2020年衡水中学高中三年级一调数学试卷(文科)
河北省衡水中学2020届高三下学期一调考试数学文科试题含答案解析
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2019—2020学年度第二学期一调考试
高三年级数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）
1.已知复数3a i z a i
+=+-（其中a R ∈，i 为虚数单位），若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知全集{}
2,340,{|22}U R A x x x B x x ==--=-≤≤ ，则如图所示的
阴影部分所表示的集合为（ ）
A. 4{|}2x x -≤<
B. {|2x x ≤或4}x ≥
C. {|21}x x -≤≤-
D. {|12}x x -≤≤ 3.已知 a b c R ∈、、
，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图象恒在x 轴上方”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》
：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）。
2020届河北省衡水中学高三一模数学(文)试题(解析版)
q： ，则（）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【答案】A
【解析】对命题p： 成等比数列，则公比 且 ；
对命题 ，①当 时， 成立；
②当 时，根据柯西不等式，等式 成立，
同理 ，切面 为菱形，
连 ，则 ，
过点 做 于 ，则 ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
所以切面 面积为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查实际应用问题，考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积，利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.
12．设函数 ，若曲线 上存在点 ， 使得 成立，则实数 的取值范围为（）
【答案】
【解析】由题意，根据圆的对称性，可得当 时， 取最小值．
【详解】
在平面直角坐标系 中，以 为圆心的圆与 轴和 轴分别相切于 ， 两点，
点 ， 分别在线段 ， 上， 与圆 相切，
根据圆的对称性，当 时， 取最小值，
如图， ， ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查线段长的最小值的求法，考查直线、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
试题解析：（1）由 ，得 ，
当 时， ，即 ，
所以 ， ，
依题意， ，
解得 .
（2）有（2）知 ，
所以 ，又因为 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试(文数)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合}2|),{(xy y x M ==，}|),{(2x y y x N ==，则B A I 中元素的个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 2．复数iiz +=12的虚部为( )A ．－iB ．iC ．1D ．－1 3．下面四个推理中，属于演绎推理的是( )A ．观察下列各式：4972=，34373=，240174=，…，则72015的最后两位数字为43 B ．观察x x 2)'(2=，344)'(x x =，x x sin )'(cos =，可得偶函数的导函数为奇函数C ．在平面上，若两个等边三角形的边长之比为1：2，则它们的面积之比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它们的体积之比为1：8 D ．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应4．如图，观察某一指标的统计图后，有如下判断，则其中不正确的判断是 ( ) A ．三地中五月指标最小的为上海 B ．一月至六月指标波动最大的为上海 C ．三地中指标最稳定的为北京 D ．一月至六月指标平均值最小的为广州5．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 4πx y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈67,0πx 的图象与直线m y =的三个交点的横坐标分别为)(,,321321x x x x x x <<，则=++3212x x x( )A ．43πB ．34π C ．35πD ．23π 6．设三个向量c b a ,,互不共线，则“0=++c b a ’’是“以|||,||,|c b a 为边长的三角形存在”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间，紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等，其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图为一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，则该壶的容量约为 ( ) A ．100 cm 3 B ．200 cm 3 C ． 300 cm 3 D ．400 cm 3 8．已知函数k x x f ++=1)(，若存在区间],[b a ，使得函数)(x f 在区间],[b a 上的值域为]1,1[++b a ，则实数k 的取值范围为( )A ．),1(+∞-B ．]0,1(-C ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 D ．⎥⎦⎤⎝⎛-0,41 9．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=20tan ln )(πααx x f 的导函数为)('x f ，若方程)()('x f x f =的根x 0小于1，则实数α的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,6ππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,0π 10．已知抛物线的方程为)0(22>=P py x ，过点)1,0(-A 作直线与抛物线交于P ，Q 两点，点B 的坐标为)1,0(，连接BP ，BQ ，设BQ ，BP 与x 轴分别相交于M ，N 两点．若直线BQ 的斜率与BP 的斜率的乘积为－3，则=∠MBN ( )A ．2πB ．4πC ．32πD ．3π11．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上的两点，且3π=∠AOB ．若C 是圆O 上的任意一点，则BC OA ⋅的最大值为 ( )A ．23-B ．41 C ．21 D ．1 12．若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记)(M f N α=．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，记平面AB 1C 1D 为β，平面ABCD 为γ，P 是棱CC 1上一动点（与C ，C 1不重合），)]([1P f f Q βγ=，)]([2P f f Q γβ=，给出下列三个结论：①线段PQ 2长度的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21； ②存在点P 使得β平面//1PQ ；③存在点P 使得21PQ PQ ⊥．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．直角坐标平面内能完全覆盖区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-002,0y y x y x ，的最小圆的面积为_________．14．已知函数⎩⎨⎧>≤+=,0,2,0,1)(x x x x f x 则满足121)(>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x f x f 的x 的取值范围是_______．15．已知数列}{n a 中，221n a n =，则数列})1{(n na -的前50项和为___________．16．若存在)1,0(0∈x ，使得003)3(0x e x ax+≥-，则实数a 的取值范围为___________．三、解答题（共70分。
