医药信息分析与决策--第5章马尔科夫预测与决策_WJ详解
马尔柯夫预测法
打算买C店 20% 20% 30%
S
(1) A
( ( , S B1) , S C1)
PAB PBB P CB
( ( ( S A0 ) , S B0 ) , S C0 )
0.40 0.50
0.30 0.27
0 .5 0.30 0.6 0.4 0.23
解：5、 预测下月市场占有率
S
( 2) A
,S
( 2) B
,S
( 2) C
PAA PBA PCA PAB PBB PCB PAC PBC PCC 0 .2 0.7 0.1 0.2 0.2 0.8
( ( ( S A1) , S B1) , S C1)
0.6 0.25 0.37 0.38 0.1 0.1 0.225 0.347 0.428
第12页
共20页
七、马尔柯夫预测法
解：6、 若下月销量预计下降5% ，
200(1-5%)=190.428(万箱) 则：各品牌洗衣粉销量
A牌销量=190.428×0.225=42.8463(万箱)
0. 6 0. 1 B 0. 1
0.2 0 .7 0 .1
0 .2 0 .2 0.8
第9页 共20页
七、马尔柯夫预测法
解：3、 测算本月市场占有率：
S
(1) A
( ( , S B1) , S C1)
PAA PAB PAC ( ( ( S A0 ) , S B0 ) , S C0 ) PBA PBB PBC PCA PCB PCC 0.6 0.2 0.2 0.3 0.4 0.3 0.1 0.7 0.2 0 .1 0 . 1 0 .8 0.25 0.37 0.38
马尔可夫决策ppt课件
V(s)→V*(s)
ii)异步迭代法 对于每一个状态s,得到新的 v(s)后，不存储，直接更新。
13
知道了V*(s)后，再用（3）求出相应的最优策略
γ=0.99
3 0.86 0.90 0.93
+1
2 0.82
0.69
-1
1 0.78 0.75 0.71 0.71
12
3
4
14
• 策略迭代法（π→π*）
• 在增强学习里有一个重要的概念是Q学习，本质是将与状 态s有关的V(s)转换为与a有关的Q。
• 里面提到的Bellman等式，在《算法导论》中有BellmanFord动态规划算法，有值得探讨的收敛性的证明。
19
Thank you!
20
5
MDP是如何工作的
时间0，从状态S0出发. . .
取出你在哪个地方at state S0
选择一个动作A0决定action a0
循环
得到一个新状态 S1~PS0a0
a0
a1
S0
S1
a2 S2
S3 . . . . . .
RR((SS00)) ++ γRR(S(S1)1) ++ γ2R(S2) ++ γ3R(S33) ...... ...... γ∈[0,1) 目标：E[R(S0) + γR(S1) + γ2R(S2) + γ3R(S3)+. . .]
7
递推
Vπ（s）= E[R(S0)+γR(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . . ] = R(S0)+γ（E[R(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . .] ）
马尔科夫预测法
• 定义2： (k) pij (m) = P(Xm+k = E j | Xm = Ei ) 为k步 称 的转移概率。 特别是，当k=1时， P( xm+1 = Ej | Xm = Ei)称为一步转移概率，记为：
p ij (m) = P(X m +1 = E j | X m = E i )
若对任何非负整数n,马尔科夫链 ｛ Xn,n ≥ 0｝的一步转移概率 pij (m) 与m无 关，则为齐次马尔科夫链。记作 p ij
V (1) +r V2(1) +r 1 11 12 R = V (1) +r V (1) +r 21 2 22 1
• 由此二步转移之后的期望利润为 • V (2) = V (1) + r p + V (1) + r
i
[1
i1
]
i1
[2
i2
]pi2
= ∑Vj (1)pij + qi
S = P ,P ,P
0 (0) 1 (0) 2
