晶体的定向
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晶体的定向和晶面符号
• 结晶轴的选择应当符合晶体固有的对称性
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
–首先选择对称轴和对称面的法线方向 –不存在对称轴和对称面，则平行晶棱方向选取
• 尽量使得晶轴之间夹角为90
晶轴选择遵循的（优选性）原则：
1、优选对称轴 2、其次选对称面的法线，如L22P 3、最后选择平行于发育晶棱的方向 4、使三个坐标轴尽可能互相垂直
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法 也 不 同 , 见 教 材 表 5-1( 此 表 非 常 重 要 ， 要 熟 记 ).
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴z轴，在垂直 z 轴 的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2或 P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶轴， 即x 轴、 y 轴以及 u 轴
– 晶体几何常数: a = b = 90°, g =120°, a = b < > c
– z 轴直立， y 轴左右水平， x 轴前后水平偏左30°
a、b、c和α、β、γ称之为晶体几何常数
•晶体的三轴定向:
–选择三个不共面的坐标轴 x, y, z安置晶体。
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
晶体常数：轴率、轴角
Z
c
a
bY
X
•晶体的四轴定向:
–适用于六方和三方晶系 –一个直立轴，三个水平轴
二、晶体定向原则
晶体的定向和晶面符号
• 晶体定向的概念 • 晶体定向的原则 • 晶系的定向法则(重点) • 对称型的国际符号 • 晶面符号 • 晶棱符号 • 晶带符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位。
首选建立坐标系统
《结晶学》第3章晶体定向和晶面符号
注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
矿物鉴定：晶体的定向
请注意: 在晶体的宏观形态上根据对称特 点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空 间格子的三个不共面的行列方向是一致 的.
为什么?因为空间格子中三个不共面 的行列也是根据晶体的对称性,人为地画 出来的.而晶轴也是根据晶体的对称性,人 为地选出来的.晶体的内部对称与晶体的 宏观对称是一致的,所以 晶轴与三个行列 就是一致的.
在七个晶系中，需要选择三个晶轴作为晶 体定向的有：等轴、四方、正交、单斜和 三斜晶系。
三方和六方晶系，由于它们在对称上的特 殊性，需要选择由四个晶轴组成的坐标系 对晶体定向。四个晶轴的名称和顺序为X、 Y、U和Z，其中前三个晶轴位于同一水平 面内，各晶轴正端间的夹角为γ，γ＝ 120°。
选晶轴的原则:
在三个行列上有晶胞参数(a,b,c; α,β,γ),这些参数就构成了三个晶轴上 的轴单位和晶轴之间的夹角.
（1）选对称轴作晶轴； （2）若对称轴的个数不足，不足之
数，由对称面的法线来充任晶轴， （3）若没有对称轴和对称面，则选
三个晶棱充当晶轴。 在遵循上述原则的基础上尽量使晶
轴夹角为90度.
每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系选 择晶轴的具体方法也不同,
表4-1
定向举例: (示范模型: 等轴、四方、六方、斜方)
第四章 晶体的定向与结晶符号 一、晶体定向
在晶体中选择坐标轴和确定各轴上轴
单位的比值
晶体上Байду номын сангаас设置的坐标轴，称为结晶轴
晶轴正端之间的夹角称为轴角α、β、γ
三个晶轴上的轴单位，按X、Y、Z 轴的 顺序，依次标记为a、b、c。它们代表的 实际长度，理应是晶体的格子构造中与三 个晶轴相平行的三条行列上的结点间距
空间坐标系
轴率(或称轴单位比) 结晶轴上单位长度 的比值 a：b：c
晶体定向方法
晶体定向方法晶体定向方法是一种用来确定晶体中晶面、晶轴、晶方向等参数的实验方法。
