概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量
3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。
)()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。
）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ
3、2函数x
2
11F(x)+=
就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果
在其它场合恰当定义。
在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞
<<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ⎩⎨
⎧≥<<∞=01
)()(~
x x X F x F －
则)(~
x F 可以就是某一随机变量的分布函数。
3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为
[]。，）；（，）；（，）（⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解:(1)当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20
=⎰π
xdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分
布密度; (2) 因为
12sin 0
≠=⎰
π
xdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∈23,
ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
[][]。
－－故上式右端＝知由证：）1)(21a)P(1a)(3)P(1;
-2F(a))(21
)(1)1(,)(2)()()2(;
)(21
)()(1)(1)(1)(1)(1)()()1(.
)(F 12)()3(;
1)(2)()2(;(p 21
)(1)()1(0
00
00
-=<=>-=-==<-=--=-=-=+=-==--=>-=<-=
-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰-∞-∞-∞-∞
--∞
-a F dx
x p a F dx x p dx x p a P dx x p dx x p dx x p a F dx x p dx
x p dx x p dx x p a F a a P a F a P dx x a F a F a a a a a a
a
a
a
a
a ξξξξξ
3、5设)(1x F 与
)(2
x F
都就是分布函数,证明
F(x)=aF(x)+bF(x)
也就是一个分布函数,并由此讨论,分布函数就是否只有离散型与连续型这两种类型？ 证:因为
)(1
x F
与 )(2x F 都就是分布函数,于就是
F(x1)＝aF1(x1)+bF2(x2)<= aF1(x1)+bF2(x2)= F(x2) 又
F(x-0)= aF1(x1-0)+bF2(x2-0) = aF1(x)+bF2(x)= F(x) 所以,F(x)也就是分布函数。 取a=b=1/2,又令
F1(x)=0 x<=0,1 x>0 F2(x)=0 x<＝0 x 0
⎪⎩
⎪
⎨⎧><=<+<==11102/)1(00)(F x x x x x
既然,与F(x)对应的随机变量不就是取有限个或可列个值,故F(x)不就是离散型的,而F(x)不
就是连续函数,所以它也不就是连续型的。 3、6设随机变量ζ的分布函数为
1(1) 0
()0 0
x x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩
求相应的密度函数,并求(1)P ζ≤。
解:
[1(1)]x x d
x e xe dx
---+=,所以相应的密度函数为
()0 02
(1)(1)1x xe x p x x P F e
ζ-⎧≥=⎨
<⎩≤==-
3、7设随机变量ζ的分布函数为
20 x<0()Ax 0x<10 x 1F x ⎧⎪
=≤⎨⎪≥⎩
求常数A 及密度函数。
解:因为F(1-0)=F(1),所以A ＝1,密度函数为
2 0x<1
()0 x p x ≤⎧=⎨⎩
其他
3、8随机变量ζ的分布函数为F(x)=A+B arctg(x),常数A 与B 及相应的密度函数。 解:因为
()()0
lim 2
lim ()()1
2
x x F x A B F x A B π
π
→-∞
→+∞
=+⋅-
==+⋅-
=
所以 11B 2A π
＝，＝， 因而 2111
F(x)=(),()()2(1)
arctg x p x F x x ππ'+=
+
3、9已知崔机变量ζ的分布函数为
≤⎧⎪
≤⎨⎪⎩
x 0 p(x)=2-x 1 （1） 求相应的分布函数F(x); （2） 求(0.5), ( 1.3), (0.2 1.2)p p p ζζζ<><< 解: x 201201 0 x 01 1 21 x>2x ydy x F x ydy y dy x x ≤⎧⎪⎪=≤⎪=⎨ ⎪+-=--≤⎪⎪⎩ ⎰⎰⎰ 1(0.5)(0.5),8 ( 1.3)1( 1.3)1(1.3)0.245,(0.2 1.2)(1.2)(0.2)0.66P F P P F P F F ζζζζ<== >=-≤=-=<<=-= 3、10确定下列函数仲的常数A,使该函数成为一元分布的密度函数。 (1) ();x p x Ae -= (2)cos ()220 A x x p x ππ⎧ -≤≤⎪ =⎨⎪⎩其他 (3)2 12 () 2 ⎪⎩ 其他 解:(1) 221x x Ae dx A e dx A ∞ ∞ --∞ ===⎰ ⎰－,所以 12 A = ; (2) 220 2 cos 2cos 21A xdx A xdx A ππ π -===⎰⎰,所以 12 A = ; (3) 2 8 21 2 29 16 Ax dx Axdx A += =⎰ ⎰,所以 629 A = 。 3、11在△ABC 中任取一点P,P 到AB 的距离为δ,求δ的分布函数、 解: 作△ABC 的高CD,设CD=h 。当0≤x ≤h 时,作EF ∥AB,椒EF 与AB 间距离为x 。 当0≤x ≤h 时 F(x)=P(δ＜x)= ABC EFBA S S ∆∆ =1－ABC CEF S S ∆∆=1－2 )(h x h -, 因此 F(x)=⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎨⎧ >≤≤⎪ ⎭⎫ ⎝⎛-- x h x x x h x 101002 3、12在半径为R,球心为O 的球内任去一点P,求.的分布函数 OP =δ 解:当0≤x ≤R 时 F(x)=P(δ 333 434R x ππ=3 ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛R x ,所以 F(x)= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪ ⎭⎫ ⎝⎛ x R x R x x 1 000 3 3、13某城市每天用电量不超过一百万度,一δ表示每天的耗电率(即用电量除以一百万度),它具有分布密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧<<-=其他 010) 1(12)(2 x x x x ρ 若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率就是多少?如每天供电量为90 万度又就是怎样呢? 解: ⎰ ⎰=-=>=-=>. 