2015年北京中考数学复习课件(第32课时_与圆有关的位置关系)
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第32课时┃与圆有关的位置关系
思想方法
本题考查了切线的性质及等腰三角形的性质与判定， 而解答本题的关键是利用切线的性质得出∠OAC＝90°.
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第32课时┃与圆有关的位置关系
热考四 圆的切线的判定应用
例 4 [2013· 延庆一模] 如图 32－2，AB 是⊙O 的 直径，AC 和 BD 是它的两条切线，CO 平分∠ACD. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若 AC＝2，BD＝3，求 AB 的长．
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思想方法
数形结合思想——与圆有关的位置关系 与圆有关的位置关系主要有两个方面， 即点和圆的位置 关系、直线和圆的位置关系．充分强调了数(数量关系)形(位 置关系)结合思想，而在处理“与圆有关的位置关系”时， 我们就可以充分利用数形结合的思想，对圆心与点的距离、 圆心与直线的距离与相应的半径进行比较， 巧用数形结合思 想处理“与圆有关的位置关系”．
第32课时 与圆有关的位置关系
第32课时┃与圆有关的位置关系
考 点 聚 焦
考点1 点和圆的位置关系
d＞r d＝r d＜r
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考点2 直线和圆的位置关系
d＜r d＝r d＞r
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考点3 圆的切线的性质与判定
垂直 切点 圆心 唯一 半径
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第32课时┃与圆有关的位置关系
解：(1)证明：过 O 点作 OE⊥CD，垂足为 E.
∵AC 是切线，∴OA⊥AC. ∵CO 平分∠ACD，OE⊥CD， ∴OA＝OE， ∴CD 是⊙O 的切线．
(2)过 C 点作 CF⊥BD，垂足为 F. ∵AC，CD，BD 都是切线， ∴AC＝CE＝2，BD＝DE＝3， ∴CD＝CE＋DE＝5. ∵∠CAB＝∠ABD＝∠CFB＝90°， ∴四边形 ABFC 是矩形， ∴BF＝AC＝2，DF＝BD－BF＝1. 在 Rt△CDF 中，CF2＝CD2－DF2＝52－12＝24， ∴AB＝CF＝2 6.
[解析] 设圆的半径为 r，点 O 到直线 l 的距离为 d， ∵d＝5，r＝6，∴d＜r，∴直线 l 与圆相交．
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第32课时┃与圆有关的位置关系
方法点析
直线与圆的位置关系分为三种情况：相交、相切和相离．解决此类问题主要有两种方 法： (1)根据定义，由直线与圆的交点情况直接判断； (2)可通过比较圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系完成判定．设圆的半径为 r， 点 O 到直线 l 的距离为 d，若 d＜r，则直线与圆相交；若 d＝r，则直线与圆相切；若 d＞r， 则直线与圆相离． 在判断其关系时，要结合题目的已知条件选择正确的方法．
垂直
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考点4 切线长及切线长定理
平分
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考点5 三角形的内切圆
角平分线
距离
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考 情 分 析
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方法点析
点与圆的位置关系的判断： 设点到圆心的距离为 d， 圆 的半径为 R，则当 d＝R 时，点在圆上；当 d＞R 时，点在 圆外；当 d＜R 时，点在圆内．
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热考二
直线与圆的位置关系
例 2 [2014· 陇南] 已知⊙O 的半径是 6 cm， 点 O 到同一 平面内直线 l 的距离为 5 cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是 ( A ) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
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第32课时┃与圆有关的位置关系
解：(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP＝90°－∠1＝70°. 又∵PA，PB 是⊙O 的切线， ∴PA＝PB. ∴∠BAP＝∠ABP＝70°. ∴∠APB＝180°－70°×2＝40°. (2)当∠1＝30°时，OP＝OD. 理由如下：当∠1＝30°时， 由(1)知∠BAP＝∠ABP＝60°， ∴∠APB＝180°－60°×2＝60°. ∵PA，PB 是⊙O 的切线， 1 ∴∠OPB＝ ∠APB＝30°. 2 又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°， ∴∠OPB＝∠D，∴OP＝OD.
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方法点析
切线的两种常用证明方法 (1)有交点， 连半径， 证垂直． 已知此线过圆上某点， 连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可． (2)无交点， 作垂直， 证半径． 当此线与圆无交点时， 过圆心向此线作垂线段，证明此垂线段等于半径．
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热考五
切线长定理的应用
例 5 [2014· 曲靖] 如图 32－3，PA，PB 是⊙O 的 切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC，PB 的 延长线相交于点 D. (1)若∠1＝20°，求∠APB 的度数； (2)当∠1 为多少度时，OP＝OD？并说明理由．
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热考三 圆的切线的性质应用
例 3 [2014· 平谷一模] 如图 32－1，点 A，B 在 ⊙O 上，直线 AC 是⊙O 的切线，OC⊥OB，连接 AB 交 OC 于点 D.求证：AC＝CD.
