物：载荷试验，理论公式及原位测试确定f；一级建筑物：规范查出，原位测试；尚应结合理论公式；一级建筑物：邻近建筑经验。
三、确定地基承载力应考虑的因素123456b以后）见图8－当P当P二．竖直荷载下地基的破坏形式在荷载作用下，建筑物由于承载能力不足而引起的破坏，通常是由于基础下持力层土的剪切破坏所造成的，而这种剪切破坏的形成一般又可分为整体剪切、局部剪切和冲剪三种。
1．整体剪切破坏的特征：当基础上的荷载较小时，基础压力与沉降的关系近乎直线变化，此时属弹性变形阶段，如图中oa段。
地基承载力标准值计算表格(填数据即可)
11 59.20 46.50 52.25 3.56 0.07
14 113.60 28.80 74.89 28.03 0.37
6 56.69 41.30 47.88 5.64 0.12
11 11 1.50 100.00 1.30 94.00 1.37 98.91 0.07 2.07 0.05 0.02
11 7.90 5.10 6.49 0.87 0.13 0.93 6.01
11 42.90 30.20 37.61 4.45 0.12 0.93 35.15
11 0.47 0.35 0.42 0.04 0.09 0.952 0.40
11 6.70 5.20 5.89 0.44 0.08 0.958 5.65 frk
岩土工试验成果计算表 界 限 液限 (%) 71.00 69.00 73.00 65.00 68.00 66.00 70.00 80.00 62.00 69.00 71.00
数 量(n) 最大值(max) 最小值(min) 平均值(fm) 标准差(σ) 变异系数(δ ) 修正系数(ψ ) 标准值 注:1、计算公式如下:
岩石单轴 抗压强度 MPa 65.3 40.5 73.3 69.8 46.2 35.6 51.2 71.2 68.2 48.2 55.8 67.5 49.2
11 40.00 32.00 35.27 2.57 0.07
11 40.00 30.00 34.00 2.49 0.07
11 0.78 0.72 0.75 0.02 0.03
11 80.00 62.00 69.45 4.68 0.07
δ = σ/μ
μ=
μi
i 1
n
n
σ=
μ
i 1
地基承载力的评估及计算方法
地基的临界荷载
式(6-6)与式(6-7)中，第一项中的γ为基底面以下地基土的重度；第二项中的γ为基础埋置深度范围内土的重度；如系均质土地基则重度相同。另外，如地基中存在地下水时，则位于水位以下的地基土取浮重度γ′值计算。
按极限荷载确定地基承载力 极限荷载即地基达到完全剪切破坏时的最小压力。极限荷载除以安全系数可作为地基的承载力设计值。 极限承载力的理论推导目前只能针对整体剪切破坏模式进行。确定极限承载力的计算公式：一类是假定滑动面法，先假定在极限荷载作用时土中滑动面的形状，然后根据滑动土体的静力平衡条件求解;另一类是理论解，根据塑性平衡理论导出在已知边界条件下，滑动面的数学方程式来求解。 公式基本形式pu=γbNγ+Nqq+Ncc。在平面问题中浅基础应用较多的是太沙基与汉森公式。
按工程规范确定地基承载力
规范承载力表是在总结科研成果和工程实践经验的基础上制定的，利用现场勘查资料或室内试验资料直接查表得到承载力的标准值或承载力的基本值。 当基础宽度b≤3m，基础埋深d=0.5m，可按《规范》各表所列的数值确定地基承载力的标准值或基本值。如果实际工程的b、d超过上述范围，则地基承载力需进行宽度与深度修正，修正后为地基承载力的设计值(或称容许承载力)
概 述
地基土沉降变形
建筑物基础沉降和沉降差
变形要求
概 述
荷载过大超过地基承载力
地基产生滑动破坏
稳定要求
概 述
确定地基承载力的方法有载荷试验法、理论计算法、规范查表法、经验估算法等 在工程设计中为了保证地基土不发生剪切破坏而失去稳定，同时也为使建筑物不致因基础产生过大的沉降和差异沉降，而影响其正常使用，必须限制建筑物基础底面的压力，使其不得超过地基的承载力设计值
地基承载力的评估及计算方法
按工程规范确定地基承载力
根据野外鉴别结果确定地基承载力标准值f
