(完整word版)西安电子科技大学12级数学系大一期中考试数学分析试卷
陕西省西安2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
西安2023—2024学年度第一学期期中考试高一数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合{}N|13M x x =∈-≤<的真子集的个数是（）A.3B.6C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得{}012M =,,，结合真子集的个数的计算方法，即可求解.【详解】由集合{}{}N|130,1,2M x x =∈-≤<=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=.故选：C.2.设,a b ∈R ，则“lg lg 0a b +=”是“1ab =”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由lg lg 0a b +=lg 01ab ab ⇒=⇒=且0a >且0b >，故选：A ．3.已知集合{}2A x x =>，{}2B x x m =<，且R B A ⊆ð，则实数m 的取值范围是（）A.()1,+∞B.[)1,+∞C.(),1-∞ D.(],1-∞【答案】A 【解析】【分析】先求出{}R |2B x x m =≥ð，再根据条件R B A ⊆ð，即可求出结果.【详解】因为{}2B x x m =<，所以{}R |2B x x m =≥ð，又{}2A x x =>，R B A ⊆ð，所以22m >，得到1m >，故选：A.4.已知8215,log 3ab ==，则32a b -=（）A.25B.5C.259D.53【答案】B 【解析】【分析】先由对数公式把,a b 化简，然后代入32a b -即可求解.【详解】由题意可得2215log 15aa =⇒=，38221log 3log 3log 33b ===，所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫-=-⨯=-== ⎪⎝⎭，所以2log 53225a b -==.故选：B.5.三个数0.35a =，50.3b =，515c ⎛⎫= ⎪⎝⎭大小的顺序是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b a c>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.【详解】由5x y =为增函数，则0.30551a =>=，由5y x =为增函数，555110.35⎛⎫>> ⎪⎝⎭，所以a b c >>.故选：A6.已知0.150log 2,log 2a b ==，则21a b+=（）A.-2 B.-1C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】先取倒数，再应用对数运算律计算即可.【详解】因为0.150log 2,log 2a b ==,所以2211log 0.1,log 50a b==，2222211log 0.01log 50log 0.5log 12a b +=+===-.故选:B.7.已知:p 存在2,10x R mx ∈+≤；:q 对任意2,10x R x mx ∈++>，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为（）A.2m ≤-B.2m ≥ C.2m ≥或2m ≤- D.22m -≤≤【答案】B 【解析】【分析】先求出p ，q 是真命题的x 的范围，由于p 或q 为假命题，得到p ，q 应该全假，即p ，q 的否定为真，列出方程组，求出m 的范围．【详解】解：若p 真则0m <；若q 真，即210x mx ++>恒成立，所以△240m =-<，解得22m -<<．因为p 或q 为假命题，所以p ，q 全假．所以有022m m m ⎧⎨-⎩或 ，所以2m ．故选：B ．【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：p 且q 的真假，当p ，q 全真则真，有假则假；p 或q 的真假，p ，q 中有真则真，全假则假；非p 的真假与p 的真假相反．8.一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，则不等式20cx bx a ++<的解集为（）A .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1123,⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.()3,2-- D.113,,2⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b 、c 与a 的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3，∴a<0，且2，3是方程20ax bx c ++=的两个实数根，∴2323b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得5,6b a c a =-=，其中a<0；∴不等式20cx bx a ++<化为2650ax ax a -+<，即26510x x -+>，解得13x <或12x >，因此所求不等式的解集为11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D ．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分.）9.若函数()2313x ax f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像经过点()31，，则（）A.2a =- B.()f x 在()1∞-，上单调递减C.()f x 的最大值为81 D.()f x 的最小值为181【答案】AC 【解析】【分析】利用函数经过点()31，,可求出a ,再应用函数性质每个选项分别判断即可.【详解】对于A :由题意得()361313a f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，得2a =-,故A 正确;对于B :令函数223u x x =--，则该函数在(),1-∞上单调递减，在[)1,∞+上单调递增．因为13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减，故B 错误;对于C D :因为()f x 在(),1-∞上单调递增，在[)1,∞+上单调递减,所以()()max 181f x f ==,()f x 无最小值．故C 正确,D 错误;故选:AC .10.若0a b <<，那么下列不等式一定成立的是（）A.11b ba a+>+ B.11a b a b -<-C.22ac bc < D.11a b>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.