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第32课时┃与圆有关的位置关系
证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B. ∵直线 AC 为⊙O 的切线， ∴∠OAC＝∠OAB＋∠DAC＝90°. ∴∠B＋∠DAC＝90°. ∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°. ∴∠ODB＋∠B＝90°. ∴∠DAC＝∠ODB. ∵∠ODB＝∠CDA， ∴∠DAC＝∠CDA，∴AC＝CD.
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热 考 京 讲
热考一 点与圆的位置关系
例 1 已知⊙O 的半径是 5，A 为线段 PO 的中点， 当 OP＝10 时，点 A 与圆的位置关系是( C ) A．点 A 在圆内 B．点 A 在圆外 C．点 A 在圆上 D．不能确定
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第32课时┃与圆有关的位置关系
方法点析
(1)利用“过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等”是解题的基本方法；(2)利用方程思想求 切线长，常与勾股定理、切线长定理、圆的半径相等紧 密相连．
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圆与圆的位置关系ppt课件
设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则
解得 故圆心为 ,半径为
故圆的方程为
即x²+y²-x+7y-32=0.
(方法2)设所求圆的方程为x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0(λ≠-1),
其圆心为
,代入x-y-4=0,解得λ=-7.
故所求圆的方程为x²+y²-x+7y-32=0.
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M 的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB 所在直线为x轴，线段AB的 垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M 的坐标为(x,y),由 |MA|=|MB|, 得
(1)当|C₁C₂ I=r₁+r₂=5,即a=5时，两圆外切；当|C₁C₂ I=r₁-r₂=3,即a=3时，两圆内切。
(2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5时，两圆相交.
(3)当|C₁C₂I>5,即a>5时，两圆外离. (4)当|C₁C₂I<3,即O<a<3时，两圆内含.
12 U
典型例题
例2.已知圆O的直径AB=4, 动点M与点A的距离是它与点B的距离的√2倍. 试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
相交弦及圆系方程问题的解决 1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必 须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. 2.求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两 圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 3.已知圆C₁ :x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂ :x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1).
点和圆的位置关系(共32张PPT)
随堂练习
6.如图，⊿ABC中，∠C=90°， B
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以 3 5 为半径作圆，
2
C
则点A、B、D与圆C的关系如何？
D A
7.画出由所有到已知点O的距离大于或 等于2CM并且小于或等于3CM的点组 成的图形。
OO
问：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D 与圆A的位置关系如何？
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作 一个圆.
A
O C
B
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
1.由定理可知：经过三角形三
个顶点可以作一个圆.并且只 能作一个圆.
2.经过三角形各顶点的圆叫做三 角形的外接圆。
3.三角形外接圆的圆心叫做三角 B
形的外心，这个三角形叫做
这个圆的内接三角形。
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
形的外接圆的面积. 垂直平分线的交点
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C
（）
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在
；
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。
圆的外部可以看成是
。
思考：过任意四个点是不是一定可以作一个圆?请举
例说明.
圆与圆的位置关系ppt课件
解法一：联立C1,C2方程 x2+y2+2x+8y-8=0 x2+y2-4x-4y-2=0
解法二：化标准方程
类型一 圆与圆的位置关系的判定
1.已知圆C1:x2+y2+4x+2y-1=0,圆C2:x2+y2+2x+8y-8=0,则圆C1与圆C2 的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.外切
D.内切
2.圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为 ( )
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2 3 ，则 a＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2
类型三 两圆相交问题
圆与圆位置关系的应用【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋ y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB
y
X
问题：两圆相交时，圆心距和半径之间有何关系？
Rr
•
O1
d • O2
R-r<d<R+r (R≥r)
01 圆与圆的位置关系
问题：两圆相切时，圆心距和半径之间有何关系？
O1• R r •O2
d （c） 两圆外切: d=R+r（R>r）
O1• O• 2
r R
（d） 两圆内切： d=R-r(R>r)
01 圆与圆的位置关系
类型三 两圆相交问题
公共弦相关的问题
【典例1】已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-2y-6=0,则两圆的公共弦长为
() y
A. 3
B.2 3
圆与圆的位置关系ppt课件
5、已知点B(2,-2)以及圆 x2＋y2－6x＝0与圆 x2＋y2＝交点的圆方程
6、已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点P的轨迹.
解法一 : 参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y 2 k ( x 1)(k存在时), P ( x, y ),
O
A
x
例5、已知⊙C x2＋y2－x＋2y＝0, 关于l： x－y＋1＝0对称的圆方程.
