安徽省安庆市2020届高三第二次模拟考试 数学(理)试题 答案
2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到
2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为 9050 − 7486 = 20.892% ，人均食品支出总 7486
额增长比率为 9050 × 0.43% − 7486× 0.42% = 23.771% ，故 D 错误.选 D. 7486× 0.42%
2020 年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理科）参考答案
第I卷
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 A C A A B D D B C C C D
1.A.解析： A = {x x > −1}， B = {x − 6 < x < 1}，所以 A I B = {x −1 < x < 1}.故选 A.
【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二
次不等式解集的计算方法.
2.C. 解
析：
z
=
2 1+ i3
= 2 =1+i ，其虚部为1，A 1−i
错；
z
=
12 +12 =
2 ，B 错；
z ⋅ z = (1+ i)(1− i) = 2 ，C 正确； z2 = (1+ i)2 = 2i ≠ 2 ，D 错误.故选 C.
所以 OO1 = O1G tan ∠OGO1 =
3
，而 O1 A
=
1 2
AF
=
2，
F
D G
O1
C O2
EO
A
B
所以 OA = OO12 + O1 A2 = 5 ，所以球的表面积为 4π ⋅ OA2 = 20π .
方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形，且
∠AEB = 120o ，HD = HF = HC = GA = GE = GB = 2 ，因此球心为 GH
三棱锥 = V
D1 −C1QB
− V三棱锥P −C1QB=Leabharlann 1 3S∆C1QB
⋅ PD1
=
1× 3
1 4
×
1 2
=
1 24
.
C.
【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及
空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力. 12.D.解析：方法一：当a ≤ 0 时，不符合题意；当a > 0 时，考 查函数 g(x) = ln x 与 h(x) = ax 图象易知， g(x) 与 h(x) 图象在
区间(0,1) 上必有一个交点，则在区间(1,+∞) 上有且仅有一个公
共点，当 x ∈(1,+∞) 时， f (x) = ln x − ax ， f '(x) = 1− ax ，则 x
f
(
x)
在
(0，1
)
上单调递增，在
(
1
+ ，
∞)
上单调递减，所以
a
a
，则只需 ，故 ，当 时， [ f (x)]max
=
f ( 1 ) = ln 1 aa
−1
ln 1 −1 = 0 a
a=1 e
x ∈ (0，1)
，易知 ， ，可知 f (x) = − ln x − 1 x e
f
(1) =1− e
1 e2
>
0
f (1) = − 1 < 0 e
x1
∈（1 e
，1）.
方法二：令 ， ，令 ，作出 f (x) = ln x − ax = 0 a = ln x
将其图象沿 x 轴向右平移 m （ m > 0 ）个单位，所得图象对应函数为
y = − cos(2x − 2m) +1，其图象关于 x = π 对称，则有 cos( 2π − 2m) = ±1，
3
3
2π − 2m = kπ, k ∈ Z ， m = π − kπ , k ∈ Z ，由 m > 0 ，实数 m 的最小值为 π .选 B.
2 a2
−2 b2
=1
e = c = 5 −1. a
【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维方
5
法和考生对数量关系的分析能力. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答. 第 、22 23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）由 b + c = sin A ，根据正弦定理得
1
村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出 × 恩格尔系数”，计算可得农村居民人
均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确；
年份
1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007 2011 2015 2017
农村居民人均生活消费支出 212 283 492 736 895 942 2016 3408 7486 9050
【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质.
{ } { } 3.A.解析： p ：1 < x < 2 ， q ： x > 0 ，而 x 1 < x < 2 ⊂ x x > 0 ，所以 p 是 q 成立的充 ≠
分不必要条件.故选 A.
【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力.
，于是所求概率为 π(r1 + r2)2 2
−
πr12 2
−
πr22 2
= πr1r2
P=
πr1r2 π(r1 + r2 )2
=
2r1r2 (r1 + r2 )2
=
4r22 (3r2 )2
= 4. 9
2
【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能
力以及分析问题和解决问题的能力.
1 2
=
1 24
.
也可以这样判断：如图 3，过点 B 作C1Q 的垂线，垂足为 H ，BH ⊥ C1D1 ，因此，BH⊥平
面 ， ， ， D1PQ
BH = 5 5
C1Q=
5 2
三棱锥 V
D1−PQB
=
1 3
S∆D1PQ
⋅
BH
=
1 3
×
1 2
×
1 2
×
5× 2
5 5
=1. 24
或者 ） 故选 V三棱锥D1−PQB
=
e
>
1 e
D.
【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力以
4
及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
( ) 解析：由于 ， ，所以 ，所以 13.3.
a = 2 a ⋅ a − b = a a − b cos 60o = 1
的中点， DO= DH 2 + HO2 = 5 ，所以球的表面积为 4π ⋅ OA2 = 20π .故应选 D.
【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及
分析问题和解决问题的能力.
8.B.解析：f (x) = − cos 2ωx +1，由其最小正周期为 π ，有ω = 1 ，所以 f (x) = − cos 2x +1，
3
故②正确；若③正确，则 PQ ⊥ B1C ,则C1Q ⊥ B1C ，矛盾，故③错误；（另解：由结论 BD1 ⊥
平面 AB1C 和①知 PQ，BD1 不平行也可判断错误）.
如图 ， ，故④正确（④ 2
三棱锥 V
D1 −PQB
= V三棱锥C1−PQB
= V三棱锥P−C1QB
=
1×(1 32
×
1 ×1) × 2
恩格尔系数
67 61 61 56 52 50 52 49 42 43
农村居民人均食品支出总额 142.0 172.6 300.1 412.2 465.4
农村居民人均生活消费支出 比较上一统计数据的增长量
71 209 244 159
471 1048.3 1669.9 3144.1 3891.5 47 1074 1392 4078 1564
2
a −a⋅b =1
a⋅b = 3.
【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考生的逻辑
思维能力和运算求解能力.
解析：方法 ：设公差为 ，由 得 ，故 14.16.
1
d
a2 + 2a16 < a1 < 3a11 31d < −2a1 < 30d
， ，即 ，所以 时， 取 a16 = a1 +15d > 0 a16 + a17 = 2a1 + 31d < 0
x2
+
(a1
−
d 2
)x
图像开口向下，对称轴为
x
=
1 2
−
a1 d
∈
31 , 2
16
，故
n
=
16
时，
Sn
取得最大值.
【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力.
2020届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版
A.241
B.242
C.243
D.244
10. 已知抛物线 C : y2 2 px （ p 0 ）的焦点为 F ， 准线与 x 轴交于点 K ，过点 K 作圆
第页
2
x
p 2 2
y2
p2 4
的切线，切点分别为 A ， B .
若
AB
3 ，则 p 的值为
A. 1
B. 3
C. 2
D. 3
11. 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， P，Q 分 别 为 C1D1, BC 的 中 点 ， 现 有 下 列 结 论 ：
单位，所得图象关于 x π 对称，则实数 m 的最小值为 3
A． π 4
B． π 3
C． 3π 4
D． π
9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰 年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年 中年份是闰年的个数是
（Ⅰ）证明： BD EC ； （Ⅱ）求平面 BEC 与平面 DEC 所成锐二面角的余弦值．
19.（本小题满分 12 分） 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有
力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
4.
函数
f (x)
x sin x 的大致图象是 x2 1
D．既不充分也不必要条件
5.
等比数列an的前 n 项和为
2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−2},B={x|(x+5)(x−2)≤0}，则A∩B=()A. (−2,+∞)B. [−2,2]C. (−2,2]D. [−5,+∞)2.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=()A. −2iB. 2iC. −2D. 23.已知log43=p，log325=q，则lg5(用p，q表示)等于()A. pqp+q B. p+qpqC. 1+pqp+qD. pq1+pq4.已知函数f(x)=14x2−4x，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.5.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n−1，则a12+a22+⋯+a n2等于()A. (2n−1)2B. 13(2n−1) C. 4n−1 D. 13(4n−1)6.在国家各类与消费有关的统计数据中社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．社会消费品零售总额是国民经济各行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品总额，是反映各行业通过多种商品流通渠道向城乡居民和社会集团供应的生活消费品总量是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．图示为我国2010—2019年社会消费品零售总额和同比增长率的统计图．根据统计图分析，下列说法错误的是A. 从2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升B. 从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元C. 从2010年到2013年社会消费品零售总额同比增长率波动性较大D. 从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率连年下降7.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，∠ABC=90∘，DA=DC=√6，现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是()A. 92π B. 8√23π C. 272π D. 12π8.已知函数f(x)=sin2(ωx)−12(ω>0)的最小正周期为π2，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. π4B. 3π4C. π2D. π89.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A的值为()．A. 12B. 2C. −1D. −210. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 23−x 2=1相交于M ，N 两点，若△MNF 为直角三角形，其中F 为直角顶点，则p =( )A. 2√3B. √3C. 3√3D. 611. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//βC. 若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD. 若α⊥β，m ⊥β，m ⊈α，则m//α12. 设函数f(x)=x +lnx ，则函数f (x )( )A. 在区间(0,1e )，(1e ,+∞)内均有零点 B. 在区间(0,1e )，(1e ,+∞)内均无零点C. 在区间(0,1e )内有零点，在区间(1e ,+∞)内无零点 D. 在区间(0,1e )内无零点，在区间(1e ,+∞)内有零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等差数列{a n }中，若−2<a 2<2，1<a 5<8，则S 7的取值范围是______ ． 15. 如图是以一个正方形的四个顶点和中心为圆心，以边长的一半为半径在正方形内作圆弧得到的．现等可能地在该正方形内任取一点，则该点落在图中阴影部分的概率为__________．16. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）).17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA=acos(B−π6(1)求角B的大小；(2)若b=3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．18.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．(1)求证：EF⊥平面BDE；(2)求锐二面角E−BD−F的大小．19.为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围(单位：kW⋅ℎ)(0,200](200,400]从本市随机抽取了100户，统计了今年6月份的用电量，这100户中用电量为第一阶梯的有20户，第二阶梯的有60户，第三阶梯的有20户．(1)现从这100户中任意选取2户，求至少1户用电量为第二阶梯的概率；(2)以这100户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取3户，X表示用电量为第二阶梯的户数，求X的概率分布列和数学期望．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，且过点P(1,√32)．(1)求E的标准方程；(2)过E的右焦点F作直线l交E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M(0,m)，求m的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2−1−lnx，其中a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为{x=1+2cosφ,y=√3+2sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)直线l：y=kx(k>0)分别交曲线C1，C2于M，N(M,N都非原点)两点，且|MN|=2，求k的值．23.已知a2+b2=1．(1)求证：|a−b|≤|1−ab|；(2)若a⋅b>0，求(a+b)⋅(a3+b3)的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 解：∵集合A ={x|x >−2}，B ={x|(x +5)(x −2)≤0}={x|−5≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]． 故选：C ．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题． 根据已知，求出z ，进而可得答案． 解：∵复数z 满足zi =1+i ， ∴z =1+i i=−i (1+i )−i 2=1−i ，∴z 2=(1−i )2=−2i ， 故选A ．3.答案：D解析：本题考查对数函数运算性质的应用，属于中档题． 解：log 43=lg32lg2，log 325=2lg5lg3，∴pq =lg5lg2=lg51−lg5， ∴lg5=pq1+pq ． 故选D ．4.答案：B解析：本题考查函数的图象，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用函数值的分布情况即可求解．解：易知当0<x <1时，f(x)<0；x <0或x >1时，f(x)>0，可排除A 、C ， 又可由f(13)<f(12)，排除D ， 故选B ．5.答案：D解析：本题主要考查数列的求和问题，以及由前n 项和求数列通项和等比数列的前n 项和公式，属于中档题．