高中数学 模块综合检测北师大版必修2
北师大版数学必修二模块试题及答案
数学必修二模块试题石油中学 胡伟红一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）（A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱3、若直线2x －3y+6=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转450角，则此时在x 轴上的截距是 ( ) A. 54-B. 52- C. －45 D. 524．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 （ ）A ．24B ．22C ．18D ．165．在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的射影长度总和是 （ ）A ．36B ． 26C ．6D ．636、如果直线沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A. －31B. －3C. 31D . 37．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a3、过点P （1，1）作直线L 与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线L 有（ ）（A ）、一条 （B ）、两条 （C ）、三条 （D ）、四条 9．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至 把容器注满．在注水过程中水面的高度曲线如右图所示， 其中PQ 为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C 对面的字母分别为（ ）A) D ,E ,F B) F ,D ,E C) E, F ,D D) E, D,F二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果． 11．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_______12．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.13．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是14．．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 三、解答题：本大题满分44分．15．（10分）过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.16.（10分）已知圆心在直线2x+y=0，且过点A （2，－1），与直线x －y －1=0相切，求圆的方程。
高中数学 模块综合检测(A)北师大版必修2
模块综合检测（A ）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线x ＝tan 60°的倾斜角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．不存在 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝13．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )4．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l α，n β，则l ∥nB ．若α⊥β，l α，则l ⊥βC ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥mD ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β5．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A ．32B ．34C ．2 5D ．6556．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝07．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( ) A ．4x －y －4＝0 B ．4x ＋y －4＝0 C ．4x ＋y ＋4＝0 D ．4x －y ＋4＝08．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 9．经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或或2B ．12或23C ．2或0D ．－2或011．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12．在平面直角坐标系中，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)的距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A(－2,3,4)，在y轴上有一点B，且|AB|＝35，则点B的坐标为________．14．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．15．如图，某几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，左视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．16．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋8＝0，若圆C和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．18．(12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为62的直线AB 的方程．19．(12分) 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点，求证PA ∥平面EDB ．20．(12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．(1)求证D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．21．(12分)已知M 与两定点O (0,0)、A (3,0)的距离之比为12．(1)求M 点的轨迹方程；(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C ′的方程．22．(12分) 如图，在五面体ABC －DEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°．(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明CD ⊥平面ABF ；(3)求二面角B －EF －A 的正切值．模块综合检测(A) 答案1．D [∵cos 2A ＋sin 2A ＝1，且sin A cos A ＝－512，∴cos 2A ＋(－512cos A )2＝1且cos A <0，解得cos A ＝－1213.]2．D [∵a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )．∴b ＝(a ＋b )－a ＝(1，k )－(2,1)＝(－1，k －1)． ∵a ⊥b .∴a ·b ＝－2＋k －1＝0 ∴k ＝3.]3．D [AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝AC →2＋CB →·AC →＝AC →2＋0＝16.]4．B [∵sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)∴sin α＝－2cos α.∴tan α＝－2.∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2－22＋1＝－25.] 5．A [由图可知，A ＝4，且⎩⎪⎨⎪⎧6ω＋φ＝0，－2ω＋φ＝－π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8φ＝－34π.∴y ＝4sin(π8x －3π4)＝－4sin(π8x ＋π4)．]6．B [由cos 30°＝a ·b|a ||b |得32＝a ·b 2cos 15°·4sin 15°＝a ·b 4sin 30°∴a ·b ＝3，故选B.]7．C [y ＝cos(x ＋π3)＝sin(x ＋π3＋π2)＝sin(x ＋5π6)，∴只需将函数y ＝sin x 的图像向左平移5π6个长度单位，即可得函数y ＝cos(x ＋π3)的图像．]8．A [由于AD →＝2DB →， 得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23.]9．D [∵β＝π－2α，∴y ＝cos(π－2α)－6sin α＝－cos 2α－6sin α＝2sin 2α－1－6sin α＝2sin 2α－6sin α－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin α－322－112当sin α＝1时，y min ＝－5；当sin α＝－1时，y max ＝7.]10．B [a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14，故选B.]11．B [将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位，若与原图像重合，则π2为函数f (x )的周期的整数倍，不妨设π2＝k ·2πω(k ∈Z )，得ω＝4k ，即ω为4的倍数，故选项B 不可能．]