它是固态物理学、材料科学等研究领域的基本工具之一，具有广泛的应用价值和理论意义。
本文将介绍晶体定向方法的原理、常用技术手段以及在材料科学中的应用。
晶体物质是由周期性排列的原子、离子或分子构成的。
晶体中的原子、离子或分子以一定的结构方式排列在晶格上，形成晶体的独特结构，这种结构对晶体材料的物理、化学、力学等性质都有很大的影响。
晶体定向方法的基本原理是利用晶体的周期性结构，通过测量晶体和X射线（或电子束）的互相作用，来确定晶体中的晶面、晶轴、晶方向等参数。
晶体定向方法主要涉及到晶体学、X射线衍射学和电子显微学等学科的知识。
二、晶体定向方法的常用技术手段1、X射线衍射法X射线衍射法是晶体定向方法中最常用的一种方法。
它利用X射线的波长与晶格常数之间的关系，以及物质对X射线的散射规律来测定晶体中的晶面间距和晶轴方向等参数。
在该方法中，需要使用衍射仪和光源等设备来进行实验。
2、拉格朗日点法拉格朗日点法是一种实验方法，它利用晶体表面原子结构的周期性重复性质，通过测量表面上原子的动态运动，来确定晶体中的晶面和晶轴等参数。
该方法一般使用扫描隧道显微镜等设备来进行实验。
3、反射高能电子衍射法三、晶体定向方法在材料科学中的应用晶体定向方法在材料科学中有广泛的应用。
在晶体研究、材料性能优化、晶体生长和发展等方面都有很大的作用。
1、晶体材料的结构表征利用晶体定向方法可以对晶体材料的结构进行表征。
通过测定晶体中的晶面和晶轴等参数，可以确定晶体材料的结晶方式、晶格常数以及原子间距等关键参数。
这对于研究晶体中的物理、化学、力学等性质具有重要的意义。
2、晶体生长和控制在晶体生长和控制中，控制晶体的定向是非常重要的。
通过使用晶体定向方法，可以控制晶体生长时晶面和晶轴的取向，使得晶体的性能和质量得到优化。
在光电子学领域中，通过控制晶体的定向可以制备具有特殊光学性质的晶体材料。
晶体定向和晶面符号
3L2为三轴，（3L2；3L23PC） L2为Z轴，2个P的法线为X、Y轴（L22P） L2为Y轴（L2；L2PC） P之法线为Y轴（P） 2个均垂直与b轴的适当晶棱方向为X、Z轴 三个适当的晶棱方向为Z、X、Y轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
三、晶面符号
晶体定向后，表示晶面在空间相对位置的符号，又 叫米氏符号。
即晶面在三个晶轴(X,Y,Z)上截距系数的倒数比h:k:l； 通常表示为（hkl）
3、同一米氏符号中，如有两个指数的绝对值相等，而且 与它们相对应的那两个结晶轴的轴单位也相等时，则晶面 与此二结晶轴以等角度相交；
4、在同一个晶体中，如有两个晶面的三组米氏指数的绝 对值全都相等，而且正、负号恰好全都相反，则此二晶面 平行。
四、单形符号
1、因为单形是一组由对称要素联系起来的相同晶面， 故可以用一个面来表示整个单形。
晶体定向和晶面符号
一、晶体定向的概念
晶体定向：就是在晶体上选定坐标系统，从而确 定晶面、晶棱的空间方位
二、建立坐标系统
1、晶体是多面体
三维坐标系统
三个方向即晶轴 量度单位轴单位
2、选择方法
微观上： 选择平行六面体中交于一点的三个行列的方向
宏观体现： 选择对称轴、对称面的法线、晶棱 的方向
摆法：
X轴：前后，前为 ＋，后为 － Y轴：左右，右为＋ Z轴：上下，上为＋
a=b≠c α=β=γ＝90°
a≠b≠c α=γ=90° β＞90°
a≠b≠c
α≠β ≠ γ a≠b≠c
选轴原则（按晶体几何常数特征）
以三个相互垂直的L4(Li4,L2)为X、Y、Z三 轴
唯一的高次轴为Z轴; 两个相互垂直的L2(P 之法线,晶棱)为X、Y轴
唯一的高次轴为Z轴 三个互成60°交角的L2(P之法线，适当晶 棱）为X、Y、U轴
3晶体定向及晶面符号概述
右右右右型型型型
六方偏方面体
（4）单形符号
由于同一单形的各个晶面的晶面指数的绝对值不变，而 只是正负号和顺序不同； 例：立方体（100）（T00）（010）（0T0） （001）（00T） ① 单形符号----在单形各个晶面中，选择一个代表晶面的符
即： 尽量使 α= β= r = 90o 三、六方晶系 r =120o
3、尽量选择轴单位相等或趋于相等的行列作为晶轴 即： 尽量使 a=b=c
各晶系的晶体定向举例：