【详解】对于A,若 1.5,0.5a b =-=-，则10.51110.53b b a a +==-<=+-,故A 不一定成立;对于B,因为0a b <<,所以11a b>,所以11a b -<-,所以11a b a b-<-,所以B 一定成立;对于C,当0,c =22ac bc =,所以C 不一定成立;对于D,因为0a b <<,所以11a b>,所以D 一定成立.故选:BD.11.下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A.()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B.()f x 的值域为RC.()f x 在定义域上单调递减D.点(2,2)是()f x 图象的对称中心【答案】AD 【解析】【分析】由1()22f x x =+-，可知由1y x =向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到()f x ，根据1y x =的性质得到()f x 的性质，即可判断；【详解】解：()221231()2222x x f x x x x -+-===+---由1y x =向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到1()22f x x =+-，因为1y x=关于()0,0对称，所以()f x 关于()2,2对称，故D 正确；函数()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞，故A 正确，B 错误；函数()f x 在(,2)-∞和(2,)+∞上单调递减，故C 错误；故选：AD12.已知正数,a b 满足421a b +=，则（）A.144a a +的最小值为 2 B.ab 的最大值为132C.112a b+的最小值为8 D.22164a b +的最小值为12【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式的性质，逐个选项进行判断即可，注意等号成立的条件.【详解】对于A ，0a >，所以，1424a a +≥，当且仅当1=4a 时等号成立，但此时，=0b ，与题意不符，故A 错误；对于B，421a b +=≥解得132ab ≥，当且仅当4=24+2=1a b a b ⎧⎨⎩，即1=41=8b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时，等号成立，故B 正确；对于C ，11114()(42)4822b aa b a b a b a b +=++=++≥，当且仅当22=44+2=1b a a b ⎧⎨⎩，即1=41=8b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时，等号成立，故C 正确；对于D ，由421a b +=，可得2241168b a a =+-，所以，2223281164a a a b +=-+，当18a =时，此时，14b =，所以，22164a b +的最小值为12，故D 正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡上的相应位置.）13.若33m m --=99m m -+的值为__________.【答案】14【解析】【分析】33m m --=.【详解】33m m --=()23312m m --=，即99212m m -+-=，解得9914m m -+=.故答案为：1414.某城市出粗车按如下方法收费：起步价6元，可行3km （含3km ），3km 后到10km （含10km ）每多走1km （不足1km 按1km 计）加价0.5元，10km 后每多走1km 加价0.8元，某人坐出租车走了13km ，他应交费____________元．【答案】11.9【解析】【分析】结合已知条件，利用分段函数的概念直接计算即可.【详解】结合已知条件可知，某人坐出租车走了13km 所交费为6(103)0.5(1310)0.811.9y =+-⨯+-⨯=（元）.故答案为：11.9.15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为______.【答案】[0,1)【解析】【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).故答案为：[0,1)16.已知关于x 的不等式2(1)320k x x -+-<有且仅有两个不同的整数解，则实数k 的取值范围为__________.（结果用区间表示）【答案】[)3,6【解析】【分析】根据题意，分10k -=，10k -<以及10k ->讨论，结合条件列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】当10k -=时，即1k =，此时不等式为320x -<，解得23x <，则不等式有无数个整数解，不符合题意；当10k -<时，即1k <，则函数()2(1)32f k x x x -=+-的开口向下，则不等式的整数解有无数个，不符合题意；当10k ->时，即1k >，使得不等式2(1)320k x x -+-<有且仅有两个不同的整数解，则()981810k k ∆=+-=+>，且函数()2(1)32f k x x x -=+-，()020f =-<，所以0是其中的一个整数解，则另一个整数解为1或1-，而()11320f k k =-+-=>，所以1不是另一个整数解，所以另一个整数解是1-，则()()1020f f ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩，解得36k ≤<；综上所述，实数k 的取值范围为[)3,6.故答案为：[)3,6四、解答题（本题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1）计算：122302132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知lg 2a =，lg 3b =，用a ，b 表示36log 5【答案】（1）52-；（2）122aa b -+.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算法和换底公式，准确运算，即可求解.【详解】解：（1）由指数幂的运算性质，可得：原式12232927344531()41299822--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝==---=-⎭+（2）由对数的运算性质，可得：36lg 5lg10lg 21lg 21log 5lg 36lg 4lg 92lg 22lg 322aa b---====+++.18.已知集合302x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<.