河北省衡水中学2020届高三押题卷(I卷)文数学试题(含解析答案)
2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 10089. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D. 学%科%网...11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. （1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；学%科%网...（2）证明：当且时，总有.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.2019-2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学（Ⅰ）解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，则，故选D.2. 已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（）A. 它们的焦距相等B. 它们的焦点在同一个圆上C. 它们的渐近线方程相同D. 它们的离心率相等【答案】D【解析】由两双曲线的方程可得的半焦距相等，它们的渐近线方程相同，的焦点均在以原点为圆心，为半径的圆上，离心率不相等，故选D.5. 某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率，故选A.6. 若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】，当时，时，则，所以，故选D.学+科+网...7. 在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由韦达定理知，则，则等比数列中，则．在常数列或中，不是所给方程的两根．则在等比数列中，“，是方程的两根”是“”的充分不必要条件．故本题答案选．8. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008【答案】B【解析】由程序框图则，由规律知输出．故本题答案选．【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同.9. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为，高为．三棱锥的底面是两直角边分别为的直角三角形，高为．则几何体的体积．故本题答案选．10. 已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知，又，即，所以．则，图象过点，则，即，所以，又，则．故，令，得，令，可得其中一个对称中心为．故本题答案选．11. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得圆的半径，又，则，再根据题图知，即．故本题答案选．12. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B学+科+网...【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，易求得，则 .在中，由勾股定理，，解得，由，知，所以，当过点的截距与垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为；当过点的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为，故选B.【方法点睛】本题主要考查正三棱锥的性质及空间想象能力、圆的性质、勾股定理的应用.属于难题. 化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解,在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，，若向量与共线，则__________．【答案】【解析】 ,由向量与共线，得，解得，则，故答案为.14. 已知实数，满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．【答案】1【解析】不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，，故当取最大值时，取最大值. 由图可知，当时，取最大值，此时取最大值，故答案为. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移（旋转）变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在中，角，，的对边分别为，，，是与的等差中项且，的面积为，则的值为__________．【答案】16. 已知抛物线：的焦点是，直线：交抛物线于，两点，分别从，两点向直线：作垂线，垂足是，，则四边形的周长为__________．【答案】【解析】由题知，，准线的方程是 . 设，由，消去，得 . 因为直线经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是，所以，所以四边形的周长是，故答案为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）知，裂项相消法求和，放缩法即可证明.试题解析：（1），故的最小值为.又，所以，即.所以当时，；当时，也适合上式，学+科+网...所以数列的通项公式为.（2）证明：由（1）知，所以，所以.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心. （1）求证：平面平面；（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）延长交于点，先证明，再证明平面，即平面；（2）由（1）知平面，所以就是点到平面的距离，再证明，从而利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面，，所以平面，即平面.又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，所以就是点到平面的距离.由已知可得，，所以为正三角形，所以.又点为的重心，所以.故点到平面的距离为.所以.学+科+网...19. 2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.【答案】（1），平均数是74，中位数是；（2）1200；（3）．【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为可得第4组的频率为，从而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，故.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为（分）.由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.设中位数为分，则有，所以，即所求的中位数为分.（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种. 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，故后两组中至少有1人被抽到的概率为.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及离散型随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20. 已知椭圆：的长轴长为，且椭圆与圆：的公共弦长为.（1）求椭圆的方程.（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于，两点，轴于点，点在椭圆上，且，求证：，，三点共线..【答案】（1）；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于、、的方程组，结合性质，，求出、、，即可得结果；（2）设，，则，. 因为点，都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明，即可得结论.试题解析：（1）由题意得，则.由椭圆与圆：的公共弦长为，其长度等于圆的直径，学+科+网...