专题09 巧求圆锥曲线中的最值和范围问题-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(解析版)
圆锥曲线中的最值、范围
圆锥曲线的最值问题
例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆 x2 y 1 2
上动点，则S=x+y的最大值是________. 思维导图：
根据椭圆的参数方程表示x、y
将S表示成关于参数的函数
圆锥曲线的最值问题
方法四:
函数法
把所求最值的目标表示为关于某个变量的 函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最 值最为普遍的方法.
y
思维导图：
把所求距离表示为椭圆
上点的横坐标的函数
A
P
x MF B
求这个函数的最小值
圆锥曲线的最值问题
方法四:
基本不等式法
先将所求最值的量用变量表示出来，再利 用基本不等式求这个表达式的最值.
这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最 为广泛的一种方法.
圆锥曲线的最值问题
例4、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它
例2、求椭圆 x2 y2 1 上的点到直线 y x 2 3 的距 2
离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.
思维导图：
y
求与 y x 2 3平行的椭圆Fra bibliotek的切线o
x
切线与直线 y x 2 3 的距离为
最值，切点就是所求的点.
圆锥曲线的最值问题
方法三:
参数法
根据曲线方程的特点，用适当的参数表示 曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关 于这个参数的函数的最值的方法.
圆锥曲线的最值问题
方法一:
圆锥曲线的定义转化法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化 为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等， 这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。
高中数学总复习：重难专攻 圆锥曲线中的最值(范围)问题
（1）求 C 的方程；
解：当 MD ⊥ x 轴时，有｜ MF ｜＝ ＋ p ＝3，得 p ＝2，
2
所以抛物线 C 的方程为 y 2＝4 x .
高中总复习·数学（提升版）
（2）设直线 MD ， ND 与 C 的另一个交点分别为 A ， B ，记直线
MN ， AB 的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线 AB
＝ ＝－16，
1 2
−4
所以直线 AB 的方程 y （ y 4＋ y 3）－ y 4 y 3＝4 x 可
化为（ y 1＋ y 2） y ＋8＝2 x ，
所以tan α＝
4
2 ＋1
，tan β＝
2
2 ＋1
，
高中总复习·数学（提升版）
2
所以tan（α－β）＝
2
＋1
＝
8
1+
（2＋1）2
线 l 的距离为
3
，求△ AOB 面积的最大值.
2
高中总复习·数学（提升版）
解：设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋
m .由已知
｜｜
1+ 2
＝
3
3
2
，得 m ＝ （ k 2＋1）.
2
4
把 y ＝ kx ＋ m 代入椭圆方程并整理，得（3 k 2＋1） x 2＋6 kmx ＋3
＝（1＋ k 2）［
36 2 2
（
−
12（2 −1）
］
2
3 +1
）
12（ 2 +1)(3 2 +1−2 ）
高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决；② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点,直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点.(1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］2解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1<X 2,2解得X 2=—x1=〒4F •①-- >由 ED — = 6DF ，得 x 0— x 1= 6(x 2— x 0),解得k = 2或k = 3.2由点D 在直线AB 上，得X o + 2kx 0-2 =x o =百.2 1 + 2k 10 7 .1 + 4k 2' 化简，得24k 2— 25k + 6= 0,y = kx , 由 V y2= 1得(1 + 4k 2)x 2= 4,X o = ^(6X 2+ X 1) = 5x 2 = _10_7 ；1 +⑵根据点到直线的距离公式和①式可知， 点E ,F 到AB 的距离分别为d 1= |X1+ 2kX1 2|=2(1 + 2k + 寸 1 + 4k 2,A /5(1 + 4 k 2 )'|X 2+ 2kx 2— 2| 2 1 + 2k - 1 + 4k 2d 2= ------ : ----- = J2 -------- ，\5心(1 + 4k 2)又 |AB|= 22 + 12= 5, •••四边形AEBF 的面积为 1 」1 厂 4(1 + 2k ) S = 2A B|(d1+ d2) = 2 • 5 • 51 + 402 2解：(1)设椭圆的方程为 字+器=1(a >b >0). 