（1）若m 使幂函数()234()33m f x m m x-=-+在(0,)+∞上为减函数，求集合R A B ⋂ð；（2）已知x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）2{|0x x -<≤或23}x ≤<（2）[]0,1【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质，求得1m =，再由不等式的解法，求得集合,,A B C ，结合集合的运算法则，即可求解；（2）根据题意，求得集合,A C ，结合题意，转化为C 是A 的真子集，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由幂函数()234()33m f x m m x-=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =，当1m =时，可得1()f x x -=，此时函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，符合题意；当2m =时，可得2()f x x =，此时函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意，所以1m =，可得集合{}{}220|02B x x x x x =-<=<<，{}{}12|13C x x x x =-<=-<<则R {0B x =≤ð或2}x ≥，又因为{}30|232x A xx x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭，所以R {|20A x x B =-<≤ ð或23}x ≤<.【小问2详解】解：由集合{}|23A x x =-<<，{}{}2|22C x x m x m x m =-<=-<<+，因为x A ∈是x C ∈的必要不充分条件，可得集合C 是A 的真子集，则满足2223m m -≥-⎧⎨+≤⎩且等号不能同时成立，解得01m ≤≤，即实数m 的取值范围为[]0,1.19.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x <时，()12x f x =+（1）求函数()f x 的解析式.（2）画出函数()y f x =的图象，并写出函数()y f x =单调区间及值域.【答案】（1）()12,0{0,011,02x xx f x x x +<==-->（2）单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1<y<2或－2<y<－1或y ＝0}【解析】【分析】试题分析：（1）由函数为奇函数可得()00=f ，将0x >转化为0x -<，代入函数式，结合奇偶性可求得函数解析式；（2）利用函数图像可得到单调区间及值域试题解析：（1）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－0）＝－f （0），所以f （0）＝0，因为x<0时，f （x ）＝1＋2x ，所以x>0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（1＋2－x ）＝－1－12x，所以f （x ）＝12,0{0,011,02x x x x x +<=-->（2）函数f （x）的图象为根据f （x ）的图象知：f （x ）的单调增区间为（－∞，0），（0，＋∞）；值域为{y|1<y<2或－2<y<－1或y ＝0}.考点：函数求解析式及函数单调性最值【详解】20.已知()f x 是二次函数，且满足()02f =，()()224f x f x x +-=+，（1）求()f x 的解析式（2）当[],1x m m ∈+，其中m R ∈，求()f x 的最小值.【答案】（1）()2122f x x x =++（2）()2min 272,2223,2122,12m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩【解析】【分析】（1）设()2f x ax bx c =++，利用待定系数法可求函数的解析式；（2）分类讨论二次函数的对称轴在区间的左侧，中间，右侧，结合二次函数的的性质求解函数的最值即可．【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，因为()02f =，所以2c =又()()224f x f x x +-=+，∴22(2)(2)()24a x b x c ax bx c x ++++-++=+，即44224ax a b x ++=+，∴42424a ab =⎧⎨+=⎩，解得1,12a b ==，∴()2122f x x x =++.【小问2详解】∵()2122f x x x =++，对称轴=1x -，开口向上，故函数在区间(],1-∞-单调递减，在区间[)1,-+∞单调递增，故()()min 312f x f =-=当2m ≤-时，即11m +≤-，此时函数在区间[],1m m +上单调递减，()()2min 171222f x f m m m =+=++；当21m -<≤-时，此时函数在区间[],1m -上单调递减，在区间(]1,1m -+上单调递增，()()min 312f x f =-=；当1m >-时，此时函数在区间[],1m m +上单调递增，()()2min 22m f x f m m ==++；所以()f x 的最小值为()2min 272,2223,2122,12m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩21.已知函数()21x b f x ax +=+是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()112f -=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，并用函数单调性的定义证明.（3）求满足不等式()()2110f t f t -+-<的实数t 的取值范围.【答案】（1）()21x f x x =+；（2）单调递增，证明见解析；（3）[)0,1.【解析】【分析】（1）由奇函数性质及()112f -=-求得参数即可；（2）设1211x x -£<£，结合因式分解证()()120f x f x -<；（3）由[][]211,111,1t t ⎧-∈-⎪⎨-∈-⎪⎩求得定义域，由奇函数及增函数性质可得211t t -<-，求解即可【小问1详解】由奇函数性质得，()()()222200111x b x b b f x f x b ax ax a x +-+=--⇒=-⇒=⇒=++-+，又()()21112111f a a -==-⇒=--+，∴()21x f x x =+；【小问2详解】函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增.证明如下：设1211x x -£<£，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，由121210,0x x x x ->-<得()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<，故函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增；【小问3详解】由[][]211,111,1t t t ⎧-∈-⎪⎡⇒∈⎨⎣-∈-⎪⎩，由奇函数性质得()()()()()222110111f t f t f t f t f t -+-<⇔-<--=-，由增函数性质得21121t t t -<-⇒-<<.综上，实数t 的取值范围为[)0,1。