可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）证明：设，，则，.因为点，都在椭圆上，所以所以，即.又，所以，即，所以所以又，所以，所以，，三点共线.21. 已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）试讨论函数的极值情况；（2）证明：当且时，总有.【答案】（1）在处取得极大值，且极大值为，无极小值；（2）见解析．试题解析：（1）的定义域为，.①当时，，故在内单调递减，无极值；②当时，令，得；令，得.故在处取得极大值，且极大值为，无极小值.（2）证法一：当时，.设函数，则.记，则.当变化时，，的变化情况如下表：学+科+网...由上表可知，而，由，知，所以，所以，即.所以在内为单调递增函数.所以当时，.即当且时，.所以当且时，总有.证法二：当时，.因为且，故只需证.当时，成立；当时，，即证.令，则由，得.在内，；在内，，所以.故当时，成立.综上得原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点. （1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间的转化关系，可得圆的直角坐标方程，将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义可求得弦的长；（2）写出圆的参数方程，利用点到直线的距离公式，可得，可求出的最大值，即求得的面积的最大值．试题分析：（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为. （2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.学+科+网...23. 选修4-5：不等式选讲.已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，. 所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.。
2020年度衡水中学高三一调数学试卷(文科)
试卷类型：B2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间120分钟，试卷总分150分.命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！一、选择题 1．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2．已知四个命题：①如果向量a 与b 共线，则a b =或a b =-； ②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数x y a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．是虚数单位，复数（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ⋂=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．//m α，//n β且//αβ，则//m n5．已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．7+3√5B ．7+2√5C ．112+3√5D ．112+2√5i 5225ii-=+i -i 21202929i --4102121i -+7．已知平面内的两个单位向量，OB ，它们的夹角是60°，OC 与、OB 向量的夹角都为30°，且||23OC =OC OA OB λμ=+，则λμ+值为（ ） A ．B ．C ．2 D ．48．函数f(x)=cosπx x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11{1}(,]22-- C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--10．设函数||||()x x x e f x e +=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，②4M N +=，③211MN e =-，④11M e N e +=-，其中一定成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l 与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ）A ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为7 B ．存在直线1l ， 2l 使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB 不存在最小值12．已知函数y =f(x)的定义域为(0,+∞)，当x >1时，f(x)>0，对任意的x,y ∈(0,+∞)，f(x)+f(y)=f(x ⋅y)成立，若数列{a n }满足a 1=f(1)，且f(a n+1)=f(2a n +1)(n ∈N ∗)，则a 2017的值为（ ） A ．22014−1 B ．22015−1 C ．22016−1 D ．22017−1二、填空题13+_________.14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③xy e =与1y x =+④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x =15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．16．已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)相切于第一象限的点P(x 0,y 0)，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当△AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠F 1PF 2=60°(F 1、F 2是椭圆的两个焦点)，若此时在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2的平分线的长度为√3m a ，则实数m 的值是__________．三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示△ABC 的外接圆半径.（Ⅰ）如图，在以O 圆心、半径为2的⊙O 中，BC 和BA 是⊙O 的弦，其中BC ＝2,∠ABC ＝45°，求弦AB 的长;(Ⅱ)在△ABC 中，若∠C 是钝角，求证：a 2+b 2<4R 2;(Ⅲ)给定三个正实数a 、b 、R ，其中b ≤a ，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类()5110ii x x =-=∑180≈；B 类()5110i i x x =-=∑60≈；C 类()5110i i x x =-=∑63≈；（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .=-，2025r.=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为62ˆˆy .x a =+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．附相关系数()()niix x y y r --=∑，线性回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，()()niix x y y ˆb--=∑ˆˆa y bx =-．19．（本题满分12分） 如图，ΔABC 的外接圆⊙O 的半径为√5，CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，CD =4，BC =2，且BE =1，tan ∠AEB =2√5．（1）求证：平面ADC ⊥平面BCDE ．（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； （3）如果11A H A P λ=，试求λ的取值范围．21．设函数()()e 1e 1x xf x x a =+-+，a ∈R .（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试文数试卷(含解析) (1)