解：∵等比数列{a n }的前n 项和S n =2n −1， ∴a 1=S 1=1，a 2=S 2−S 1=2，q =2， 所以等比数列的首项为1，公比q 为2， 则a n =2n−1，则a n 2=4n−1，是首项为1，公比为4的等比数列，所以，则a 12+a 22+⋯a n 2=1−4n 1−4=13(4n −1)．故选D ．6.答案：D解析：本题考查图表分析能力，准确读囹识图是关键，是基础题， 利用图表逐项分析即可求解解：对A ：2010年到2019年社会消费品零售总额逐年上升，故A 正确；对B ：由图观察知，从2015年到2019年社会消费品零售总额平均超过30万亿元，故B 正确； 对C ：由图观察知，从2010年到2013年社会消费品零售总额变化较大，及同比增长率波动性较大，故C 正确；对D ：由图观察知，从2010年到2019年社会消费品零售总额同比增长率上升，从2011年到2019年该地区社会消费品零售额增长速度递增，故D错误；故选D．7.答案：A解析：本题主要考查几何体外接球体积的求解，关键是利用两平面的形状寻找外球球的球心位置，属于中档题．取AC的中点E，连接DE，BE，根据面面垂直的性质得到DE⊥平面ABC，可得外接球的球心O在直线DE上，利用勾股定理求出外接球半径，从而可得出球的体积．解：在图2中，取AC的中点E，连接DE，BE，∵AD=CD，∴DE⊥AC，∵平面ACD∩平面ABC=AC，平面ACD⊥平面ABC，DE⊂平面ACD，∴DE⊥平面ABC，∵∠ABC=90°，∴棱锥外接球的球心O在直线DE上，∵AD=CD=√6，AB=BC=2，∠ABC=90°，∴BE=AE=CE=12AC=√2，DE=√AD2−AE2=2，设OE=x，则OD=2−x，OB=√x2+2，∴2−x=√x2+2，解得x=12，∴外接球的半径r=2−x=32，∴外接球的体积V=4πr33=4π3×(32)3=9π2．故选A．8.答案：D解析：解：∵f(x)=sin2(ωx)−12=1−cos2ωx2−12=−12cos2ωx，∴2π2ω=π2，解得：ω=2，∴f(x)=−12cos4x，∵将函数f(x)图象沿x轴向右平移a个单位(a>0)，得到的新函数为g(x)=−12cos(4x−4a)，∴cos4a=0，∴4a=kπ+π2，k∈Z，当k=0时，a的最小值为π8．故选：D．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查算法初步中逻辑结构的程序框图，属于基础题．解：执行如图所示的程序框图，第一次，A=−1，n=2;第二次，A=2，n=3;第三次，A=12，n=4;第四次，A=−1，n=5;…;第二零一八次，A=2，n=2019，此时输出A的值为2，故选：B．10.答案：A解析：本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力．利用抛物线方程求出准线方程，然后代入双曲线方程求出M，N.利用三角形是直角三角形，转化求解即可．解：由题设知抛物线y2=2px的准线为x=−p2，代入双曲线方程y23−x2=1解得y=±√3+3p24，由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN=π4，∴tan∠FMN=√3+4=1，∴p2=3+3p24，即p=2√3，故选：A．11.答案：D解析：解：当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由α⊥β，m⊥β，m⊈α，可得m//α，故是正确命题故选D由题意设有直线m、n和平面α、β，在此背景下对四个选项逐一判断找出正确选项，A选项可由线线平行的条件作出判断，B选项可由面面平行的条件作出判断，C选项可由线面垂直的条件作出判断，D选项可由线面平行的条件作出判断．本题考点是命题真假的判断与应用，考查了线线平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定，线面平行的判定，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据题设条件想像出实物图形，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，命题真假的判断与应用题是近几年高考的热点，主要得益于其考查的知识点多，知识容量大，符合高考试卷命题精、博的要求12.答案：D解析：本题主要考查函数零点的判断，求函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的判断条件是解决本题的关键．求函数的导数，判断函数的单调性，然后利用函数零点的判断条件即可得到结论．解：函数的导数为f′(x)=1+1x =x+1x，因为x >0，所以f ′(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增， 又f(1e )=1e +ln 1e =1e −1<0，f(e)=e +lne =e +1>0， 所以f(x)在(0,1e )内无零点，在(1e ,+∞)内有零点． 故选D ．13.答案：28解析：解：∵a⃗ =(3,−4) ∴|a ⃗ |=√32+(−4)2=5 a ⃗ ⋅b ⃗ =3×2−4×3=−6 ∴2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ =28 故答案为28．利用向量模的坐标公式求出|a⃗ |，利用向量的数量积公式求出向量的数量积，代入求出值． 本题考查向量模的坐标形式的公式、向量的数量积公式．14.答案：(214,42)解析：解：∵等差数列{a n }中，−2<a 2<2，1<a 5<8，∴{−2<a 1+d <21<a 1+4d <8， S 7=72(a 1+a 7)=7(a 1+3d)=7a 1+21d ，作出可行域四边形ABCD ， 得(S 7)A =7×0+21×14=214，(S 7)B =7×1+21×0=7， (S 7)C =7×2+21×0=14， (S 7)D =7×0+21×2=42． ∴S 7的取值范围是(214,42)． 故答案为：(214,42)．利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及等差数列的前n 项和公式及线性规划能求出前7项的和的范围．利用不等式的性质解决问题时，一定要注意不等式的两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，是中档题．15.答案：解析：本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由该点落在图中阴影部分的概率为是面积比得答案．解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为，所以该点落在图中阴影部分的概率为．故答案为．16.答案：2解析：本题考查双曲线的简单性质，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得F 1B ⊥OA ，从而可得，进而求出离心率．解：如图，∵F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴F 1B ⊥F 2B,F 1A =AB ，∴OA⊥F1B，则△AOF1≌△AOB，则，所以一条渐近线的斜率为，所以e=ca =√1+b2a2=2，故答案为：2．17.答案：解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA =bsinB，可得bsinA=asinB，又由bsinA=acos(B−π6)，得asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)，可得：tanB=√3．又因为B∈(0,π)，可得B=π3．(2)因为△ABC的面积为2√3，所以12acsinπ3=2√3，所以ac=8，又因为9=a2+c2−2accosπ3=(a+c)2−3ac，所以a+c=√33，所以△ABC的周长为3+√33．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanB =√3，结合范围B ∈(0,π)，可求B =π3；(2)利用三角形的面积公式可求ac =8，利用余弦定理即可解得a +c 的值，可求三角形的周长．18.答案：(1)证明：连接AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以O 为原点，OA ，OB 为x.y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，则B(0,√3,0)，D(0,−√3,0)，E(1,0，2)，F(−1,0，3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)， ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴EF ⊥DE ，EF ⊥BE ，又DE ∩BE =E ， ∴EF ⊥平面BDE ；(2)解：由知(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)是平面BDE 的一个法向量，设m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)是平面BDF 的一个法向量， DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,3)， 由m ⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得：{−x +√3y +3z =0−x −√3y +3z =0，取x =3，得z =1，y =0，于是m ⃗⃗⃗ =(3,0,1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,EF⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−5√10×√5=−√22， 由于二面角E −BD −F 为锐二面角，故其大小为45°．解析：(1)证明连接AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，以O 为原点，OA ，OB 为x.y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积，即可证得EF ⊥平面BDE ；(2)由知(1)EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)是平面BDE 的一个法向量，求出平面BDF 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(3,0,1)，再利用向量的夹角公式，即可得到二面角E −BD −F 的大小．本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量．19.答案：解：(1)从这100户中任意选取2户，基本事件总数n =C 1002=4950，至少1户用电量为第二阶梯的概率： p =1−C 402C 1002=139165．(2)从全市任取1户，抽到用电量为第二阶梯的概率P =610=35，所以X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ,k =0,1,2,3， X 的分布列为E(X)=3×35=95．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列组合、古典概型，属于中档题．(1)基本事件总数n =C 1002=4950，利用对立事件概率计算公式能求出至少1户用电量为第二阶梯的概率．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和数学期望E(X)．20.答案：解：(1)依题意得：2c =2√3， c =√3，即焦点坐标F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，那么2a =(√2)+(√2)=4，即a =2，则b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)当直线l 斜率不存在时，得m =0．当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =k(x −√3)． 因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程：{x 24+y 2=1y =k(x −√3)消去y 得：(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0．所以x 1+x 2=8√3k 24k 2+1,y 1+y 2=k(x 1−√3)+k(x 2−√3)=−2√3k4k 2+1，所以AB中点坐标为(4√3k24k2+1,−√3k4k2+1)．设AB垂直平分线方程为y+√3k4k2+1=−1k(x−4√3k24k2+1)，即y=−1kx+3√3k4k2+1．令x=0，得m=3√3k4k2+1，当k>0时，1m =23√3k=3√33√3k⩾3√3，即0<m⩽3√34，当k<0时，1m =23√3k=3√33√3k)≤3√3，即−3√34⩽m<0．综上，m取值范围为[−3√34,3√34]．解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．(1)由题意可知：焦点坐标F1(−√3,0),F2(√3,0)，根据椭圆的定义，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB中点坐标，求得方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m的取值范围．21.答案：解：(1)函数f(x)=ax2−1−lnx的导数为f′(x)=2ax−1x =2ax2−1x，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f′(x)=0可得x=√12a，当0<x<√12a 时，f′(x)<0；当x>√12a时，f′(x)>0．可得f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数，综上可得，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)为减函数；当a>0时，f(x)在(0,√12a )为减函数，在(√12a,+∞)为增函数；(2)f(x)≥x对x∈(1,+∞)成立，可得ax2≥1+x+lnx，当x>1时，a≥1x2+1x+lnxx2，令g(x)=1x2+1x+lnxx2，g′(x)=−2x3−1x2+1−2lnxx3=−1−x−2lnxx3，当x≥1时，−1−x−2lnx<0，即g′(x)<0，g(x)在[1,+∞)递减，可得a≥g(1)=2，则a的取值范围是[2,+∞)．解析：(1)求出f(x)的导数，讨论当a≤0时，当a>0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)由题意可得ax2≥1+x+lnx，当x>1时，a≥1x2+1x+lnxx2，令g(x)=1x2+1x+lnxx2，求出导数，判断单调性，可得g(x)的最大值，可得a的范围．本题考查导数的运用：求单调性，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．22.答案：解：，消φ，得曲线C1的普通方程为(x−1)2+(y−√3)2=4．将x2+y2=ρ2，x=ρcosθ代入，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4x．(2)由(1)知曲线C1极坐标方程为，即．设直线l的极坐标方程为θ=α(α∈(0,π))．由，得．由，得ρN=4cosα．故，故由，得α=π3，由，得无解，故．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地把参数方程与极坐标方程和普通方程互相转化，寻找解题的适当方法，培养了学生的综合能力．(1)消去参数φ，把曲线C1的参数方程化为直角坐标方程，利用极坐标公式，把曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设出直线l 的极坐标方程为θ=α(α∈(0,π))，求出ρM ,ρN ，进而可求解．23.答案：解：(1)证明：要证原不等式，即证： (a −b )2≤(1−ab )2，只需证：(a 2−1)(1−b 2)≤0， ∵a 2+b 2=1，∴a 2≤1,b 2≤1∴(a 2−1)(1−b 2)≤0，故原不等式成立;(2)根据题意，(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4=(a 2+b 2)2=1， 当且仅当a =b =√22或−√22时，等号成立，则(a +b)(a 3+b 3)的最小值为1．解析：本题考查不等式的证明方法，涉及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．(1)根据题意，变形可得(a −b)2≤(1−ab)2，进而可得可得：(a 2−1)(1−b 2)≤0，结合a 、b 的范围分析可得证明；(2)根据题意，分析可得(a +b)(a 3+b 3)=a 4+ab 3+a 3b +b 4≥a 4+2√ab 3×a 3b +b 4，进而利用基本不等式分析从而可求得最值．。
【数学】安徽省安庆市高三第二次模拟考试试卷(理)(扫描版)(解析版)