★ 等轴晶系：3L4、或3Li4、或 3L2 → X、Y、Z 轴⊥或棱→ X、Y、U轴 ★ 三方晶系：L3 → Z轴， 3L2或P⊥或棱 → X、Y、 U 轴 ★ 四方晶系：L4 或 Li4 →Z轴，2L2或2P⊥或晶棱 → X、Y轴 ★ 斜方晶系：3L2 或3P⊥或 棱 → X、Y、Z轴 ★ 单斜晶系：L2或P⊥→ Y轴， 2个晶棱 → X、Z轴 ★ 三斜晶系：3条晶棱 → X、Y、 Z轴
Z b1 b2 b3 b4 b5 b6 bx Y a1
a1bx= 1: x
a2
网面密度越大、晶面在
X
晶轴上的截距系数之比
网面密度与截距系数比的关系
越简单。布拉维法则：
实际晶体往往被网面密度较大的晶面所包围。
（2）整数？（见P.38 图4-7 ） 把平行于晶胞的三个行列
作为晶轴，用该行列上的结
点间距作为轴单位。晶轴相
∨∨
γα
∨
β
轴角：α、β、γ
r
（三）、晶体定向原则
1、选择晶体中的对称要素或晶棱作为坐标轴 晶体中的对称要素：Ln 、Li n、P 的法线、晶棱，必须
按下列顺序选择晶轴：Ⅰ轴、Ⅱ面、Ⅲ 晶棱。
（1）、先确定Z轴（单斜晶系先确定 Y 轴）
第三章 晶体的定向和晶面符号
A
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
rc
qb
O
pa
BY
.
X
12
如图：所示晶面在三个结晶轴 上的截距分别为2a、3b、6c，
Z
截距系数分别为2，3，6。
C
那么
截距系数的倒数比为
1 h:k:l=2
：1 3
：1 6
＝3：2：1
cb
aO
A
BY
该晶面的米氏符号为（321） X
晶面指数－米氏符号中小括号内的三个数字称晶面指数。
.
13
整数定律
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
晶面截晶轴于结点
简单的
整数比
.
14
在确定晶体上晶面的米氏符号时，并不需要知道a， b，c的大小。可以首先选择一个晶面作单位面。单位面 应该是晶体上发育很好、与三个晶轴都相截，而且截距 尽可能相等或相近的晶面。将单位面的符号定为（111 ），即认为该晶面的截距系数p=q=r，截距之比为a：b ：c。确定了单位面之后，其它晶面的符号可通过与单 位面的比较而求得。
确定轴单位
Z+ _ _ +Y
+
X_
B4
晶轴 行列，轴单位 结点间距
B3
B2
晶体常数 轴率a:b:c和轴角, ,
.
B1 b
O a A 1 A 2 A 3 3A 4
三、如何为晶体定向
1、选择晶轴的原则
（1）晶轴平行行列方向。
优先
晶轴平行 对称轴
其次
对称面的法线
Z +_
_ +Y
+
X_ 再次
平行晶棱
构成双晶的两个个体之间其结晶
晶体定向和晶面符号《结晶学》
一、晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。即选择
坐标轴（或称为结晶轴）和确定各坐标轴上的 单位长（轴单位）之比（轴率）。
Z
Z
U Y X Y
X
1、晶轴：交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x、y、z
轴，晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为：（yz）、 （zx）、（xy）。 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向，在水平方向 上为x、y、u三条互成120度夹角的坐标。
B、在上述前提下，应尽可能使晶轴垂直，轴单位
近乎相等。
§3.2各晶系晶体定向的具体原则
三轴定向
等轴、四方、斜方、单斜、三斜
四轴定向
三方、六方
1、等轴晶系
选轴原则：相互垂直的L4或Li4或L2为x、y、z轴
Z
Y
X
晶体常数：a＝b＝c，α ＝β ＝γ ＝９０0
2、四方晶系
选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直z轴并相 互垂直的L2或P的法线或晶棱方向为x、y轴。
:
OC2
= e:f:g
C2
O
A1 A2
B2
B1
X
Y
1、截距系数之比为整数比
因为晶面是面网，晶轴是行列，晶面与晶轴之交点 为结点，或平移相交于结点。因此，若以晶轴之结 点间距为度量单位，则晶面在晶轴上的截距系数之 比为整数比
c
a
b
2、为简单整数比
晶体面网密度越大，则晶面在晶轴上的截距系数之 比越简单。又依布拉维法则，晶体总是为面网密度 较大的面网所包围，所以为简单整数比。
数为0表示晶棱垂直于相应晶轴。
（4）对于三方、六方晶系的四轴定向，相应晶棱 符号的一般式写作 [u v · w].