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试文数试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）1．已知复数z=a+i3−i （其中a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为−12，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|﹣2≤x≤﹣1}D．{x|﹣1≤x≤2}3．已知a，b，c∈R，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子口诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此口诀的算法如图，则输出n的结果为（）A．53B．54C．158D．2635．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm 2，900cm 2，高为9cm ，长方体形凹槽的体积为4300cm 3，斗的密度是0.70g /cm 3．那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是V =13(S′+√S′S +S)ℎ．A ．3990gB ．3010gC ．7000gD ．6300g6．在△ABC 中，a 2+b 2+c 2＝2√3ab sin C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．正三角形7．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP 为等腰三角形且其外接圆半径为√5a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．√155B ．√154C ．√153D ．√1528．已知a ＞1，设函数f （x ）＝a x +x ﹣2的零点为m ，g （x ）＝log a x +x ﹣2的零点为n ，则1m+1n的取值范围是（ ） A ．（2，+∞）B ．(72，+∞)C ．（4，+∞）D ．(92，+∞)9．已知函数f （x ）＝x 3+x +1+sin x ，若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1，32]B ．[−32，1]C ．[−1，12]D ．[−12，1]10．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →=3BD →，|AD →|＝1，则AC →•AD →的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，P A =12PB ＝1，Q 是棱BC 上一个动点，若直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大值为√52，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π12．已知关于x 的方程[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0恰有四个不同的实数根，则当函数f （x ）＝x 2e x 时，实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（4e2+e 24，+∞）C ．（8e 2，2）D ．（2，4e 2+e 24）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.）13．f （x ）是定义域为R 的偶函数，对∀x ∈R ，都有f （x +4）＝f （﹣x ），当0≤x ≤2时，f(x)={2x −1，0≤x ＜1，log 2x +1，1≤x ≤2，则f(−92)+f(21)= ．14．若正实数a ，b 满足a +b ＝1，则下列选项中正确的是 ． （1）ab 有最大值14 （2）√a +√b 有最小值√2 （3）1a +1b 有最小值4 （4）a 2+b 2有最小值√2215．在△ABC 中，D 是AB 的中点，∠ACD 与∠CBD 互为余角，AD ＝2，AC ＝3，则sin A 的值为 ． 16．如图，曲线y 2＝x （y ≥0）上的点P 1与x 轴的正半轴上的点Q i 及原点O 构成一系列正三角形，△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…，△Q n ﹣1P n Q n …设正三角形Q n ﹣1P n Q n 的边长为a n ，n ∈N *（记Q 0为O ），Q n （S n ，0）．数列{a n }的通项公式a n ＝ ．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必考题 17．（12分）设{a n }是等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ． （1）设a 1＝40，a 6＝38，求S n 的最大值；（2）设a 1=1，b n =2a n (n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，求d 的取值范围．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都是2，AA 1⊥面ABC ，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点． （1）求证：AE ⊥平面A 1BD ； （2）求三棱锥B 1﹣ABE 的体积．19．（12分）已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关．现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的7组观测数据，其散点图如图所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程y ＝e bx +a 来拟合，令z ＝lny ，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： xyz∑ 7i=1（x i −x ）2∑ 7i=1（x i −z ）2∑ 7i=1（x i −x ）（x i −x ） 27 74 3.537182 11.946.418表中z i ＝lny i ，z =17∑ 7i=1z i ．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26℃～36℃之间（包括26℃与36℃），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．（参考数据：e 3.282≈27，e 3.792≈44，e 5.832≈341，e 6.087≈440，e 6.342≈568．） 附：对于一组数据（ω1，v 1），（ω2，v 2），…，（ωn ，v n ），其回归直线v =α+βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=n i=1i −ω)(v i −v)∑n(ω−ω)2a =v −βω．20．（12分）设椭圆C ：x 28+y 22=1，过点A （2，1）的直线AP ，AQ 分别交C 于相异的两点P ，Q ，直线PQ 恒过点B （4，0）．（℃）证明：直线AP ，AQ 的斜率之和为﹣1；（℃）设直线AP ，AQ 分别与x 轴交于M ，N 两点，点G （3，0），求|GM |•|GN |． 21．（12分）已知函数f （x ）＝（x +a ﹣1）e x ，g （x ）=12x 2+ax ，其中a 为常数．（1）若a ＝2时，求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若对任意x ∈[0，+∞），不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10分）已知曲线C 的参数方程为{x =2cosθ#/DEL/#y =√3sinθ#/DEL/#(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换{x′=12xy′=√3得到曲线C '，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（℃）求曲线C '的极坐标方程；（℃）若过点A(32，π)（极坐标）且倾斜角为π6的直线l 与曲线C '交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP||AM|⋅|AN|的值． [选修4-5；不等式选讲]23．设函数f （x ）＝k |x |﹣|2x ﹣1|．