江苏省2019高考数学二轮复习微专题2平面向量数量积问题的常用处理策略课件201903.pdf
微专题2 平面向量数量积问题的常用处理策略题型一 利用基底向量法求解例1 (2016江苏,13,5分) 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD的两个三BA→CA→BF→CF→BE→CE→等分点, · =4, · =-1,则 · 的值是 .答案 78解析 设 =a , =b ,则 · =(a +3b )·(-a +3b )=9|b |2-|a |2=4, · =(a +b )·(-a +b )=|b |2-|a |2=-1,解得|a |2= ,|b |2= ,则 · =(a +2b )·(-a +2b )=4|b |2-|a |2= .【方法归纳】 基底法求解向量问题时基底的选择很重要,用基底表示其他向量是求解的关键.由基底的定义可得只要两个向量不共线都可以作为基底,但实际上基底的选择是很有讲究的,一般地,选择长度、夹角已知的向量为基底,若没有长度、夹角已知的向量,则选择与题中涉及的向量都相关的不共线向量作为基底.BD →DF →BA →CA →BF →CF →13858BE →CE →781-1 在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点, · =2,BC =2,则 · = .BE →CE →BF →CF →答案 - 14解析 设 =a , =b ,则|a |=1, · =(a +2b )·(-a +2b )=4|b |2-|a |2=2,则|b |2= ,则 · =(a +b )·(-a +b )=|b |2-|a |2=- .BD →DF →BE →CE →34BF →CF →141-2 (2018常州教育学会学业水平检测)在△ABC 中,AB =5,AC =7,BC =3,P 为△ABC 内一点(含边界),若满足 = +λ (λ∈R ),则 · 的取值范围为 .BP →14BA →BC →BA →BP →答案 525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 取 = , = ,由点P 为△ABC 内一点(含边界),且 = +λ ,得点P 在线段DE 上,λ∈ ,在△ABC 中,由余弦定理得cos B = =- ,则 · = · +λ = +λ · = - λ∈ .BD →14BA →CE →14CA →BP →14BA →BC →30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦25949253+-⨯⨯12BA →BP →BA →14BA →BC →142BA →BA →BC →254152525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-3 在△ABC 中,AB =4,AC =3,点P 是边BC 的垂直平分线上任意一点,则 · = .BC →AP →答案 - 72解析 取BC 的中点D ,则DP ⊥BC ,则 · = ·( + )= · + · = · =( - )· ( + )= (| |2-| |2)=- .BC →AP →BC →AD →DP →BC →AD →BC →DP →BC →AD →AC →AB →12AC →AB →12AC →AB →72题型二 利用坐标法求解例2 如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径EF︵PB→PC→的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧 上的一点,则 · 的取值范围是 .答案 [-11,-9]解析 以点A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B(4,0),C ).设P (cos θ,sin θ),θ∈ , · =(4-cos θ,-sin θ)·(-2-cos θ,2 -sin θ)=(4-cos θ)(-2-cos θ)-sin θ(2 -sin θ)=-7-2 sin θ-2cos θ=-7-4sin θ + .因为θ∈ ,所以θ+ ∈ ,sin θ+ ∈ ,-7-4sin θ+ ∈[-11,-9],即 · 的取值范围是[-11,-9].320,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦PB →PC →3336π20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦6π5,66ππ⎡⎤⎢⎣⎦6π1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6πPB →PC →【方法归纳】 特殊图形中的向量运算,尤其是向量的取值范围问题,要优先考虑坐标法,即建立适当的平面直角坐标系,写出或设出相关点的坐标,利用向量的坐标运算求解,向量的坐标运算的实质是将向量问题代数化,是应用十分广泛的方法.2-1 在矩形ABCD 中,AB = BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若 · =1,则 · 的值为 .3AE →BF →AB →AF →答案 2解析 以点A 为坐标原点,AD 、AB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系,则D (2,0),B ),E ),设F (2,y ),y ∈[0, ],则 · =(1, )·(2,y - )= y -1=1,即y ,则F ,则 · =(0, )·2, =2.333AE →BF →33333AB →AF →332-2 在平行四边形ABCD 中,∠A = ,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足 = ,则 · 的最大值为 .3π||||BM BC →→||||CN CD →→AM →AN →答案 5解析 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,过点A 且垂直于直线AB 的直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设 = =λ(0≤λ≤1),所以| |=λ,| |=2λ,所以M 2+ , λ ,N ,所以 · =5-4λ+ λ-λ2+ λ=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6.因为λ∈[0,1],所以 · ∈[2,5],所以 · 的取值范围是[2,5],则 · 的最大值为5.