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2015-3-29 14
注意 :
晶面符号中一般不能同时出现数字和符号 晶面与晶面负端相交，其指数为负 晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0 晶面指数的绝对值越大，晶面在晶轴上截距系数 值（绝对值）越小 两个晶面指数的绝对值、对应的轴单位都相等时， 则晶面与此二结晶轴等角度相交 同一晶体中，若晶面指数的绝对值相等、正负号 相反，两晶面必相互平行
2015-3-29
6
三、晶体定向的原则
1、晶轴的选择
应当符合晶体所固有的对称性
对称轴
即尽可能使
对称面的法线
===90, a=b=c
平行晶棱
2、步骤
高次轴
2015-3-29
L2
P 法线
显著晶棱
7
3、各晶系晶体的定向方法 晶体的三轴定向
等轴晶系
a=b=c ===90
a b c轴 左右，a 前后
x/a：y/b：z/c =r：s：t
记作[rst]，即表示晶棱符号 注意：
2015-3-29 17
截距系数之比，不再是倒数比
2. 晶带
• 晶带：交棱相互平行的一组晶面的组合， 称为一个晶带。 • 晶带轴：[rst] • 一个晶带只有一个晶带轴
3. 晶带定律
晶体上任一晶面至少属于两个晶带。
晶带：交棱相互平行的一组晶面。 晶带轴：移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号。 2015-3-29
单位面：与x、y、z轴等单位相交于a0、b0、c0， 其指数为（111）
等轴晶系:（111）晶面与x、y、z轴等距离、等单位相交 四方晶系:（111）晶面与x、y轴等距离、等单位相交，与z为 等单位、不等距离相交 斜方晶系:（111）晶面与x、y、z轴等单位、不等距离相交
同一个晶面符号，在不同的晶系，有不同的含义。
2015-3-29
Z
U
Y
X
4
2. 建立度量单位（轴单位）
晶轴应与行列平行 以结点间距作度量单位 采用结点间距a0、b0、c0的比值 OH:OK:OL= a0:b0:c0 a:b:c
轴率：即轴单位的比值。
3. 晶体常数
、 、 轴角
2015-3-29
a:b:c + 轴率
5 a0、b0、c0 已知，则 ：形状大小确定
2015-3-29 2
二、晶体定向
晶体定向：就是在晶体内部建立坐标系统。（建立坐
标轴、确定轴单位）
1. 坐标轴（晶轴）：根据各晶系对称特点 不同，建立不同坐标系。三轴、四轴 ① 对于三斜、单斜、斜方、四方、等轴晶 系，采取3轴定向，规定： YΛ Z= ; XΛZ= ; XΛY = 坐标轴：前、右、上为正 等轴晶系： = ==90° 四方晶系： = ==90°
2015-3-29
取截距系数的倒数比为h k l 1 ： 1 : 1 =h:k:l p q r
12
整数定律
Integer law晶面来自晶轴上的截距系数之比为简单的整数比
面网密度越大
2015-3-29
越简单
晶面截晶轴于结点 整数比
13
简单的
晶面的米氏符号
晶面指数
（hkl)
h:k:l 取最简单的整数比 即：h, k, l 成为3个没有公约数的整数
2015-3-29 15
四轴定向的晶面符号（hkil)
从数学角度来看，3个水平结晶 轴中必有1个是多余的，三者之 间具有某种的关系，由其中的任 意两者必能确定第三者。
E P2 P2 P1 P3 D X A 2015-3-29 B
(1011)
－
－
Z+
(1121)
－
U+
－
-
Y+
X+
(1010)
U
P2 Y
单斜晶系
abc ==90 >90
b轴, 2晶棱
左右
1L2/1P法线
a c轴
c
直立，b
a
前后但向前下方倾斜 使>90
9
2015-3-29
三斜晶系
abc 90
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为a b c轴
c b a
直立 左右 并朝右下方倾斜 大致前后方向 并使之朝前下方倾斜 使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
X2015-3-29
四、晶面符号
代表晶面空间方位的符号
只涉及晶面在空间的方位，与晶体的大小无关
晶面的米氏符号 由英国人Miller（1839）创立 用晶面在3个结晶轴上的截距系数的倒数比来表示 例：一晶面在轴率为a:b:c的晶体上的截距系数p q r
— — — OX OY OZ ： 为: =p:q:r : a b c
根据四轴定向时3个水平结晶轴的 正端互成120交角的关系，应当有： － h+k+i =0 即：3个水平结晶轴相应的晶面指 数，它们的代数和永远为0 16
五、晶棱符号和晶带
• 1. 晶棱符号：表征晶棱空间方向的符号 • 只表示晶棱的空间延伸方向 • 所有平行的晶棱只有一个符号
将晶棱平移至原点，在直线OP 上任取一点，求其坐标（x，y， z），以n倍的轴单位衡量，即可 得晶棱符号：
10
2015-3-29
晶体的四轴定向 适用于六方晶系和三方晶系的晶体
U Y
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3 X 或包含有L3 选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴 L3/L6 c轴， 3L2 / 3P /3晶棱 a b u轴