0037.0)1(12)9.0(, 0272.0)1(12)8.0(2 1 9 .02 18.0dx x x P dx x x P δδ 因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为0、0272,若每天的供电量为90万度,则供电量不够需要的概率为0、0037、 3、14设随机变量δ服从(0,5)上的均匀分布,求方程 02442=+++δδx x 有实根的概率、 解:当且仅当 0)2(16)4(≥+-δδ (1) 成立时,方程02442 =+++δδx x 有实根、不等式(1)的解为: δ该方程有实根的概率因此或,.12-≤≥δ ⎰==≥+-≤+≥=.5 351 )2()1()2(52 dx P P P δδδρ 3、15设随机变量δ服从正态分布N(0,1),求 (1)();04.085.1)2();33.202.0(<<-<<δδP P (3)()21.180.2-<<-δ 解:)02.0()33.2()33.202.0()1(Φ-Φ=<<δP ;4821.00080.04901.0=-≈ (2))85.1()04.0()04.085.1(-Φ-Φ=<<-δP [])85.1(1)04.0(Φ--Φ= )0976781(5160.0--≈ =0、4838; [])80.2(1)21.1(1)80.2()21.1()21.180.2()3(Φ--Φ-=-Φ--Φ=-<<-δP 1105.08869.09974.0)21.1()80.2(=-≈Φ-Φ= 3、16设随机变量ξ服从正态分布N(108,9), (1)求P(101、1<ξ<117、6); (2 ) 求常数α,使P(ξ<α)=0、90; (3 ) 求常数α,使P(｜ξ-α｜>α)=0、01。 解: (1) P(101、1<ξ<117、6) = P )2.33 108 3.2(<-< -ζ [])3.2(1)2.3()3.2()2.3(Φ--Φ=-Φ-Φ= ;988589.0989276.01999313.0=+-≈ (2) ();84.111,28.13 108 ,.90.031083108 =≈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-= ξζ ()()()() ()(), 01.0310821363108310823108023=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-+⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛->-=<+>=-<-+>-=>-a P a P P a P a a P a a P a a P ξξξξξξξ 5.5733.231082,99.031082=≈-=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-Φa a a 即查表得 所以 () ()()()()75.57,65.135,95.035,9.013523535353530035 2; 9236.043.143.135300) 43.135 300 (250)1(:9 .0,)2(; 250)1()(35),(300,,17.32≥≥≥⎪⎭ ⎫ ⎝⎛Φ≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪ ⎭⎫ ⎝⎛<-<-=+<<-≈Φ=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛<-=->-=>+-==x x x x x x x x P x a x a P P P P x a x a x a a N 即所以即 解之间的概率不小于与使寿命在求小时以上的概率求电池寿命在小时小时其中分布服从正态某种电池的寿命ξξξξξσσξ ()( )( )( )( )2222222 2 2 2 2 2 32 2 2 2 2 22 34 22 33.180,1,01111:1111 113,1111x x y y x x x y x x y x x x x N x x x x x x e dy e dy e dy x y e e dy x x y x x x x -- - - -∞ ∞ - - ∞ ∞ ---Φ>⎛⎫• >-Φ>- ⎪⎝⎭-Φ== =•⎛⎫- ⎪⎝⎭ •>-Φ>-⎰ 设为分布的分布函数证明当有证所以⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()()()()()()()()()()()() ()() ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0 ,5;,,4; ,,0,,,3; ,,0,,,2; ,,,,,1,5;,4;,3; ,2;,1:,,,193=+∞<-∞<-+∞=+∞<<-+=<<-<≤=<=-+=<<-<≤=≤≤≤+--=<≤<≤+∞<-∞<+∞<<<=≤≤≤<≤<≤ηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξξP x F x F x P y a F y a F y a P y a P y a P y a F y b F y a P y b P y b a P c a F d a F c b F d b F d c b a P ：P x P y a P y b a P d c b a P y x F y x F ，。解表示下列概率的联合分布函数为设二维随机变量 3.20 设二维随机变量(ηξ,)的联合函数为F(x,y),用它表示(ηξ,)落在区域D(如下图所示)内 的概率: 解: ). ,(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),([)],(),(),(),([),(),(),(),(]),[(51311232234324441555234324441131123212511555b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F b a F D P -+--++--= +---+---+--=∈ηξ3。21 证明:二元函数 ⎩ ⎨ ⎧≤+>+=0,00 ,1),(y x y x y x F 对每个变元单调非降、左连续,且F(-∞,y)=F(x,- ∞)=0,F(- ∞,+ ∞)=0,但就是F(x,y)并 不就是一个分布函数。 证:设⊿x>0, 若x+y>0,由于x+⊿x+y>0,所以F(x,y)=F(x+⊿x,y)=1, 若x+y ≤0,则F(x,y)=0、当x+⊿x+y ≤0时,F(x+⊿x,y)=0,当x+⊿x+y>0时,F(x+⊿x,y)=1。 所以F(x,y)≤F(x+⊿x,y)。 可见,F(x,y)对x 非降。同理,F(x,y)对y 非降。 (2)x+y ≤0时, 。 y x y x F y x F y y x F y x x F ， y x y x F y y x F y x x F y x y x 左连续对所以时,),(),,(1),(),(0), ,(0),(),(lim lim lim lim 0 ==∆-=∆->+==∆-=∆-↓∆↓∆↓∆↓∆ (3)F(-∞,y)=F(x,-∞)=0,F(+∞,+ ∞)=0、 (4)P(0≤,1)0,0()2,0()0,2()2,2()20,2-=+--=<≤ D a 4 a 3 a 2 a 1 O b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 y 3.22设在⊿ABC 中,AB=l 、BC=k,∠B=90ο,在⊿ABC 中任取一点M,M 到AB 的距离为ρ,∠MAB=。），（的联合分布函数求ϕρϕ, 解:设0≤x ≤k,arctg ,.y NAB N ，ABC l k arctg y l x =∠∆≤≤使中作点在N 与AB 的距离为x 、作ND//AB,NE ⊥AB 且点D 与点E 分别在BC 与AB 上,显然EN= x 、 , )2(2 1) (21 ),(kl xctgy l x kl l xctgy l x s S y x P ABO ANDB -=+-== <<∆∆ϕρ 至于l x arctg y k x ≤≤≤≤0,0时,同理可得 ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎧>>≤≤>>≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤-<<== l k arctg y k x l k arctg y k x k ltgy l k arctg y k x k x kx l x arctg y k x k ltgy l x arctg x l x arctg k x kl xctgy l x y x y x F k ltgy y x F ,,10,,,0,20,0,,0,)2(00,0),(,),(2 2或所以 3.23二维随机变量(),ηξ的密度函数为 C K N D B X E ρ L M y A ϕ ⎪⎩⎪ ⎨⎧≤≤≤≤+=其它 ,02020),sin(21 ),(ππy ，x y x y x p 求(),ηξ的分布函数。 