12．C [建立如图所示的直角坐标系． ∵OC →＝(2,2)，OB →＝(2,0)， CA →＝(2cos α，2sin α)，∴点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作此圆的切线，切点分别为M ，N ，连结CM 、CN ，如图所示，则向量OA →与OB →的夹角范围是∠MOB ≤〈OA →，OB →〉≤∠NOB .∵|OC →|＝22，∴|CM →|＝|CN →|＝12|OC →|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，但∠COB ＝π4.∴∠MOB ＝π12，∠NOB ＝5π12，故π12≤〈OA →，OB →〉≤5π12.] 13．－12解析 sin 2 010°＝sin(5×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.14．1解析 ∵a ∥b ，∴(1－sin θ)(1＋sin θ)－12＝0.∴cos 2θ＝12，∵θ为锐角，∴cos θ＝22， ∴θ＝π4，∴tan θ＝1.15.2105解析 AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)．∴AB →在CD →上的投影|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝2×－1＋2×3－12＋32＝410＝2105. 16．sin(πx 2＋π6)解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得T22＋1＋12＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin(πx 2＋φ)，又函数图像过点(2，－12)，故f (x )＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin(πx 2＋π6)．17．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0，∴tan x ＝－32，2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4，∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴－22≤f (x )≤12， ∴f (x )max ＝12.18．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .19．解 (1)∵a ·b ＝0，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝255，cos θ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， ∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22.20．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx .所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋12.由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12.当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1. 21．解 (1)f (x )＝1＋cos 2x 2－2cos 2x －1sin π4＋x sin π4－x＝cos 22x sin π4＋x cos π4＋x ＝2cos 22xsin π2＋2x＝2cos 22x cos 2x＝2cos 2x ， ∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.22．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)，|a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。
北师大版高中数学必修二模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x3－y3＝1的倾斜角的大小为( )A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由x3－y3＝1，得该直线的斜率k＝33，故倾斜角为30°.【答案】 A2．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )A.14B.13C．2 3 D.11【解析】点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的投影为B(0,2,3)，∴|OB|＝02＋22＋32＝13.【答案】 B3．(2016·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )【解析】由y＝x＋a得斜率为1，排除B，D；由y＝ax与y＝x＋a中a 同号知，若y＝ax递增，则y＝x＋a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y＝ax 递减，则y＝x＋a与y轴的交点在y轴的负半轴上．故选C.【答案】 C4．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图1是过M，N，A 和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )图1【解析】由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.【答案】 B5．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( )A.32B．2C．－1 D．2或－1【解析】由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0，a＝2或－1.【答案】 D6．(2016·成都高一检测)已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α【解析】如图l可以垂直m，且l平行α.【答案】 C7．(2016·亳州高一检测)已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB ⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )A．垂直B．平行C．相交D．位置关系不确定【解析】过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD，BD于F，E两点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，所以BD⊥AC.故选A.【答案】 A8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( )A．4 B.43 3C. 6 D．2 【解析】由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的，∴底面积S＝6×12×2×3＝63，∴体积V＝13Sh＝12，∴h＝36S＝3663＝23，在直角三角形SOB中，侧棱长为SB＝OB2＋h2＝4＋12＝4.故选A.【答案】 A9．过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．(0°，30°] B．(0°，60°]C．[0°，30°] D．[0°，60°]【解析】如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，则sinα＝1 2，所以α＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是[0°，60°]．选D. 【答案】 D10．若M (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0【解析】 设圆心为C ，其坐标为(1,0)．则AB ⊥CM ，k CM ＝－1， ∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x －2)， 即x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A11．过点P (－3,4)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．3x ＋4y －7＝0B ．3x －4y ＋25＝0C ．3x －4y ＋4＝0D ．3x －4y ＝0【解析】 先求出以PO (O 为原点)为直径的圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋(y －2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2＋3x －4y ＝0，再将两圆方程相减得3x －4y ＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A ，B ，所以3x －4y ＋4＝0就是直线AB 的方程，故选C.【答案】 C12．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－(x －2)2有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D ．[0,1]【解析】曲线y ＝－1－(x －2)2可化为(x －2)2＋y 2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x 轴下方的半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k ≤1.