Z
a b u 轴正向之间的夹角为120 c b a Y u 轴上下直立 轴左右水平，右正左负 轴左前—右后水平，正端朝前偏左30 轴左后—右前水平，正前朝后偏左 11 30
18
晶体常数一定，知其形状、不知大小
晶胞常数： 、 、
七大晶系轴率的特点：
等轴： 四方： a0=b0=c0 a0=b0≠c0 a0 ≠ b0≠c0 a：b：c=1：1：1 a：b：c= a：c a：b：c= a：c a：b：c= a：1：c a：b：c= a：1：c
三方、六方：a0=b0≠c0 斜方： 三斜、单斜：a0 ≠ b0≠c0
2015-3-29 斜方晶系： = ==90°
三轴直角坐标系
3
三斜晶系： ≠ ≠≠90° 三轴坐标系
单斜晶系： ==90° > 90°
② 对于三方和六方晶系，采取 四轴定向：X，Y，U，Z YΛZ= ; XΛZ= ; XΛY = = =90° =120° 三轴正端夹角互为120°
第四章 晶体的定向和晶面符号
为何要进行晶体定向
何谓晶体定向
晶体定向的原则
晶面符号 晶棱符号和晶带
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一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的 晶体的具体形态取决于晶体的晶面与对称要素之 间的位置关系
3L4或3L2
c
1L4
直立，b
四方晶系
a=bc ===90
a b轴 前后
8
c轴 2L2 / 2P /2晶棱 直立，b 左右，a
c
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斜方晶系
abc == =90
a b c 轴
3L2/3P
1L2
c轴 2P法线/2晶棱 a b 轴 c 直立，b 左右，a 前后
注意 :
晶面符号中一般不能同时出现数字和符号 晶面与晶面负端相交，其指数为负 晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0 晶面指数的绝对值越大，晶面在晶轴上截距系数 值（绝对值）越小 两个晶面指数的绝对值、对应的轴单位都相等时， 则晶面与此二结晶轴等角度相交 同一晶体中，若晶面指数的绝对值相等、正负号 相反，两晶面必相互平行
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6
三、晶体定向的原则
1、晶轴的选择
应当符合晶体所固有的对称性
对称轴
即尽可能使
对称面的法线
===90, a=b=c
平行晶棱
2、步骤
高次轴
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L2
P 法线
显著晶棱
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3、各晶系晶体的定向方法 晶体的三轴定向
等轴晶系
a=b=c ===90
a b c轴 左右，a 前后
x/a：y/b：z/c =r：s：t
记作[rst]，即表示晶棱符号 注意：
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截距系数之比，不再是倒数比
2. 晶带
• 晶带：交棱相互平行的一组晶面的组合， 称为一个晶带。 • 晶带轴：[rst] • 一个晶带只有一个晶带轴
3. 晶带定律
晶体上任一晶面至少属于两个晶带。
晶带：交棱相互平行的一组晶面。 晶带轴：移至过晶体中心的一条交棱。 晶带符号：交棱的晶棱符号。 2015-3-29
单位面：与x、y、z轴等单位相交于a0、b0、c0， 其指数为（111）
等轴晶系:（111）晶面与x、y、z轴等距离、等单位相交 四方晶系:（111）晶面与x、y轴等距离、等单位相交，与z为 等单位、不等距离相交 斜方晶系:（111）晶面与x、y、z轴等单位、不等距离相交
同一个晶面符号，在不同的晶系，有不同的含义。
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Z
U
Y
X
4
2. 建立度量单位（轴单位）
晶轴应与行列平行 以结点间距作度量单位 采用结点间距a0、b0、c0的比值 OH:OK:OL= a0:b0:c0 a:b:c
轴率：即轴单位的比值。
3. 晶体常数
、 、 轴角
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a:b:c + 轴率
5 a0、b0、c0 已知，则 ：形状大小确定
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二、晶体定向
晶体定向：就是在晶体内部建立坐标系统。（建立坐
标轴、确定轴单位）
1. 坐标轴（晶轴）：根据各晶系对称特点 不同，建立不同坐标系。三轴、四轴 ① 对于三斜、单斜、斜方、四方、等轴晶 系，采取3轴定向，规定： YΛ Z= ; XΛZ= ; XΛY = 坐标轴：前、右、上为正 等轴晶系： = ==90° 四方晶系： = ==90°
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取截距系数的倒数比为h k l 1 ： 1 : 1 =h:k:l p q r