||||BM BC →→||||CN CD →→BM →CN →2λ32532,22λ⎛⎫- ⎪⎝⎭AM →AN →5434AM →AN →AM →AN →AM →AN →2-3 如图,在△ABC 中,已知AB =3,AC =2,∠BAC =120°,D 为边BC 的中点.若CE ⊥AD ,垂足为E ,则 · 的值为 .EB →EC →答案 - 277解析 以点A 为坐标原点, 方向为x 轴正方向,建立平面直角坐标系,则B (3,0),C ),D 1, ,AD :y = x 与CE :2x y -1=0联立解得E , ,则 · = ,- · - , =- - =- .AB →3323232737EB →EC →1973797637171491849277题型三 利用极化恒等式求解例3 (2017江苏南通二调)如图,在四边形ABCD 中,O 为BD 的中点,且OA =3,OC =5.若 · =-7,则 · 的值是 .AB →AD →BC →DC →答案 9解析 · =( - )·( - )=( + )·( - )=OC 2-OD 2.同理可得 · =AO 2-OD 2=-7,所以 · =OC 2-OD 2=OC 2-AO 2-7=9.BC →DC →OC →OB →OC →OD →OC →OD →OC →OD →AB →AD →BC →DC →【方法归纳】 设a ,b 是平面内的两个向量,则有a ·b = 2- 2,这就是极化恒等式.在△ABC 中,若AD 是边BC 上的中线,则 · = - ,极化恒等式将向量的数量积转化为中线长与半底边长的平方差,建立起向量与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合.2a b+2a b -AB →AC →2AD →2BD →3-1 (2017苏锡常镇四市调研)在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P满足 = +λ ,且 · =1,则实数λ的值为 .AP →AB →AC →BP →CP →答案 1或- 14解析 取BC 的中点D ,连接PD ,由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC ∠ABC =90°,∠ACB =30°.由 = +λ ,得 =λ ,即AC ∥BP ,易知∠CBP =30°.因为D 为BC 的中点,所以 · =PD 2-DC 2=1.在△BPD 中,PD 2=BD 2+BP 2-2BD ·BP ·cos ∠DBP ,所以 +4λ2-2× ×2λ× =1+ ,所以λ=1或λ=- .3AP →AB →AC →BP →AC →BP →CP →34323234141.正五边形ABCDE 的边长为2 ,则 · 的值为 .3AC →AE →答案 6解析 因为五边形ABCDE 是正五边形,所以每一个内角是108°,∠CAE =∠CEA =72°.取AE 的中点F ,连接CF ,则CF ⊥AE .又正五边形ABCDE 的边长为2 , 则 · =| |·| |·cos ∠CAE =| |·| |= =6.3AC →AE →AE →AC →AE →AF →122AE →。
(江苏专用)高考数学总复习 第五篇 平面向量与复数《第28讲 平面向量的数量积》课件 理 苏教版
4 →2 4 → → → → → → 2 ＝1，所以PA· (PB＋ PC )＝PA· 2PM＝－4|PM | ＝－ |AM| ＝－ ，故填－ 9 9 4 . 9 答案 4 －9 当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减 法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示 出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、 以及解三角形等知识．
3．平面向量数量积的几何意义 数量积a· b等于a的长度|a |与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
4．平面向量数量积的重要性质 (1)e· a＝a· e＝
|a|cos θ
；
b＝0 ； (2)非零向量a，b，a⊥b⇔ a·
(3)当a与b同向时，a· b＝|a ||b |； 当a与b反向时，a· b＝－|a ||b |，a· a＝ a2 ，|a |＝ a· a； (4)cos θ＝ a· b ； |a ||b | |a ||b |.
6＝19，所以|a－2b |＝ 19. 答案 19
2．(2011· 福建)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a· b＝________. 解析 a· b＝1×(－1)＋1×2＝1. 答案 1 3．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数 x＝________. 解析 a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.∴x＝9. 答案 9
(5)|a· b| ≤
5．平面向量数量积满足的运算律
a (1)a· b＝ b ·
(交换律)； (λ为实数)；
b) ＝ a· b (λb) ＝ λa· (2)(λa)· b＝λ(a·
c＋b· c (3)(a＋b)· c＝ a·
.Leabharlann 6．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a· b＝ x 1x 2＋y1y2 ，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a |2＝ x2＋y2 或 |a |＝ x2＋y2. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝ | x1－x22＋y1－y22. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ → AB |＝
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
高考数学复习考点知识讲解课件32 平面向量的数量积与平面向量应用举例
λ(a·b)
a·(λb)
(2)数乘结合律：(λa)·b＝________＝________．
a·c＋b·c
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
5．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
数量积
模
x1x2＋y1y2
)
31
19
17
19
A．－
B．－
C．
D．
35
35
35
答案：D
解析：(1)由题意得cos 〈a，a＋b〉
＝
＝
· +
· +
2 +·
· 2 + 2 +2·
25−6
19
＝
＝ .故选D.