依题意可知，2b =与^= 4,所以b = 2. 又 c = 1,故 a 2= b 2+ c 2= 5,22故椭圆C 的方程为:+y =1.5 4⑵由题意，圆P 的方程为x 2 + (y —1)2= t 2+1. 设 Q(x o , y o )，因为 PM 丄 QM ,.54k 1+ 1 + 4k 2 当且仅当1 14k = k (k>0)，即k =1时，等号成立. 故四边形 AEBF 的面积的最大值为 2 2.［解题师说由于四边形 AEBF 中的四个顶点中,A ,B 为已知定点，E , F 为直线y = kx 与椭圆的 交点，其坐标一定与 k 有关，故四边形 AEBF 的面积可用直线 y = kx 的斜率k 表示，最后通过变形，利用基本不等式求最值.［应用体验］1已知椭圆 C 的左、右焦点分别为F i (- 1,0), F 2(1,0)，且F 2 到直线 X - _ 3y - 9 = 0的距离等于椭圆的短轴长.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若圆P 的圆心为P(0, t)(t >0)，且经过F i , F 2, Q 是椭圆C 上的动点且在圆 P 夕卜, 过点Q 作圆P 的切线，切点为 M ，当QM |的最大值为t 的值.1 + 4k~ + 4k 1 + 4 k2 = 2=2(1+ 2k = 2 =_1 + 4k 2=2 =21+ —= 2羽，2 4kk41+ ----- W 2 1 4k + .k，求所以|QM|= |PQ|2-12- 1 = x0+ y o—t2—t2— 1=p-揄+ 4t f+ 4+ 4代1若—4t W —2,即t>-,当y°=—2时，|QM|取得最大值，|QM |max = 4t+ 3= %2,解得t= 8<-(舍去).若—4t>—2，即O v t v2, 当y0=—4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max=寸4+ 4『=^J2，解得t^-42. 综上可知，当t=¥时，|QM|的最大值为冷2.解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；⑵利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的(3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.2 2x y［典例］(2018 •肥质检)已知点F为椭圆E： / +器=1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x+ y=1与椭圆E有且仅有一个交点M.4 2(1)求椭圆E的方程；⑵设直线x+ y= 1与y轴交于P,过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A, B,若开PM |2= |PA| |PB|,求实数入的取值范围.［思路演示］解：⑴由题意，得a = 2c, b= 3c,2 2则椭圆E的方程为4^2+总=1.2 2x_+v _—c 24 十 3 = C ， 由 x+ 2— 1 4 2•••直线X + y — 1与椭圆E 有且仅有一个交点 M ,4 2 • △— 4— 4(4 — 3c 2) — 0,解得 c 2= 1,2 2•椭圆E 的方程为x- + y — 1.4 3•••直线x + y = 1与y 轴交于P (O ,2),4 2 25•- |PM|2=-当直线I 与x 轴垂直时，|PA| |PB|= (2 + .3) X (2 — 3) = 1, 2 4••• 4PM |2= |PA| |PB|? X=.5 当直线I 与x 轴不垂直时，设直线 I 的方程为 y = kx + 2, A(X 1, y 1), B (X 2, y 2), y = kx + 2, 2 2 由 2 2消去 y ，得(3 + 4k 2)x 2+ 16kx + 4 = 0,3x 2 + 4‘- 12= 0r42则 X 1X 2= 2,且△= 48(4k — 1)>0 ,3 + 4k • |PA| |PB|=仆 + k2)x 1X 2= (1 + k 2) 1+ ^2=入• 4= -1+缶,vk 2f ，• 4<综上可知，实数 入的取值范围是 -,1 . ［解题师说］在关系式4PM |2= |PA| |PB|中，P , M 为已知定点，而 A , B 两点是动直线I 与椭圆的 交点，故4与直线I 的斜率有关，应考虑建立 4关于k 的函数关系式求解.得 x ? — 2x + 4 — 3c ?— 0.