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整数定律
Integer law晶面来自晶轴上的截距系数之比为简单的整数比
面网密度越大
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越简单
晶面截晶轴于结点 整数比
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简单的
晶面的米氏符号
晶面指数
（hkl)
h:k:l 取最简单的整数比 即：h, k, l 成为3个没有公约数的整数
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四轴定向的晶面符号（hkil)
从数学角度来看，3个水平结晶 轴中必有1个是多余的，三者之 间具有某种的关系，由其中的任 意两者必能确定第三者。
E P2 P2 P1 P3 D X A 2015-3-29 B
(1011)
－
－
Z+
(1121)
－
U+
－
-
Y+
X+
(1010)
U
P2 Y
单斜晶系
abc ==90 >90
b轴, 2晶棱
左右
1L2/1P法线
a c轴
c
直立，b
a
前后但向前下方倾斜 使>90
9
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三斜晶系
abc 90
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为a b c轴
c b a
直立 左右 并朝右下方倾斜 大致前后方向 并使之朝前下方倾斜 使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
X2015-3-29
四、晶面符号
代表晶面空间方位的符号
只涉及晶面在空间的方位，与晶体的大小无关
晶面的米氏符号 由英国人Miller（1839）创立 用晶面在3个结晶轴上的截距系数的倒数比来表示 例：一晶面在轴率为a:b:c的晶体上的截距系数p q r
— — — OX OY OZ ： 为: =p:q:r : a b c
根据四轴定向时3个水平结晶轴的 正端互成120交角的关系，应当有： － h+k+i =0 即：3个水平结晶轴相应的晶面指 数，它们的代数和永远为0 16
五、晶棱符号和晶带
• 1. 晶棱符号：表征晶棱空间方向的符号 • 只表示晶棱的空间延伸方向 • 所有平行的晶棱只有一个符号
将晶棱平移至原点，在直线OP 上任取一点，求其坐标（x，y， z），以n倍的轴单位衡量，即可 得晶棱符号：
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晶体的四轴定向 适用于六方晶系和三方晶系的晶体
U Y
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3 X 或包含有L3 选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴 L3/L6 c轴， 3L2 / 3P /3晶棱 a b u轴
Z
a b u 轴正向之间的夹角为120 c b a Y u 轴上下直立 轴左右水平，右正左负 轴左前—右后水平，正端朝前偏左30 轴左后—右前水平，正前朝后偏左 11 30
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晶体常数一定，知其形状、不知大小
晶胞常数： 、 、
七大晶系轴率的特点：
等轴： 四方： a0=b0=c0 a0=b0≠c0 a0 ≠ b0≠c0 a：b：c=1：1：1 a：b：c= a：c a：b：c= a：c a：b：c= a：1：c a：b：c= a：1：c
三方、六方：a0=b0≠c0 斜方： 三斜、单斜：a0 ≠ b0≠c0
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三轴直角坐标系
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三斜晶系： ≠ ≠≠90° 三轴坐标系
单斜晶系： ==90° > 90°
② 对于三方和六方晶系，采取 四轴定向：X，Y，U，Z YΛZ= ; XΛZ= ; XΛY = = =90° =120° 三轴正端夹角互为120°
第四章 晶体的定向和晶面符号
为何要进行晶体定向
何谓晶体定向
晶体定向的原则
晶面符号 晶棱符号和晶带
2015-3-29 1
一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的 晶体的具体形态取决于晶体的晶面与对称要素之 间的位置关系
3L4或3L2
c
1L4
直立，b
四方晶系
a=bc ===90
a b轴 前后
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c轴 2L2 / 2P /2晶棱 直立，b 左右，a
c
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斜方晶系
abc == =90
a b c 轴
3L2/3P
1L2
c轴 2P法线/2晶棱 a b 轴 c 直立，b 左右，a 前后