安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学试卷（理）【参考答案】一、选择题：1. 【解析】由条件知， A 错；，B 错；，C 正确；，D 错误. 故选C.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，只有B 正确. 故选B.3. 【解析】根据程序框图可知： ； ；，. 故选C.4. 【解析】由，可得， ，即.又，，则，.故 即. 故选D .5. 【解析】作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为. 故选D.6. 【解析】该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为，，，其体积为. 故选B.7.【解析】由、的坐标可知，函数的图象有对称轴，，故，可得函数的一个单调递增区间为，则的递增区间为，. 故选A.i 12i 1+-==-=z 2=z ()()2i 1i 1=--⋅+-=⋅z z ()2i 2i 122≠-=+-=z 112233i S i S i S ======，；，；，；6,4==S i 511622743886i S i S i S i S ========，；，；，；，；9171i S ==，1034211683i S i S ====，；，1011>=i 683=S cos tan (1sin)βαβ=+sincos (1sin )cos αββα=+πcos cos sin sin sin cos 2βααβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭πcos()cos 2αβα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0παβ+∈，ππ022α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π2αβα+=-π22αβ+=1x =0y =()221y x z ++=()4122=++=y x z 32432222=⨯⨯B C )(x f 37=x 231372=-=T 4=T 5133⎛⎫- ⎪⎝⎭，)(x f 514433k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈8. 【解析】设，则，，，故时，；时，；时，. 故选B.9. 【解析】不妨设点在双曲线的右支上，则.因为，所以，.由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，，所以，即，得. 所以双曲线的离心率.故选A. 10. 【解析】由，得，得． 又，由余弦定理得， 得故选D ． 11.【解析】，，.故选C ． 12.【解析】函数的定义域与值域相同等价于方程有两个不同的实数解. 因为，所以问题等价于直线与函数的图象有两个交点. 作函数的图象，如图所示. 根据图象可知，当时，即时，直线与函数的图象有两个交点.选D.第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：0log log log 532>===k z y x 122-=k x 133-=k y 155-=k z1=k 532z y x ==1>k 532z y x <<10<<k 532zy x >>P 122PF PF a -=124PF PF a +=13PF a =2PF a =P 12PF PF ⊥2221212PF PF F F +=22294a a c +=22104c a =2c e a ==sin 2sin =b A a B 2sin sin cos sin sin =B A A A B 1cos 2=A 2c b =222222212cos 4432=+-=+-⨯=a b c bc A b b b b =ab4343)(=B P 4334)(A AB P =92)()()(==B P AB P B A P ()log a f x x =log a x x =ln ln log ln ln a x xx x x a a x=⇔=⇔=ln y a =ln x y x =ln xy x=10ln ea <<1e 1e a <<ln y a =ln x y x =13.，于是，.14. 【解析】展开式的通项公式为. 由，得，所以一次项的系数为. 由，得.15. 【解析】是上周期为5的奇函数，．16. 【解析】由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线弧，则实线围成的区域面积为.三、解答题：17. 解：（Ⅰ）由①，得（，）②.①-②，得，即（，）.………………3分由，，得，所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列，因此，.……………… 6分（Ⅱ）由，得，……………… 7分所以，………………9分所以. ……………… 12分18. 解：（Ⅰ）在图1中，因为，所以在图2中有，，……………2分又因，所以平面，……………4分5222=+⋅-=-bbaa4=⋅21222=+⋅+=+bbaa21=+()7772177C2C2rrr r r r rraT x a xx---+⎛⎫==⎪⎝⎭721r-= 3r=3437C2a3437C270a=-12a=-()f x R3)1()2()0()1()2()5()4()3(-=+--=+-+-=++ffffffff)20(22≤≤=yxydxxxS)212(42212-=⎰3162)61232(4323=-=xx111n na S+++=1n na S+=2n≥*Nn∈120n na a+-=112n na a+=2n≥*Nn∈()222121a S a a a+=++=112a=211142a a==112n na a+=*Nn∈{}n a1212n na=*Nn∈12n na=2logn nb a n==-11111(1)1n nb b n n n n+==-++12231111n nb b b b b b++++1111112231n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n=-=++BE CE BE DE⊥⊥，BE PE BE DE⊥⊥，EPEDE=⊥BE PDE因平面，故.………………5分（Ⅱ）因为，，，所以平面. 又，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴， 建立如图1所示的空间直角坐标系，设，，则，.……………6分 设平面的法向量为， 由. 取，即，……………8分 取平面的法向量为，……………9分，即. ……………10分设直线与平面所成角为，. 所以直线与平面所成角的正弦值为.……………… 12分⊂BE PBE PDE PBE 平面平面⊥DE PE ⊥BE PE ⊥E BE DE = ⊥PE ABED ED BE ⊥E EP EB ED ,,x y z a PE=(200)(00)(220)D P a A ，，，，，，，，(20)PD a =-，，(22)PA a =-，，PAD ()n x y z →=，，⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0220200az y x az x 02x a y z ===，，(02)n a →=，，PBE )0,0,2(=ED =552)4,2,0(),2,0,4(,4,5524222-====+a a a 故解得PB PAD α52sin ==αPB PAD 52注：（Ⅱ）另解根据题设可将四棱锥补成直四棱柱，且平面与平面所成二面角的平面角为，如图2所示. 设，则，得. 作，为垂足，易知平面. 连接，则就是直线与平面所成角..19. 解:（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在之内的概率为0．9974，………………1分从而主要药理成分含量在之外的概率为0．0026，………………2分 故．………………4分 理科数学答案（共10页）第5页因此，………………5分 的数学期望为．………………6分（Ⅱ）（1）由，，得的估计值为，的估计值为，………………7分由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在之外，因此需对本次的生产过程进行检查．………………8分（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，则；…………………10分如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在之外的药品，故概率为.故确定一天中需对原材料进行检测的概率为.…………………12分P ABED -EBAD PEGH -PBE PAD DPE ∠PE a =PD =cos 5PE DPE PD ∠==4a =BO AF ⊥O BO ⊥PFAD OP BPO ∠PB PAD 2sin 5OBBPO PB∠====(33)μσμσ-+，(33)μσμσ-+，~(200.0026)X B ，0495.00026.0)9974.0()1(19120≈⨯==C X P X 052.00026.020=⨯=EX 96.9=x 19.0=s μ96.9ˆ=μσ19.0ˆ=σˆˆˆˆ(33)(9.3910.53)μσμσ-+=，，A 0507.09493.01)9974.0(1)]0([1)(2020=-=-≈=-=X P A P (33)μσμσ-+，007.0)9493.0()0507.0(3)](1[)]([32222≈⨯⨯≈-⨯=A P A P P 007.020. 解：（Ⅰ）根据题意可得解得，.故椭圆的标准方程为.……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当直线的斜率不存在时，，于是； ………………6分当直线的斜率存在时，设直线，设，，联立得，根据韦达定理得，………………8分于是………………10分.当且仅当时等号成立，此时的最大值为. 综上，的最大值为.………………12分 21. 解：（Ⅰ）的定义域为 所以.……………… 2分 ① 当时，，所以在上为减函数；222222421c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩28a =24b =C 22184x y +=()20F ，l 21S S =021=-S S l ()()02:≠-=k x k y l ()11M x y ，()22N x y ，()222184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()22221+28880k x k x k -+-=2122812k x x k +=+21228812k x x k -=+()121212142S S y y x x k -=⨯+=+-228441122k k k k k=⨯-==≤=++2k =±21S S -421S S -4x ax x f ln )(-=()0+∞，()11ax f x a x x-'=-=0a ≤()0f x '<()f x ()0+∞，② 当时，，所以在上为减函数，在上为增函数. ……………… 5分 （Ⅱ）法1：要证，即证，即 ………………6分理科数学答案（共10页）第7页 由得，所以只要证. ………………7分不妨设，则只要证. ………………8分 令，则只要证明当时，成立. ………………10分设，，则，所以函数 在上单调递减，所以，即成立. ………………11分由上分析可知，成立. ……………… 12分 法2：要证，即证，即.………6分 令，，下证.………………7分 由.得，即. 0a >()10f x x a '>⇔>()f x 10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，0)()(2'1'<+x f x f 011221<--x x a 21112x x a +<12()()f x f x =1212ln ln x x a x x -=-121212ln ln 112-<+-x x x x x x 120x x >>()111212212221112ln 2ln x x x xx x x x x x x x ⎛⎫<-+⇔<- ⎪⎝⎭121x t x =>1t >12ln t t t<-1()2ln g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1t >()222121()10t g t t tt-'=--=-<()g t ()1+∞，()(1)0g t g <=12ln t t t<-12()()0f x f x ''+<12()()0f x f x ''+<011221<--x x a 21112x x a +<111t x =221t x =122t t a +>12()()f x f x =1122ln ln ax x ax x -=-2211ln ln t t at t a +=+令，，.由，所以在上为减函数，在上为增函数.………………8分 设，. 令.……………… 10分，，. 所以在上为减函数，，即，. ……………… 11分又因为在上为增函数，所以，即.故，得证. ……………… 12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2020届安徽省安庆市高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省安庆市高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =+>，{}2560B x x x =+-<，则A B =I （ ） A ．()1,1- B ．()1,2-C ．()1,3-D ．()1,6-【答案】A【解析】先求解化简集合A 、B ，由此能求出A B I . 【详解】因为{}1A x x =>-，{}61B x x =-<< 所以{}11A B x x ⋂=-<<. 故选:A . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二次不等式解集的计算方法.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()31i 2z +=，则下列判断正确的是（ ）A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．2z z ⋅=D ．22z =【答案】C【解析】先整理已知的复数，再根据复数的概念、运算及其性质即可判断结论． 【详解】3221i 1i 1iz ===++-，其虚部为1，A 错误；z ==B 错误；()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，C 正确；()221i 22z i =+=≠，D 错误.故选：C. 【点睛】本题主要考查复数的概念、运算及其性质，属于基础题. 3．设p ：20log 1x <<，q ：21x >，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用对数函数、指数函数的性质分别化简p ，q ，即可判断出关系． 【详解】因为p ：12x <<，q ：0x > 而{}12x x << {}0x x > 所以p 是q 成立的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查学生的计算能力. 4．函数()2sin 1x f xx x =-的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的定义域及奇偶性可排除CD ，利用(1,)x π∈时，可排除B ，由此得出正确选项． 【详解】函数()f x 的定义域为{}1x R x ∈≠± ∵()()()()22sin sin 11f x x x xf x x x x --===---- ∴()f x 为偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称，排除C ，D 选项； 当()1,x π∈时，()0f x >，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】考查函数的概念、奇偶性，考查学生对函数图像的分析及计算能力.5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若23652a a a =，4152S =，则24aa +=（ ） A ．32B ．52C ．32D ．40【答案】B【解析】由题设条件求出等比数列{}n a 的首项与公比，然后求出结果，选出正确选项． 【详解】设公比为q ，则24552a a a =，所以5412a q a ==，()4111512a q q -=-，解得14a =， 所以22a =，412a =，2452a a +=.故选：B. 【点睛】考查等比数列的概念、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.6．改革开放40多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了1983~2017年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图.对所列年份进行分析，则下列结论错误．．的是（ ）A ．农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B ．农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C ．2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快D ．2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率【答案】D【解析】根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断． 【详解】从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故A 正确； 根据“农村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出⨯恩格尔系数”， 计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故B 正确；2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长4078元，为最快；故C 正确；2015年到2017年农村居民人均生活消费支出增长比率为9050748620.892%7486-==，人均食品支出7486总额增长比率为90500.4374860.4223.771%74860.42⨯-⨯==⨯，故D 错误. 故选：D. 【点睛】考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力. 7．已知矩形ABCD ，24AB AD ==，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起，使120AEB ∠=o ，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为（ ） A ．52π B ．5πC ．10πD ．20π【答案】D【解析】根据已知条件画出示意图，求出球的半径即可求解结论． 