k
岩石的硬度不同、风化程度不同，其承载力标准值亦不同 碎石和土的种类不同、密实程度不同，其承载力标准值亦
不同
根据室内物理力学指标平均值确定地基承 载力基本值f0
粉土根据孔隙比和含水率选取承载力基本值 粘土根据孔隙比和液性指数选取承载力基本值 淤泥质土根据天然含水量选取承载力基本值 红粘土根据含水比和液塑比选取承载力基本值 素填土根据压缩模量选取承载力基本值
地基承载力的特征值
《建筑地基基础设计规范》（GB50007－2002）5.2.5 条规定，当偏心距e小于或等于0.033倍基础底面宽度 时，根据土的抗剪强度指标确定地基承载力特征值可 按下式计算，并满足变形要求：
fa= Mbγb+ Mdγm+ Mc Ck （6-20）
式中fa――由土的抗剪强度指标确定的地基承载力值； Mb，Md，Mc――承载力系数，按表6-1确定；
按工程规范确定地基承载力
根据室内物理力学指标平均值确定地基承载力 标准值f k
先按规定查表6-7、表6-11中的承载力基本值f0，然后再乘以回 归系数计算f k，即
f k=f0φf
根据标准贯入试验锤击数N，轻便触探试验锤 击数N6,确定地基承载力标准值f k
现场试验锤击数应经下式修正：
6.2 地基的破坏模式
现场载荷试验 :通过试验可 O 得到载荷板在各级压力p的作 用下，其相应的稳定沉降量， 绘得p-s 曲线
p
a
b
c
s/ mm
图8-9 p-s 曲线 a-整体剪切破坏； b-局部剪切破坏；
c-刺入剪切破坏
地基的破坏的形式
地基检测中的土工试验
5．地基检测中的土工试验《建筑地基基础设计规范》（GB50007－２００２）规定，静力触探、动力触探、标准贯入等原位测试，用于确定地基承载力，在我国已有丰富试验可以应用。
同时还应注意，当地基基础设计等级为甲级和乙级时，应结合土工试验成果综合分析，不宜单独应用。
土工试验可配合原位测试对以下四类地基土进行测试及检测：第一类为一般粘性土、粉土、砂土、淤泥质土、新近沉积粘性土和、膨胀岩土、红粘土、黄土、混合土等特殊土地基。
第二类为填土或换土垫层经碾压、强夯等处理，地基土形成新的结构，需对其进行压实系数的鉴定。
第三类为各类地基土体经排水固结、堆载预压、振密、挤密、压实、强夯等处理加固的地基。
主要对其中扰动影响较轻、扰动范围较窄、土体破坏程度较小的部分土石进行处理前、后试验，获得物理力学指标进行对比研究。
第四类为原地基土体采用伴入法经高压喷射注浆、深层搅拌，将水泥浆与土拌合凝固成水泥土。
应检验水泥土是否达设计要求。
5.1 第一类地基的土工试验对于一般粘性土、粉土、砂土、淤泥质土、新近沉积粘性土和、膨胀岩土、红粘土、黄土、混合土等特殊土地基，可根据e、I P、I L、ω、aω、a、E S及D r等参数的测试成果，按表5-3至5-18确定地基土承载力指标。
０注：有括号者仅供内插用，e为第一指标孔隙比，I L为第二指标液性指数。
表5-4 粉土承载力基本值f０(KPa)本表引自《建筑地基基础设计规范》（GBJ7－89）。
注：有括号者仅供内插用，e为第一指标孔隙比，ω为第二指标含水量（％）。
表5-5 素填土承载力基本值f０(KPa)注：本表只是用于堆填时间超过10年的粘性土，以及超过5年的粉土。
０表5-7 新近沉积粘性土的地基承载力特征值f a(KPa)注：新近沉积粘性土是指文化期以来的沉积的粘性土，一般为欠固结，且强度较低。
表5-8 Q4冲洪积粘性土的地基承载力特征值f a(KPa)本表引自《公路、桥涵地基与基础设计规范》（JTJ０２４－８５）。
土工试验报告表格