解: 所以时当)],sin(sin [sin 2 1 )]cos([cos 21)sin(21) ,(),(2 0,20000y x y x dt y t t dsdt s t y x P y x F ，y x y x x +-+=+-=+=<<=≤ ≤≤ ≤⎰⎰⎰ηξπ π F(x,y)=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧ >>≤≤>-+>≤≤-+≤ ≤≤≤+-+<⋃<.2,2,120,2),cos sin 1(21 2,20),cos 1(sin 21 20,20)],sin(sin [sin 2 1)0()0(0ππππππππy x y x y y y x x x y x y x y x y x ， 3.24 设二维随机变量(),ηξ的联合密度为 ⎩⎨⎧>>=--，其它 ，00,0),(43y x ke y x p y x (1)求常数k; (2)求相应的分布函数; (3)求P )20,10(<<<<ηξ。 解:(1) 12 300 4 43k x k y x dx e dxdy ke == ⎰⎰⎰∞ -∞∞ --, 所以 K=12; (2)x>0,y>0时, )) ⎝⎛ ⎝⎛== ⎰⎰⎰⎰----ds e dt e dtds e y x F y s x x t y s t 0 40030 431212),( =)1)(1(43y x e e ----,所以 ⎩⎨⎧>>--=--其它 ,00 ,0),1)(1(),(43y x e e y x F y x (3))20,10<<<<ηξ（P =F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)-F(0,0) =.11163 ---+--e e e 3.25 设二维随机变量),(ηξ有密度函数 ) 25)(16(),(222y x A y x P ++= π 求常数A 及),(ηξ的分布函数。 解: ⎰⎰∞∞-∞ ∞ -dxdy y x p ),( = dxdy y x A ⎰⎰∞∞-∞ ∞-++)25)(16(222π =1202516402 022==++⎰⎰∞ ∞ A y dy x dx A π,所以A=20; ⎰⎰∞-∞ -= x y dtds s t p y x F ),(),( = ⎰⎰∞-∞ -++x y s t dtds )25)(16(20 222π =)) ⎝⎛+ ⎝⎛+⎰⎰∞ -∞ -y x s ds t dt 22 2251620π = ))252412 π ππ+ ⎝⎛ ⎝ ⎛+y arctg x arctg 3．26 设二维随机变量),(ηξ的密度函数为 ⎩ ⎨⎧<<<<=其它,01 0,10,4),(y x xy y x p 求(1))14 1 ,210(<<< <ηξP ; (2));(ηξ=P (3))(ηξ 解: (1))14 1 ,210(<<< <ηξP = ;64 1544210 1 1 4 12 14 1⎰⎰⎰⎰= =ydy xdx xydxdy (2);04)(== =⎰⎰=Y X xydxdy P ηξ (3)⎰⎰⎰⎰<∞ -== x xydydx xydxdy P 1 1 44)(ηξ =;2 1)(21 8 = -⎰ dx x x (4) .2 1)(= ≤ηξP 3.27 设二维随机变量),(ηξ的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它 ,02 0,10,3 ),(2y x xy x y x p 求)1(≥+ηξP 。 解: ⎰⎰>+= ≥+1 ),()1(y x dxdy y x p P ηξ = dydx xy x )3 (102 12⎰⎰ ∞ -+ =72 65)21346 5(23 1 =++ ⎰ dx x x x 或利用求)1(1)1(<+-=≥+ηξηξP P 、 3、28设(ηξ,)的密度函数为 p(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤其他 ,020,10,21 y x 求ξ与η中至少有一个小于 2 1 的概率。 解:P[(21< ξ)⋃(21<η)]=1-P (2 1,21≥≥ηξ) =1- ⎰⎰ ∞∞ 212 1p(x,y)dxdy =1- ⎰⎰1 212 2121dxdy=8 5、 3、29 一台机器制造直径为ξ的轴,另一台机器制造内径为η的轴套,设(ηξ,)的密度函数为 p(x,y)= ⎝ ⎛<<<<其他 ,053 .051.0,51.049.0,2500y x 如果轴套的内径比轴的直径大于0、004,但就是不大于0、036,则两者就能很好地配合成套。现在随机地选择轴与轴套,问两者能很好配合的概率就是多少？ 解:P(0、004<036.0≤-ξη) =⎰⎰≤-<036 .0004.0),(x y dxdy y x f = []96.02500 )04.0()02.0(2 2 =•- 。 3.30 一个电子器件包含两个主要元件,分别以ξ与η表示这两个元件的寿命(以小时计),设 (ηξ,)的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+--=+---其他 ,00,0,1),() (01.001.001.0y x y x F e e e y x y x 求两个元件的寿命都超过120的概率。 解: 09 .0) 1()1()1(1)0120,0120()0120,(),0120(1)120,120()120()120(1)] 120()120[(1) 120,120(4 .24 .22 .12 .12 .12≈=+-+----=++++∞-∞+-=≤≤+≤-≤-=≤⋃≤-=>>-----e e e e e F F F P P P P P ηξηξηξηξ 3.31 设 )(),(2 1 x x p p 都就是一维分布的密度函数,为使 ),()()(),(2 1 y x h y x y x p p p +•= 为一个二维分布的密度函数,问其中的),(y x h 必须且只需满足什么条件？ 解:若p(x,y)为二维分布的密度函数,则 ⎰ ⎰ ∞ ∞-∞ ∞ -=≥1),(,0),(dxdy y x p y x p 。 所以条件(1)⎰∞ ∞ -=• ≤ 0),()2();()(),(2 1 dxdy y x h y x y x h p p 得到满足。 反之,若条件(1),(2)满足,则 ⎰⎰ ∞∞-∞ ∞ -=≥),(,1),(, 0),(y x p dxdy y x p y x p 为二维分布的密度函数。 因此,为使p(x,y)成为二维分布的密度函数,h(x,y)必需且只需满足条件(1)与(2)。 3.32 设二维随机变量(ηξ,)具有下述密度函数,求边际分布。 (1)⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>>=+-其他.01,1,2),(31 y x x e y x p y (2) ⎪⎩ ⎪⎨⎧>≤≤>⋅=+-其他或，.00,00,01),()(2 1 22y x y x e y x p y x π (3)⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<<⋅-⋅⋅Γ⋅Γ=---其他.00,)()()(1),(112121y x e x y x k k y x p y k k 解(1));1(,2 2)(1 3 31>== ⎰ ∞ +-x x dy x e x p y ξ ). 1(,0)(≤=x x p ξ );1(2)(, 11 3 1>==+-∞ +-⎰ y e dx x e y p y y η ).1(,0)(≤=y y p η (2)x>0时, ⎰ ⎰ ∞- +-∞ -- +-⋅=⋅=≤= ⋅=0 2 )(2 1 2 )(2 1 , 211 )(0211 )(222222x y x x y x e dy e x p x e dy e x p π π ππ ξξ时， 所以,.21)(.21)(2 2 22y x e y p e x p - - ⋅= ⋅= π π ξξ同理， (3)⎰∞---⋅-⋅Γ⋅Γ=x y k k dy e x y k k x x p 1211 21)()()()(ξ );0(,) (1 111>⋅⋅Γ= --x e x k x k ).0(,0)(≤=x x p ξ ⎰----⋅⋅Γ⋅Γ=y k k y dx x y x k k e y p 0 112121)()()()(η );(,) (1 12121>⋅⋅+Γ= --+y e y k k y k k ).0(,0)(≤=y y p η 3.33 设二维随机变量在边长为a 的正方形内服从均匀分布,该正方形之对角线为坐标轴,求边际分布密度。 解: ⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=G y x G y x a y x p ),(,0),(,1 ),(2 当2 0a x ≤ ≤时, ),2 (21)(2222x a a dy a x p x a a x +== ⎰ --ξ 当02 ≤≤- x a 时, ),2 (21)(22 22x a a dy a x p a x a x +== ⎰ +--ξ 所以,);2 (),2(2)(2a x x a a x p ≤-= ξ ).2(,0)(a x x p > =ξ 同理,);2 (),2(2)(2a y y a a y p ≤-= η ).2(,0)(a y y p > =η 3.34 证明:若随机变量ξ只取一个值a,则ξ与任意的随即变量η独立。 证:ξ的分布函数为 ⎩⎨ ⎧>≤=. .1; ,0)(a x a x x F ξ 设η的分布函数、(ξ,η)的联合分布函数分别为)(y F η、F(x,y) 当a x ≤时,F(x,y)=P ).()(0),(y F x F y x ηξηξ⋅==<< 当x>a 时,F(x,y)=P ).()()(),(y F x F y P y x ηξηηξ⋅=<=<< 所以,对任意实数x,y,都有F(x,y)= ).()(y F x F ηξ⋅故ξ与η相互独立。 3.35 证明:若随机变量ξ与自己独立,则必有常数c,使P(ξ=c)=1。 证 : 由 于 ) ()(),()(x P x P x x P x P <⋅<=<<=<ξξξξξ,所以 0)(,)]([)(2==x F x F x F 或1。由于)(,1)(,0)(x F F F =+∞=-∞非降、左连续,所以存在 常数c,使得 ⎩⎨⎧>≤=. .1; ,0)(a x a x x F ξ 故P(ξ=c)=1。 3、36设二维随机变量),(ηξ 的密度函数为 ⎩⎨ ⎧<=+=others y x y x p 0 1 /1),(22π 问ηξ,就是否独立？就是否不相关？ 解: ).1|(|,)(1);1|(|,12/)(12 112 2 >=<=-==⎰ --- x x p x x dy x p x x π π 同理,).1|(|,0)(2);1|(|,12)(22 >=<=-= y y p y y y p π 由于p(x,y)!=p1(x)p2(y), 所以ηξ,不相互独立。 又因p1(x),p2(y)与p(x,y)关于x 或关于y 都就是偶函数,因而E ξ=E η=E 0）＝（ξη 故ηξ, 不相关。 3、37设） （ηξ,的密度函数为p(x,y), 证明:ηξ,独立的充要条件就是p(x,y)可分离变量,即 p(x,y)=g(x)h(y)并回答g(x),h(y)与边际密度函数有什么关系？ 解:若 ηξ,相互独立,则p(x,y)=p1(x)p2(y),即p(x,y)可分离变量。 反 之 ,若p(x,y)=g(x)h(y), 令 ⎰⎰∞ ∞-∞∞ -=dy y h dx x g c )()(＝则 ⎰⎰∞ ∞ -∞ ∞ -==)()()(),()(1x dg dy y h x g dy y x p x p ＝同理p2(y)=ch(y)、由⎰∞∞ -dx x p )(11＝推得 cd=1、故p(x,y)=p1(x)p2(y)于就是ηξ,相互独立。所以,ηξ,独立的充要条件就是p(x,y)可分离变量,即 p(x,y)=g(x)h(y)、此时,g(x)与边际密度p1(x),h(y)与边际密度p2(y),各自相差一个常数因子。 3、38设(ηξ,)的密度函数为 ⎩⎨ ⎧<<<<=others y x y x p 0 1 0,10cxy ),(2 求常数 c 且证明ηξ,相互独立。 解:⎰⎰ == 101 26/1c dxdy cxy 所以c=6、 取g(x)=6x,(0 ⎩ ⎨⎧<=<=-=others z y x z y x z y x 02,,0)sin sin sin 1(8/1),,(p 2π π 试证明ζηξ，, 两两独立,但不相互独立。 证: 0)(2,1;2,0,24/1),,(),(2,120 =<=<==⎰ xy p y x dz z y x p y x p πππ ＝其它。同理 p1,2(x,z)= 2 4/1π,0>=x,z<=2π;p1,3(x,z)=0, 其 它 。 P2,3(y,z)= 24/1π,0<=y,z<=2π;p2,3(y,z)=0,其它。 0)(1;20,2/1y ),(32)(120 =<=<==⎰ x p x d y x p x p πππ，＝其它。 所以p1,2(x,y)=p1(x)p2(y);p1,3(x,z)=p1(x)p3(z),p2,3(y,z)=p2(y)p3(z)故ζηξ，,两两相互独立。但因p(x,y,z)!=p1(x)p2(y)p3(z), ζηξ，,相互独立。 3、40利用概率论的想法证明:当a>0 时,有 22a 2/212/1a a x e dx e ----=⎰＝π、 证:设随机变量ηξ,相互独立,都服从N(0,1)分布。 p(x,y)=1/2pi*exp{-1/2(x2+y2)}、 显然, ⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰-=a a edx pi dxdy y x p 2)2/1(),(,x=rcosw,y=sinw,则 ⎰ ⎰ ⎰⎰ ---==a a a e edxdy pi dxdy y x p 2pi 20 12/1),( 得 ⎰--- a a e edx pi 212/1 3、41设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度 ⎩⎨ ⎧<=>100 100 /100)(2 x x x x p 一盒电子管收音机在开初使用的150小时中,三个这类管子没有一个要替换的概率就是多少？三个这类管子全部要替换的概率就是多少？(假设这三个管子的寿命分布就是相互独立的) 解:设这类电子管的寿命为w,则 3/2/100)150(150 2==>⎰∞ dx x w p 可以三个管子均不要替换的概率为8/27;三个管子均要替换的概率为1/27 3．42 由点(0,a)任意作一直线与y 轴相交成角ξ(即ξ就是服从(- )2 ,2π π上均匀分布的随机变量),求此直线与x 轴相交的横坐标的密度函数。 