变式、已知点A是⊙C x2＋y2－x＋2y＝0上的点,点P是直线l： x－y＋1＝
0上的点，点B(0,3)，求|PA|+ |PB|的最小值.
巩固练习
1.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系（
2. 若两圆相切(内切或外切), 则公切线所在直线方程为
( D1 D2 ) x ( E1 E2 ) y F1 F2 0 (也就是两圆方程相减所得)
例3．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
x
思考
观察两圆的相对位置如何变化？交点个数分别是多少？
0个
•
•
C1
外离
C2
1个
2个
•
1个
•
C1
外切
C2
0个
1个
2个
•
1个
•
C1
相交
C2
0个
•
C1
•
C2
内切
••
C1 C2
内含
知识点1、圆与圆的位置关系
《圆与圆位置关系》课件
CONTENTS
• 圆与圆的位置关系概述 • 圆与圆的相切关系 • 圆与圆的相交关系 • 圆与圆的分离关系 • 圆与圆位置关系的性质和判定
01
圆与圆的位置关系概述
圆与圆的基本概念
圆心
圆的中心点，通常用大写 字母O表示。
圆
一个平面内，到定点的距 离等于定长的所有点组成 的图形。
平行。
相交关系的性质和判定
总结词
相交关系是圆与圆之间的一种常见位置关系 ，其性质和判定方法对于理解圆与圆的位置 关系同样重要。
详细描述
当两圆相交时，它们的交点数取决于两圆的 相对位置。一般情况下，两圆相交于两个不 同的交点，但有时也可能只有一个交点或没 有交点。此外，相交关系还有对称相交和倾 斜相交两种特殊情况，对称相交时两圆心连 线与两圆的交点连线垂直，倾斜相交时两圆
7
7
04
内切关系在几何图形中常用于
7
构造旋转对称图形和等分图形
。
相切关系的判定
9字
判定两圆是否相切的方法有 多种，其中一种是利用圆心 距和两圆半径的关系进行判 定。
9字
另一种判定方法是利用两圆 在某点相切的性质进行判定 ，即如果两圆在某点相切， 则该点到两圆心的距离相等 。
9字
当两圆的圆心距等于两圆半 径之和时，两圆外切；当圆 心距等于较大圆的半径减去 较小圆的半径时，两圆内切 。
数学公式
d>r1+r2
04
圆与圆的分离关系
圆心距大于两圆半径之和
两圆外离 当两圆的圆心距大于两圆的半径之和时，两圆处于分离状态，没有交点。
圆心距等于两圆半径之和
两圆外切
当两圆的圆心距恰好等于两圆的半径之和时，两圆处于外切状态，仅有一个交点。
人教版数学中考复习专题《两圆的位置关系》精品教学课件ppt优秀课件
1.直线和圆有几种不同的位置关系?各 是怎样定义的?在各种关系中是用直线 和圆的什么来定义的?
答:直线和圆有三种不同的位置关系即直 线和圆相离、相切、相交。
在各种位置关系中，是用直线和圆的公 共点的个数来定义的。
相离
相切
相交
2.直线和圆的各种位置关系中,圆心 距和半径各有什么相应的数量关系? 若设⊙O的半径为r，圆心O到直线l 距离为d，则：
直线l和⊙ O相离
d>r
直线l和⊙ O相切
d=r
直线l和⊙ O相交
d<r
两个圆没有公共点,并且每个圆上 的点都在另一个圆的外部时,叫做 这两个圆外离。
两个圆有唯一的公共点，并且除 了这个公共点外，每个圆上的点 都在另一个圆的外部时，叫做 这两个圆外切。
两个圆有两个公共点时,叫做 这两个圆相交。
⊙A和⊙B外切 d=R+r
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B相交 R-r <d<R+r
AB
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B内切 d=R-r
AB
设⊙A的半径为R,⊙B的半径为r,圆心距为d
⊙A和⊙B内含 d<R-r
例1 如图, ⊙O的半径为5cm,点P是⊙O 外的一点,OP=8cm.
4、 两种常用的添辅助线方法： 两圆相交添两圆的公共弦
两圆相切添两圆的公共切线
谢谢观看
Thank You!