土工试验报告表格土工试验报告表格土工试验报告表格( 铁建建 09 版) 土工试验报告（三）报告编号委托编号表号：铁建试报 60 批准文号：铁建设函【2009 】27 号工程名称委托单位勘探点编号取样地点报告日期试验单位批准试验复核土工试验报告（二）表号：铁建试报 59 批准文号：铁建设函【2009 】27 号委托单位报告编号工程名称委托编号工程名称委托编号取样地点样品编号取样深度报告日期取样深度报告日期试验复核批准单位（章）土工试验报告（一）表号：铁建试报 58 批准文号：铁建设函【2009 】27 号委托单位报告编号工程名称委托编号取样地点样品编号复核批准单位（章）试验篇二：铁路工程试验报告表格(09版)( 土工) 工程名称委托单位勘探点编号取样地点土工试验报告（三）报告编号委托编号表号：铁建试报 60 批准文号：铁建设函【2009 】27 号报告日期试验单位批准试验复核土工试验报告（二）表号：铁建试报 59 批准文号：铁建设函【2009 】27 号委托单位报告编号工程名称委托编号1/ 8工程名称委托编号取样地点样品编号取样深度报告日期取样深度报告日期试验复核批准单位（章）土工试验报告（一）表号：铁建试报 58 批准文号：铁建设函【2009 】27 号委托单位报告编号工程名称委托编号取样地点委托编号取样地点样品编号试验复核批准单位（章）篇三：土工实验报告二密度试验 2.1 基本原理：土( 体)的密度是指土的单位体积的质量，单位是的密度是指土的单位体积的质量，单位是 g/cm3 或或 kg/m3，土的密度可分为天然密度（湿密度）和干密度两种。
，土的密度可分为天然密度（湿密度）和干密度两种。
2.2 试验方法及适用范围 ?环刀法：一般适用于原状样中的细粒土，未受扰动的砂土，以环刀法：一般适用于原状样中的细粒土，未受扰动的砂土，以及形状规则的土体。
蜡封法：适用于具有不规则形状的易碎裂的难以切割的土体。
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第十章 地基承载力第一节 概述地基随建筑物荷载的作用后，部应力发生变化，表现在两方面：一种是由于地基土在建筑物荷载作用下产生压缩变形，引起基础过大的沉降量或沉降差，使上部结构倾斜，造成建筑物沉降；另一种是由于建筑物的荷载过大，超过了基础下持力层土所能承受荷载的能力而使地基产生滑动破坏。
因此在设计建筑物基础时，必须满足下列条件： 地基： 强度——承载力——容许承载力变形——变形量（沉降量）——容许沉降量一、几个名词1、地基承载力：指地基土单位面积上所能随荷载的能力。
地基承载力问题属于地基的强度和稳定问题。
2、容许承载力：指同时兼顾地基强度、稳定性和变形要求这两个条件时的承载力。
它是一个变量，是和建筑物允许变形值密切联系在一起。
3、地基承载力标准值：是根据野外鉴别结果确定的承载力值。
包括：标贯试验、静力触探、旁压及其它原位测试得到的值。
4、地基承载力基本值：是根据室物理、力学指标平均值，查表确定的承载力值，包括载荷试验得到的值）。
通常0f f f k ψ=5、极限承载力：指地基即将丧失稳定性时的承载力。
二、地基承载力确定的途径 目前确定方法有：1．根据原位试验确定：载荷试验、标准贯入、静力触探等。
每种试验都有一定的适用条件。
2．根据地基承载力的理论公式确定。
3．根据《建筑地基基础设计规》确定。
根据大量测试资料和建筑经验，通过统计分析，总结出各种类型的土在某种条件下的容许承载力，查表。
一般：一级建筑物：载荷试验，理论公式及原位测试确定f ；一级建筑物：规查出，原位测试；尚应结合理论公式； 一级建筑物：邻近建筑经验。
三、确定地基承载力应考虑的因素地基承载力不仅决定于地基的性质，还受到以下影响因素的制约。
1．基础形状的影响：在用极限荷载理论公式计算地基承载力时是按条形基础考虑的，对于非条形基础应考虑形状不同地基承载的影响。
2．荷载倾斜与偏心的影响：在用理论公式计算地基承载力时，均是按中心受荷考虑的，但荷载的倾斜荷偏心对地基承载力是有影响的。
3．覆盖层抗剪强度的影响：基底以上覆盖层抗剪强度越高，地基承载力显然越高，因而基坑开挖的大小和施工回填质量的好坏对地基承载力有影响。
4．地下水的影响：地下水水位上升会降低土的承载力。
5．下卧层的影响：确定地基持力层的承载力设计值，应对下卧层的影响作具体的分析和验算。
6．此外还有基底倾斜和地面倾斜的影响：地基土压缩性和试验底板与实际基础尺寸比例的影响。
相邻基础的影响，加荷速率的影响和地基与上部结构共同作用的影响等。
在确定地基承载力时，应根据建筑物的重要性及结构特点，对上述影响因素作具体分析。