式中： S (0)------初始市场占有率向量 (0) p i i=1，2，3------甲乙丙厂初始市 场占有率 另有市场占有率转移概率矩阵：
(
(0) 3
)
P 11 P = P21 P 31
P 12 P22 P32
P 13 P32 P33
用数学表达定义为（定义1）： 设随机时间序列｛ Xn,n ≥ 0｝满足如下条件： （1）每个随机变量Xn只取非负整数值。 （2）对任何的非负整数t1< t2 <… <m <m+k,及E1, E2,…, Em ；当P(Xt1 = E1 , Xt2 = E2,…… Xm = Em) ＞0 时，有 P( Xm+k = Ej | Xt1 = E1 , Xt2 = E2，…， Xm = Em)=P( xm+k = Ej | Xm = Em)，则称｛ Xn,n ≥ 0｝ 为马尔科夫链。
马尔科夫预测
第 6 章马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。
它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。
6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。
二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。
具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。
6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。
如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。
设有参数集T （ , ），如果对任意的t T ，总有一随机变量X t 与之对应，则称{X t ,t T} 为一随机过程。
如若T 为离散集（不妨设T {t0,t1,t2,...,t n,...} ），同时X t的取值也是离散的，则称{X t ,t T} 为离散型随机过程。
设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为S {1,2,L ,N} ，称其为状态空间。
系统只能在时刻t0,t1,t2,...改变它的状态。
为简便计，以下将X t n等简记为X n。
一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。
在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。
这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。
具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。
用数学语言来描述就是：马尔可夫链如果对任一n 1，任意的i1,i2, ,i n 1, j S恒有P X n j X1 i1,X2 i2,L ,X n 1 i n 1 P X n j X n 1 i n 1 （6.1.1）则称离散型随机过程{X t ,t T} 为马尔可夫链。
马尔可夫决策过程在医疗领域的应用(Ⅰ)
马尔可夫决策过程在医疗领域的应用马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一个用来描述随机决策过程的数学框架，它在医疗领域的应用正日益受到重视。
MDP模型可以帮助医疗工作者在制定治疗方案、优化资源分配和改善患者护理等方面做出更明智的决策，从而提高医疗系统的效率和患者的医疗结果。
MDP模型的核心是状态、决策和奖励。
在医疗领域，状态可以是疾病的严重程度、患者的年龄和性别等；决策可以是选择某种治疗方案或进行特定的医疗检查；奖励可以是治疗效果、患者满意度或者医疗成本等。
通过在不同状态下做出不同决策，医疗工作者可以根据最大化奖励的原则来优化治疗方案和资源分配，以达到更好的医疗结果。
在临床医学中，MDP模型可以应用于制定个性化的治疗方案。
以癌症治疗为例，由于不同患者的病情、年龄、身体状况等因素各不相同，传统的治疗方案可能并不适用于所有患者。