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．【解析】 设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R 3＝ 3. 【答案】314．(2016·赣州高一检测)在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，对角线AC ＝BD ＝2，且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的面积为______.【导学号：10690078】【解析】 如图，由条件，易判断EH ═∥FG ═∥12BD ，所以EH ＝FG ＝1，同样有EF ═∥GH ═∥12AC ，EF ＝GH ＝1，又BD ⊥AC ，所以EF ⊥EH ，所以四边形EFGH 是边长为1的正方形，其面积S ＝12＝1.【答案】 115．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．【解析】由题意知，点A在圆上，切线斜率为－1kOA＝－121＝－12，用点斜式可直接求出切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52，所以所求面积为12×52×5＝254.【答案】25416．如图2，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．图2①CC1与B1E是异面直线；②AC⊥平面ABB1A1；③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；④A1C1∥平面AB1E.【解析】①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，则AC与平面ABB1A1不垂直；③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，则AE⊥B1C1；④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．【答案】③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．【解】 设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π， V ＝13Sh ＝13×π×12×22＝223π. 18．(本小题满分12分)(2016·温州高一检测)已知直线l 过两直线3x －y －10＝0和x ＋y －2＝0的交点，且直线l 与点A (1,3)和点B (5,2)的距离相等，求直线l 的方程．【解】 由⎩⎨⎧3x －y －10＝0，x ＋y －2＝0，得交点为(3，－1)，当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 则|－2k －4|k 2＋1＝|2k －3|k 2＋1， 解得k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＋1＝－14(x －3)，即x ＋4y ＋1＝0；又当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，也满足题意． 故x ＋4y ＋1＝0或x ＝3为所求方程．19．(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．图3求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.【证明】(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD平面ABC，所以CC 1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC 1、DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC 1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC 1、B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD平面ADE，A 1F⊆/平面ADE，所以A1F∥平面ADE.20．(本小题满分12分)(2016·长沙高一检测)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16.当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，∴|QM|最小＝4.21．(本小题满分12分)如图4，多面体EFABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，EF＝2.图4(1)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；(2)若△BCF中，BC边上的高FH＝3，求多面体EFABCD的体积V.【解】(1)若M，N分别是AB，CD的中点，则MN∥BC，MN⊆/平面BCF，BC平面BCF，∴MN∥平面BCF.又EF∥AB，EF＝2＝12 AB，∴EF＝MB，∴四边形BMEF是平行四边形，∴ME∥BF，又∵ME⊆/平面BCF，BF平面BCF，∴ME∥平面BCF，又ME∩MN＝M，由面面平行的判定定理知，平面MNE∥平面BCF.(2)∵平面FBC⊥平面ABCD，FH⊥BC，AB⊥BC，∴FH⊥平面ABCD，AB⊥平面BCF，∴FH是四棱锥EAMND的高，MB是三棱柱BCFMNE的高，∴多面体EFABCD的体积V＝VEAMND＋V BCFMNE＝13S AMND ·FH ＋S △BCF ·MB ＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20. 22．(本小题满分12分)如图5，l 1，l 2是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连结M 、N 两地之间的铁路线是圆心在l 2上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且|MO |＝3km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为4km 和5km.图5(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26km ，求该校址距点O 的最近距离．(注：校址视为一个点)【解】 (1)分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴建立直角坐标系，依题意得M (0,3)，N (4,5)，故k MN ＝5－34－0＝12，M 、N 中点为(2,4)．故线段MN 的垂直平分线方程为：y －4＝－2(x －2)．令y ＝0得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4,0)，半径r ＝(4－0)2＋(0－3)2＝5.∴⊙A 的方程为(x －4)2＋y 2＝25，∴MN ︵的方程为(x －4)2＋y 2＝25(0≤x ≤4,3≤y ≤5)．(2)设校址选在B (a,0)(a >4)，则(x －a )2＋y 2≥26对0≤x ≤4恒成立，即(x －a )2＋25－(x －4)2≥26对0≤x ≤4恒成立，整理得(8－2a )x ＋a 2－17≥0①对0≤x ≤4恒成立．∵a >4，∴8－2a <0.令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2－17，则f (x )在[0,4]上为减函数，故要使①式对0≤x ≤4恒成立，必须有⎩⎨⎧ a >4，f (4)≥0，即⎩⎨⎧ a >4，(8－2a )×4＋a 2－17≥0，解得a≥5，即校址距点O的最近距离为5km.。
2021-2022学年新教材高中数学 模块综合测评(含解析)北师大版必修第二册
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ABCD ＝2V E ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ABCD ＝32V E ABC ，所以V P ABCD ＝3V E ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1DC A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。
2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析北师大版选择性必修第二册
模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。
高中数学综合水平测试北师大版必修2