【详解】折起的如图所示，其中1O ，2O 分别为正方形AEFD 和BCFE 的中心，O 为过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的球心，G 为EF 中点，则1OO ，2OO 分别垂直于这两个平面，且1260OGO OGO ∠=∠=︒， 所以111tan 3OO OG OGO =∠= 而1122O A AF ==， 所以22115OA OO O A =+= 所以球的表面积为2420OA ππ=g ． 故选：D. 【点睛】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了学生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力. 8．已知函数()22sinx f x ω=（0>ω）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （0m >）个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数m 的最小值为（ ）A ．4πB ．3π C ．34π D ．π【答案】B【解析】先利用降幂公式将函数式化简为cos()y A x k w j =++的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值． 【详解】()cos21x f x ω=-+，由其最小正周期为π，有1ω=，所以()cos21f x x =-+将其图象沿x 轴向右平移m （0m >）个单位 所得图象对应函数为()cos 221y x m =--+其图象关于3x π=对称，则有2cos 213m π⎛⎫-=±⎪⎝⎭所以223m k ππ-=，k Z ∈，解得32k m ππ=-，k Z ∈ 由0m >，实数m 的最小值为3π. 故选：B. 【点睛】本题考查学生对余弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况.考查学生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换.考查学生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力.9．今年（2020年）是闰年.如图所示是判断2000~3000（包括2000，但不包括3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在2000~3000年中年份是闰年的个数是（ ）A ．241B ．242C ．243D ．244【答案】C【解析】根据流程图，判断其意义，进行判断．“” 【详解】根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除.由()2000143000n +-⨯<，得251n <， 所以在2000~3000年中，年份能被4整除个数是250.同理可得，在2000~3000年中，年份能被100、400整除个数分别是10和3， 所以闰年的个数为250103243-+=. 故选：C. 【点睛】本题考查学生对程序框图基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法的含义和算法思想. 10．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线与x 轴交于点K ，过点K作圆22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的切线，切点分别为点A ，B .若3AB =，则p 的值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3【答案】C【解析】连接FA ，通过F 是圆222()24p p x y -+=的圆心，结合图形，FA KA ⊥，通过求解AKB ∆是等边三角形，推出结果． 【详解】 连接FA ，如下图因为F 就是圆22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心，所以FA KA ⊥，且2pFA =. 又KF p =，所以30AKF ∠=o ，那么60AKB ∠=o ， 所以AKB △是等边三角形 所以3AB AK p ==. 又3AB ，所以2p =. 故选：C. 【点睛】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思维方法和学生对数量关系的分析能力.11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为11C D ，BC 的中点，现有下列结论：①1//PQ BD ；②//PQ 平面11BB D D ；③PQ ⊥平面1AB C ；④四面体1D PQB -的体积等于124.其中正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】如图1，取AD 中点M ，连接1MD 与MQ ，说明PQ 与1BD 异面，判断①；如图2，取CD 中点R ，推出平面//PQR 平面11BB D D ，判断②；通过1PQ B C ⊥，则11C Q B C ⊥，推出矛盾，判断③；利用体积求解判断④．【详解】如图1，取AD 中点M ，连接1MD 与MQ ，则11MQ D C P ，1BD ⊄平面11MQC D ，则PQ 与1BD 异面，矛盾，故①错误；如图2，取CD 中点R ，易得平面//PQR 平面11BB D D ，故②正确； 若③正确，则1PQ B C ⊥，则11C Q B C ⊥，矛盾，故③错误；（另解：由结论1BD ⊥平面1AB C 和①知PQ ，1BD 不平行也可判断错误）.111111111322224D PQB C PQB P C QB V V V ---=⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝=⎭三棱锥三棱锥三棱锥，故④正确（④也可以这样判断：如图3，过点B 作1C Q 的垂线，垂足为H ，11BH C D ⊥， 因此，BH ⊥平面1D PQ ，5BH =，152C Q =，111111551332224D PQ D PQB S V BH -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△. 或者11111111111334224D PQB D C QB P C QB C QB V V S PD V ---==⋅=⨯⨯==△）. 故选：C. 【点睛】本题侧重于考查学生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的体积的计算，考查学生的空间想象能力和转化能力.12．函数()ln f x x ax =-恰有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则1x 所在区间为（ ） A ．310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2311,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的基本趋势及零点判定定理进行求解即可． 【详解】当0a ≤时不符合题意；当0a >时，考查函数()ln g x x =与()h x ax =图象易知，()g x 与()h x 图象在区间()0,1上必有一个交点 则在区间()1,+∞上有且仅有一个公共点， 当()1,x ∈+∞时，()ln f x x ax =-，()1ax f x x ='-，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 11ln 1f x f a a ⎛=⎫=- ⎪⎝⎤⎣⎦⎭⎡， 则只需1ln10a -=，故1ea =， 当()0,1x ∈时，()1ln ef x x x =--， 易知21110e e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()110f e =-<，可知11,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查对数函数的概念与性质，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想.二、填空题13．已知向量(a =r ，1a b -=r r ，a r 与a b -r r 的夹角为60o ，则⋅=r r a b ______.【答案】3【解析】根据题意，求出||a r的值，由数量积的计算性质可得()||||cos601a a b a a b -=-︒=r rr r r r g ，变形分析可得答案． 【详解】由于2=r a ，()cos601a a b a a b ⋅-=-=or r r r r r所以21a a b -⋅=r r r所以3⋅=rr a b . 故答案为：3. 【点睛】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.14．等差数列{}n a 中，21611123a a a a +<<，n S 是其前n 项和，则使n S 取最大值的n 的值为______.【答案】16【解析】直接套用等差数列的通项公式，化简题中不等式，根据等差数列的基本性质或二次函数的最值来求解n S 的最大值． 【详解】 方法一：设公差为d ，由21611123a a a a +<<得131230d a d <-<，故161150a a d =+>，161712310a a a d +=+<，即17160a a <-<， 所以16n =时，n S 取得最大值. 方法二：设公差为d ，由21611123a a a a +<<得131230d a d <-<， 故0d <，且131152a d <-<， 又因为2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 其对应为二次函数2122d d y x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像开口向下， 对称轴为1131,1622a x d ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， 故16n =时，n S 取得最大值. 故答案为：16. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和最值的求解，对学生的逻辑推理能力、运算求解能力有一定要求．15．鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图，若点C 为线段AB 的三等分点且2AC CB =，分别以线段AB ，AC ，BC 为直径且在AB 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以AB 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为______.【答案】49. 【解析】分别求出各自的面积，转化为面积比即可． 【详解】设12AC r=，22BC r =，则1222AB r r =+，122r r =，于是阴影部分的面积为：()222121212222r r r r rr ππππ+--=， 于是所求概率为()()()21212222212122244932r r r r r P r r r r r ππ====++.故答案为：49. 【点睛】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力.16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线C 的一条渐近线方程记为tan y x α=⋅（02πα<<），直线l ：tan2y x α=⋅与双曲线C 在第一象限交于点P ，若2OP PF ⊥，则双曲线C 的离心率为______.51【解析】由题意画出图形，延长2F P 交直线tan (0)2y x παα=<<g 于点M ，可得P 为2MF 的中点，2||||OM OF c ==，求得M 点坐标，进一步求得P 点坐标，把P 点坐标代入双曲线方程即可求得双曲线的离心率．【详解】延长2F P 交直线tan y x α=⋅（02πα<<）于点M ，则由角平分线的性质可得P 为2MF 的中点，2OM OF c ==，易得(),M a b ，,22a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭P 点坐标代入双曲线C ：22221x y a b-=有2222221a c b a b +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-= 解得51ce a==. 51. 【点睛】.本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合的思维方法和学生对数量关系的分析能力.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin b c Aa c B C+=+-. （1）求角B 的大小；（2）若ABC V 的周长等于15153，求a ，b ，c 的值. 【答案】（1）23B π=；（2）3a =，7b =，5c =，或者5a =，7b =，3c =. 【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，进而可求B ； （2）由已知结合三角形的面积公式可求ac ，结合（1）的结论可求． 【详解】 （1）由sin sin sin b c Aa c B C+=+-，根据正弦定理得 222222b c ab c a ac a c b ac a c b c+=⇒-=+⇒+-=-+-，根据余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为0B π<<，所以23B π=. （2）由13153sin 244ABC S ac B ac ===△，得15ac =， 又15a b c ++=，由（1）知()()22222151515b a c ac a c b =++=+-=--，所以7b =， 化简得8a c +=.得3a =，5c =，或者5a =，3c =. 所以3a =，7b =，5c =，或者5a =，7b =，3c =. 【点睛】考查正弦定理、余弦定理和学生对面积公式的合理选用情况，考查学生的运算求解能力. 18．如图，在四面体ABCD 中，E 是线段AD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=o ，AB BD =，BC DC EC ==.（1）证明：BD EC ⊥；（2）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）13. 【解析】（1）取线段BD 的中点F ，连接EF ，CF ．证明CF BD ⊥．推出BD ⊥平面ECF ，然后证明BD EC ⊥．（2）解法一：令BC DC EC a ===，点F 为原点，射线FC 、FD 、FE 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．求出平面BEC 、平面DEC 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值． 解法二：令BC DC EC a ===，取CE 中点G ，则BG CE ⊥，DG CE ^，说明BGD ∠为二面角B CE D --的平面角，利用余弦定理转化求解，平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值即可． 【详解】（1）取线段BD 的中点F ，连接EF 、CF .因为E 是线段AD 的中点，所以EF AB ∥.又AB BD ⊥，所以EF BD ⊥. 因为BC DC =，F 是BD 的中点，所以CF BD ⊥.因为EF ⊂平面ECF ，CF ⊂平面ECF ，EF CF F =I ， 所以BD ⊥平面ECF ，而CE ⊂平面ECF ， 所以BD EC ⊥. （2）解法一：令BC DC EC a ===，则2AB BD a ==，那么122EF AB a ==，122CF BD a ==， 所以2222EF CF a EC +==，所以EF CF ⊥.又EF BD ⊥，CF BD ⊥，故可以以点F 为原点，射线FC 、FD 、FE 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则20,,02B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2,0,02C a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，20,,02D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2E a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 所以22,,022BC a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，22,,022DC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，22,0,22EC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为()111,,m x y z =r ，()222,,n x y z =r，由00m BC m EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，得1111220220==，取111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则()1,1,1m =-r .由n DCn EC⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vru u u vr，得2222222222ax ayax az⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪，取111111xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，则()1,1,1n=r.所以2221111111cos,1113m nm nm n⋅⨯-⨯+⨯===++r rr rr r.故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为13.解法二：令BC DC EC a===，由已知及（1）可得：BE ED a==，所以BCEV，CDE△均为棱长为a的正三角形.