(2)由(1)得 M 1,3- 2［应用体验］2•已知椭圆E 的中心在原点，焦点 F i , F 2在y 轴上，离心率等于 乎,P 是椭圆E 上直线l 的倾斜角的取值范围.c =乎,b 2= a 2- c 2=-.••• PF 2丄 F 1F 2.•••IPF 2= a.a 2= 9,解得b 2 =2•・椭圆E 的方程为£ + x 2= 1.⑵•.•直线x =- 2与x 轴垂直，且由已知得直线i 与直线x =-号相交, •直线I 不可能与x 轴垂直，•设直线 I 的方程为 y = kx + m , M (X 1, y“，N (X 2, y 2), ,y = kx + m, q 2 2 2由 2 2得(k 2+ 9)x 2 + 2kmx + (m 2- 9)= 0.9x + y = 9•••直线I 与椭圆E 交于两个不同的点 M , N , 二△= 4k 2m 2- 4(k 2+ 9)(m 2-9)>0 , 即 m 2- k 2- 9<0.—2 km则X 1+ x 2=丙亍.•••线段 MN 被直线2x + 1 = 0平分,2b 2 =屯， 由9b 4 终=1a ，-- > -- > T 9PF 1 PF 2 = 1,-- 之 2 ••• 9|PF 2|2= 爷=1. 的点•以线段 PF 1为直径的圆经过 F 2,且—> 9PF 1 —> PF 2 = 1.(1)求椭圆 E 的方程;(2)作直线 l 与椭圆E 交于两个不同的点N.如果线段 MN 被直线2x + 1 = 0平分，求解：(1)依题意，设椭圆2E 的方程为y2 +X 2R= 1(a>b>0)，半焦距为 c.•••椭圆E 的离心率等于 2,2 3，•••以线段PF i 为直径的圆经过 F 2,x i + X 2 口戸一2 km ••• 2X -^2- + 1 = 0,即齐9 + 3 4= 0.2 2j m — k — 9<0 , 2 由 I - 2km 得 lk+9)-(k 2 + 9)<0.2「c + 1 = 0 I 2k 丿 k + 9 22k + 9T k + 9>0,.・.=^- 1<0 , 4k-k 2>3，解得 k> 3或 k< - 3. •••直线I 的倾斜角的取值范围为［升级增分训练］⑴求椭圆的离心率;⑵过点C （ - 1,0）的直线I 交椭圆于不同两点 A , B ，且N CC = 2©首，当△ AOB 的面积最 大时，求直线I 的方程.解：（1）由题意知，c +b =3 c - 所以 b = c, a 2= 2b 2,(2)设 A (X I , y i ), B (X 2, y 2), 直线AB 的方程为x = ky - 1(k z 0),因为 AC = 2 CB ，所以(一1 — X i , — y i )= 2(x 2+ 1, y 2), 即 2y 2 + y 1 = 0.①由(1)知，a 2= 2b 2，所以椭圆方程为 x 2+ 2y 2= 2b 2.x = ky -1,222222 消去 x ，得(k 2+ 2)y 2- 2ky + 1-2b 2= 0,x + 2y = 2b 所以y 1+ y 2=命•② 由①②知，y2=-命,y1=伞.2 24 （2018广东五校协作体诊断）若椭圆（+皆1（a >b>0）的左、右焦点分别为F1, F1 2,线段F i F 2被抛物线y 2= 2bx 的焦点所以e =c-ar因为 S A AOB = 2ly i 1+ 2“2|，即k = ± 2时取等号，此时直线l 的方程为x = 2y - 1或x =- 2y — 1, 即 x — 2y + 1 = 0 或 x +_ 2y + 1 = 0. 2.2 2x y(2018惠州调研)如图，椭圆 C : a 2 + b 2= 1(a > b >0)的右顶点为 A(2,0)，左、右焦点分 别为F 1, F 2,过点A 且斜率为舟的直线与y 轴交于点P ,与椭圆交于另一个点 B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点 F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；1⑵过点P 且斜率大于1的直线与椭圆交于 M ,N 两点(|PM| > |PN|),若S ^RAM : S ^RBN =人 求实数入的取值范围.解：(1)因为BF 1丄x 轴，所以点B — C ,—号,a = 2,=2，解得 b = 3,[c = 1,2 2 所以椭圆C 的标准方程是x 4+卷=1.所以 PM ―=—扌PN —>.由(1)可知 P(0, — 1)，设直线 MN : y = kx — 1 k > 1 , M (X 1, y 1), N (X 2, y 2),所以S A AOB=3皋=3打|k| 1 1a=b 2， 由 aa +ca 2 =b 2+c 2, (2)因为PAMS ^ PBN 1?|PA| |PM| sin / APM12|PB| |PN| sin / BPN|PM| 入 品=厂2)，，当且仅当|k|2= 2,y = kx — 1, 联立x 2 y 2消去y ,x +y= 1 4 3化简得(4k 2+ 3)x 2— 8kx — 8 = 0.f丄8kx1+ x2=4k T 3, 则 —8 x1x2=4k?T 5.