（1）当k ＝1时，求不等式f （x ）＞0的解集；（2）当x ∈（0，+∞）时，f （x ）+b ＞0恒成立，求k +b 的最小值．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上） 1．【详解详析】∵z =a+i 3−i =(a+i)(3+i)(3−i)(3+i)=3a−110+a+310i ，∴由题意可得a+310=12，即a ＝2，∴z =12+12i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（12，12），位于第一象限． 故选：A ．2．【详解详析】阴影部分所表示的集合为B ∩∁U A ，∵A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＜﹣1，或x＞4}，U＝R，∴∁U A＝{x|﹣1≤x≤4}，又∵B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴B∩∁U A＝{x|﹣1≤x≤2}，故选：D．3．【详解详析】若a≠0，欲保证函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＝b2﹣4ac＜0．但是，若a＝0时，如果b＝0，c＞0，则函数f（x）＝ax2+bx+c＝c的图象恒在x轴上方，不能得到△＝b2﹣4ac＜0；反之，“b2﹣4ac＜0”并不能得到“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”，如a＜0时．从而，“b2﹣4ac＜0”是“函数f（x）＝ax2+bx+c的图象恒在x轴上方”的既非充分又非必要条件．故选：D．4．【详解详析】【法一】正整数n被3除余2，得n＝3k+2，k∈N；被5除余3，得n＝5l+3，l∈N；被7除余4，得n＝7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n＝263﹣105﹣105＝53，即输出n值为53．故选：A．5．【详解详析】依题意，V台=13×(400+900+√400×900)×9=5700，又长方体形凹槽的体积为4300，故“斗”的体积为10000cm3，∴其质量为10000×0.7＝7000g．故选：C．6．【详解详析】由余弦定理得a2+b2﹣c2＝2ab cos C，又∵a2+b2+c2=2√3absinC，将上两式相加得a2+b2=ab(cosC+√3sinC)，化为cos(C−π3)=a2+b22ab≥2ab2ab=1，当且仅当a＝b时取等号．∴cos(C −π3)=1，∵C ∈（0，π），∴(C −π3)∈(−π3，2π3)．∴C −π3=0，解得C =π3，又a ＝b ， ∴△ABC 是正三角形． 故选：D ．7．【详解详析】由△ABP 的外接圆的半径为√5a ， 且P A ＝AB ＝2a ，设∠PBA ＝θ， 则2a sinθ=2R ＝2√5a ，即有sinθ=√55，cosθ=2√55， sin2θ＝2sinθcosθ=45，cos2θ＝1﹣2sin 2θ=−35， 则P 的坐标为（2a cos2θ﹣a ，2a sin2θ），即（−11a 5，8a5），代入双曲线方程可得12125−64a 225b 2=1，可得b 2a 2=23，即有e =c a=√1+b 2a 2=√153． 故选：C ．8．【详解详析】函数f （x ）＝a x +x ﹣2的零点是函数y ＝a x 与函数y ＝2﹣x 图象交点A 的横坐标， 函数g （x ）＝log a x +x ﹣2的零点是函数y ＝log a x 与函数y ＝2﹣x 图象交点B 的横坐标， ∵a ＞1；∴m ＞0，n ＞0，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y ＝x 对称， 直线y ＝2﹣x 与直线y ＝x 垂直，故直线y ＝2﹣x 与直线y ＝x 的交点（1，1）即是A ，B 的中点， ∴m +n ＝2，m ＞0，n ＞0，∴1m+1n=12（m +n ）•（1m+1n）=12（2+n m+m n）≥12（2+2√m n⋅nm）＝2，当m ＝n ＝1等号成立，而m ≠n ，故1m +1n ＞2，故所求的取值范围是（2，+∞）． 故选：A ．9．【详解详析】令g （x ）＝f （x ）﹣1＝x 3+x +sin x ，x ∈R ． 则g （﹣x ）＝﹣g （x ），∴g （x ）在R 上为奇函数． g ′（x ）＝3x 2+1+cos x ≥0， ∴函数g （x ）在R 上单调递增．f （a ﹣1）+f （2a 2）≤2，化为：f （a ﹣1）﹣1+f （2a 2）﹣1≤0，即g （a ﹣1）+g （2a 2）≤0，化为：g （2a 2）≤﹣g （a ﹣1）＝g （1﹣a ）， ∴2a 2≤1﹣a ， 即2a 2+a ﹣1≤0， 解得﹣1≤a ≤12．∴实数a 的取值范围是[﹣1，12]． 故选：C ．10．【详解详析】∵AD ⊥AB ，BC →=3BD →，|AD →|＝1， ∴AC →•AD →=(AB →+BC →)⋅AD →=(AB →+3BD →)⋅AD →=AB →⋅AD →+3BD →⋅AD →=3AD →2=3． 故选：C ．11．【详解详析】Q 是线段BC 上一动点，连接PQ ， ∵P A 、PB 、PC 互相垂直，∴∠AQP 就是直线AQ 与平面PBC 所成角，当PQ 短时，即PQ ⊥BC 时直线AQ 与平面PBC 所成角的正切的最大． 此时APPQ =√52，所以PQ =2√55， 在Rt △PBQ 中，BQ =√PB 2−PQ 2=√22−(2√55)2=4√55， 又因为PQ 2＝BQ •BC ，则BC =√5，所以PC =√BC 2−PB 2=1，如图，将三棱锥P ﹣ABC 扩充为长方体，则长方体的对角线长为√12+22+12=√6，∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径为R =√62， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝6π． 故选：A ．12．【详解详析】函数f ′（x ）＝2xe x +x 2e x ＝（x +2）xe x ，由f ′（x ）＞0得（x +2）x ＞0，得x ＞0或x ＜﹣2，此时f （x ）为增函数， 由f ′（x ）＜0得（x +2）x ＜0，得﹣2＜x ＜0，此时f （x ）为减函数， 即当x ＝0时，函数f （x ）取得极小值，极小值为f （0）＝0， 当x ＝﹣2时，函数f （x ）取得极大值，极大值为f （﹣2）=4e 2，当x →0，f （x ）＞0，且f （x ）→0， 作出函数f （x ）的图象如图：设t ＝f （x ），则当0＜t ＜4e 2时 方程t ＝f （x ）有3个根，当t =4e 2时 方程t ＝f （x ）有2个根， 当t ＝0或t ＞4e 2时 方程t ＝f （x ）有1个根， 则方程[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0等价为t 2﹣kt +1＝0， 若[f （x ）]2﹣kf （x ）+1＝0恰有四个不同的实数根， 等价为t 2﹣kt +1＝0有两个不同的根， 当t ＝0，方程不成立，即t ≠0， 其中0＜t 1＜4e2或t 2＞4e2，设h （x ）＝t 2﹣kt +1，则满足{ ℎ(0)=1＞0−−k 2=k 2＞0ℎ(4e2)＜0，得{k ＞0(4e 2)2−k(4e 2)+1＜0， 即{k ＞0k ＞(4e 2)2+14e 2=4e 2+e 24，即k ＞4e 2+e 24，即实数k 的取值范围是（4e 2+e 24，+∞），故选：B ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.） 13．【详解详析】根据题意，f （x ）是定义域为R 的偶函数，对∀x ∈R ，都有f （x +4）＝f （﹣x ）， 则有f （x +4）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为4的周期函数，则有f （−92）＝f （92）＝f （4+12）＝f （12），f （21）＝f （1+4×5）＝f （1）， 又由当0≤x ≤2时，f(x)={2x −1，0≤x ＜1log 2x +1，1≤x ≤2，则f （12）=√2−1，f （1）＝1，则f(−92)+f(21)=f （12）+f （1）＝（√2−1）+1=√2； 故答案为：√2．14．【详解详析】∵正实数a ，b 满足a +b ＝1， 则ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a ＝b 时取等号，此时ab 取得最大值14，（1）正确；∵当a =14，b =34时，√a +√b =1+√32＜√2；（2）错误；1a +1b =a+b ab=1ab ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，（3）正确；由(a+b 2)2≤a 2+b 22可得a 2+b 2≥12即最小值12，（4）错误．