取CE中点G，则BG CE⊥，DG CE^，故BGD∠为二面角B CE D--的平面角，在BEGV中，32BG DG a==，2BD a=，由余弦定理可得：2221cos23BG DG BDBGDBG DG+-∠==-⨯，故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为13.【点睛】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查学生的运算求解能力.19．某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在[)3,4（单位：kg ）的概率是多少？ ②若抽取的5户中购买量在[]3,6（单位：kg ）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[]3,6（单位：kg ）的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值. 【答案】（1）①47128；②详见解析；（2）3k =. 【解析】（1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在[3，4)”发生的概率为14p =． ①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A ，利用独立重复实验的概率求解即可．②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望． （2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为0.35p =，判断~(10,0.35)X B ，通过若k 户的可能性最大，列出不等式组，求解k 即可． 【详解】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在[)3,4”发生的概率为14p =.①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在[)3,4”为A ，则()451511147111444128C P A ⎛⎫⎛⎫=----=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2.则()33351010C P C ξ===，()213235315C C P C ξ===，()1232353210C C P C ξ===，所以()336125105E ξ=⨯+⨯= （2）每天对甲类生活物资的需求平均值为1.50.102.50.303.50.254.50.205.50.15 3.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（kg ）则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[]4,6，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为0.35p =，若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，()~10,0.35X B ，若k 户的可能性最大，则()()10101kkk C p P X k p -=-=，0,1,,10k =⋅⋅⋅()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩，得()()()()()()()()10111110101019110100.350.650.350.650.350.650.350.65k k k k k k k k k k k k C C C C -----+-+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩， 解得2.85 3.85k ≤≤，由于k *∈N ，故3k =. 【点睛】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查学生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.20．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，F 是E 的右焦点，过点F的直线交E 于点()11,A x y 和点()22,B x y （120y y ≠）.当直线AB 与x 轴垂直时，3AB =.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l ：2x a =交x 轴于点G ，过点B 作x 轴的平行线交直线l 于点C ．求证：直线AC 过线段FG 的中点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）通过离心率推出12c a =，结合b ==．转化求解a ，b ，求解椭圆E 的方程．（2）求出(4,0)G ，(1,0)F ，得到线段FG 的中点为5(,0)2．①当直线AB 与x 轴垂直时，说明直线AC 过线段FG 的中点．②当直线AB 不与x 轴垂直时，可设其方程为(1)y k x =-，代入22143x y +=，利用韦达定理设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2(4,)C y ，求出AC 的方程为21111()4y y y x x y x -=-+-．推出直线系方程，说明直线AC 过线段FG 的中点． 【详解】 （1）由12c e a ==，得12c a =，所以2b ==， 因为直线AB 经过点F ，且120y y ≠，所以根据对称性，不妨设120y y >>. 当直线AB 与x 轴垂直时，1212x x c a ===，1234y a a y ⎫==⋅==-⎪⎪⎝⎭，所以1322AB y a ==. 由332AB a ==，得2a =，所以b a ==，1c =. 所以椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）当直线AB 与x 轴垂直时，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，34,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 这时直线AC 的方程为()333221241y x ---=--，即52y x =-+. 令0y =，得52x =，点5,02⎛⎫⎪⎝⎭恰为线段FG 的中点. 因为()1,0F ，当直线AB 不与x 轴垂直时，可设其方程为()1y k x =-，代入22143x y +=，整理得()()2222348430kxk x k +-+-=.所以2122834k x x k +=+，()21224334k x x k-=+. 因为()11,A x y ，()22,B x y ，()24,C y ， 所以直线AC 的方程为()211114y y y x x y x -=-+-. 因为()111y k x =-，()221y k x =-， 所以()()21211111115514242k x x y y x y x k x x x --⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()211115142x x k x x x -⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦()()()21111154124x x x x x k x ⎛⎫--+--⎪⎝⎭=⋅- ()121215424x x x x k x +--=⋅- ()2222143584234344k k k k k x -⋅--++=⋅- ()()()2222120434340434k k k k x k---+=⋅=-+，这说明直线AC 过点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上可知直线AC 过线段FG 的中点. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和学生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力. 21．已知()()21ln 112a x a x f x =+-+（a ∈R ）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12211212x f x x f x mx x x x ->-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）5112em ≤-. 【解析】（1）求出导函数，通过①当1a …时，②当01a <<时，③当0a „时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）当1a =-时，2()ln 1f x x x =--+，不妨设120x x <<，则12211212()()||x f x x f x mx x x x ->-等价于212121()()||()f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x =，求出导函数，令22ln 2()x x h x x --=，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明()g x 在(0,)+∞上单调递减．得到1122()()g x mx g x mx +>+恒成立，设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在(0,)+∞上恒为单调递减函数，然后转化求解m 的范围即可． 【详解】（1）()()()211a x a aa x x x xf -+='+-=（0x >）.①当1a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当01a <<时，()()1a x f xx x ⎛- ⎝⎭⎝⎭'=，所以当x >()0f x '<，当0x <<()0f x '>， 所以()fx 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪+∞⎭⎪上单调递减； ③当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）当1a =-时，()2ln 1x x f x =--+，不妨设120x x <<，则()()12211212x f x x f x mx x x x ->-等价于()()()212121f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x=，得()22ln 2x x x x g --'=，令()22ln 2x h x x x--=，()352ln x x x h -'=， 则520,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，52e ,x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间520,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，在区间52,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减函数. 故()5251e 102e g g x ⎛⎫'=-< ⎪⎝'⎭≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.从而()()12g x g x >，即()()2121f x f x x x <，故()()()122112f x f x m x x x x ->-， 所以()()121212f x f x mx mx x x +>+，即()()1122g x mx g x mx +>+恒成立， 设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在()0,∞+上恒为单调递减函数， 从而()()0x g x m ϕ''=+≤恒成立，故()()51102ex m g x m ϕ'≤-'++≤=， 故5112em ≤-. 【点睛】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查学生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查学生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ-=，直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，()0,1M ，且MA MB >，求11MA MB-值. 【答案】（1）1y =+，2240x y y +-=；（2）【解析】（1）相切参数方程中的t ，即可得到直线l 的普通方程和，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=代入4sin 0ρθ-=，即可化简曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，化简求解11||||MA MB -的值． 【详解】（1）由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l的普通方程为1y =+， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入4sin 0ρθ-=得， 曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=. （2）设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，将121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y y +-=，得230t --=， 所以123t t =-，12t t +=故直线l 过()0,1M ，且MA MB >，所以10t >，20t <. 于是11MA t t ==，22B t M t ==-.故12121211311t t t t t t MA MB +=-+==-. 【点睛】本题考查学生对圆的参数方程、直线的参数方程的掌握与应用和对曲线的参数方程与普通方程之间的转换公式的应用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力. 23．已知0a >，0b >，且221a b +=. （1）若对于任意的正数a ，b ，不等式222111a x b ≤+-恒成立，求实数x 的取值范围； （2）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【答案】（1）35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用基本不等式转化求解2211a b +的最小值，然后转化求解不等式，即可实数x 的取值范围；（2）：5511()()a b a b++展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即可证明不等式． 【详解】（1）因为221a b +=，所以()2222222222111124b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭即22114a b +≥，当且仅当a b ==时取等号，因此2211a b +的最小值是4. 于是35422141422x x x ⇔-≤-≤⇔-≤≤-≤. 故实数x 的取值范围是35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）()()5555255442222112b a b a a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=+++- ⎪⎝⎭()()2222222221a ba b a b ≥++=+=，故()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 或直接运用二维柯西不等式：()()225522111a b a ba b ⎛⎫++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b ==时取等号. 故()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查学生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝对值不等式的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法.。
2020届安徽省安庆市省市示范高中高三下学期高考模拟数学(理)试题(解析版)
【答案】A
【解析】设 ， ， 代入椭圆方程得 相减整理得到 ，再根据 的中点坐标为（1，-1），有 ， 代入上式，利用概率公式求解.
【详解】
设 ， ，
所以 ，相减得 ，
∴ ，
即 ，
又∵ ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，又 ，
∴ ．
即椭圆 的方程为 .
故选：A．
【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及点差法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
【详解】
根据题意， 为偶函数，则有 ，变形可得 ，又由 为奇函数，则 .
综合可得： 则有 ，即函数 是周期为4的周期函数，所以 ， ， ．
故选：
【点睛】
本题考查抽象函数的奇偶性周期性应用，属于中等题型.
5．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，例如求1到2000这2000个整数中，能被3除余1且被7除余1的数的个数，现由程序框图，其中MOD函数是一个求余函数，记 表示m除以n的余数，例如 ，则输出i为（）.
【详解】
在1，2，3，4中随机选出一个数 ，在-1，-2，-3，-4中随机选出一个数 ，基本事件的个数为16个，
其中满足 被3整除的基本事件有 ，共1个，
所以 被3整除的概率为 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.