2024年西安工程大学数学分析、高等代数考研真题(含部分解答)
2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题一、计算题(1-6每题10分，7-8每题15分，共90分).220231lim .(1)x x x x e e x e →---- 2.20232023202320241lim(12).n n n→∞+++3.3x .4.设,a b为常数且20 1.xx a →>=求a 和b . 5.求函数(,,)22f x y z x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最值。
6.判断2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--的原函数是否存在，说明理由。
若存在，求出它的一个原函数。
7.作适当变换，计算d d y x yDex y +⎰⎰,这里{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥∣. 8.计算2d (1)SSx y ++⎰⎰,其中S 为平面1x y z ++=在第一卦限部分。
二、证明题(9-11每题10分，12-13每题15分，共60分)9.设数列{}n a满足111,1).n a a n +==≥证明数列{}n a 收敛，并求lim .n n a →∞10.利用函数的凹凸性证明不等式ln ln ()ln(0,0).2x yx x y y x y x y ++≥+>> 11.求证：当0y >时，21sin d 1xy e x x y +∞-=+⎰. 12.设函数()f x 定义在区间I 上。
试证()f x 在I 上一致连续的充要条件为：对任何数列{}{},,n n x y I ⊂若lim()0,n n n x y →∞-=则[]lim ()()0.n n n f x f y →∞-= 13.设211(),[1,1]ln(1)n n f x x x n n ∞==∈-+∑.求证： 1)()f x 在[1,1]-上连续； 2)()f x 在1x =-处可导。
2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题-高代 一、填空题（每题6分，共30分）1.设3阶实矩阵22332,,3A B αβγγγγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中23,,,αβγγ均为3维行向量，且||18,||2A B ==,则||A B -=2.设λ是A 的特征值，则1P AP -的特征值是。
陕西省西安市电子科技大学附中高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
试题分析：(1)由已知得 解之即可；
(2)由已知得 ，由此可求其定义域
试题解析;
(1)由已知得 ⇒ ∴函数的定义域为 .
(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，得x≠－3，x≠－1.
∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)．
18.
已知函数
在坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系内画出函数 大致图像；
21.已知函数
（1）当 时，证明函数在 上是增函数；
（2）讨论函数在 上的单调性.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）在 上任取 ，计算 ，变形，判断符号，即可证明函数在 上的单调性；
（2）在 上任取 ，计算 ，变形，分析 或 需要的条件，来达到确定函数在 上的单调性的目的．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数 的定义域为 ，可得 ，求解 的范围得答案．
【详解】解：∵函数 的定义域为 ，∴ ，
解得 ，∴函数 的定义域为： ．故选B．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．
10.设函数 ，若 ，则实数a=( )
A. -4或-2B. -2或4C. -4或2D. -2或2
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13.若 ，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
将 代入计算即可．
【详解】解：由已知 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查已知函数解析式，求函数值，是基础题．
14.已知 则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出集合 ，集合 ，直接求交集即可得结果．
西安电子科技大学数学分析2008
西安电子科技大学2008一、（35）计算下列各题1．（6分）求11n x x -→- 2．（6分）20ln 1x dx x +∞+⎰ 3．（64．（8分）1L dy dx x y --+⎰，其中L 是下半圆周()220x y ax a +=>沿x 增加的方向。
5．（9分）23xzdydz zydzdx xydxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x z =--≤≤ 的上侧。
二、（36分）下列结论是否成立？请说明理由1．若数列{}n x ，{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，且n x 无界，则n y 必有界。
2．若函数在一点处存在左、右导数，则函数在该点处连续；3．若一个函数的导函数在有限区间上有界，则该函数也在此区间有界；4．符号函数在[]1,1-上可积并存在原函数；5．若多元函数在某点不连续，则在该点一定不存在偏导数。
三、（10分）设(),z z x y =是由方程(),0F x z y z --=所确定的隐函数，其中F 具有连续二阶偏导数。
证明20xx xy yy z z z ++=。
四、（10分）一质点在力(),F x y yi xj =+的作用下，从原点沿直线移动到抛物线21y x =-上一点()(),0P u v v ≥。