(1,4),所以实数 入的取值范围为(4,4 + 2 3).2 23. (2018广西三市第一次联考)已知右焦点为F 2(C ,0)的椭圆C : x 2+占=1(a>b>0)过点a b1, 3，且椭圆C 关于直线x = c 对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;的右顶点，求直线 MA 的斜率k 的取值范围.解：⑴•••椭圆C 过点1, 2 , •丰+ 49b 2= 1,①•••椭圆C 关于直线X = c 对称的图形过坐标原点，••• a = 2c ,T a 2= b 2 + c 2,「. b 2= 3a 2，②4由①②得a 2= 4, b 2= 3, 2 2 •椭圆C 的方程为x + y= 1.4 3 2, 0且斜率不为零，故可设其方程为 x = my +2x = my + 1, 由 22消去 x ,并整理得 4(3m 2+ 4)y 2 + 12my — 45= 0.x+ y = 1 4 3(*)又 PM 一 = (X 1,力+ 1), PN 一 = (X 2, y 2 + 1),贝V 论 入 2X 2.将x 1=—衣代入(*)可得,2 f2 —入216k入= 224k 2+ 3.则1 <2—人< 4，且心2，解得 人4v X< 4+ 2\i 3,(2)过点2，0作直线I 与椭圆C 交于E ,F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C(2)依题意，直线l 过点设 E(x i , y i ), F(X 2, y 2), M(x o , y o ), •-y i + y 2=- 3鸽 4,3m + 412. y om•-xo =myo +2=，…k =x o -2=4m r 4.①当m = 0时，k = 0;1②当mz 0时，k = ------------ ,4 4m +mm 4m + 4 = 4|m|+8,m i i |m|• ov|k|w -, •-k w -且 k z o.8 8 8一一 1 1 综合①②可知，直线 MA 的斜率k 的取值范围是—1,-.8 82 24.已知圆x 2+ y 2= 1过椭圆字+生=1(a > b > o)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点, 2 22 2x y —> —>直线l ：y = kx + m 与圆x 2+ y 2 = 1相切，与椭圆孑+十=1相交于A ,B 两点.记X= OA ・OB ,(1) 求椭圆的方程； (2) 求k 的取值范围；(3) 求厶OAB 的面积S 的取值范围. 解：(1)由题意知2c = 2，所以c = 1. 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b = 1,2故a = -. 2,所以所求椭圆方程为 专+ 1.(2)因为直线l : y = kx + m 与圆x 2+ y 2= 1相切,y= kx + m ,即 m 2= k 2+ 1.由 x 2 22+y =1消去 y ,得(1 + 2k 2)x 2+ 4kmx + 2m 2 — 2= 0. 设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),••• yo=恃3m 2 3m 2 + 4， 所以原点O 到直线l 的距离为2—4km 2m — 2则x i+ x2—2, X1X2 —2.1 + 2k 1 + 2k—> —> 2 2 k2+1 2 3 如 1 入=OA -OB = X1X2 + y1y2= (1+ k )x1X2 + km(x1 + x2)+ m =齐昴，由3 三疋4，得2< k2< 1,即k的取值范围是⑶|AB|= 1 + k [ X1+ X2 —4X1X2]22k2+ 1 2,由k2< 1,得-2< |AB|w 3.设厶OAB的AB边上的高为d,… 1 1则S= 2|AB|d= 2|AB|,所以譽s w 2,4 3即厶OAB的面积S的取值范围是。
高考数学复习：圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
b a
2
2＝－
1， 2
所以 a2 ＝2b2，
又 c＝1， a2＝ b2＋ c2，所以 a2＝ 2， b2＝ 1，
所以椭圆 E 的标准方程为 x2＋ y2＝ 1. 2
(2)设直线方程为 y＝ kx＋m， 交椭圆于点 P(x1， y1)， Q(x2 ，y2 ).
联立方程
y＝ kx＋m， x2＋ y2＝ 1， 2
＝ 1＋ k2
16k2m2 1＋ 2k2
设 MF 1 的方程为 x＝ my－ 3，
x＝my－ 3， 由 x42＋ y2＝ 1
得 (m2＋ 4) y2－ 2 3my－ 1＝0，
y1＋
y2＝
2 m
2＋3m4，
故 1
y1y2＝－ m2＋ 4.
设 F1 M 与 F 2N 的距离为 d，
四边形 F1F 2NM 的面积为 S，
则
S＝
1 2
(|F
1M
得 (1＋ 2k2)x2＋ 4kmx＋ 2m2 －2＝ 0，
Δ＝ 8(2k2＋ 1－m2)>0 ，得 2k2＋ 1>m2，
x1＋
x2＝－
1＋4km2k2，
x1
x2＝
2m2－ 2 1＋2k2 .