7．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 的中点坐标为（1，-1），则椭圆 的方程为（）
安徽省安庆市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
安徽省安庆市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.2．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 3．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个【答案】B 【解析】 【分析】圆心在FM 的中垂线上，经过点F ，M 且与l 相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点F 的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【详解】因为点(2,2)M 在抛物线22y x =上， 又焦点1(2F ，0)，由抛物线的定义知，过点F 、M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点F 、M 且与l 相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A ．1313 B ．413C ．277D ．47【答案】D 【解析】 【分析】设AF a '=，则2A F a ''=，小正六边形的边长为2A F a ''=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7AB a =，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AF a '=，则2A F a ''=，即小正六边形的边长为2A F a ''=， 所以，3FF a '=，3AF F π'∠=，在AF F '∆中，由余弦定理得2222cos AF AF FF AF FF AF F '''''=+-⋅⋅∠， 即()222323cos3AF a a a a π=+-⋅⋅，解得7AF a =，所以，大正六边形的边长为7AF a =，所以，小正六边形的面积为21132222236322S a a a a a =⨯⨯⨯⨯+⨯=， 大正六边形的面积为2213213772721222S a a a a a =⨯+=， 所以，此点取自小正六边形的概率1247S P S ==. 故选：D. 【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 5．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）【解析】 【分析】利用等差通项，设出1a 和d ，然后，直接求解5S 即可 【详解】令()11n a a n d +-=，则11113232da a a a d ⨯⨯++=++，136a d +=，∴13a =-，3d =，∴()55310315S =⨯-+⨯=.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题6．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C性质定理，中档题.7．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．6 B ．3C ．93222- D ．93222+ 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线21y x =--表示以原点O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．8．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.9．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BCD ．【答案】B 【解析】 【分析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合222c a b =+，构造齐次关系即得解 【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直．∴双曲线的渐近线方程为12y x =±． 12b a ∴=，得2222214,4b ac a a =-=．则离心率2c e a ==． 故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 10．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）A ．3-B ．13- C ．1 D ．3【答案】D在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即329n b n =-，因为函数()329f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且5331b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.故选:D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.11．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．3 CD．4【答案】B 【解析】 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率． 【详解】4OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=，∴2121221212()()ABy y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，228,3b e a ∴=∴==．本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系． 12．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则3233AD AM AD ===， 226PM PA AM ∴=-=， 136234312P ABC V -∴=⨯⨯=， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则134434P ABC O ABC V V r --==⨯⨯， 解得：6r =；则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，2213R R ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭，解得R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届 安徽省安庆市高三 第二次模拟考试数学(理)试题 PDF版
绝密★启封并使用完毕前2020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）第 I卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A x x 10， 5 6 0B x x 2 x ，则A I B =A. 1，1B. 1，2C. 1，3D. 1，62. 已知i 为虚数单位，复数z 满足1 i z 2，则下列判断正确的是3A. z 的虚部为iB. z 2C. z z 2D. z 2 23. 设p ：0 log x 1，q ：2x 1，则p 是q 成立的2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4. 函数x sin xf (x ) 的大致图象是x 2 15.等比数列a 的前n项和为n S .若a2 ，3a 2an 6 515S ，则4a2 a42A. 32B.52C. 32D.406. 改革开放40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983—2017 年部分年份我国农村居民人均生活消费支出与恩格尔系数（恩格第页1尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计图. 对所列年份进行分析，则下列结论错．误．的是A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快D. 2015 年至 2017 年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率7. 已知矩形ABCD ，AB 2AD 4，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起,使AEB 120，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为A. 52π B. 5π C. 10π D.20π8. 已知函数f (x) 2sin2 x （ 0 ）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m 0）个单位，所得图象关于πx 对称，则实数m 的最小值为3A．π4B．π3C．3π4D．π9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 2000～3000（包括 2000，但不包括 3000）年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在 2000～3000 年中年份是闰年的个数是A.241B.242C.243D.24410. 已知抛物线C : y2 2px（p 0）的焦点为F ，准线与x 轴交于点K ，过点K 作圆第页22 2ppx y224的切线，切点分别为 A ， B . 若 AB 3 ，则 p 的值为A. 1B.3C. 2D. 311. 棱长为 1 的正方体 A BCD A 1B C D 中， P ，Q 分别为 C D ,BC1 1 111的中点，现有下列结论：① P Q // BD ；② PQ // 平面 B B 1D D ；③ PQ平面 ABC111；④四面体 DPQB1的体积等于1 24.其中正确的是 A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④12. 函数 f (x )ln xax 恰有两个零点x ， 1 x ，且 x21x . 则 2x 所在区1间为1 1 1 A.0,B. ,e3e32e1 11C. ,12 , D.e ee 第Ⅱ卷二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 13. 已知向量 a =(1，3) ， ab 1， a 与 ab 的夹角为60 ，则 ab.14. 等差数列a 中， na，22aa 3a16111S 是其前 n 项和，则使nS 取最大值的 n 的值n为 .15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为线段AB 的三等分点且AC 2CB ，分别以线段AB，AC，BC 为直径且在AB 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）.现等可能地从以AB 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为.x y2 216. 已知双曲线C : 1 a 0 b 0 的左、右焦点分别为，a b2 2 F ，F ，1 2π一条渐近线方程记为y tan x (0 ) 与2 2，直线l : y tan x双曲线C 在第一象限内交于点P ，若O P P F，则双曲线C 的离心率2为.三、解答题：共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21第页3题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分.17.（本小题满分 12 分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a，b ，c，且b c sin Aa c sin B sin C.（Ⅰ）求角B 的大小；1534 （Ⅱ）若△ABC 的周长等于15，面积等于，求a，b ，c的值．18.（本小题满分 12 分）如图，在四面体ABCD 中， E 是线段AD 的中点，，AB BD，BC DC EC ．ABD BCD 90o（Ⅰ）证明：BD EC ；（Ⅱ）求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．19.（本小题满分 12 分）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图（如图）.（I）从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在[3，4）（单位：kg)的概率是多少？②若抽取的 5 户中购买量在[3，6]（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在[3，6]（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望；（II）将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于 0.5kg 时，则将该居民户称为“迫切需求户”，若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆Ex y2 2: 1（a b 0 ）的离12 ，F 是E 的右焦点，过点F 的直线交E 于点心率为a b2 2A(x ，y ) 和点1 1 B(x ，y )（2 2y1 y 2 0）．当直线AB 与x轴垂直时，AB3．第页4（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l : x 2a 交x 轴于点G ，过点B 作x 轴的平行线交直线l 于点C ．求证：直线AC 过线段FG 的中点．21.（本小题满分 12 分）1已知函数f x a x a x （a R ）.( ) ln 1 122（Ⅰ）讨论f (x) 的单调性；（Ⅱ）当a 1时，对任意的x ，x20，，且1x1x ，都有2x1(x ) x ( )mx xf f x2 2 1x x121 2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长1x t2度单位.已知曲线C 的极坐标方程为 4sin 0 ，直线l 的参数方程为3，y 1t2（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A，B 两点，M (0，1) ，且MA MB ，求1 的值．1 MA MB23. [选修 4–5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）已知a 0 ，b 0，且a 2 b 2 1.(Ⅰ)若对于任意的正数a ,b ,不等式2x 1 ≤1 1(Ⅱ)证明：( )(a 5 b5 )≥1.a b 1a21恒成立，求实数x 的取值范围；b2第页52020年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）参考答案第 I 卷二、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CAABDDBCCCD二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.3. 14.16.15. 4 9.16. 51.三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题满分 12 分） b c sin A解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得a c sin B sin Cb cab caac ac bac222222a cb c， 根据余弦定理得 cos Ba 2 c 2b 21，由 0 B π ，所以 2π 2ac2 3B . (5)分13 15 3（Ⅱ）由Sac B ac ，得 ac 15 . 又 a b c 15，sin ABC244由（Ⅰ）知b 2 a 2 c 2 ac ( a c ) 2 15 (15b ) 2 15 ，所以 b 7 ，化简得 a c 8.得 a 3， c 5，或者 a 5， c 3.所以 a3， b 7, c 5，或者 a5， b 7, c 3.………… 12 分【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运算求解能力. 18.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）取线段 BD 的中点 F ，连接 EF ，CF .因为E 是线段AD的中点，所以EF / /AB ．又AB BD ，所以EF BD ．因为BC DC ，F 是BD的中点，所以CF BD ．因为EF 平面ECF ，CF 平面ECF ，EF I CF F ，所以BD 平面ECF ，而CE 平面ECF ，所以BD EC ．………… 5 分第页6（Ⅱ）令BC DC EC a ，则AB BD 2a ，那么EF AB a ， 1 21 2CF BD a ，所以2 2 2 2EF CF a EC ，所以EF CF ．2 2 2 2又EF BD，CF BD ，故可以点F 为原点，射线FC 、FD、FE分别为x轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，2 2如图所示．则B 0，a，0 ，C a，0，0 ，2 22 2D 0，a，0 ，E 0 0 a，，，2 2u u u r u u u ru u u r2 2 2 2 2 2所以BC a a 0DC a ，a ，，，，，0 EC a，0， a ．2 2 2 2 2 2设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为m x ，y ，z ，n x ，y ，z ，1 1 1 2 222 2ax ay2 2m BC 01 1 由u r u u u r，得m EC 0x 11，则m 1，1，1.y 1，取1z 112 2ax az2 21 1n 由nDCEC，得2222ax2ax22222ay2az21x1，取y 1，则n 1，1，1 .1z 11u r rm n 11111 1 1所以cos m，n .u r r1 1 1 32 22m n故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. (12)分解法二：令BC DC EC a ，由已知及（Ⅰ）得BE ED a ，所以BCE ，CDE 均为棱长为a的正三角形.取CE 中点G ，则BG CE , DG CE ，故BGD 为二面角3B CE D 的平面角，在BDG 中，BG DG a ，2BD 2a，由余弦定理可得：第页7BG DG BD 12 2 2cos BGD ,2BG DG 31故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为. …………12 分3 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及计算考查考生的运算求解能力.19.