高中数学综合水平测试北师大版必修2 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面( )A．可能有3个，也可能有2个B．可能有3个，也可能有1个C．可能有4个，也可能有3个D．可能有4个，也可能有1个答案 D解析四点可能共面，四点中可能任意三点确定一平面，此时平面个数为四个．2．过原点且与圆(x－2)2＋y2＝3相切的直线方程是( )A．y＝－2x或y＝2xB．y＝－3x或y＝3xC．y＝－2x＋2或y＝2x－2D．y＝－3x＋2或y＝3x答案 B解析设直线方程为y＝kx，则|2k|1＋k2＝3，解得k＝± 3.3．如图，点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线AD和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°答案 B解析由异面直线的定义可知AD与MN所成角即为∠NMC＝45°，故选B.4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5 答案 C解析 直线方程即为a (x ＋1)－x －y ＋1＝0，恒过直线x ＋1＝0与直线－x －y ＋1＝0的交点，即C (－1,2)．故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，故选C.5．设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直 答案 B解析 经过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直．6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.13 cm 3B.23 cm 3C.43 cm 3D.83 cm 3 答案 C解析 由三视图可知，此几何体为三棱锥，三棱锥体积V ＝13×12×23＝43(cm 3)．7．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1 D．－32答案 C解析 本题考查两条直线垂直的条件．由题意可知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.8．过直线y ＝x 上的一点P 作圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝x 对称时，则∠APB ＝( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C解析 圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的圆心(5,1)，过(5,1)与y ＝x 垂直的直线方程x ＋y －6＝0，它与y ＝x 的交点N (3,3)，N 到(5,1)的距离是22，∴∠APB ＝60°.9．侧棱长为a 的正三棱锥P －ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.2πa 2B ．2πa 2C.3πa 2D ．3πa 2答案 D解析 将三棱锥补形为一正方体，正方体的体对角线即为球的直径，即R ＝32a ，故表面积为3πa 2.10．m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题： ①若α∥β，α∥γ，则β∥γ； ②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β； ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α. 其中真命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 A解析 根据相关线面关系，可得①③.11．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 中点到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2 答案 A解析 解法一：所求最小值即为与l 1，l 2平行且到l 1，l 2距离相等的直线x ＋y －6＝0到原点的距离，即|－6|2＝3 2.解法二：所求最小值即为l 1，l 2到原点距离的平均数．12．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0C ．[－3，3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0 答案 A解析 由题意知圆的圆心为(2,3)，半径为r ＝2，所以圆心到直线的距离d 满足，d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22，又|MN |≥23，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －3＋3|k 2＋12≤22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，解得－33≤k ≤33，选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知α，β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a ，b ，a ∥α，b ∥β，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.其中可以推出α∥β的是________．(填序号)答案 ①④解析 本题考查线面基本关系的应用．对于②③，平面α与β还可以相交，不一定能推出α∥β，所以②③不可以推出α∥β；易知①④可推出α∥β.14．从点P (m,3)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________． 答案 2 6解析 本题主要考查圆的切线长度的计算．由题意得圆心坐标为(－2，－2)，半径为1.设切线长为l ，则l ＝m ＋22＋3＋22－1＝m ＋22＋24≥24＝26，所以当m ＝－2时，切线长最小，最小值为2 6.15．在空间直角坐标系中，已知M (2,0,0)，N (0,2,10)，若在z 轴上有一点D ，满足|MD |＝|ND |，则点D 的坐标为________．答案 (0,0,5)解析 本题主要考查空间直角坐标系及空间中两点间的距离公式．由点D 在z 轴上，可设D (0,0，t )，再由空间两点间的距离公式得 |MD |＝2－02＋0－02＋0－t2，|ND |＝0－02＋2－02＋10－t 2，因为|MD |＝|ND |，所以t ＝5，故D (0,0,5)．16．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案 x ＋y －3＝0解析 本题主要考查直线与圆的位置关系．点M 在圆C 内，当∠ACB 最小时，弦AB 的长最小，所以AB ⊥CM ，k CM ＝4－23－1＝1，所以k l ＝－1，从而直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知在△ABC 中，A (3,2)，B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，求点C 的坐标．解 |AB |＝3＋12＋2－52＝5.∵S △ABC ＝10，∴AB 边上的高为4，即点C 到直线AB 的距离为4. 设C (a ，b )．∵直线AB 的方程为3x ＋4y －17＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＋3＝0，|3a ＋4b －17|5＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝53，b ＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8.18．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5,0)到直线l 的距离的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以交点坐标为(2,1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0， 则点A 到直线l 的距离|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2 ，符合题意． 故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2,1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA |＝10. 即所求的距离的最大值为10.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V .解 (1)证明：在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又AD 平面PAD ，EF ⊆/ 平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)过点E 作EG ∥PA ，交AB 于点G ，如图所示，则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，∴EG ＝22. 又S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13. 20．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.(1)求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1)．∵圆心C (1,2)，∴|AC |＝5<5，∴点A 在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒交于两点． (2)当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，l ⊥AC ， ∵k AC ＝－12，∴k l ＝2，∴所求的直线l 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0.21．(本小题满分12分)如图，多面体EF －ABCD 中，已知ABCD 是边长为4的正方形，EF ＝2，EF ∥AB ，平面FBC ⊥平面ABCD .(1)若M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：平面MNE ∥平面BCF ； (2)若在△BCF 中，BC 边上的高FH ＝3，求多面体EF －ABCD 的体积V . 解 (1)证明：∵M ，N 分别是AB ，CD 的中点， ∴MN ∥BC ，∴MN ∥平面BCF .又EF ∥AB ，EF ＝2＝12AB ，∴EF 綊MB ，∴四边形BMEF 是平行四边形，∴ME ∥BF ， ∴ME ∥平面BCF .又∵MN ⊆/ 平面BCF ，ME ⊆/ 平面BCF ， 且MN ∩ME ＝E ，∴平面MNE ∥平面BCF . (2)∵平面FBC ⊥平面ABCD ，FH ⊥BC ，AB ⊥BC ， ∴FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面BCF ，∴FH 是四棱锥E －AMND 的高，MB 是三棱柱BCF －MNE 的高． ∴多面体EF －ABCD 的体积V ＝V E －AMND ＋V BCF －MNE＝13S AMND ·FH ＋S △BCF ·MB ＝13×4×2×3＋12×4×3×2＝20. 22．(本小题满分12分)设圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，点M (1,0)． (1)求圆C 关于点M 对称的圆E 的方程；(2)若直线l 过点N (2,4)且与圆E 相切，求l 的方程．。