通过建立基于MDP模型的个性化治疗系统，医疗工作者可以根据患者的特定情况和治疗效果预期，为每位患者制定最合适的治疗方案，从而提高治疗的有效性和患者的生存率。
此外，MDP模型还可以帮助医疗机构优化资源分配。
在医疗资源有限的情况下，如何合理分配资源是一个关键问题。
利用MDP模型，医疗机构可以根据患者的病情和需求，优化医疗资源的利用方式，使得资源得到更合理的分配，从而提高医疗系统的效率和患者的医疗体验。
除了个性化治疗和资源优化外，MDP模型还可以在医疗决策支持系统中发挥重要作用。
医疗决策支持系统是一种利用信息技术和数据分析方法，为医疗工作者提供决策支持和建议的系统。
利用MDP模型，医疗决策支持系统可以根据患者的病情和医疗历史，为医疗工作者提供个性化的治疗方案和决策建议，从而提高医疗工作者的决策水平和工作效率。
然而，MDP模型在医疗领域的应用也面临着一些挑战。
首先，医疗数据的质量和完整性是应用MDP模型的关键。
由于医疗数据的复杂性和隐私性，医疗数据的获取和整合是一个具有挑战性的问题。
马尔科夫预测
上述计算过程和更一般的计算过程，可以下图 表示．
通过上例，我们给出计算是步转移概率的一般 方法．二步转移概率
对应的二步转移矩阵
对应的 k 步转移矩阵
一般地，k 步转移概率
对应的 k 步转移矩阵
定义8.6 设第 k 个时期（或第 k 步）随机 变量 k 所处的状态 Ni 的概率为 Si （k），则称概 率向量
与（8－14）等价的还有另一种极限形式．即若 { m | m＝1 ， 2 ， ·· 具有遍历性，由（8－12）及（8 ·} －14）式，则有
综上所述，齐次马氏链有如下一些性质：
① ②
转移矩阵 P 为随机矩阵． k 步转移矩阵等于转移矩阵的 k 次幂，即
③ 第 k 个时期的状态概率向量与P 和 S（0）的 关系是 ④ 若 P 为正规随机矩阵，对应的马氏链具有遍 历性，且其状态概率向量为 ．则由定理 8.1 知，
显然，转移矩阵 P 满足以下性质：
定义8.5 设齐次马氏链 m （m = 1，2，…），对 于正整数 k，称条件概率
为从状态 Ni 经过 k 个时期转移到状态 Nj 的 k 步转移概率，简称 k 步转移概率．称对应的矩阵
为是 k 转移概率矩阵．
同样，矩阵 P（k）满足以下性质：
为使读者便于理解，现将上述若干概念的关系， 综合成如下框图形式（图8－5）．
这表示，齐次马氏链经历一定时间的状态转移， 最后达到与初始状态完全无关的稳定状态．
［例8－7］ 试计算例8－6中，马氏链的稳定 状态概率向量．
解：设稳定状态概率向量
这里，分量 j（j＝l，2，3）分别对应同类不同 品牌商品A，B，C．由性质④（l）知，
即
此方程组的三个方程并非相互独立的，用补 充方程 1 + 2 + 3 = 1与方程组中前两个方程联立， 即有
信息分析方法__马尔柯夫
第一节 马尔柯夫预测法马尔柯夫预测法是以俄国数家马尔柯夫(A.A.Markov)的名字命名的一种随机时间序列分析预测法。
这种方法是将时间序列看作一个随机过程，根据现象不同状态的初始概率和状态之间转移概率，确定状态的变动趋势，对现象未来作出预测。
一、马尔柯夫预测法中的基本概念⒈状态和状态转移 ⑴ 状态状态是指研究系统在某一时刻可能出现或存在的状况和态势。
状态的划分通常按如下两种方式进行：一种是根据预测对象本身的明显状态界限划分；一种是根据研究目的和预测对象的实际变动情况人为划分。
在状态划分时，要遵循详尽性和互斥性原则，前者指的是，要把系统可能存在的状态都一一列举出来；后者指的是，各个状态是相互独立的，是不相容的。
⑵状态转移状态转移是指研究系统由一种状态转移到另一种状态。
⒉ 马尔柯夫链马尔柯夫过程是指研究系统随着时间转移而不断发生状态转移的随机过程。
马尔柯夫过程中的时间和状态可以是连续的，也可以是离散的，但多数情况下是连续的。
马尔柯夫链是时间和状态均为离散的马尔柯夫过程，也是最简单的马尔柯夫过程。
它具有无后效的性和遍历性两个重要特征。
无后效性是指研究系统在第t 时刻所呈现的状态仅与第t-1时刻的状态有关，而与第t-2及以前时刻所处的状态无关。
遍历性是指经过较长时间的状态转移，系统所呈现的状态趋于稳定，不再随时间推移发生明显变化，并与初始状态无关。
⒊ 转移概率和转移概率矩阵转移概率是指系统由某时刻某种状态转向另一时刻另一种状态(包括自身)的可能性大小。