（本小题满分 12 分）解析：（I）由题意，事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在[3，4)”发生的概率为1p . (1)分4①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A，则1 1 1 P（A） 5)1C1 (1 )4 (154 4 4 47128 . ……… 3 分②随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则C 32P （）,3C 1035C C 31 1P（）,1 3 2C 535C 12P（2）2 ,C 10350 1 2P （）31035110 3 1 4所以E () 1 2…………………7 分5 10 5（II）每天对甲类物资的购买量平均值为1.50.10 2.50.30 3.50.25 4.50.20 5.50.15 3.5（kg）……… 8 分则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[4，6]，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p 0.35，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则X ~ B(10,0.35) ，故P(X P(X k C k p k p 10k k ，若 k 户的可能性最大，则)10(1) , 0,1, ,10P(Xk)≥k)≥P(XP(Xkk1)1)，得k kC (0.35)10kk C (0.35)10 10k(0.65)10k (0.65)k 1 k 111k≥C (0.35) (0.65)10k 1 k 19k≥C (0.35) (0.65)10，解得2.85≤k ≤3.85 ，由于k N* ,故k 3. ……… 12 分【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的第页8思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概 率知识分析问题、解决问题的能力. 20.（本小题满分 12 分）解析：（Ⅰ）由 ec 1 ，得13c a ，所以 b a2c2a ． c1 ，得13a 2 22因为直线 AB 经过点 F ，且y 1 y 2 0，当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 3 x x c a ，则 y 1 ya ，且1222 4y 1 y ，23 3 a ，得 a 2，所以 b 3 ， c 1．所以 AB2 y 1 a ，故 32 2所以椭圆 E 的方程为x y． …………4 分2214 3（Ⅱ）由（Ⅰ）有直线l : x 4 ，故G (4,0) ，因为 F 1，0，则线段FG 的中点为 5 0， . 2①当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 1 y x 1 x， y0，且22B ，，故 A (1，y ) ， (1y ) C 4， y ，1113 y，1y22yy y x 2这时直线 AC 的方程为1y 11，即 ( 1)1y y 1y x ． 4 131令 y0，得 5 x ，所以直线 AC 过线段 FG 的中点．2②当直线AB 不与x轴垂直时，可设其方程为y k x 1，代入x y，2 21 4 3整理得3 4k2 x 2 8k2 x4 k 2 3 0．所以8k2x x1 223 4k，4 k32x x1 2 23 4k．y y因为A x ，y ，B x ，y ，C ，y ，所以直线AC 的方程为4 y 2 1 x x y因为A x ，y ，B x ，y ，C ，y ，所以直线AC 的方程为4 x1 12 2 2 111．因为y k x ，1 1 1 y2 k x 2 1 ，所以k x xy y 5 52 1 x y x k x2 114 x 2 4 x 21 1 1 11 1第页9xx5kx x 1 2 14 x21115x xx4 x x 1 211112k4 x1k 5 2x xx x121 24 x 14k4 k3258k22 3 4k34k224 x1420 k 4kk43 4 35222k，这说明直线 AC 过点 0，0 ．4 x 34k221综上，可知直线 AC 过线段 FG 的中点．………… 12 分【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思想和考生的逻辑 思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力. 21.（本小题满分 12 分） 解析：（Ⅰ）a 1 x a2a（x 0 ）．f (x) a 1 xx x（1）当a≥1时，f (x ) 0，f (x) 在0，上单调递增；（2）当0 a 1时，a a1a x xa 1 a 1，f (x)x所以当xaa1时，f (x ) 0，当0x aa1时，f (x )0，a a所以f (x) 在0，上单调递增，在，上单调递减；a 1 a 1（3）当a ≤0时，f (x ) 0，f (x) 在0，上单调递减. ………… 5 分（Ⅱ）当a 1时，f (x ) ln x x 2 1,不妨设0 x x ，则1 2 x1f (x ) x f (x )mx x2 2 1x x1 21 2等价于f ，考察函数(x ) f (x )2 m x x1 ( )2 1x x2 1f (x)g(x ) ，得xg'(x) lnx x 2 2，令x2h(x) lnx x 2 2，x2h'(x) 5 2 ln x5 5 5，则x(0e2) 时，h'(x) 0 ，x(e2，)时，h'(x) 0，所以h(x) 在区间(0 e2 )，，x35 51上是单调递增函数，在区间(e2 ) g'( )，上是单调递减函数.故g'(x)≤e2 1 0 ，所以g(x) 在2e5第页10(0,) 上单调递减.从而 g (x 1) g (x ) ，即2f，故 ( ) ( ) ( )( 2 )( )x f xf f x，x112m xx21xxxx 21 12所以f (f x，即x1)( )mx2mxmx12xx12g (xmxg x mx恒成立，1)( )122设(x ) g (x ) mx ，则(x ) 在 (0,) 上恒为单调递减函数， 1从而'(x ) g '(x ) m ≤0 恒成立！故'(x ) g '(x ) m ≤1m2e≤0，51故 m ≤1. …………12 分2e5【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、 解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力. （二）选考题：共 10 分。
高考专题安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学理试题(含解析)
安徽省安庆市2015届高三第二次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,复数z 满足2z i i ⋅=+,则复数z 等于A.12i -B.2i --C.12i -+D.12i + 2.已知椭圆2241mx y +=的离心率为22,则实数m 等于 A.2 B.2或83C.2或6D.2或8 3.设随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,且ξ在(,6)-∞上取值的概率为0.8,则ξ在(0,3)上取值的概率为A.0.2B.0.3C.0.8D.0.1 4.在等比数列{}n a 中,3222a a -=,且45a 是312a 和52a 的等差中项,则{}n a 的公比为 A.2 B.3 C.2或3 D.6 5.在极坐标系中,曲线:2sin C ρθ=上的两点,A B 对应的极角分别为2,33ππ,则弦长||AB 等于 A.1 B.2 C.3 D.2 6.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上的任意一点,PE AB ⊥于E ,PF BC ⊥于F ,则PD EF ⋅等于 A.1 B.1- C.12D.0 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.6 B.203 C.163 D.1938.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的※处和最后输出的结果应是 A.0.1;2018t a = B.0.1;2019t a = C. 1.1;2018t a = D. 1.1;2019t a = 9.设实数,m n 满足0,0m n ><,且111m n+=,则4m n + A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值110.已知函数2()2(21)47f x ax a x a =+-+-其中*a N ∈,设0x 为()f x 的一个 零点,若0x Z ∈,则符合条件的a 的值有A.1个B.2个C.3个D.无数个 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.若6()(0)a x a x ->的展开式的常数项是154,则实数a =12.设实数,x y 满足||1x y ≤≤,则|1|2u x y =++的取值范围是13.已知命题:p 函数21y x ax =++的值域为[0,)+∞,命题:q 对任意的x R ∈,不等式||||1x x a -+≤恒成立,若命题()p q ∧⌝为真命题,则实数a 的取值范围是 14.若函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度θ,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的θ角旋转,简称转轴θ,将平面直角坐标系O xy -转轴θ得到新坐标系''O x y -,设点P 在两个坐标系中的坐标分别为(,)x y 和(',')x y ,则下列结论中错误的是 (把你认为错误的所有结论的序号都填上) ①与x 轴垂直的直线转轴后一定与'x 轴垂直;②当4πθ=时,点(1,1)P 在新坐标系中的坐标为(1,0)P ;③当4πθ=-时,反比例函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是22''2x y -= ④当6πθ=时,直线2x =的图象经过转轴后的直线方程是3''40x y --=⑤点P 在两个坐标系中坐标之间的关系是'cos 'sin 'sin 'cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)如图所示,在平面四边形ABCD 中,4,2,60,120AB AD DAB BCD ==∠=∠=.(Ⅰ)当BC CD =时,求BCD ∆的面积;(Ⅱ)设CBD θ∠=,记四边形ABCD 的周长为()f θ,求()f θ的表达式,并求出()f θ的最大值.17(本小题满分12分)为美化环境,某小区物业计划在小区内种植甲,乙,丙,丁四棵树苗,受环境影响,甲,乙两棵树苗成活率均为12,丙,丁两棵树苗成活率均为(01)a a <<,每棵树苗成活与否相互没有影响. (Ⅰ)若甲,乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求a 的值 (Ⅱ)设X 为最终成活的树苗的数量,求X 的概率分布列及数学期望值.18(本小题满分12分)如图所示,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是梯形,//AD BC ,侧面11ABB A 为菱形,1DAB DAA ∠=∠.(Ⅰ)求证:1A B AD ⊥;(Ⅱ)若12,60AD AB BC A AB ==∠=,点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点,求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19(本小题满分13分)已知抛物线22(0)y px p =>,四边形ABCD 内接于抛物线,如图所示.(Ⅰ)若直线,,,AB CD BC AD 的斜率均存在,分别记为1234,,,k k k k ,求证:12341111k k k k +=+; (Ⅱ)若直线,AB AD 的斜率互为相反数,且弦AC x ⊥轴,求证:直线BD 与抛物线在点C 处的切线平行.20(本小题满分13分)已知函数()xx af x e +=. (Ⅰ)若()f x 在区间(,2)-∞上为单调递增函数,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若00,1a x =<,设直线()y g x =为函数()f x 的图象在0x x =处的切线,求证:()()f x g x ≤.21(本小题满分13分)已知数列{}n a满足*12,2,)n a a a n n N =>≥∈.(Ⅰ)求证:对任意*,2n n N a ∈>;(Ⅱ)判断数列{}n a 的单调性,并说明你的理由;(Ⅲ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求证:当3a =时,423n S n <+.2015年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符2.D 【解析】显然0>m 且4≠m .当40<<m 时，椭圆长轴在x 轴上，则2=，解得2m =；当4>m 时，椭圆长轴在y 1124214m -=，解得8m =，选D . 3.B 【解析】因为ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)10.80.2P P ξξ<=>=-=，(06)0.6P ξ⇒<<=，所以(03)0.3P ξ<<=.选B .4.B 【解析】设公比为q ，由已知2222=-a q a ， 53421210a a a +=得0652=+-q q 解得2=q 或3=q ，但2=q 不符合.选B .5.C 【解析】A 、B 两点的极坐标分别为2(3,)3π (3,)3π，化为直角坐标为33(,)22- 、33)22，故3AB ，选C .6.D 【解析】设AB a =，AD b =，PF a λ=，PE b μ=（λ，R μ∈），根据题意可知21a =，21b =，0a b ⋅=，0λ>，0μ<，且1μλ-+=. 所以 EF a b λμ=-，(1)AP AE PE a b λμ=-=--，(1)(1)PD AD AP a b λμ=-=-++，故()(1)(1)(1)(1)()(1)0PD EF a b a b λμλμλλμμλμλμ⎡⎤⋅=-++-=--+=+--=⎣⎦.选D .（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.）7. A 【解析】该几何体的直观图如图所示.622221312221131222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V .选A .8.B 【解析】2000 1.13000 1.1 1.5m m ⨯>⇒>. 因为41.1 1.46 1.5≈<，51.1 1.61 1.5≈>，所以m 的最小正整数值为5.选B .9.C 【解析】因为111m n +=，所以1144(4)5m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭. 又0m >，0n <，所以 4 4m n n m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭≥，故 45 541m n n m++-=≤. 当且仅当1,12m n ==-时取等号. 选C .10.B 【解析】22272(21)470(2)(2)x ax a x a a x x ++-+-=⇒=≠-+. 因为N*a ∈， 所以2271(2)x x ++≥，解得31(2)x x -≠-≤≤.由0x Z ∈知03x =-，1-，0，1.当03x =-时，1a =；当01x =-时，5a =；当00x =时，74a =*∉N ；当01x =时，1a =.故，符合条件的a 的值有2个.选B .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11.12，【解析】r rr r r r r r xa C x a x C T 2336661)1()()(--+-=-=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-415)1(02336r r r a C r ，得2r =，12a =. 12. 14u ≤≤，【解析】由题意，可行域如图所示， 则11x -≤≤ ，01y ≤≤ ，所以1221u x y x y =++=++，故. 13.(,2][2,)-∞-+∞，【解析】函数21y x ax =++的值域为202[0)4a a +∞⇔∆=-⇔≥≥，；对任意的R x ∈，不等式1x x a -+≤恒成立1a ⇔≤，所以若命题()p q ∧⌝为真命题，则2a ≥；a 的范围为(,2][2,)-∞-+∞. 14.232-，【解析】由图可知，1A =，1sin 2ϕ=-， 由2πϕ<得6πϕ=-，又sin()066ππω-=，得61,k k Z ω=+∈，由图知1264ππω<⨯，3ω< ，由0ω>，得1ω= 所以()sin()6f x x π=-，阴影部分面积60()d S f x x π==⎰60sin()d 6x x ππ-=⎰6023cos()6x ππ--=. 15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点(11)P ，在新坐标系中的坐标应为(20)P ，，错误；（3）4πθ-=时，函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是2''22=-x y ，错误；（4）直角坐标系Oxy 中的直线2=x ，在坐标系Ox y ''中倾斜角为3π，且经过点)0,334(，故转轴后的直线方程是 04''3=--y x ，正确；（5）证明如下：设POx ϕ'∠=，OP r =， 则cos()cos cos sin sin cos sin x r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=-=-， sin()sin cos cos sin sin cos y r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=+=+，正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）在△ABD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，根据余弦定理可得22124224232BD =+-⨯⨯⨯=. ………2分 在△BCD 中，因为120BCD ∠=°，所以当BC CD =时，30CBD CDB ∠=∠=︒，根据正弦定理可得sin 302sin120BD BC ⋅︒==︒，2CD =. ∴ BCD ∆的面积113sin 223222S BC CD BCD =⨯⨯∠=⨯⨯⨯=. ……… 5分 14u ≤≤（Ⅱ）在△BCD 中，由4sin sin(60)sin120DC BC BDθθ===︒-︒，得4sin DC θ=，4sin(60)BC θ=︒-， ……… 7分所以()f AB AD BC CD θ=+++)60sin(4sin 46θθ-++=6sin 2cos 32sin 4+-+=θθθ62sin 2364sin(60)θθθ=++=++︒ …9分 因为060θ︒<<︒，所以当且仅当30θ=︒时，sin(60)θ+︒有最大值1.从而()f θ的最大值为10. ……… 12分17．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）2212)21(a C =， 22=a ………4分 （Ⅱ）X 可取0、1、2、3、42202202)1(41)1()21()0(a a C C X p -=-⋅==12020212222111(1)()(1)()(1)(1)222p X C C a C C a a a ==⋅-+⋅-=-22220212212202222)21()1()21()1()21(C 2)(a C C a a C C a C X P ⋅+-⋅+-===)221(412a a -+ 2)21()1()21()3(22221212222a a C C a a C C X P =+-⋅==4)21()4(2222222a a C C X P =⋅== ………7分∴X x0 1 2 3 4 P2)1(41a - )1(21a - )221(412a a -+ 2a42a ⨯+-⨯=2)1(211a EX )221(412a a -+3+⨯2a +4⨯42a 12a =+∴a EX 21+=. ………12分18.（本小题满分12分）【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面11ABB A 为菱形，所以1AB AA =，又1DAB DAA ∠=∠，所以 ()11A B AD A A AB AD ⋅=+⋅1A A AD AB AD =⋅+⋅11cos()cos A A AD DAA AB AD DAB π=⋅-∠+⋅∠11cos cos 0AB AD DAA AB AD DAA =-⋅∠+⋅∠=，从而1A B AD ⊥. ………5分（Ⅱ）设线段1A B 的中点为O ，连接DO 、1AB ，由题意知DO ⊥平面11ABB A .