2.1.1平面课件

AB P, 证明：
P AB，P 平面 ,
点P在平面ABC与平面的交线上. （公理2）
同理可证：
Q ，R也在平面ABC与平面 的交线上.
P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上.
例8. 判断下列命题是否正确:
图形语言： A 符号语言： B C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A 符号语言： B C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
图形语言：

符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B A C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
文字语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
公理2是确定一个平面的依据.
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面.
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B


A
平面
平面
平面ABCD 平面AC 平面BD
例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
文字语言 点P在直线AB上 （或直线AB经过点P） 符号语言 图形语言
P AB
P A C A B M A1 A A C A C B
点C不在直线AB上 （或直线AB不经过点C）
B
C B
AB 平面AC
AA1 平面AC
A
A A A1
A C A A1
C
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画 出直观图. (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m.
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画 出直观图. (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m. B
平面
平面
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B


A
平面
平面
平面ABCD
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B
例7. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
例7. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
2.1.1 平面
一、平面及其表示法
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
2. 平面的特征：
2. 平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
在空间是无限延伸的.
图形语言：

P
l
符号语言：
P 且P l且P l .
公理3是判定两个平面是否相交的依据.
【例6】如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BB1的中点. (1)作出由A1，C1，M三点所确定的平面 与正方体表面的交线； (2)试作出平面A1C1M与 平面ABCD的交 线．
例7. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 (× ) 公共点.
例7. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 (× ) 公共点. 练习 课本P.43练习第1、2、3、4题
分析：因为点M既在平面
内又在平面ＡＢ１内，所以点 M在平面与平面AB1 的交线 上.同理,点A1在平面 与平面 AB1的交线上,因此,MA1就是平 面 与平面AB1的交线.
【例7】已知：ABC 在平面 外， AB P， BC Q AC R， 求证：P，Q，R三点共线.
点M在平面AC内 （或平面AC经过点M） 点A1不在平面AC内 （或平面AC不经过点A1） 直线AB与直线BC交于点B 直线AB在平面AC内 （或平面AC经过直线AB） 直线AA1不在平面AC内 （或平面AC不经过直线AA1 ）
C AB
M 平面AC
A
A1 平面AC
AB BC B
C
(1) 经过三点确定一个平面. ( ) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
例7. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
3. 平面的画法：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

A
B
l
公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

A
B
l
文字语言： 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
图形语言：

符号语言：
A
B
l
文字语言： 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面

P
a
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面

P
a
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
文字语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.

通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o.
3. 平面的画法：
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.

3. 平面的画法：
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面. B C A
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
图形语言：

P
l
符号语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：

P
l
符号语言：
P 且P l且P l .
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
A
a
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画 出直观图. (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m. B

a
A
a m

例3. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来. l a A B l a A B l
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.