外离
（2）O1O2＝7厘米
外切
（3）O1O2＝5厘米
相交
（4）O1O2＝1厘米
内切
圆与圆的位置关系ppt课件
d=R-r
O1 O2
O
dr R
两圆内含 d<R-r (R>r)
O1 R r O2 d
注意半径 的大小
两圆相交
R-r<d<R+r (R>r)
总结提升
两圆外离：r1+r2<d； 两圆内含：|r1－r2|>d； 两圆外切：r1+r2=d； 两圆内切：|r1－r2|=d； 两圆相交：|r1－r2|<d<r1+r2。
同心圆 (一种特殊的
O1O2=0
内含)
圆与圆的位置关系有以下几种：
相离
外切
相交
内切
内含 同心圆(一种特ຫໍສະໝຸດ 的内含)连心线：过两圆心的直线 圆心距：两圆心之间的距离
探究点 两圆位置关系的判断 思考：两圆的位置关系怎样来判断？ 1.几何方法：
O1 R
r O2
两圆相离
d
d>R+r
O1
T O2
R d
两圆外切
r
d=R+r
O2 O1
T
r
R
d 两圆内切
4x 3y 10
由 x2 y2 10x 10y 0
解得
x 2
y
6
或
x4
y
2
所以两点的坐标是A(－2，6)、B(4，－2)
故|AB|= 62 82 10
解法二：同解法一，先求出公共弦所在直 线的方程：4x+3y=10.
过C1作C1D⊥AB于D.
圆C1的圆心C1(5，5 )，半径r1=5 2 ；
解：作出两圆，如图所示. 两圆半径分别记作r1和r2,则r1=1,r2=2,圆心距
北师大初中数学中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)-精编
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角． 要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系1．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“R-r”时，要特别注意，R＞r．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长；(2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n R π=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ，∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB ＝AC ＝BC∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2．∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1，即CD ＝1.(2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ，∴∠AOD ＝∠BOD ．∴∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°．∵OC ＝OA ·cos ∠AOC ＝OA ·cos60°＝12R ， ∴1122CD OD OC R R R =-=-=． 【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M 、N 、B 三点作圆，显然A 点在圆外，设MA 交圆于C ，则∠MAN ＜∠MCN ．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，而AE+CE＝b，CD+BD＝a，AF+BF＝c，可求2a b c CE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ． 即直角三角形的内切圆半径2a b c r +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°．∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°．∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6．∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°，∴AD AO ＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=．【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
最新北师大版数学中考复习之——与圆有关的位置关系(共18张PPT)
（１）求证：PD是⊙O的切线；
C
（２）若PD= 4，cosA= 3 ,求⊙O的半径长.
E
5
D
2
13
PB
O
A
有交点，连半径，证垂直
1 5
常见基本模型
切线
y
O圆心
A 切点
l
l
切线 直径 三线合一
直角
O
x
“等腰+平行=平 分”
1 6
等角重叠
品鉴经典
例5 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上， C是 ⊙O外一点，AD∥OC ．若直线BC与⊙O 相相切交，， 判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
角为45o，以点A为圆心，r 为半径作⊙A．
（1）若r = 0.7，⊙A与直线 l 相离 ； y
（2）若r = 1，⊙A与相直交 线 ld （圆3）的半若径⊙为Ar与，直圆心线 l相相切交，d
相切 ；
<r =r >r1
．两惟个一交交点点A
到直线的距离为d.
45o
B
l
相离 d > r 没有交点 O
x
5
变式二 如图，在△OAB中，OA=OB ，
C是底边AB的中点， OA切⊙C 于点D ．
求证：OB是⊙O的切线．
O
D
E
A
B
C
距离法：无交点，作垂直，证半径
1 4
考点四：切线的判定
例4 在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，
过点D作DE⊥AC于点E，延长ED与AB的延长线交于点P.
点一：点与圆的位置关系
【常见命题角度】 d、r 比较法判定点与圆的位置关系．
圆与圆的位置关系ppt课件
C1
r1 C2
r2
内含
C1 rC12r2
内切
r C2
r1 C1
新知讲解
注意： 1.当两个圆是等圆时，它们之间的位置关系只有外离、外切和相交三种情 况(重合时两个圆被看成一个圆). 2.如果两个圆不是同心圆，那么经过两个圆的圆心的直线，叫作两个圆的 连心线.两个圆心之间的线段长叫作圆心距. 思考：两个圆的圆心距d、两个圆的半径r1，r2的大小关系与两个圆的位置 关系有何对应关系？
（2）将圆 <m>C1</m>和圆 <m>C2</m>的方程相减，得 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 <4m>x + 3y − 23 = 0</m>， 圆心 <m>C2 5,6 </m>到直线 <m>4x + 3y − 23 = 0</m>的距离为 <m>20+1168+−923 = 3</m>， 故公共弦长为 <m>2 16 − 9 = 2 7</m>.
r1 r2 2 1,r1 r2 2 1.
r1 r2 <d <r1 r2.
∴圆C1与圆C2相交.
思考:还有其他方法判断吗？
新知讲解
例1:画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系.
解法二:联立方程组
x2 y2 2x 0
x2
y2
2
y
1
① ②
2
2 1