北师大版数学必修二模块试题及答案
数学必修二模块试题石油中学 胡伟红一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ） （A ）48 （B ）64 （C ）96 （D ）192 2．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱3、若直线2x －3y+6=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转450角，则此时在x 轴上的截距是 ( ) A. 54-B. 52- C. －45 D. 524．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为 （ ）A ．24B ．22C ．18D ．165．在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的射影长度总和是 （ ）A ．36B ． 26C ．6D ．636、如果直线沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )A. －31B. －3C. 31D . 37．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a3、过点P （1，1）作直线L 与两坐标轴相交所得三角形面积为10，直线L 有（ ）（A ）、一条 （B ）、两条 （C ）、三条 （D ）、四条 9．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至 把容器注满．在注水过程中水面的高度曲线如右图所示， 其中PQ 为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．10、如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C 对面的字母分别为（ ）A) D ,E ,F B) F ,D ,E C) E, F ,D D) E, D,F二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果． 11．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_______12．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.13．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是14．．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 三、解答题：本大题满分44分．15．（10分）过点P （1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程.16.（10分）已知圆心在直线2x+y=0，且过点A （2，－1），与直线x －y －1=0相切，求圆的方程。
2020学年高中数学模块综合检测北师大版必修2(2021-2022学年)
模块综合检测(时间1２０分钟满分１50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中,正△ABＣ的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为(）A．－2错误!未定义书签。
B.0C.错误!未定义书签。
ﻩD.2错误!未定义书签。
解析:选B易知k AB＝错误!未定义书签。
，k AC=－错误!,∴k AB+k AC＝０.2．直线（2m2+ｍ-3）x+（m2-m）y＝4m-1在x轴上的截距为1，则m等于（ )Ａ.1 B.２Ｃ．-错误!未定义书签。
ﻩＤ.2或-错误!未定义书签。
解析：选D 令ｙ=0,则(2m2＋m－3)x＝4ｍ－1,所以直线在x轴上的截距为错误!=１，所以ｍ=2或ｍ＝－错误!未定义书签。
３．在空间直角坐标系中，点Ｂ是点A（1，２，3)在yOz坐标平面内的射影,Ｏ为坐标原点,则｜OＢ|等于( )Ａ．＼ｒ(14) B．错误!未定义书签。
C.2错误!未定义书签。
ﻩD．错误!未定义书签。
解析：选B点A（１，2，3）在yＯz坐标平面内的射影为B(０,2,3），∴|OB|＝错误!未定义书签。
=错误!.4．已知直线nｘ-y＝n－1和直线ny－x＝２n的交点在第二象限,则实数n的取值范围是(）Ａ．(０,1) ﻩＢ．错误!未定义书签。
∪(1，+∞)C.错误!D．错误!未定义书签。
解析:选Ｃ由题意，知当n=1时，两直线平行，当n=－1 时，两直线重合,故n≠±1.解方程组错误!得ｘ＝错误!,y=错误!。
∴错误!<0且错误!>0，解得０<n<错误!未定义书签。
5．下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D 如图所示，在正方体AB ＣD .Ａ１B 1C １D 1中，AD ⊥平面ＤＣＣ1D 1，因此平面ＡB ＣD 、平面AA 1D １D 均与平面DC Ｃ1D 1垂直而且平面ＡA １D 1Ｄ∩平面ABCD ＝A Ｄ，显然选项D 不正确,故选D 。
2020-2021学年北师大版高中数学必修二模块综合检测(B)及答案解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合检测（B）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.在某几何体的三视图中，主视图、左视图、左视图是三个全等的圆，圆的半径为R, 则这个几何体的体积是（）A. -Tt R3B. 2兀R3C.兀R3D. -Tt R33 3 32.已知水平放置的^ ABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B' O' = C' O3=1, A O=手，那么△ ABC是一个（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形3.已知直线m、n与平面a、3 ,给出下列三个语句：①若m // a , n // a ,则m // n; ②若m // a , n, a ,则n± m;③若m± a , m//3,则a，3.其中正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知两点A（—1,3）, B（3,1）,当C在坐标轴上，若/ ACB= 90° ,则这样的点C的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45.三视图如图所示的几何体的全面积是（）A. 2+ 2B. 1+ 2C. 2+ 3D. 1+ 36.已知圆心为(2, — 3), 一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴上，则圆的方程是(A.(x—2)2+(y+3)2=5B.(x-2)2+(y+3)2=21C.(x-2)2+(y+3)2=13D.(x-2)2+(y+3)2=527.如右图，在正四棱柱ABCD- ABC1D1中，E、F分别是AB i、BG的中点，则以下结论中不成立的是( )A. EF与BB i垂直B. EF与BD垂直C. EF与CD异面D. EF与A i C i异面8.过圆x2+y2=4上的一点（1,3）的圆的切线方程是（）A. x+S y-4=0B. \l"3x — y= 0C. x+M=0D. x-黄y—4=09.若x、y 满足x2 + y2—2x+4y—20=0,则x2+y2的最小值是（）A.器-5B. 5-V5C. 30— 10 5D.无法确定10.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x—3y=0和x轴者B相切，则该圆的标准方程是( )A.(x-3)2+(y-7)2=13B.(x—2)2+(y—1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=13 2 2D.x—2 +(y—1) = 111.设r>0,两圆(x—1)2+(y+3)2=r2与x2+y2= 16 可能( )A.相离B.相交C.内切或内含或相交D,外切或外离12. 一个三棱锥S— ABC的三条侧棱SA、SR SC两两互相垂直，且长度分别为1,水, 3,已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A. 16 兀B. 32 兀C. 36 兀D. 64 兀二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知11：2x+my+1 = 0与12：y=3x- 1,若两直线平行，则m的值为14.如图所示，已知ABL平面BCD, BC± CD,则图中互相垂直的平面有15.已知直线5x+ 12y+a= 0与圆x2 —2x+y2= 0相切，则a的值为.16.过点P(1,/)的直线l将圆C: (x—2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. (10 分)已知△ ABC中，/ ACB= 90° ,SAL平面ABC, AD± SC.