因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图1所示.图3设22AD AB BC a ===，由160A AB ∠=︒可知OB a =，13OA OB a ==，所以22OD AD OA a =-=，从而(030)A a ，，，(00)B a ，，，1(030)B a ，，，(00)D a ，，. 所以 11(30)CC BB a a ==-，，.由12BC AD =可得31()22C a a a ，，，所以31()22DC a a a =-，，. ………7分 设平面11DCC D 的一个法向量为000()m x y z =，，，由10m CC ⋅=，0m DC ⋅=，得 0000030310.2ax ay ax az ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， 取01y =，则03x =，033z =，所以(3133)m =，，. ………9分 又平面11ABB A 的法向量为(00)OD a =，，，所以333cos ==933131OD m a OD m a ODm⋅〈〉=，故平面11DCC D 与平面11ABB A 39331………12分 解二：（Ⅰ）连接1AB 、1A D 、BD ，设1AB 交1A B 于点O ， 连OD ，如图2所示.由1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠可得△1AA D ≌△ABD ， 所以1A D BD =.由于O 是线段1A B 的中点，所以1DO A B ⊥， 又根据菱形的性质1AO A B ⊥，所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥. ………5分（Ⅱ）因为//AD BC ，2AD BC =，所以延长AB 、DC 交于点E ， 延长11A B 、11D C 交于点F ，且BE AB =，111B F A B =.连接EF ， 则1//EF BB .过点O 作1BB 的垂线交1BB 于点G ，交EF 于点H ， 连接DH ，如图3所示.因为1//EF BB ，所以OH EF ⊥. 由题意知DO ⊥平面11ABB A ，所以由三垂线定理得DH EF ⊥，故DHO ∠是平面11DCC D 与平面11ABB A 所成二面角的平面角. ………8分 易知3OG =，3GH a =，所以33OH =.在Rt △DOH 中， 222233312DH OH OD a a ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以333932cos 31OH DOH DH a ∠==故平面11DCC D 与平面11ABB A39331………12分 19．（本题满分13分）【解析】 (Ⅰ) 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33C(,)x y ，44D(,)x y∴ 12112y y k x x -=- 2112y px =，2222y px =∴ 1122p k y y =+第19题图图2同理：2342p k y y =+，故123412+112y y y y k k p +++= ………4分同理：=+4311k k p y y y y 24321+++，从而得证. ………6分 (Ⅱ) 证明：由AC x ⊥轴，有13x x =，13y y =-，设以C 为切点的切线斜率为k ，则其方程为11()y y k x x +=-，代入 px y 22=，得0)()(221111222=++++-y kx x p ky x k x k∴222211114(p)4()0k x ky k kx y ∆=++-+= 得21102pk x ky ++=，而2112y px =∴1pk y =-； ………9分由若直线AB 、AD 的斜率互为相反数，则有122p y y ++1420py y =+ ∴12420y y y ++=，BD k =2411222p p py y y y ==-+-，∴BD k k = 而点C 不在BD 上，所以，直线BD 平行于点C 处的切线. ………13分20．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）由已知，xea x x f )1()('---=，由已知0)('≥x f 对)2,(-∞∈x 恒成立， 故，a x -≤1对)2,(-∞∈x 恒成立，得21≥-a ，∴1-≤a 为所求. ………4分（Ⅱ）证明：0=a ，则x exx f =)(函数)(x f 在0x x =处的切线方程为000()'()()()y g x f x x x f x ==-+当0x x =时，()()f x g x =; 当0x x ≠时，要证()()f x g x <；即证 ()()f x g x -＜0 ………6分 令000()()()()'()()()h x f x g x f x f x x x f x =-=---0'()'()'()h x f x f x =-000)1()1(1100x x xx x x ee x e x e x e x +---=---= 设xx e x e x x )1()1()(00---=ϕ，R x ∈则x x e x ex )1()('00---=ϕ，∵10<x ，∴0)('<x ϕ∴)(x ϕ在R 上单调递减，而0)(0=x ϕ ………10分 ∴当0x x <时，0)(>x ϕ，当0x x >时，0)(<x ϕ 即当0x x <时，'()0h x >，当0x x >时'()0h x <∴()h x 在区间),(0x -∞上为增函数，在区间),(0+∞x 上为减函数 ∴0x x ≠时，0()()0h x h x <=，即有()()f x g x <综上，()()f x g x ≤ ………13分 21.（本题满分13分）【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明：2n a >（*N n ∈）.① 当1n =时，12a a =>，结论正确；② 假设k n =)1(≥k 时结论成立，即2k a >，则1+=k n时，12k a +=>=，所以1n k =+时，结论正确.故，由①、②及数学归纳法原理，对一切的*N n ∈，都有2n a >成立. ………4分(Ⅱ){}n a 是单调递减的数列.因为22212(2)(1)n n n n n n a a a a a a +-=+-=--+，又2n a >，所以 2210n n a a +-<，1n n a a +⇒<. 这说明{}n a 是单调递减的数列. ………8分（Ⅲ）由1n a +=212n n a a +=+，所以2142n n a a +-=-.根据(Ⅰ)2n a >（*N n ∈），所以11211224n n n a a a ++-=<-+， 所以 ()()()21111112222444n n n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫-<-<-<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，当3a =时，1124n n a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1124n n a +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 当1=n 时，14323S =<+，当2n ≥时， 212311133222444n n n S a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+++++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111114432(1)121121434314n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=++-<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-. ………13分。
安徽省安庆市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
安徽省安庆市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.2．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.3．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．38243【答案】C 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．4．把满足条件（1）x R ∀∈，()()f x f x -=，（2）1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()12f x f x =-的函数称为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ）①2||y x x =+ ②3y x = ③x x y e e -=+ ④cos y x = ⑤sin y x x = A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证. 【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 故选：B. 【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.5．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=r r rB ．()0a b c ⋅-=r r rC ．()0a b c +⋅=r r rD ．()0a b c -⋅=r r r【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a cbc a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r可知，0a c b c ⋅=⋅=r r rr，故()0a b c -⋅=rrr也成立，故选D. 考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 6．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =U （ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞U ．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 7．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()()ln 1f x x =+B ．()1f x x -=C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D ．()()()()2,00,01,02x xx f x x x ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩ 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐个验证即得答案. 【详解】对于A ，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，()f x ∴是偶函数，故选项A 错误； 对于B ，()11x xf x-==，定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，故选项B 错误； 对于C ，当0x >时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x -<∴-=--+-=--=-+=-；当0x <时，()()()()()2220,222x f x x x x x x x f x ->∴-=-+-=-=--+=-；又0x =时，()()000f f -=-=.综上，对x ∈R ，都有()()f x f x -=-，()f x ∴是奇函数.又0x ≥时，()()22211f x x x x =+=+-是开口向上的抛物线，对称轴1x =-，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，()f x Q 是奇函数，()f x ∴在R 上是单调递增函数，故选项C 正确； 对于D ，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但()()111122f f -=>=-，()f x ∴在R 上不是单调函数，故选项D 错误.故选：C . 【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.8．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()xg x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>， 又()()()()x x g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.10．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==5a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.11．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，3c e a ∴==故选C 项. 【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.12．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；L L第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=L ， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析
安徽省安庆市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与br 的夹角为150o ,则b r 的取值范围是（ ）A ．B ．[1,3]C ．D ．[3,2]【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u r u u u r r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u r r r ，因为a b -r r 与b r 的夹角为150o ，即150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得sin 30sin b a θ=︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．2．若31nx x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ）A ．85B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【详解】解：31nx x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.3．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4．已知||a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B 【解析】 【分析】由()a ab ⊥-r r r ，||a =r ||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r rr 化简运算即可【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题 5．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.6．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础． 7．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 【答案】B 【解析】 【分析】分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，2CBD π∠=Q，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=， 2AB AD ==Q ，则222BD AB AD =+=，且2BC =，所以，112AM BD ==，112MN BC ==， ABD ∆Q 是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ，分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，由图形可知，2326OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt OMN ∆中，3cos 2MN OMN OM =∠=，233OM ∴==所以，2221OA OM AM =+=， 所以，球O 的半径为213R =，因此，球O 的表面积为222128443R πππ=⨯=⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．8．函数()()()sin 0,02g x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图所示，已知()5036g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭数()y f x =的图象可由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2f x x =B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin f x x =- D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由图根据三角函数图像的对称性可得522662T πππ=-⨯=，利用周期公式可得ω，再根据图像过(,0,36π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出,A ϕ，再利用三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由图像可知522662T πππ=-⨯=，即T π=， 所以2T πω=，解得2ω=，又sin 2066g A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，由02ϕπ<<， 所以23ϕπ=或53π，又()03g =所以sin 3A ϕ=，()0A >， 所以23ϕπ=，2A =， 即()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =的图象由()y g x =图象向右平移3π个单位长度而得到，所以()22sin 22sin 233y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫==-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题. 9．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 10．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．12．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。