第二节地基的变形和失稳一．临塑荷载Per和极限承载力Pu现场荷载试验表明：地基从开始发生变形到失去稳定的发展过程，典型的S－P曲线可以分成顺序发生的三个阶段，即压密变形阶段（oa）、局部剪损阶段（ab）和整体剪切破坏阶段（b以后）见图8－2（见教材P275），三个阶段之间存在着两个界限荷载。
第一个界限荷载（临塑荷载Per）：就是指基础下的地基中，塑性区的发展深度限制在一定围时的基础底面压力。
当P＞Per标志压密阶段进入局部剪损阶段。
第二个界限荷载（极限承载力Pu）：当地基土中由于塑性的不断扩大，而形成一个连续的滑动面时，使得基础连同地基一起滑动，这时相应的基础底面压力称为极限承载力Pu。
当P＞Pu标志着地基土从局部剪损破坏阶段进入整体破坏阶段，地基丧失稳定。
二．竖直荷载下地基的破坏形式在荷载作用下，建筑物由于承载能力不足而引起的破坏，通常是由于基础下持力层土的剪切破坏所造成的，而这种剪切破坏的形成一般又可分为整体剪切、局部剪切和冲剪三种。
1．整体剪切破坏的特征：当基础上的荷载较小时，基础压力与沉降的关系近乎直线变化，此时属弹性变形阶段，如图中oa段。
随着荷载的增大，并达到某一数值时，首先在基础边缘处的土开始出现剪切破坏，如图中a点。
随着荷载的增大，剪切破坏地区也相应的扩大，此时压力与沉降关系呈曲线形状，属弹性塑性变形阶段，如图ab段。
若荷载继续增大，越过b点，则处于塑性破坏阶段。
2．局部剪切破坏的特征：局部剪切破坏的过程与整体剪切破坏相似，破坏也从基础边缘下开始，随着荷载增大，剪切破坏地区也相应地扩大。
区别：局部剪切破坏时，其压力与沉降的关系，从一开始就呈现非线性的变化，并且当达到破坏时，均无明显地出现转折现象。
对于这种情况，常取压力与沉降曲线上坡度发生显著变化的点所对应的压力，作为相应的地基承载力。
3．冲剪破坏的特征：它不是在基础下出现明显的连续滑动面，而是随着荷载的增加，基础将随着土的压缩近乎垂直向下移动。
当荷载继续增加并达到某数值时，基础随着土的压缩连续刺入，最后因基础侧面附近土的垂直剪切而破坏。
冲剪破坏的压力与沉降关系曲线类似局部剪切破坏的情况，也不出现明显的转折现象。
对于地基土破坏形式的定量判别，Vesic ，A ，B 提出用刚度指标Ir 的方法。
地基土的刚度指标，可用下式表示：))(1(2φγqtg c EI r ++=式中：E 为变形模量υ为泊松比C 为地基土的粘聚力 φ为摩擦角q 为基础的側面荷载，q=rD ，D 为埋置深度，r 为埋置深度以上土的容重。
Vesic ，A.B 还提出判别整体剪切破坏和局部剪切破坏的临界值，称为临界刚度指标 Ir(er))]245()45.03.3exp[(210φ--=ctg L B Ir er 当Ir 大于Ir （er ）时，地基将发生整体剪切破坏，反之则发生局部剪切破坏或冲剪破坏。
三．倾斜荷载下地基的破坏形式对于挡水和挡土结构的地基，除承受竖直荷载Pv 外，还受水平荷载P h 的作用。
Pv 与P h 的合力就成为倾斜荷载。
当倾斜荷载较大而引起地基失稳时，其破坏形成有两种：一种是沿基底产生表层滑动，主要是P h 过大所造成的，是挡水或挡土建筑物常见的失稳形式；另一种是深层整体滑动破坏，主要是由于P h 不大而Pv 较大导致地基失稳而造成的。
第三节 原位试验确定地基承载力 一．现场荷载试验荷载试验是对现场试坑中的天然土层中的承压板施加竖直荷载，测定承压板压力与地基变形的关系，从而确定地基土承载力和变形模量等指标。
承压板面积为0.25～0.5平方米（一般尺寸：50×50cm 2,70×70cm 2）加荷等级不少于8级，第一级荷载（包括设备重量）的最大加载量不应少于设计荷载的2倍，一般相当于基础埋深围的土重。
每级加载按10，10，10，15，15分钟间隔测读沉降，以后隔半小时测读，当连续2小时，每小时沉降小于0.1mm 时，则认为已稳定，可加下一级荷载。
直到地基达到极限状态为至。
将成果绘成压力~沉降关系曲线，从曲线上可以得到地基极限承载力Pu 和容许承载力的基本值f 0=Per二．静力触探试验静力触探试验就是用静压力将装有探头的触探器压入土过压力传感器及电阻应变仪测出土层对探头的贯入阻力Ps ，用下列公式确定地基承载力的大小设计值。