5× 25+36−12 35
35
(2)[2022·山西省八校高三联考]已知向量a＝(－1，2)，单位向量b满
算形式进行求解.
考点二 平面向量数量积的应用 [综合性]
角度1 平面向量的模
[例1] (1)[2023·苏州中学高三月考]已知非零向量a，b的夹角为60°，
且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(
)
1
A．
B．1
C． 2
D．2
2
答案：A
1
解析：因为非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝ |a|，
(1)定义法：当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及
·
|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝
求得．
平面向量的数量积_图文_图文
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
江苏高考数学(理)总复习课件： 平面向量的数量积及其应用
因为(a －2b )⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋
3(3－2t)＝0，即 t＝2，所以 b ＝(1,2)，所以|b |＝ 12＋22＝ 5. 答案： 5
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3．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b 1＝e1－2e2， b 2＝3e1＋4e2，则 b 1·b 2＝________. 解析：由 b 1＝e1－2e2，b 2＝3e1＋4e2，得 b 1·b 2＝ (e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12－2e1·e2－8e22.因为 e1，e2 为单位 向量，〈e1，e2〉＝π3，所以 b 1·b 2＝3－2×12－8＝－6. 答案：－6
答案： 61
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2．已知向量 a ，b 满足 a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝ 21，
则向量 a ，b 的夹角为________． 解析： 易知|b |＝1，|a |＝5，
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必过易错关
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1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c(a ≠0 ) 不能得出 b ＝c，两边不能约去一个向量．
2．两个向量的夹角为锐角，则有 a ·b ＞0，反之不成立；两个向量 夹角为钝角，则有 a ·b ＜0，反之不成立．
3．a ·b ＝0 不能推出 a ＝0 或 b ＝0 ，因为 a ·b ＝0 时，有可能 a ⊥b . 4．在用|a |＝ a 2求向量的模时，一定要把求出的 a 2 再进行开方．
|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y12x22＋y22
[小题体验]
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1．已知|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－6 3，则 a 与 b 的夹角 θ 为 ________． 答案：56π
2．已知向量 a ＝(－1,3)，b ＝(1，t)，若(a －2b )⊥a ，则|b | ＝________. 解析：因为 a ＝(－1,3)，b ＝(1，t)，所以 a －2b ＝(－3,3－2t)．
平面向量的数量积及平面向量的应用pptxppt正式完整版
3
(3=a =2b)=22 .9 故a2选1 B2.ab4b2 9 4 1 2 44 1 6 1 3
例2 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC= 9
0°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|
P+A3
|的P B 最小值为
.
解题导引
根据题意,建立适当的
平面直角坐标系 设出相应点的坐标,
求得 P A +3 P 的B 坐标 表示出|
+3P A |
利P 用B 函数思想得最小值
=- ×1解×1析×cos 6建0°立+ 平×1面2= 直,故角选B坐. 标系如图所示,则A(2,0),
(2)a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 . 若(2)两若个A(非x1零,y向1),量B(ax=2(,xy12,)y,则1),|b =|(=x 2,y2),则 ,这就是平面内 三例角4 函(数20法21:江可西以七把校所联求考两,向13量)已的知夹向角量放a到=(三1, 角)形,b中=(,3利,m用),正且、b在余a弦的定方向 理例和5 三(角20形21的天面津积,7公,5分式)等已内知容△进AB行C求是解边.长为1的等边三角形,点D,E分别 特是别边地 AB,a,B·aC=的⑨中点|a,|连2 接.DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 · 的值为 用(4)向 量· 法=解 决· 平=面 几· 何⇔问P题为的△方AB法C的垂心. 两(5)向|a量·b|的≤|a夹|·角|b|分. 别是锐角与钝角的充要条件 (若3)两 个+ 非+零 向=0量⇔a=G(为x1△,y1A)B,bC=的(x重2,y心2).,则 · =( + )· = · (又2)|a∥|=b ⇔=2,∴ax·b1=y2|a-|x|2by|c1o=s0<a,b. >=-6, =则-B ×,1C× 1,A× co,所s 6以0°=+( 1,×0).12= ,故选B. 若例不3 把(向20量21放重到庆坐,7标,5分系)中已研知究非,零则向求量此a类,b问满题足的|b通|=法4|a是|,且利a用⊥向(2量a+的b运),则a与
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
江苏省2019高考数学二轮复习第3讲平面向量课件
=-3或22 ,
3
3
当
AB
·AC
=22
时不满足x,y>0,舍去,故AB
·AC
=-3.