转移概率实际上是条件概率。
我们常用P ij 表示系统由第t 时刻状态i 转向第t+1时刻状态j 的概率，并将其称为一步转移概率，i,j=1,2,…，N ；N 为系统可能存在的相互独立的状态数。
将所有的转移概率依次排列起来所形成的矩阵称为转移概率矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=NN N N NN P P P P P P P P P P212222111211 为一步转移概率矩阵。
马尔可夫预测
S5P
0.57004 /
0.42996
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.571012 / 0.42988)
▪ 可看出，随着K的增大，分别接近于0、571和 0、429。即可预测六个月后该商品畅销的概 率为0、571，滞销为0、429。
P11 P12 P1n P P21 P22 P2n
Pn1 Pn2 Pnn
性质：
▪ 1）矩阵中每个元素P（IJ均为非负的，即
Pij 0, (i, j 1,2, n)
▪ 2）矩阵中每行元素相加其和为1，即
n
Pij 1, (i 1,2, , n)
j 1
▪ 2、K步转移概率矩阵：系统的状态是随着时 间的推移不断发生转移。如果系统的状态不 只经过一次转移，而是经过多次转移，就必 须有K步转移概率和K步转移概率矩阵。
▪ 假定该商品现在K=0的销售状态为畅销，
则有初始状态概率向量为 S0 10
▪ 今后半年各月的销售状态概率为
S1
S
0P
(1/
0)
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.7
/
0.3)
S6
S5P
(0.57247
/
0.42753)
0.7 0.4
0.3
0.6
(0.571741/ 0.428259)
▪ 将趋近于固定概率向量U组成的方阵U，称 之为稳定概率矩阵。
▪ 例如：
0.5 0.25 0.25
P
0.5
0
0.5
Байду номын сангаас0.25 0.25 0.5
▪ 求稳定概率矩阵U。设固定概率向量为
▪ U (U1,U2,1U1 U2) 根据UP=U解方程求得，
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0.7
1
0.3
求一步转移后机床无故障概率？(两种可能)
P56 例5-4 设一步转移概率矩阵 0.7 0.3 P= 0.9 0.1 初始概率向量 P(0) = 0.8 0.2 求一步转移后机床出现故障概率？(两种可能) p2(1) = p1(0)* p12+ p2(0)* p22 好 坏 坏 坏
0.8 * 0.3 + 0.2 * 0.1=0.26
j=1
N
k步转移矩阵定义：所有状态之间的k步转移概率 p(k)ij为元素构成的矩阵，记为P(k)或Pk Pk =
p(k)11 p(k)21 : p(k)n1
p(k)12 p(k)22 : p(k)n2
1
(k) p . . 1n (k) p . . 2n
：
.
(k) p . nn
当i等于 j
规定P0 = （单位矩阵）
5.2 状态转移矩阵 1.一步转移概率矩阵 一步转移概率定义：马氏链在tn时刻处于状态ai条 件下，到tn+1时刻转移到状态aj的条件概率，称为 在tn时刻的一步转移概率，记为p(1)ij(n)或者 pij(n)。
(1) 0 <= pij(n) <=1
(2) Σ pij(n) =1
j=1
N
一步转移矩阵定义：由所有状态（N个）之间，在 tn时刻的一步转移概率pij(n) 构成的矩阵，称为在 tn时刻的一步转移矩阵。
1 1 1 1
0.5*0.6 = 0.55
2 1
P56 [例5-4] 设一步转移概率矩阵： 0.7 0.3 P= 0.9 0.1 0.9 0.76 0.24 则P(2)= P2= 0.72 0.28 初始概率向量 P(0) = 0.8 0.2 p1(1) = p1(0)* p11+ p2(0)* p21 好 好 坏 好 0.8 * 0.7 + 0.2 * 0.9=0.74 0.1
状态1 状态2 状态n 状态空间
t1时刻
t2时刻
tn时刻
时间参数集