1．梅耶霍夫公式：)1(36BDBPs f +=式中Ps ：贯入阻力（kPa ） B ：基础宽度 D ：埋置深度 2．国建议公式：4658-=ps f k kPa)5.0()3(01-+-+=D r B r f f d B k ηη式中：f ——承载力设计值，f k ——标准值 ， r 1——天然容重， r0——为基底以上土的加权平均容重，地下水以下取浮容重；ηB ，ηD ——相应于基础宽度和埋置深度的承载力修正系数。
按教材P302表8－14查用。
三．标准贯入试验根据试验测得的标准贯入击数N 63.5，用下列方法平价地基的承载力。
试验时，先清钻孔，把标准贯入器放入孔底，然后用重量N （63.5Kg ）的锤，从76cm 的高度自由下落将贯入器击入土中30cm ，记录N 。
1．《建筑地基基础设计规》确定地基的承载力标准值。
2．太沙基和皮克(R.Peek)公式当沉降量不超过25mm 的前提下，若B ≤1.3m 时，[f]＝N 63.5/8 kg/cm 2B ＞1.3m 时，)3.01(12][5.63BN f += kg/cm 2 3．梅耶霍夫公式)1(105.63BDN f +=kg/cm 2 四 旁压试验略（自学）第四节 按塑性区开展深度确定地基的容许承载力按塑性区开展深度确定地基容许承载力的方法，就是将地基中的剪切破坏区限制在某一围，视地基土能相应地承受多大的基底压力，该压力即为欲求的容许承载力。
条形基础均匀压力作用下容许承载力的近似计算方法如图所示（见教材P297图8-25）：根据弹性理论，地基中任意点M 由条形均布压力所引起的附加大、小主应力为：)2sin 2(31ββπσσ±-=∆∆rdp (1) 式中：2β——M 点与基底两侧连线的夹角，称为视角。
在M 点上还有地基本身重量所引起的自重压力。
设极限平衡区土的静止侧压力系数K 0＝1，则由土自重所引起的法向应力在各个方向都相同，均等于r(D+Z)。
基底压力与土自重在M 点引起的大、小主应力之和为：)2sin 2(31ββπσσ±-=∆∆rdp ＋r(D+Z) (2) 当M 点达到平衡时，其大小主应力应满足下列关系：)245(2)245(231φφσσ+++=ctg tg (3)将式（2）代入（3）式并经整理后，得D rtg cr rd p z ----=φβφβπ)2sin 2sin ( （4） 式中r, c,ψ，p, D 为已知时，Z 值随着β值而变。
对（4）式β求导数，并令其等于零，即：0)1sin 2cos (2=--=φβπβr rd p d dz 即φβsin 2cos = φπβ-=⇒22将φπβ-=⇒22代入（4）式，即可得到塑性区开展的最大深度为D rtg cctg r rd p Z --+--=φφπφπ)2(max （5） 如果我们规定了塑性区开展深度的容许值[Z]，那么：若Zmax ≤[Z]，地基是稳定的；若Zmax ＞[Z]，地基的稳定是没有保证的。
经验公式：[Z]=(1/4－1/3)B ， B 为条形基础的宽度， 将式（5）改写为：)2()21(2max φπφφπφπφπφπφπ+-++-+++-=ctg ctg c ctg rD ctg Z r p （6） 当Zmax ＝0，即塑性区开展深度为0；)2()21(φπφφπφπφπ+-++-+=ctg ctg c ctg rD p er （7） 当Zmax ＝1/4B （中心受压基础），)2()21()2(4][41φπφφπφπφπφπφπ+-++-+++-==ctg ctg c ctg rD ctg rBp p （8）当Zmax ＝1/3B 时（偏心受压基础），)2()21()2(3][31φπφφπφπφπφπφπ+-++-+++-==ctg ctg c ctg rD ctg rBp p （9） 式（7），（8），（9）可以用普遍的形式来表示，即c q r cN rdB rBN p ++=21][ （10） 式中：[P]：地基容许承载力（kN/m 2）Nr ，Nc ，Nq 为承载力系数，它们是土的摩擦角的函数，可查下表。