解: 过点(0,a)与y 轴相交成角ξ的直线方程为y=ctgx+a 、此直线与x 轴交点的横坐标tgx -=η,得x=arctg(-)a y ,dx=dy a b a 22+-、则由ξ的密度函数)22(,1)(π ππξ<<-=x x p ,推得η的密 度函数为 .,) (| |)(2 2∞<<-∞+= y a y b a p πη 3．43 在半径为R,中心在坐标原点的圆周上任取一点(即该点的极角为服从(-],ππ上的均 匀分布的随机变量),求(1)该点的直角坐标的分布密度:(2)连接该点与(-R,0)所成弦的长度分布密度。 解:(1)设极角为θ,则该点的横坐标θξcos •=R ,R ||≤ ξ在R x R ≤≤-时,由 )(arccos )arccos ()cos ()(πθθπθξ≤<+-<<-=<•= x P R x p x R p x p =(ππ/)arccos R x -, 得ξ的分布密度为 ).|(|,0)();|(|,1 )(2 2R x x R x x P x R p >=≤-= ξξπ 同理得该点的饿纵坐标θηsin •=R 的分布密度为 ).|(|,0)();|(|,1 )(2 2 R y y R y y P y R p >=≤- = ηηπ 该点与(-R,0)所成的弦的长度R R 0 2 0,2 cos 2≤≤=ζθ ζ,在R x 20≤≤时,由 )2 cos 2()(x R p x p <=<θ ζ )2arccos 2()2arccos 2(πθθπ≤<+-<<-=R x P R x p x R x /)2arccos 2(-=π 得ζ的分布密度为 , 0)(; 20,42 )(2 2 =≤≤- • = x R x x p x R p ζζπ其它。 3． 44 对球的直径作近似测量,设其值均匀分布在区间[a,b],求球体积的密度函数。 解: 设球的直径为ξ,则其体积 ξ πη3 6 1=。x y 3 6 1π= 的反函数 dy dx y x y •==32 336/2,/6π π。由ξ的密度函数b x a a b x p ≤≤-=),/(1)(,得η的密 度函数为: 第三章 随机变量与分布函数 1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻 0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。 2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。 3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;,,2,1,)(N k N c k f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。 4、证明函数)(2 1)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。 9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服 从[0，1]均匀分布。 10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使 )}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ， 则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(20σm N ，已知0m ，关于参数σ； （2）正态分布),(200σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。 但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。 11、试证)2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02<->>ac b c a π2 b a c k -=。 12、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数，),(y x h 必须而且 只需满足什么条件。 13、若),(ηξ的密度函数为 ???>>=+-其它, 00,0,),()2(y x Ae y x f y x ， 习题3-1 1. 而且12{0}1P X X ==. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1 和X 2不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j --只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1 {0,2}35 35P X Y C C C === = ,111 322 6 {1,1}3535 P X Y C C C === = , 1213226{1,2}3535P X Y C C C ====,2023223 {2,0}3535P X Y C C C ====, 21132212{2,1}3535P X Y C C C ====,220 3223 {2,2}3535P X Y C C C ====, 3013222{3,0}3535P X Y C C C ====, 3103222 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4();(1)()3();0()(P 2);()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 2 11F(x)+= 就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在），（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ⎩⎨ ⎧≥<<∞=01 )()(~ x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ230302201 解:(1)当⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20 =⎰π xdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分 布密度; (2) 因为 12sin 0 ≠=⎰ π xdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有 《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前 1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 11 ()(1)(1),2,3, .k k P X k p p p p k --==-+-= 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==， max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 111121113623423423424 = ??+??+??=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 12111312311 23423423424 = ??+???+??= ， 第三章习题解 1 在一箱子中装有12只开关，其中 2 只是次品，在其中任取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。定义随机变量X ，Y 如下： 0,1X ?=? ?若第一次取出的是正品， ，若第一次取出的是次品。 0,Y 1?=?? 若第二次取出的是正品， ，若第二次取出的是次品。 