求证：AD,平面SBC.AC 边上的高线 BH 所在直线方程为 x- 2y —5= 0,求⑴顶点C 的坐标；(2)直线BC 的方程.19. (12分)已知点P(0,5)及圆 得的线段长为4、/3,求l 的方程.18. (12分)已知△ ABC 的顶点 A(5,1), AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5= 0, C: x2+y2+4x-12y + 24=0,若直线l 过点P 且被圆C 截20.(12分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S=2TT rl,其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长.现已知一个圆锥的底面半径为R, 高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？.(12分)如图，长方体ABO ABC1D1中，AB= AD= 1, AA1=2,点P为DDi的中点. 求证：(1)直线BD1//平面PAC;(2)平面BDDi,平面PAC;(3)直线PB，平面PAC.22.(12 分)已知方程x2 + y2—2x—4y+m= 0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x+ 2y—4= 0相交于M、N两点，且OM，ON(O为坐标原点)，求m；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.模块综合检测(B)答案1. D [由三视图知该几何体为半径为R的球，知V= 47t R3.] 32. A3. C [①中m与n可能相交，也可能异面，・•.①错误.]4. C [由题意，点C应该为以AB为直径的圆与坐标轴的交点.以AB为直径的方程是(x+1)(x-3) + (y-3)(y-1)=0,令x= 0,解得y= 0 或4;令y = 0,解得x= 0或2.所以该圆与坐标轴的交点有三个：(0,0), (0,4), (2,0).]5. A [由所给三视图可知该几何体为四棱锥，为正方体的一部分如图所示.故全面积S= 2+ 2J2.]6. C [该圆过原点.]7. D [连接AB, .. E是AB i 中点，・•. EC A1B,，EF是△A i BC i 的中位线，EF// AiO,故D不成立.]8. A [过圆x2+y2= r2上一点(x o, y0)的切线方程为x o x+ y o y=r2.]9. C [配方得(x—1)2+(y+2)2 = 25,圆心坐标为(1, —2),半径r = 5,所以"27了的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即 5 —、/5,故可求x2+y2的最小值为30—10\/5.]10.B [设圆心为(a, b),由题意知b=r=1,」|4a-3| p - -1.= ^2—又. a>0,…a= 2,，圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2= 1.]11.C [由于点(1, —3)在圆x2+y2=16内，所以内切或内含或相交. ]12.A [以三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC为棱长构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，长为4.，球半径为2, S球=4TI R2=16兀.]13.14. 平面 ABD ，平面 BCD,平面 ABC ，平面BCD,平面 ABC ，平面 ACD.15. 8 或—1816.解析 当直线与PC 垂直时，劣弧所对的圆心角最小，故直线的斜率为17. 证明 •. /ACB= 90° , .BC±AC. 又SAL 平面ABC, BC 平面ABC, • .SAL BC,又 SAP AC=A, 「•BC ，平面 SAC. . AD 平面 SAC, BC± AD.又 SC AD, SCn BC= C, SC 平面 SBC, BC 平面 SBC, ADJ 面 SBC.18 .解(1)由题意，得直线 AC 的方程为 2x+ y — 11 = 0.得点C 的坐标为（4,3）.、“m+ 5(2)设 B(m, n), M ,n+ 1于是有 m + 5 — 2— — 5=0,即 2m —n —1 = 0 与 m —2n — 5= 0 联立, 解得B 点坐标为(—1, — 3), 于是有 I BC ： 6x-5y-9= 0.19 .解解析I5M + 12X0+a| .52+ 1221,解得a= 8或—18.2x — y — 5= 02x+ y- 11 = 0n+ 1 2r 因为R= H-x所以r= R一—•x.H如图所示，|AB|= 4木,设D是线段AB 的中点，则CD± AB,，|AD|= 25，|AC|= 4. 在Rt^ACD中，可得|CD|=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为：v— 5=kx,即kx—y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：| 216^ 5| = 2,得k = 3,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.,'k + 1 4又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0.，所求直线l的方程为x=0或3x—4y+20=0.20.解（1）画圆锥及内接圆柱的轴截面（如图所示）.设所求圆柱的底面半径为r,它的侧面积S圆柱侧=2 71rx.所以S 圆柱侧= 2 兀Rx—(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值.H这时圆柱的高x= 2.故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.21.证明(1)设ACn BD= O,连接PO,在4 3口口中，•••P、O分别是DD1、BD的中点，PO// BD1,又PO 平面PAC, BD1 /平面PAC,・・・直线BD1//平面PAC.(2)长方体ABCD- A i B i C i D i 中，AB=AD= 1,「•底面ABCD是正方形，AC± BD.又DDL平面ABCD, AC 平面ABCD,AC± DD i,又BDA DDi= D, BD 平面BDDi,DDi 平面BDDi, •. AC,平面BDDi,. AC 平面PAC,・•・平面PAC,平面BDDi.(3)「PC2=2, PB2=3, B i C2=5,・•.PC2+ PB2=B i C2, APB i C是直角三角形，PB i^PC.同理PB iX PA,又PAn PC= P, PA 平面PAC,PC 平面PAC, •,・直线PBi,平面PAC.22.解(i)(x—i)2+(y —2)2=5—m, .. m<5.(2)设M(x i, y i), N(x2, y2),则xi=4 — 2yi, x2=4 — 2y2,则x i*= i6—8(y i+y2) + 4y i y2.OMXON, x i x2+ y i y2= 0.&知识就是力量&•• i6 — 8(y i+y?) + 5y[y2= 0 ①x= 4— 2yx2+ y2— 2x— 4y+ m= 0得5y2— 16y+ m + 8 = 016 8+myi + y2 = —, yiy2=-.5 5,.、一8代入①得，m=-.5(3)以MN为直径的圆的方程为(x— x i)(x — X2)+ (y — y i)(y — y2)= 0即x2+ y2—(x i + x2)x— (y i+ y2)y= 0「•所求圆的方程为x2+ y2—_x——y=0.5 5。
新版高中数学北师大版必修2习题模块综合检测含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是()A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:由中点坐标公式得,中点坐标为(1+3,4-2,-3+5),即(2,1,1),故选C.答案:C2.直线y=kx与直线y=2x+1垂直,则实数k=()A.2B.-2C.12D.-12解析:因为两直线垂直,所以k×2=-1,即k=-12,故选D.答案:D3.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.①②C.②④D.①④解析:根据线面垂直的判定定理可知①③满足,故选A.答案:A4.已知直线l⊥平面α,直线m⫋平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的有()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:①正确,因为l⊥α,α∥β⇒l⊥β,又m⫋β,故l⊥m;②错误,直线l与m的关系不确定;③正确,因为l⊥α,l∥m⇒m⊥α,又m⫋β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;④两平面也可能相交.故选D.答案:D5.过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:设所求直线方程为2x-3y+m=0,因为点(-1,2)在直线上,所以2×(-1)-3×2+m=0,解得m=8,故所求直线方程为2x-3y+8=0,故选D.答案:D6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为1×22×4×π+2×2×4=16+8π.故选A.2答案:A7.已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定过点A作AO⊥面BCD,垂足为O,连接BO,CO并延长,分别交CD与BD于F,E点,连接DO.因为AB⊥CD,AO⊥CD,所以CD⊥平面AOB,所以BO⊥CD,同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心,所以CO⊥BD,所以BD⊥AC.故选A.答案:A8.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()A.