故答案为：（1）（3） 15．【详解详析】如图所示：在△ADC 中，设∠ACD ＝θ， 则：∠CBD =π2−θ，利用余弦定理：cosθ=32+CD 2−42⋅3⋅CD=5+CD 26CD．在△ADC 中，利用正弦定理：CDsin(π2−θ)=BDsin(π2−A)，故：CD cosθ=BDcosA ， 所以：CD 5+CD 26CD=2cosA ，解得：cos A =10+2CD 26CD 2，在△ACD 中，利用余弦定理：cosA =22+32−CD 22⋅2⋅3，所以：10+2CD 26CD 2=13−CD 212，整理得：CD 4﹣9CD 2+20＝0 解得：CD =2或√5． ①当CD ＝2时，cos A =10+2⋅226⋅22=34．所以：sin A =√74CD =√5时，cos A =10+2⋅56⋅5=23，所以：sin A =√53． 故答案为：√74或√5316．【详解详析】由条件可得△P 1OQ 1为正三角形，且边长为a 1， ∴P 1(12a 1，√32a 1)，P 1在曲线上，代入y 2＝x （y ≥0）中，得34a 12=12a 1，∵a 1＞0，∴a 1=23，根据题意得点P n+1(S n +12a n+1，√32a n+1)， 代入曲线y 2＝x （y ≥0）并整理，得S n =34a n+12−12a n+1．当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=(34a n+12−12a n+1)−(34a n 2−12a n )，即12(a n+1+a n )=34(a n+1+a n )⋅(a n+1−a n )． ∵a n +1＞a n ＞0，∴a n +1﹣a n =23，当n ＝1时，S 1=34a 22−12a 2，∴a 2=43或a 2=−23（舍）∴a 2﹣a 1=23，故a n +1﹣a n =23∴数列{a n }是首项为23，公差为23的等差数列，∴a n =2n 3．故答案为：2n3．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（一）必考题 17．【详解详析】（1）a 1＝40，a 6＝38，可得d =a 6−a 15=−25，可得S n ＝40n −12n （n ﹣1）•25=−15（n −2012）2+201220，由n 为正整数，可得n ＝100或101时，S n 取得最大值2020； （2）设a 1=1，b n =2a n (n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为T n ， 可得a n ＝1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列， 若d ＝0，可得b n ＝2；d ＞0，可得{b n }为递增数列，无最大值； 当d ＜0时，T n =2(1−2dn )1−2d＜21−2d ，对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，可得20≥21−2d ，且d ＜0， 解得d ≤log 20.9．18．【详解详析】（1）证明：∵AB ＝BC ＝CA ，D 是AC 的中点， ∴BD ⊥AC ，∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，∵AE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， ∴A 1D ⊥AE ，又A 1D ∩BD ＝D ，∴AE ⊥平面A 1BD ．（2）解（割补法）：V B 1−ABE =V ABC−A 1B 1C 1−V B ﹣ACE −V B 1−AEC 1A 1 ＝S △ABC ×AA 1−13×S 正方形ACC 1A 1×BD =12×2×√3×2−13×2×2×√3=2√33．19．【详解详析】（1）由题意，z 和温度x 可以用线性回归方程拟合，设z =b x +a ， 则b =7i=1i −x)(z i −z)∑ 7(x −x)2=46.418182≈0.255，a =z −b x =3.537−0.255×27=−3.348， 故z 关于x 的线性回归方程为z =0.255x −3.348； （2）由（1）可得，lny ＝0.255x ﹣3.348， 于是产卵数y 关于x 的回归方程为y ＝e 0.255x ﹣3.348．当x ＝26时，y ＝e 0.255×26﹣3.348＝e 3.282≈27； 当x ＝36时，y ＝e 0.255×36﹣3.348＝e 5.832≈341．∵函数y ＝e 0.255x﹣3.348为增函数，∴气温在26℃～36℃之间时，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围是[27，341]的正整数． 20．【详解详析】（℃）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 直线PQ 、AP 、AQ 的斜率分别为k ，k 1，k 2， 由{y =k(x −4)x 2+4y 2=8得（1+4k 2）x 2﹣32k 2x +64k 2﹣8＝0， △＞0，可得：k 2＜14，x 1+x 2=32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−81+4k 2，k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=k(x 1−4)−1x 1−2+k(x 2−4)−1x 2−2=2kx 1x 2−(6k+1)(x 1+x 2)+16k+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=2k⋅64k 2−81+4k 2−(6k+1)⋅32k 21+4k 2+16k+464k 2−81+4k 2−2⋅32k 21+4k 2+4=−16k 2+416k 2−4=−1；（℃）设M （x 3，0），N （x 4，0），由y ﹣1＝k 1（x ﹣2），令y ＝0，得x 3＝2−1k 1，即M （2−1k 1，0），同理x 4=2−1k 2，即N （2−1k 2，0），设x 轴上定点G （3，0），则|GM|⋅|GN|=|3−(2−1k 1)|⋅|3−(2−1k 2)|=|1+1k 1+1k 2+1k1k 2|=|1+k 1+k 2k 1k 2+1k 1k 2|═|1+−1k 1k 2+1k 1k 2|=1．21．【详解详析】（1）a ＝2时，f （x ）＝（x +1）e x ， ∴f ′（x ）＝（x +2）e x ，∴f ′（0）＝2，又因为切点（0，1）， 所以切线为2x ﹣y +1＝0； （2）令h （x ）＝f （x ）﹣g （x ），由题得h （x ）min ≥0在x ∈[0，+∞）恒成立，h （x ）＝（x +a ﹣1）e x −12x 2﹣ax ，所以h ′（x ）＝（x +a ）（e x ﹣1）， ①若a ≥0，则x ∈[0，+∞）时h ′（x ）≥0， 所以函数h （x ）在[0，+∞）上递增，所以h （x ）min ＝h （0）＝a ﹣1，则a ﹣1≥0，得a ≥1， ②若a ＜0，则当x ∈[0，﹣a ]时，h ′（x ）≤0， 当x ∈[﹣a ，+∞）时，h ′（x ）≥0，所以函数h （x ）在[0，﹣a ]上递减，在[﹣a ，+∞）上递增，所以h （x ）min ＝h （﹣a ），又因为h （﹣a ）＜h （0）＝a ﹣1＜0，所以不合题意． 综合得：a ≥1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．【详解详析】（℃）C ：{x =2cosθy =√3sinθ⇒C ：x 24+y 23=1，（2分）将{x′=12x y′=√3⇒{x =2x′y =√3y′，代入C 的普通方程可得x '2+y '2＝1，（4分） 即C '：x 2+y 2＝1，所以曲线C '的极坐标方程为 C '：ρ＝1 （℃）点A(32，π)直角坐标是A(−32，0)，将l 的参数方程{x =−32+tcosπ6y =tsin π6，代入x 2+y 2＝1，可得4t 2−6√3t +5=0，（8分） ∴t 1+t 2=3√32，t 1•t 2=54， 所以|AP||AM|⋅|AN|=|t 1+t 22||t 1t 2|=3√35． （10分）[选修4-5；不等式选讲]23．【解答】解 （1）当k ＝1时，不等式化为|x |﹣|2x ﹣1|＞0，即{x ≤0−x +2x −1＞0，或{0＜x ＜12x +2x −1＞0，或{x ≥12x −2x +1＞0；……………（3分）解得x ∈∅，或13＜x ＜12，或12≤x ＜1；综上，原不等式的解集为（13，1）；……………（2）x ∈（0，+∞）时，不等式f （x ）+b ＞0恒成立， 可化为k |x |+b ＞|2x ﹣1恒成立；画出y ＝|2x ﹣1|与y ＝k |x |+b 的图象，如图所示；由图象知当k ≥2，且b ≥1时，y ＝k |x |+b 的图象始终在y ＝|2x ﹣1|的上方，……………（8分） ∴k +b ≥3，即k +b 的最小值为3（这时k ＝2，b ＝1）．……………（10分）。