试分别就（1），（2）两种情况写出X ，Y 的联合分布律。 解 （1）放回抽样 由于每次抽取时都是12只开关，第一次取到正品有10种可能，即第一次取到正品的概率为 105{0}126 P X == =， 第一次取出的是次品的概率为 21{1}126P X == = 同理，第二次取到正品的概率105 {0}126P Y === 第二次取到次品的概率为21 {1}126 P Y === 由乘法公式得X ，Y 的联合分布率为 {,}{|}{}{}{}P X i Y j P Y j X i P X i P X i P Y j =========，0,1i =，0,1j =。 具体地有 5525{0,0}6636P X Y ===?= ，515 {0,1}6636P X Y ===?=， 155{1,0}6636P X Y ===?=，111 {1,1}6636 P X Y ===?= 用表格的形式表示为 （2 5{0}6P X == ，1 {1}6 P X == 因为第二次抽取时，箱子里只有11只开关，当第一次抽取的是正品，则箱子中有9只 正品）。所以 9{0|0}11P Y X ===， 2{1|0}11 P Y X === 10 {0|1}11 P Y X ===， 1{1|1}11P Y X === 则5945{0,0}61166P X Y ===?= 5210 {0,1}61166P X Y ===?=， 11010{1,0}61166P X Y ===?= ，111 {1,1}61166 P X Y ===?= 用表格表示为 2 （14只球，以X 表示取 到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律。 （2）在（1）中求{}P X Y >，{2}P Y X =，{3}P X Y +=，{3}P X Y <-。 解 X 可能的取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为0，1，2。 {0,0}{}0P X Y P ===?=（因为盒子里总共只有7只球，每次取4只球，而红球2只，故不可能白球和黑球同时都取不到） {0,1}{}0P X Y P ===?=， 2202234 71 {0,2}35C C C P X Y C ==== {1,0}{}0P X Y P ===?= 1123226 {1,1}3535C C C P X Y === =。 1213226{1,2}3535C C C P X Y ====。 22 323 {2,0}3535C C P X Y ==== 21132212{2,1}3535C C C P X Y ====， 22323 {2,2}3535C C P X Y === =， 31322{3,0}3535C C P X Y ====， 31322 {3,1}3535 C C P X Y ====， {3,2}{}0P X Y P ===?= 其联合分布律为 习题3-1 而且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以 X 1和X 2不独立. 2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 概率论与数理统计习题及答案 ----第3章习题详解 概率论马敖理<<+対軀及各嚓 ——第呂章N 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正 面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出 现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y 的联合 分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在 其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表: 红,2白）= 3. 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为 ..n .. .. n 0_x ,0_y_ — 2 2 其他. 加＜y#内的概率. 【解】如图P{0 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 求：(1) 常数A ; (2)随机变量(X , Y )的分布函数; (3) P{0 *1, 0之<2}. 【解】(1)由 U(x,y)dxdy Ae?"y) dxdy =￡ = 1 得 A=12 (2)由定义，有 y x F(x, y) !. j. f(u,v)dudv e 」x )(1-「y ) y 〉O,XAO, i o, -. 0， 其他 ⑶ P{0 _X ：：1,0 _Y :: 2} 二 P{0 ：： X 岂 1,0 ：： Y < 2} 1 2 =Jo ( 12e* x44y) dxdy = (1 — ed)(1—e 」” 0.9499. 5. 设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 (X, y )= ‘Ae*y) 0, x ■ 0, y 0, 其他. （X ，y ）= k(6 - x - y), 0 ： x 2,2 y 4, 其他. 概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正 面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y 的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球， 在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： f （x ，y ）= ?? ?>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由-(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 1 2 (34) 3 8 00 {01,02}12e d d (1 e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=? ? ?<<<<--. , 0, 42,20), 6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. Bocker - 1 - 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 111222⨯⨯111222 ⨯⨯= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 的联合分布律如表： 2324 7C 3 C 35= 1 32 4 7C 2C 35= 12 322 4 7C C 6C 35= 11322 4 7C C 12C 35=132 4 7C 2C 35 = 24 27C /C = 21322 4 7C C 6C 35 = 2324 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭ ⎬⎫ ⎩ ⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ - 2 - ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 2 (31).4 =--+= - 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =⎰⎰ ⎰ ⎰ 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ⎰⎰ (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨ ⎩⎪⎩⎰⎰其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰ ⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=⎩⎨ ⎧<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有 概率论与数理统计第三章课后习 题答案 习题二 1■将一硬币抛掷二次，以X表示在二次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律. 