山东省枣庄市第九中学高三数学4月模拟检测试题 文

山东省枣庄市枣庄九中2015届高三4月模拟检测数学试题（文)参考公式：锥体的体积公式13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一组数据12,,,n x x x的标准差s =x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知复数241ii z +-=（i 为虚数单位），则z 等于A ．i 31+-B ．i 21+-C ．i 31-D ．i 21-2．已知集合()(){}360,x x x x P =--≤∈Z，{}Q 5,7=，则下列结论成立的是（ ）A ．Q ⊆PB ．Q P=P C ．Q Q P =D ．{}Q 5P =3．如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=o中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于A ．0B ．4C ．8D ．4-4．若p 是真命题，q 是假命题，则A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题5．已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S =A ．44B ．33C ．22D ．116．下列函数为偶函数的是 A ．sin y x =B．)lny x=C ．xy e =D．y =7．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是ABCD8．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+,14,42,22y x y x y x 则目标函数3z x y =-的取值范围是A ．3[,6]2-B ．3[,1]2--C ．[1,6]-D ．3[6,]2- 9．已知()1s i n c o s f x xx =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，*N n ∈，则()2015f x =A ．sin cos x x +B ．sin cos x x --C ．sin cos x x -D ．sin cos x x -+ 10．集合M 由满足：对任意12,[1,1]x x ∈-时，都有1212|()()|4||f x f x x x -≤-的函数()f x 组成．对于两个函数2()22,()xf x x xg x e =-+=，以下关系成立的是A ．(),()f x M g x M ∈∈B ．(),()f x M g x M ∈∉C ．(),()f x M g x M ∉∈D ．(),()f x M g x M ∉∉ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = ．12．若()3213f x x ax x=-+在(),-∞+∞不是单调函数，则a 的范围是 ． 13．已知函数()()sin cos sin f x x x x=+，x R ∈，则)(x f 的最小值是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一提。

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为cos 5ρθ=，则点π43⎛⎫⎪⎝⎭，到直线l 的距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，PT 是圆O 的切线，PAB 是圆O 的割线，若2=PT ，1=PA ，o60=∠P ，则圆O 的半径=r ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量()()3,sin 1,cos a b θθ==与互相平行，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）求()()sin 2f x x θ=+的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6已知6个站的平均得分为75分．（1）求广州南站的满意度得分x ，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率． 18．（本小题满分14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC ，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，︒=∠=∠90CBD BAC ，AB AC =，︒=∠30BCD ，BC=6．（1）证明：平面ADC 平面ADB ； （2）求B 到平面ADC 的距离．19．（本小题满分14分） 已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *∈．（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：61<n T ． 20．（本小题满分14分）已知函数3241)(1+-=-x x x f λ（21≤≤-x ）．（1）若32λ=时，求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值． 21．（本小题满分14分）已知函数x kxx x f +-+=1)1ln()(，k R ∈．（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）当1k =时，求)(x f 在[0,)+∞上的最小值，并证明()1111ln 12341n n ++++<++．2015届山东省枣庄市枣庄九中高三4月模拟检测数学试题（文）参考答案二、填空题11．32512．()(),11,-∞-+∞13．14．3 15三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）因为与互相平行，则sin,tanθθθ=（3分）又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=，所以1sin2θθ==．（6分）（2）由()()sin2sin23f x x xπθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，得最小正周期Tπ=（8分）由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈，得5,1212k x k k Zππππ-≤≤+∈（11分）所以)(xf的单调递增区间是5,,1212k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（12分）17．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得1(7076727072)756x+++++=，解得90x=．（2分）7s==（5分）（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有（怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站，佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共10种，（8分）这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站．设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种，（10分）则42()105P A==（12分）18．（本小题满分14分）（1）证明：因为,,,ABC BCD BD BC ABC BCD BC BD BCD ⊥⊥=⊂面面面面面，所以BD ABC ⊥面． （3分） 又AC ABC ⊂面，所以BD AC ⊥． （4分） 又AB AC ⊥，且BDAB B =，所以AC ADB ⊥面． （5分） 又AC ADC ⊂面，所以ADC ADB ⊥面面．（6分）（2）在Rt BCD ∆中，06,30BC BCD =∠=，得0tan30BD BC =⨯=（7分）在等腰Rt ABC ∆中，6BC =，得AB AC == （8分） 由（1）知BD ABC ⊥面，所以BD AB ⊥， （9分）在ABD Rt ∆中，23=AB ，32=DB ，得3022=+=DB AB AD ，（10分）又AC ADB ⊥面，设B 到面ADC 的距离为h ， 由C ABD B ACD V V --=， （12分）得1111()()3232AB BD AC AC AD h⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， （13分）解得h =，即B 到平面ADC 的距离556． （14分）19．（本小题满分14分） 解：（1）方法一： 由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， （2分）两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， （4分）所以数列{}n a 是等差数列． （5分）由⎩⎨⎧=-=123211a a a ，得52=a ，所以212=-=a a d ， （6分）故12)1(1+=⨯-+=n d n a a n 21n a n =+． （8分）方法二：将1)1(1=-++n n na a n 两边同除以)1(+n n ，得11111+-=+-+n n n a n a n n ，（3分）即n a n a n n 1111-=+-+． （4分） 所以1111-=-a na n （5分） 所以12+=n a n （6分） 因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列． （8分）（2）因为()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，（11分）所以13221111++++=n n n a a a a a a T)]321121()7151()5131[(21+-+++-+-=n n 6164161<+-=n （*N n ∈） （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）3)21(2)21(3241)(21+⋅-=+-=-xx x x x f λλ（21≤≤-x ） （1分）设x t )21(=，得32)(2+-=t t t g λ（241≤≤t ）． （2分）当23=λ时，43)23(33)(22+-=+-=t t t t g （241≤≤t ）． （3分）所以1637)41()(max ==g t g ，43)23()(min ==g t g ． （5分） 所以1637)(max =x f ，43)(min =x f ，故函数)(x f 的值域为[43，1637]．（6分）（2）由（1）2223)(32)(λλλ-+-=+-=t t t t g （241≤≤t ） （7分）①当41≤λ时，16492)41()(min +-==λg t g ， （8分） 令116492=+-λ，得41833>=λ，不符合舍去； （9分） ②当241≤<λ时，3)()(2min +-==λλg t g ， （10分） 令132=+-λ，得2=λ，或412<-=λ，不符合舍去； （11分）③当2>λ时，74)2()(min +-==λg t g ， （12分）令174=+-λ，得223<=λ，不符合舍去． （13分）综上所述，实数λ的值为2． （14分） 21．（本小题满分14分） 解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞． （1分）221(1)1()1(1)(1)x x x kf x k x x x +-+-'=-=+++ （3分）当0k ≤时，()'0f x >在()1,-+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()1,-+∞，无单调递减区间． （5分）当0k >时，由()'0f x >得1x k >-，由()'0f x <得1x k <-，所以()f x 的单调递增区间是()1,k -+∞，单调递减区间是()1,1k --， （7分）（2）由（1）知，当1k =时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上的最小值为()00f=．（9分）所以)1ln(1xxx+<+（0>x）（10分）所以)11ln(111nnn+<+，即nnnln)1ln(11-+<+（*Nn∈）．（12分）所以)1ln()ln)1(ln()2ln3(ln)1ln2(ln113121+=-+++-+-<++++nnnn（14分）。