2020年衡水中学高三一调数学试卷
所在的
（1）求证：平面 ADC 平面 BCDE． （2）试问线段 DE 上是否存在点 M，使得直线 AM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 若存在，确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系
xOy 中，已知椭圆
C： x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)的左、右
顶点分别为 A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右准线方程为 x＝4．过点 A1 的直线交椭圆 C 于 x 轴上方的点 P，交椭圆 C 的右准线于点 D．直线 A2D 与椭圆 C 的另一交点为 G， 直线 OG 与直线 A1D 交于点 H．
C． m ， n m 且 ，则 n D． m / / ， n / / 且 / / ，则 m/ /n
5．已知 f x 2018x2017 2017x2016 2x 1，下列程序框图设计的是求 f x0
的值，在“?”中应填的执行语句是（ ）
A． n 2018 i B． n 2017 i C． n 2018 i D． n 2017 i
② x 3 是 x 3 的必要不充分条件；
③ 命 题 p ： x0 0, 2 ， x02 2x0 3 0 的 否 定 p ： x 0, 2 ，
x2 2x 3 0；
④“指数函数
y
a
x
是增函数，而
y
1 2
x
是指数函数，所以y源自1 2x是增函数”
此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.
（3） y cossin x xR 的值域是cos1,1 .
（4）若, 都是第一象限角，且 sin sin ，则 tan tan .
其中正确命题的题号为（ ）
A．（1）（2）
B．（2）（3）
2020河北省衡水市衡水一中高三文数一模考试试卷(带解析)
2020河北省衡水市衡水一中高三文数一模考试试卷（带解析）一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. 1B. -1C. iD. -i3.在平面直角坐标系中，已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，则它的渐近线的方程为（）A. B. C. D.4.设，，，则（）A. B. C. D.5.的外接圆的圆心为，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A. B. C. D.6.等比数列中，，函数，则（）A. B. C. D.7.已知函数与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（）A. B. C. D.8.规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的，则输出的为（）A. 2B. 3C. 4D. 59.如图所示，长方体中，AB=AD=1,AA 1= 面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（）A. B. C. D.10.已知三棱锥外接球的表面积为32 ，，三棱锥的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）A. 4B.C. 8D.11.在中，三个内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则等于（）A. B. C. D.12.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A. B. C. D.二、填空题13.已知实数满足，则目标函数的最大值为________．14.我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，则两个班共抽取男生人数是________．15.已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆也相切，则________．16.已知数列的通项公式为，前项和为，则________．三、解答题17.已知函数（）在同一半周期内的图象过点，，，其中为坐标原点，为函数图象的最高点，为函数的图象与轴的正半轴的交点，为等腰直角三角形.（1）求的值；（2）将绕原点按逆时针方向旋转角，得到，若点恰好落在曲线（）上（如图所示），试判断点是否也落在曲线（）上，并说明理由. 18.如图，底面为等腰梯形的四棱锥中，平面，为的中点，，，.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：求一辆普通6座以下私家车（车险已满三年）在下一年续保时保费高于基本保费的频率；某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选两辆车，求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率；②若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值.20.已知圆与直线相切.（1）若直线与圆交于两点，求；（2）设圆与轴的负半轴的交点为，过点作两条斜率分别为的直线交圆于两点，且，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标.21.已知函数（其中是自然对数的底数）（1）若，当时，试比较与2的大小；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.23.已知．（1）证明：；（2）若，求实数的取值范围．答案解析部分一、<b >单选题</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】B二、<b >填空题</b>13.【答案】514.【答案】1115.【答案】16.【答案】1011三、<b >解答题</b>17.【答案】（1）解：因为函数（）的最小正周期，所以函数的半周期为，所以，即有坐标为，又因为为函数图象的最高点，所以点的坐标为.又因为为等腰直角三角形，所以.（2）解：点不落在曲线（）上，理由如下：由（1）知，，所以点，的坐标分别为，.因为点在曲线（）上，所以，即，又，所以.又.所以点不落在曲线（）上.18.【答案】（1）证明：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，又因为，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：等腰梯形中，作于，则，在中，，则，即点到的距离，又平面，平面，所以，又，∴平面.∴三棱锥的体积.19.【答案】解：( Ⅰ )一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为：P=. ( Ⅱ )①由统计数据可知，该销售商店内的三辆该品牌的车龄已满三年的二手车有一辆事故车，设为b1，另外两辆非事故车设为a1，a2,从三辆车中挑选两辆为（a1，a2），（a1，b1）（a2，b1），总共3种情况，其中两辆车恰好有一辆为事故车的概率为.②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，所以一辆车盈利平均值为元20.【答案】（1）解：由题意知，圆心到直线的距离，所以圆.又圆心到直线的距离，所以.（2）解：易知,设，则直线，由，得，所以，即，所以.由得，将代替上面的，同理可得，所以，从而直线.即，化简得.所以直线恒过一定点，该定点为.21.【答案】（1）解：当时，，则，令，由于故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，从而在为增函数，故（2）解：函数有两个极值点，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示故实数的取值范围是又由上可知函数的两个极值点满足，由得.由于，故，所以22.【答案】（1）解：直线的极坐标方程为所以，即因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）解：由，得由代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立得（*），设点分别对应参数恰为上述方程的根则，由题设得，则有，得或因为，所以.23.【答案】（1）证明：因为，而，所以．（2）解：因为所以或解得，所以的取值范围是。