【解】X和丫的联合分布律如表: 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和丫的联合分布律如表: 3?设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为 求二维随机变量（x, y）在长方形域 内的概率. 4 6 3J 【解】如图叫眈怎＜今空^ 求：（1）常数/； F (x, y)sin xsin y, 0, 0"岁詣 其他. ?Tt ■兀?兀■兀=sin — _sin ——sin —_sin —— 4 3 4 6 二#(dl). 斗 sin OLfein K ■八■兀—+sin Iksin — 3 6 JT 7 说明：也可先求出密度函数，再求概率。4?设随机变量（X, Y）的分布密度 f（兀，y）j e-(3.r+4y)x >0, y > 0, 其他. (2) 随机变量(X, Y)的分布函数; (3) P{0 ?1, 0之<2}. 【解】(1)由 f(x,y)dxdy ° ° Ae (3x4y) dxdy ￡ 1 得 A = 12 (2) 由定义，有 y x F (x, y) f (u, v)dudv y y (3u 4v) 12e dudv o o 0, (3) P{0 X 1,0 Y 2} P{0 X 1,0 Y 2} 5. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为 (1 e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0, 0, 其他 2 12e (3x 0 4y)dxdy (1 e 3)(1 e 8 ) 0.9499. f(x ，y)= k(6 x y), 0, x 2,2 y 4, 其他. 第三章 多维随机变量及其分布 一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ） 1、若X ，Y 均服从正态分布，则（X ，Y ）服从二维正态分布 （ × ） 2、随机变量（X ，Y ）的概率密度为22,1(,)0,k x y f x y ⎧+≤=⎨⎩其它，则π1 =k （√ ） 3、有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。（√） 二、单选题 1、随机变量X ，Y 相互独立且~(0,1)X N ，~(1,1)Y N ，则下列各式成立的是( B ) A ．21}0{= ≤+Y X P ； B ．21 }1{=+≤Y X P ； C ．21}0{=≥+Y X P ； D ．-≤=1 {1}2 P X Y 。 分析 因X ，Y 相互独立，它们又都服从正态分布，因此X +Y 与X -Y 也都服从正态分布，且 (1,2)X Y N + ，(1,2)X Y N -- ，由于1 {1}(0)2P X Y +≤=Φ=Φ=，选B 2、设随机变量21,X X 的分布律为： 1 01 111424 i X p - i =1,2且满足1}0{21==X X P ，则== }{21X X P ( A ) A ．0； B ． 41；C ．2 1； D ．1。 分析 从1}0{21==X X P ，可知12{0}0P X X ≠=，即 12121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0P X X P X X P X X P X X =-=-==-====-==== 根据联合分布与边缘分布的关系，求出21,X X 的联合概率分布 12121212{}{1,1}{0,0}{1,1}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===，选A 3、设随机变量X ，Y 相互独立且同分布：1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1 {1}{1}2 P X P Y ====，则下列各式成立的是( A ) A ．1 {}2P X Y == ； B ．{}1P X Y ==； C ．1{0}4P X Y +==； D ．1 {1}4 P XY ==。 分析 {}{1,1}{1,P X Y P X Y P X Y ===-=-+== 11111 {1}{1}{1}{1}22222 P X P Y P X P Y ==-=-+===⨯+⨯=选A 三、 概率论第三章习题参考解答 1. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第2题算出ξ的分布率为 ξ 0 1 P 1/3 2/3 因此有E ξ=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)=2/3 +2η, ξ与η的分布律如下表所示: : 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长的分布计算. 解: 由长和宽的分布率可以算得 E ξ=29×P (ξ=29)+30×P (ξ=30)+31×P (ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9 E η=19×P (η=19)+20×P (η=20)+21×P (η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得 E ζ=2(E ξ+E η)=2×(29.9+20)=99.8 而如果按ζ的分布律计算它的期望值, 也可以得 E ζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质. 4. 连续型随机变量ξ的概率密度为 ⎩⎨ ⎧><<=其它 ) 0,(10)(a k x kx x a ϕ 又知Eξ=0.75, 求k 和a 的值。 解: 由性质 ⎰+∞ ∞ -=1)(dx x ϕ 得 11 1)(|10110 =+=+= =++∞ ∞ -⎰⎰a k x a k dx kx dx x a a ϕ 即k =a +1 (1) 又知 75.02 2)(|1021 1 =+=+= == +++∞ ∞ -⎰⎰a k x a k dx kx dx x x E a a ϕξ 得k =0.75a +1.5 (2) 由(1)与(2)解得 第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 一、 设随机变量),(Y X 的密度函数为 ⎩ ⎨ ⎧≥≥=--。 y x ke y x f y x 其他,0.0,0, ),(43 (1) 求常数k ; (2) 求分布函数),(y x F (3) 求{}20,10≤<≤ 概率论与数理统计第三章课后习题答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- g g g g 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= > > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? 