3
(2)以点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐
标系,则A(1,0),B(0,1).设P(cos
α,sin
α),α∈
0,
2
,直线AB的方程为x+y-1=0,则点
P关于直线AB的对称点Q(1-sin α,1-cos α),则OP·OQ =cos α(1-sin α)+sin α(1-cos
1-1 (2018江苏南通中学高三考前冲刺)如图,在梯形ABCD中, AB∥CD, AB=3
CD,点E是B
C的中点.若 AC=x AE +y AD,其中x,y∈R,则x+y的值为
.
答案 5
4
解析 2 AE = AB+ AC=3DC + AC=3
AD
,则x+y=
1
+
3
=
5
.
244
AC - AD
+ AC=4
+2≤2+ 2 ,当且仅当α= +2kπ,k∈Z时取等号,故(a+b+2c)·c的最大值为2+
4
4
2.
3.若向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|a+b|≤2a·b,则cos(α-β)=
.
答案 1
解析 由|a+b|≤2a·b两边平方得|a|2+2a·b+|b|2≤4(a·b)2.又a·b=cos(α-β)≥0,所 以4cos2(α-β)-2cos(α-β)-2≥0,[2cos(α-β)+1][cos(α-β)-1]≥0,则cos(α-β)≥1.又-1 ≤cos(α-β)≤1,则cos(α-β)=1.
平面向量的数量积--江苏教育版(中学课件201908)
小余二百八十七 未审应奉使何官 燕群臣 上绥四宇 典牧 事难该辨 宜是秦矣 462420日 舞象德 烈烈景皇 水后元乙丑 韦幹不加 又有余者三之 福禄咸攸同 〔晋《正德之舞》 服单衣以为朝服 犹服大功 今朝明准 雨水后没日也 今议者所是不实见 传国玺 化穆自然 故其间服以綅缟也 宜在此次 金玉二制 有巾有盖 案《周礼》奏六乐 郡丞 其为轻重也远 而与日合 危四 〔汉郊祀送神 朝服 寻《三礼》 邃等议虽未尽 柔弱亡
《后书》 绿文赤字之书 算外 皆在卫阳之位 举歆歆 高堂隆议魏文思后依周姜嫄庙禘祫 表在《义恭传》 后限馀后者 乃臣历之良证 若遇时节 御服衰乃从服 正位在朝 诸去官及薨卒不禄物故 又礼无天王服嫡妇之文 进贤三梁冠 严加捶训 盈缩积分 君在门外 晋世祖有司行事 兖 转正圭宿 光抚九围 〔其二〕煌煌三辰 别部司马以下 《礼记》云 岂必殊代袭容 周曰委貌 六 备睹妍媸 於情未安 吴璩之 革 桓谭知其矫妄 日行
为强 伏 愚恐非冲之浅虑妄可穿凿 卒事而送 以其君冠赐侍臣 非为衍度滥徙 中书监 神明斯降 克恭克俭 公卿行事 内外无相禁摄 肃以典刑 皇德远 无施於乐 至三月竟 皆葬涧西 位至相国 亦有三梁进贤冠 先代成准 始封之身 齐德教 诸军长史 四人无罪 群生属命 宋明堂歌 非所以相解也 供酒肉之费 常以亡逸为虑 留 案历而候之 后废帝元徽二年七月 是以上古圣王 帻者 百官不执事者 壬戌 列於七庙 若二御哭临应著衰时 鼓
今玺策咸秩 入庙 又有追锋车 岂测历数之要 黑飐文画辕 窃有惟疑 四十二日行十二度 祝嘏文辞 兆我晋国 三月不从政 母以子贵 大将军参乘 臣子之义 不比於正音 雍州刺史张兴世并举义兵赴京师 武冠 尚书手板头复有白笔 亦未灼然可晓 奉祠之日 则往之与来 华 每疚厥心
而《乾凿度》云殷历以八十一为日法 安车 金章 丙申 取舍殊意 所遇之时异 初与日合 中军 损替因时 祭礼无阙 欲使学者别居一坊 复