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2020年衡水中学高中三年级一调数学试卷(文科)2019-2020学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试文科数学考试时间120分钟，试卷总分150分.命题人：集备组 审核人：教研组请将答案填写（涂）在答题卡上。
在本卷上作答无效！一、选择题 1．给出下列命题：（1）存在实数α使5sin cos 3αα+= . （2）直线20192x π=是函数cos y x =图象的一条对称轴. （3）()()cos sin y x x R =∈的值域是[]cos1,1.（4）若,αβ都是第一象限角，且sin sin αβ>，则tan tan αβ>. 其中正确命题的题号为（ ） A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4）2．已知四个命题：①如果向量a v 与b v共线，则a b =v v 或a b =-v v ；②3x ≤是3x ≤的必要不充分条件；③命题p ： ()00,2x ∃∈， 200230x x --<的否定p ⌝： ()0,2x ∀∈，2230x x --≥；④“指数函数x y a =是增函数，而12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．α是虚数单位，复数α（ ）A ．i -B ．iC ．21202929i -- D ．4102121i -+4．已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．m α⊥，//n β且αβ⊥，则m n ⊥B ．m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥C ．m αβ⋂=，n m ⊥且αβ⊥，则n α⊥D ．//m α，//n β且//αβ，则//m n5．已知()201720162018201721f x x x x =++++L ，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+ 6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知平面内的两个单位向量，OB uuu r ，它们的夹角是60°，OC u u u r 与、OB uuu r向量的夹角都为30°，且||3OC =u u u r OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+值为（ ） A ．23B ．3C ．2D ．48．函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．11{1}(,]22--U C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U10．设函数||||()x x x e f x e+=的最大值为M ，最小值为N ，则下列结论中：①2M N e -=，②4M N +=，③211MN e =-，④11M e N e +=-，其中一定成立的有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．已知椭圆C ： 22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与椭圆C 相交于点A ， B ， 2l与椭圆C 相交于点C ， D ，则下列叙述不正确的是（ ） A ．存在直线1l ， 2l使得AB CD+值为7B ．存在直线1l ， 2l使得AB CD +值为487C ．弦长AB 存在最大值，且最大值为4D ．弦长AB不存在最小值12．已知函数的定义域为，当时，，对任意的，成立，若数列满足，且，则的值为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题13．22cos821sin8++-的化简结果是_________.14．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x =15．已知函数()sin 3f x x x =-+，则不等式(1)(27)6f x f x ++->的解集为________．16．已知直线与椭圆相切于第一象限的点，且直线与轴、轴分别交于点、，当(为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，若此时在中，的平分线的长度为，则实数的值是__________．三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 表示的外接圆半径.（Ⅰ）如图，在以O 圆心、半径为2的O 中，BC 和BA 是O 的弦，其中，求弦AB 的长;(Ⅱ)在中，若是钝角，求证：;(Ⅲ)给定三个正实数a 、b 、R ，其中，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a 、b 、R 表示c.18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A ，B,C 三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成缎，其统计表如下： A 类()5110ii x x =-=∑180≈；B 类()5110ii x x =-=∑60≈；C 类()5110ii x x =-=∑63≈；（1）经计算己知A ，B 的相关系数分别为1045r .=-，2025r .=．，请计算出C 学生的()()112345i i x ,y ,,,,=的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留两位有效数字，r 越大认为成绩越稳定）（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为62ˆˆy .x a=+，利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩． 附相关系数()()niix x y y r --=∑，线性回归直线方程ˆˆˆy bx a =+，()()()()12211niii nniii i x x y y ˆbx x y y ===--=-⋅-∑∑∑，ˆˆa y bx =-．19．（本题满分12分） 如图，的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．（1）求证：平面ADC 平面BCDE ．（2）试问线段DE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(﹣2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4．过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D ．直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；（3）如果11A H A P λ=u u u u r u u u u r，试求λ的取值范围．21．设函数()()e 1e 1x xf x x a =+-+，a ∈R .（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若方程()0f x =在(0,)+∞上有解，证明：>2a .考生注意：请从第22、23题中选择一题作答。
两题都做者以第一题计分。
22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为24pcos sinθθ=, P点的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l经过点P(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C相交于,A B两点，求11PA PB+的值.23．选修4-5：不等式选讲⑴求证：对于任意实数x、y、z都有) 22223x y z xy yz zx++≥++.⑵是否存在实数k>x、y、z有()22223x y z k xy yz zx++≥++恒成立？试证明你的结论。
2020年衡水中学高中三年级一调数学试卷(文科)8 / 8。