概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ⎩⎨ ⎧<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1< ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵⎰⎰⎰ ⎰ +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ⎰ ⎰= --= < 习题(x ít í)三 1.将一硬币(y ìngb ì)抛掷三次，以X 表示在三次中出现(chūxiàn)正面的次数，以Y 表示三 次中出现正面(zhèngmiàn)次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合(liánhé)分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 3 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 1 0 31 32 4 7C C 2C 35 = 2 P (0黑,2红,2白)= 22 324 7C C 3 C 35 = 0 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）= 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域内的概率. 【解】如图 X Y X Y 题3图 说明：也可先求出密度(mìdù)函数，再求概率。 4.设随机变量(suí jī biàn liànɡ)（X，Y）的分布(fēnbù)密度 f（x，y）= 求：（1）常数(chángshù)A； （2）随机变量(suí jī biàn liànɡ)（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由 得A=12 （2）由定义，有 (3) 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 故 （2） (3) (4) 题5图 6.设X和Y是两个(liǎnɡ ɡè)相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从(fúcóng)均匀分布，Y的密度(mìdù)函数为 f Y（y）= 求：（1）X与Y的联合分布(fēnbù)密度；（2）P{Y≤X}. 《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3, .k k P X k p p p p k --==-+-= 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ⋅⋅= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 12111312311 23423423424 = ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=， 习题3-1 1. 而且12{P X X . 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =⋅==≠, 所以X 1 和X 2不独立. 2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨ ⎩ 其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤. 解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞ -∞ =⎰ ⎰ , 得 24 2 422 2 2 04 2 11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ , 所以 1 8 k = . (2) 3120 1,3 1{1,3}d (6)d 8 (,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<= =--⎰⎰ ⎰⎰ 1 3 220 1 1(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5 { 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞ -∞ -∞ <==⎰⎰ ⎰ 4 1.52 1d (6)d 8 y x y x --= ⎰ ⎰ 1.5 4 22 01 1(6)d 82y x x y = --⎡ ⎤⎢⎥⎣ ⎦⎰ 421633 ()d 882y y =-⎰ 2732 =. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此 {P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈ 概率论与数理统计03-第三章作业及答案 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 137 习题3-1 而且12{0}1P X X ==12 解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 138 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =⋅== ≠, 所以 X 1和X 2不独立. 2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 (,)(6),02,24, 0, .f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨ ⎩其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤. 解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞ +∞-∞ -∞ =⎰⎰ , 得 24 2 422 2 2 04 2 11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ , 所以 1 8 k =. (2) 312 1,3 1{1,3}d (6)d 8 (,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<= =--⎰⎰ ⎰⎰ 1 3 220 1 1(6)d 82y x x y =--⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5 { 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞ -∞ -∞ <==⎰⎰ ⎰ 4 1.5 20 1d (6)d 8 y x y x --=⎰⎰ 1.5 4 22 01 1(6)d 82y x x y = --⎡ ⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 4 21 63 3()d 882 y y = - ⎰ 2732 =. 第三章 连续型随机变量 3.1 设随机变数ξ的分布函数为)(x F ，试以)(x F 表示下列概率： （1）)(a P =ξ；（2）)(a P ≤ξ；（3）)(a P ≥ξ；（4）)(a P >ξ 解：（1）)()0()(a F a F a P -+==ξ； （2）)0()(+=≤a F a P ξ； （3）)(a P ≥ξ=1-)(a F ； （4）)0(1)(+-=>a F a P ξ。 3.2 函数2 11 )(x x F += 是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 （1）∞<<∞-x π （2）0∞<概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
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