所以 |PQ|＝ 1＋ k2 x1＋ x2 2－ 4x1x2
＝ 1＋ k2
－ 4km 1＋ 2k2
2－
8m2－ 8 1 ＋ 2 k2
的一个动点，且 |PF 2|的最大值为 2＋ 3， E 的离心率与椭圆
Ω：
x2 2
＋
y2 8
＝
1
的离心率相等
.
(1)求 E 的方程； (2)直线 l 与 E 交于 M ，N 两点 (M ，N 在 x 轴的同侧 )，当 F 1M ∥ F 2N 时，求四边形 F1F2NM 面 积的最大值 .
专题圆锥曲线中的最值及范围问题
高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B两点，求证：22AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C的左焦点，离心率2e =设l 为椭圆的左准线。
圆锥曲线中的最值、定值和范围问题
圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。
一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
例1：如图所示，设点1F ，2F 是22132xy+=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。
分析：12112F F B F AB F FAS S S =+ ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥，∴12FA Bt tS +=12t t+（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2f t t t=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3，此时直线A B 的方程为1x =例2．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA + )O B ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||N P的最小值与最大值.解（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为 （0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4① ②当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621对于()*，有∆=m 2+4b =10-m 2>0，所以m <<。
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)
55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个 焦点为 F(－1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
高考数学圆锥曲线中的最值与范围专题
高考数学圆锥曲线中的最值与范围专题一、整理方法 提升能力圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法：方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些）参数的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式．方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围．上述三种方法中，方法1主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见．例1 已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点为()0,1F ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN的最小值．例2 设椭圆22213x y a +=（3a >）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围．例3 已知椭圆E ：2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （0k >）的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积；（2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．二、练习巩固 整合提升练习1：如图，设抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -．（1）求p 的值；（2）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．练习2：椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）3，直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）设直线l ：y x m =+（m ∈R ）与椭圆M 有两个不同的交点P 、Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S 、T ，求PQST 的最大值及取得最大值时m 的值．练习3：如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l 、2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）求△ABD 面积取最大值时直线1l 的方程．练习4：如图，O 为坐标原点，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b-=的左右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =． （1）求1C 、2C 的方程；（2）过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P 、Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．。
高考圆锥曲线中的最值和范围问题解析版
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
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ADF 为正三角形.
（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l1 // l ，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E ， （ⅰ）证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ） ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
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[来源:]
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x2 y 2 7.【2014 高考四川第 16 题】已知椭圆 C： 2 2 1 （ a b 0 ）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长 a b
轴的一个端点构成正三角形.
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（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x 3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q. （i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点） ； （ii）当
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与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， 直线 x y 1 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心， 以椭圆的长 半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程. （2）设 P 为椭圆上一点，若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T ,且满足
5.【2014 高考江苏第 18 题】如图：为保护河上古桥 OA ，规划建一座新桥 BC ，同时设立一个圆形保护区， 规划要求，新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两 端 O 和 A 到该圆上任一点的距离均不少于 80 m ，经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60 m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处， （ OC 为河岸） ， tan BCO （1）求新桥 BC 的长； （2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
x2 y 2 1 上的点到直线 y x 2 3 的距离的最大值和最小值， 并求取得最值时椭圆上点 2
Go y 2 【变式演练 2】 【2015 届福建高三 9 月月考】如图，设椭圆 C : 2 2 1(a b 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ， a b
2 2 2
x2 y 2 1 和动圆 4
（I）求 r 的取值范围； （II ）求|AB|的最大值，并求此时圆 C2 方程
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（Ⅱ）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由（Ⅰ）的解答可知 x1=﹣ =﹣ ，x2=﹣ =﹣ ．
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【变式演练 4】 【2014 新课标 1， 理 20】 已知点 A（0， -2） ， 椭圆 E ：
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1 3 1 当 k 时， (k ) max ( ) ， 2 2 2
即 OM OQ 的最大值为 2 3 . 考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系；4.导数的应用. 【高考再现】 1 .【2014 高考福建 卷第 9 题】设 P, Q 分别为 x 2 y 6 2 和椭圆
4 . 3
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3 136 t t 80, 3t 680 680 3t 3 5 r 136 t ，∴ ∴ 10 t 35 ， 所以学科网当 t 10 时， 5 5 5 3 136 t (60 t ) 80, 5
）
4 3 3
B.