相离B.外切C.内切D.相交解析:圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,即(x+1)2+(y+4)2=25,表示以A(-1,-4)为圆心,以5为半径的圆.圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0,即(x-2)2+(y+2)2=10,表示以A(2,-2)为圆心,以√10为半径的圆.两圆的圆心距d=√9+4=√13,|r1-r2|<d<r1+r2,故两圆相交,故选D.答案:D9.将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位长度,所得直线与x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A.0或10B.-2或8C.-3或7D.1或11解析:将直线平移后得到y=2(x+1)+λ=2x+2+λ,由题意可知,该圆圆心为(-1,2),则√2+(-1)=√5, 解得λ=-3或λ=7,故选C.答案:C10.已知a,b为两条直线,α,β为两个平面,有下列四个结论:①a∥b,a∥α⇒b∥α;②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊥α,β⊥α⇒a∥β,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①不正确,b可以在平面α内;②不正确,b可能在平面α内;③不正确,a可以在β内;④不正确,平面β可经过直线a.所以①②③④均不正确.故选D.答案:D11.过点M(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解析:由题意可知,其中一个切点是点A(1,1),根据切线的特点可知过点A,B的直线与过点M(3,1),圆心C(1,0)的直线互相垂直,由k AB·k CM=-1,得k AB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.故选A.答案:A12.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=√2,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,若四面体A'-BCD顶点在同一个球面上,则该球的体积为()A.√3π2B.3π C.√2π3D.2π解析:因为平面A'BD ⊥平面BCD ,平面A'BD ∩平面BCD=BD ,且BD ⊥CD ,所以CD ⊥平面A'BD ,所以CD ⊥A'B.又A'B 2+A'D 2=BD 2,所以A'B ⊥A'C.因为四面体A'-BCD 顶点在同一球面上,所以BC 是外接球的直径.因为BC=√3,所以球的半径R=√3.所以球的体积V=4π3·(√32)3=√3π2,故选A .答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知点A (-2,3),B (1,-4),则直线AB 的方程是 . 解析:∵k AB =-4-31-(-2)=-73,∴直线AB 的方程为y-3=-73(x+2),即为7x+3y+5=0.答案:7x+3y+5=014.已知等腰梯形ABCD ,上底CD=1,腰AD=CB=√2,下底AB=3,以下底所在直线为x 轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为 . 解析:如图所示,因为OE=√(√2)2-1=1,所以O'E'=12,E'F=√24,则直观图A'B'C'D'的面积为S'=12×(1+3)×√24=√22.答案:√2215.圆x 2+y 2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是 . 解析:已知圆的圆心为C (1,1),半径为r=1,则圆心到直线的距离为d=1+1=√2,因此,圆上的点到直线的最大距离为d max =√2+1. 答案:√2+116.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为 .解析:设球的半径为R ,六棱柱的底面边长为a ,高为h ,显然有√a 2+(ℎ2)2=R.由{V 六棱柱=6×√34a 2×ℎ=98,6a =3,解得{a =-12,ℎ=√3.所以R=1,则V 球=43πR 3=43π. 答案:43π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知两直线l 1:2x-y+7=0,l 2:x+y-1=0,点A (m ,n )是l 1和l 2的交点. (1)求m ,n 的值;(2)求过点A 且垂直于直线l 1的直线l 3的方程;(3)求过点A 且平行于直线l :2x-3y-1=0的直线l 4的方程. 解(1)因为A (m ,n )是l 1和l 2的交点,所以由{2m -n +7=0,m +n -1=0,联立解得{m =-2,n =3.(2)由(1)得点A 为(-2,3). 因为k l 1=2,l 3⊥l 1,所以k l 3=-12,由点斜式得,直线l 3的方程为y-3=-12(x+2), 即x+2y-4=0.(3)因为l 4∥l ,所以k l =k l 4=23,由点斜式得,直线l 4的方程为y-3=23(x+2),即2x-3y+13=0.18.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD 中,BD ⊥CD ,正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直,H 是BE 的中点,G 是AE ,DF 的交点,连接GH. 求证:(1)GH ∥平面CDE ; (2)BD ⊥平面CDE.证明(1)∵四边形ADEF 是正方形,且G 是对角线AE ,DF 的交点,∴G 是AE 的中点.又H 是BE 的中点,∴在△EAB 中,GH ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴GH ∥CD.又CD ⫋平面CDE ,GH ⊈平面CDE ,∴GH ∥平面CDE.(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,交线为AD ,ED ⊥AD ,ED ⫋平面ADEF ,∴ED ⊥平面ABCD ,∴ED ⊥BD.又BD ⊥CD ,且CD ∩ED=D ,∴BD ⊥平面CDE. 19.(12分)已知直线l 经过两点(2,1),(6,3). (1)求直线l 的方程;(2)圆C 的圆心在直线l 上,并且与x 轴相切于点(2,0),求圆C 的方程.解(1)由题意可知,直线l 经过点(2,1),(6,3),由直线方程的两点式可得直线l 的方程为y -13-1=x -26-2,整理得x-2y=0.(2)依题意,设圆C 的方程为(x-2)2+y 2+ky=0(k ≠0),其圆心为(2,-k2).∵圆心C 在x-2y=0上,∴2-2·(-k2)=0,∴k=-2.∴圆C 的方程为(x-2)2+y 2-2y=0,即x 2+y 2-4x-2y+4=0.20.(12分)已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.分析在第(1)问中,由于圆心C 及点P 的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CM ⊥MP ,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M 的坐标所满足的等式,从而得到点M 的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M 的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l 垂直,由此求出直线l 斜率从而得到其方程,同时可求得△POM 的面积.解(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ). 由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故x (2-x )+(y-4)(2-y )=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,√2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上, 又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM.因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=2√2,计算可知O 到l 的距离为4√10,|PM|=4√10,所以△POM 的面积为1×4√10×4√10=16.21.(12分)已知圆C 的圆心在直线2x-y-3=0上,且圆C 经过点A (5,2),B (3,2). (1)求圆C 的标准方程;(2)直线l 过点P (2,1)且与圆C 相交,所得弦长为2√6,求直线l 的方程;(3)设Q 为圆C 上一动点,O 为坐标原点,试求△OPQ 面积的最大值.解(1)设圆心P (x 0,y 0),由题意可知,圆心应在线段AB 的中垂线上,线段AB 的中垂线的方程为x=4.由{x =4,2x -y -3=0,得圆心P (4,5),∴半径r=|PA|=√10. ∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10.(2)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2,此时,圆心到直线l 的距离为2,符合题意. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-1=k (x-2),整理得kx-y+1-2k=0,则圆心到直线l 的距离d=√k +1=√k +1.由题意可知,d 2+(√6)2=r 2,即(2k -4)2k 2+1+6=10,解得k=34.所以直线l 的方程为3x-4y-2=0.故直线l 的方程为3x-4y-2=0或x=2.(3)直线OP 的方程为y=1x ,即x-2y=0.