按其状态空间和时间参数集是连续还是离散 可分成四类:
仅讨论马尔可夫链
2.马尔可夫链 定义：随机过程X(t)在tn时刻的状态为Xn=X(tn)， 且Xn可能取得的状态必为a1 a2 … an之一，其中 AI={a1 a2 … an}为有限的状态空间， 随机过程只 在t1 t2 … tn …可列个时刻发生状态转移。 若随机过程在tn+1时刻变成 任一状态aj的概率， 只与过程在tn时刻的状态ai有关，而与过程在 tn时 刻以前的状态无关，则称此随机过程为马尔可夫链 ，简称为马氏链。 P{X(tn+1))= aj| X(tn) = ai ,X(tn-1)= an-1 ,…,X(t0)= a0} = P{X(tn+1))= aj| X(tn) = ai}
P(k) = Pk (k>=1)
即当马氏链是齐次的（满足稳定性）， k步转移概 率矩阵为一步转移概率矩阵的k次方。
P56 例5-3 设一步转移概率矩阵： 0.5 0.5 P= 0.6 0.4
则P(2)= P2= 0.55 0.45
0.5
1
0.6
2
0.5
0.54 0.46
0.4
P(2)11= 0.5*0.5 +
第5章 马尔可夫预测与决策
安德雷〃马尔可夫（1856－1922） 俄国数学家，师从切比雪夫，主要研究领 域在概率和统计方面。他的研究开创了随 机过程这个新的领域，以他的名字命名的 马尔可夫链在现代工程、自然科学和社会 科学各个领域都有很广泛的应用。
5.1 马尔可夫过程
1. 马尔可夫过程是一种随机过程: 当随机过程在t时刻所处的状态已知时， 在t+1时刻所处的状态仅与t时刻的 状态有关， 而与t时刻以前的状态无关。此特性称为随机过 程的无后效性或马尔可夫性 过去只影响现在，而不影响将来。 P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
P=
=
0 1 0 0 0 1/3 1/3 1/3 0 0 0 1/3 1/3 1/3 0 0 0 1/3 1/3 1/3 0 0 0 1 0
概率向量：任意行(列)向量，其每个元素非负且 总和等于1 概率矩阵：由概率向量作为行向量构成的方阵。 2. k步状态转移矩阵 k步转移概率定义：齐次马氏链在tn时刻处于状 态ai条件下，到tn+k时刻转移到状态aj的条件概率 ，称为在tn时刻的k步转移概率，记为p(k)ij(n)， 由于马氏链是齐次的，这个概率与n无关，简记 为p(k)ij (1) 0 <= p(k)ij<=1 (2) Σ p(k)ij =1
0 当i不等于 j
P1 为一步转移矩阵
2步转移概率可由一步转移概率求出：
p(2)ij = Σ pik pkj
k=1
n
(一步矩阵第i行乘以第j列元素的乘积和)
含义：从状态ai出发，经一步到达状态ak ,然后再 从ak经一步到达状态aj 的概率之和。 因此2步转移概率矩阵为： P(2) = P2
类似k步转移概率矩阵为:
已知系统的初始状态和概率转移矩阵，可得系统任 意时刻的状态。
3.齐次马氏链的遍历性和稳态概率 通常讨论关于齐次马氏链的n步转移概率的 两方面问题，一是其极限是否存在？二是 如果此极限存在，那么它是否与初始状态 无关，有关这两方面问题的定理，统称为 遍历性定理。
因此一步转移后机床的概率向量为：
P(1) = P(0)* P = 0.74 0.26
P56 例5-4 设一步转移概率矩阵 两步转移后机床的状态概率向量为：
0.76 P(2) = P(0)* P2 = 0.8 0.2 * 0.72
0.24 0.28
= 0.752 0.248 可见k步转移后状态概率向量(分布)为： P(k) = P(0)* Pk = P(k-1)* P
P= p11 p12 . . p1N p21 p22 . . p2N : : ： : pN1 pN2 . . pNN
如果一步转移概率pij(n) 与时刻tn无关， p{X(tn+1))= aj| X(tn) = ai} = p{X(tn+1))= aj}， 则称该马尔可夫链是齐次的。
（P54)[例5-2]概率与任何时刻无关，只和位置有 关，是齐次马尔可夫链，一步转移矩阵为： p11 p21 : p51 p12 . . p14 p15 p22 . . p24 p25 : ： : : p52 . . p54 p55