2 3 3
C.3
D.2
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3.【2014 四川高考理第 10 题】已知 F 是抛物线 y x 的焦点，点 A ， B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，
2
OA OB 2 （其中 O 为坐标原点） ，则 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（
1 ； （2）4. 2
方法三 参 数 法 解题模板：第一步 根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标； 第二步 将目标函数表示成关于参数的函数； 第三步 把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
x2 y 2 1 上动点，则 S x y 的最大值是________. 例 3.在平面直角坐标系中， P( x, y) 是椭圆 2
| TF | 最小时，求点 T 的坐标. | PQ |
【考点定位】椭圆 【反馈练习】 1．已知二次曲线
x2 y2 =1，则当 m 2,1 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是 （ 4 m
B． [
）
A． [
2 3 , ] 2 2
2 6 , ] 2 2
C． [
5 6 , ] 2 2
D． [
OS OT t OP (O 为坐标原点)，求实数 t 的取 值范围。
x2 y2 1； 【答案】 （1） （2） （-2,2）. 2
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∴
【变式演练 5】 【河北省唐山市第一中学 2015 届高三上学期期中考试，理 20】已知圆 C：(x－1)2＋(y－1)2 ＝2 经过椭圆 Γ∶
3 6 , ] 2 2
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2． 【2015 河南顶级名校高三入学考试】 抛物线 y 4 x 的焦点为 F ， 点 A, B 在抛物线上， 且 AFB 1200 ，
2
弦 AB 中点 M 在其准线上的射影为 N ，则
| MN | 的最大值为（ | AB |
）
[来源:学科网 ZXXK]
2
x2 y 2 1 上的点，则 P, Q 两点间 10
的最大距离是（ A. 5 2
） C. 7 2 D. 6 2
B. 46 2
2.【2014 高考湖北卷理第 9 题】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是他们的一个公共点，且
F1PF2
A.
3
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（
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F2 F4 3 1 .
(1)求 C1 , C2 的方程; (2)过 F1 点作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两点时,求四边形
APBQ 面积的最小值.
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[来源:学科网 ZXXK]
x2 y 2 3 2 1(a b 0) 的离心率为 ， 2 a b 2
F 是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为
(Ⅰ)求 E 的方程；
2 3 ， O 为坐标原点. 3
（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.
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x2 y2 1 的左焦点，定点 A(1, 4), P 是双曲线右支上动点，则 | PF | | PA | 的最 4 12
设双曲线右焦点为 F ，则 | PF | | PF | 2a 4 | PF | 4 | PF | 所以 | PF | | PA | 4 | PF | | PA | 4 | AF | 9 【变式演练 1】 【2014 届湖南省怀化市二模】 抛物线 y 2 4 x 上一点 P 到直线 x 1 的距离与到点 Q 2, 2 的距离之差的最大值为（ A. 3 B. 3 ） C. 5 D. 5
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r 取得最大值 130m ，此时圆面积最大．
6.【2014 高考山东卷第 21 题】已知抛物线 C : y 2 px( p 0) 的焦点为 F ， A 为 C 上异于原点的任意一
2
点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ，且有 | FA || FD | .当点 A 的横坐标为 3 时，
上顶点为 A ，点 B, F2 关于 F1 对称，且 AB AF2
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[来源:]
（1）求椭圆 C 的离心率； （2）已知 P 是过 A, B, F2 三点的圆上的点，若 AF1 F2 的面积为 3 ，求点 P 到直线 l : x 3 y 3 0 距 离的最大值． 【答案】 （1）
x2 y2 1(a b 0) (a>b>0)的右焦点 F 和上顶点 B. a2 b2
(1)求椭圆 Γ 的方程； (2)如图，过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP 的中点， 求
OM OQ 的最大值．
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【高考地位】 最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进 行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心. 【方法点评】 方法一 圆锥曲线的定义转化法 解题模板：第一步 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离 等； 第二步 利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条 件，进而求出最值. 例 1.已知点 F 是双曲线 小值为 【答案】9 【解析】 .
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方法二 切 线 法 使用情景：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线 y kx c 的距离的最值时 解题模板：第一步 设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线 y kx b ， 第二步 切线方程 y kx b 与曲线方程联立，消元得到一个一 元二次方程，且 0 ，求出 b 的值，即可求出切线方程； 第三步 两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点. 例 2. 的坐标. 求 椭圆
方法五 函 数 法 解题模板：第一步 把所求最值的目标表示为关于某个 变量的函数； 第二步 通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.