∴圆心到直线OP 的距离d=√2+1=65√5.则圆上的点到直线OP 的最大距离为d+r=65√5+√10,又|OP|=√12+22=√5,∴△OPQ 面积的最大值为12|OP|(d+r )=12×√5×(65√5+√10)=3+5√22. 22.(12分)如图①所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=90°,AB=BC=1AD=a ,E 是AD 的中点,O 是OC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1-BCDE.图①图②(1)求证:CD ⊥平面A 1OC ;(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1-BCDE 的体积为36√2,求a 的值.(1)证明在题图①中,因为AB=BC=1AD=a,E是AD的中点,∠BAD=90°,所以BE⊥AC.在题图②中,因2为BE⊥A1O,BE⊥OC,A1O∩OC=O,所以BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由题意知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,A1O⫋平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,由题图①可知,A1O=√2AB=√2a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=1×S×A1O=1×a2×√2a=√2a3,由√2a3=36√2,得a=6.。
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模块综合检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·临沂高一检测)过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( )A．6 B．1 C．2 D．42．(2016·温州高一检测)直线y－2＝mx＋m经过一定点，则该点的坐标为( )A．(－1,2) B．(2，－1)C．(1,2) D．(2,1)3．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )A.14B.13 C．2 3 D.114．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝05．(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( ) A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝167．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72π B．48π C．30π D．24π8．(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m9．设长方体的长，宽，高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( )A.285B.125C.85D.2511．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝012．(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A．1 B．2 C．4 D．8二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·宁波高一检测)若直线l1：ax＋y＋2a＝0与l2：x＋ay＋3＝0互相平行，则实数a＝________.14．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．15．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角．说法正确的命题序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.18．(本小题满分12分)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；(2)设点P 在⊙E 上，使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在？若存在求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．答案1．解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6.2．解析：选A 将直线方程化为y －2＝m (x ＋1)，则当x ＝－1时，y ＝2，即直线过定点(－1,2)．3．解析：选B 点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影为B (0,2,3)，∴|OB |＝02＋22＋32＝13.4．解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．解析：选B 设P (x ，y )，则由题意可得： 2x －2＋y 2＝x －2＋y 2，化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.7．解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．解析：选A A 中，由面面垂直的判定，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l ，m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l ∥β时，α、β可以相交；选项D 中，α∥β时，l ，m 也可以异面，故选A.9．解析：选B 由题可知，球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R ＝4a 2＋a 2＋a 2，解得R ＝62a ，所以球的表面积S ＝4πR 2＝6πa 2. 10．解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．解析：选A 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴直线OP 垂直于x ＋y －2＝0，故选A.12．解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r ＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.13．解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a＝±1.答案：±114．解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时，半径最大为－2＋－1－2＝2，此时圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝215．解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r 2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2.答案：2 16．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A BD C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②17．解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m －－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1， 所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1， 又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．解：(1)直线CD 的方程为y ＝x ＋4，圆心E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，半径r ＝22a .由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋42＝22a ，解得a ＝4. (2)∵|CD |＝－2＋42＝42，∴当△PCD 面积为12时，点P 到直线CD 的距离为3 2.又圆心E 到直线CD 距离为22(定值)，要使△PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，需⊙E 的半径2a2＝52，解得a ＝10， 此时，⊙E 的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50. 21．解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴＝0.又∵＝(3－x ，－y )，＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0， 其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2， 其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，∴k ＝±34满足条件．当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34∪－257，257时，直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C只有一个交点．。