当力F 所作的功达到最大和最小时，点P 所在的位置分别在哪里？五、（15分）设lim 0n n a →∞=， (1)证明12lim 0n n a a a n→∞+++= (2)若{}n a 单调递减，证明12n a a a n +++ 单调递减，()1211n n n a a a n ∞=+++-∑ 收敛。
六、（15分）设()f x 在[),a +∞上二阶可导，且()0f a >，()0f a '<，()()0f x x a ''≤>。
证明：方程()0f x =在[),a +∞中有且仅有一个实根。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年陕西省西安电子科技大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，B ={3,4}，则(∁U A )∩B =( )A. {3}B. {3,4}C. {2,3,4}D. ｛4｝ 2. 若A ={0,1，2，3}，B ={x|x =3a,a ∈A}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {0,1}C. {0,3}D. {3}3. 函数f(x)=log 2(1−2x)+1x+1的定义域为( )A. (0,12) B. (−∞,12)C. (−1,0)∪(0,12)D. (−∞,−1)∪(−1,12)4. 已知f (x )在R 上是奇函数，当x ∈[0,+∞)时，f (x )=2x 2−x ，则f (−1)=( )A. −3B. −1C. 1D. 35. 已知集合A ={x||x +2|≥5}，B ={x|−x 2+6x −5>0}，则A ∪B 等于( )A. RB. {x|x ≤−7或x ≥3}C. {x|x ≤−7或x >1}D. {x|3≤x <5}6. 已知函数f (x )={0,x >0,π,x =0,π2+1,x <0,则f (f (f (−1)))的值等于( )A. π2−1B. π2+1C. πD. 0 7. 下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =lnxB. y =x 3C. y =3xD. y =sinx 8. 已知函数f(x)={f(x +2)(x ≤1)2x −4(x >1)，求f(0)的值( )A. −4B. 0C. 4D. 29. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a10. 设f(x)={2−x +a,(x ≤0)−x 2+2ax,(x >0)，若对任意x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,0] B. [0,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]11. 若函数f(x)=lg(x +√x 2+1)，则f(−52)+f(52)的值( )A. 2B.C. 0D. 312. 已知x ∈(0,π2)，且函数f (x )=1+2sin 2x sin2x的最小值为m ，若函数g (x )={−1,π4<x <π28x 2−6mx +4,0<x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为( )A. (π4,π2)B. [√34,π2)C. [√34,√32)D. (π4,√32]二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 函数y =a x 2−3x+2(a >1)的单调增区间是______ ． 14. 已知2m =5n =10,则2m +2n =_________．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x ,x ≤0则f(f(f(13)))= ______ ．16. 集合{−1,0,1}共有__________个子集． 三、解答题（本大题共5小题，共56.0分） 17. 计算(Ⅰ)log 38+2log 32−log 3329(Ⅱ)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 2318. 求函数f(x)=log 13(x 2−5x +4)的定义域和单调区间．19. 已知二次函数f(x)满足条件f(0)=0和f(x +2)−f(x)=4x(1)求f(x)；(2)求f(x)在区间[a,a +2](a ∈R)上的最小值g(a)．20. 已知函数f(x)={ax +3−4a,x <1x 2−ax,x ≥1．(Ⅰ)若a =3，则m 取何值时y =f(x)的图象与直线y =m 有唯一的公共点？ (Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增，求实数a 的取值范围．21.已知二次函数f(x)与x轴的两交点为(−2,0)，(3,0)，且f(0)=−3，求f(x)．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查的是交、补集的混合运算，属基础题． 根据补集、交集的定义计算即可． 【解答】解：C U A ={2,4}，B ={3,4}， ∴(C U A)∩B ={4}， 故选D ． 2.答案：C解析： 【分析】本题考查集合的交集及其运算，属于基础题．将集合A 中的元素代入x =3a 中计算确定出集合B ，求出两集合的交集即可． 【解答】解：因为B ={x|x =3a,a ∈A}={0,3，6，9}，所以A ∩B ={0,3}． 故选C ． 3.答案：D解析：解：由函数的性质可得：{1−2x >0x +1≠0，解得x <12且x ≠−1．故f(x)的定义域为：(−∞,−1)∪(−1,12)， 故选：D ．由题意可得：{1−2x >0x +1≠0，即可求得x 的取值范围，求得函数f(x)的定义域．本题考查函数定义域及求法，考查计算能力，属于基础题． 4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．先根据已知条件求得f(−1)=−f(1)，再根据奇函数的性质，即可得到f(−1)的值． 【解答】解：f(x)为R 上的奇函数，那么有：f(x)=−f(−x)，那么f(−1)=−f(1)； 当x ∈[0,+∞)时，f (x )=2x 2−x ，则有：f(−1)=−f(1)=−(2−1)=−1． 故选B ． 5.答案：C解析：【分析】本题主要考查集合的并集，以及一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法． 【解答】解：因为A ={x||x +2|≥5}={x|x ≤−7或x ≥3},B ={x|1<x <5}， 所以A ∪B ={x|x ≤−7或x >1}， 故选C ． 6.答案：C解析： 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 【解答】解：因为f(x)={0,x >0,π,x =0,π2+1,x <0,所以f(−1)= π2+1， f(f(−1))=f(π2+1)=0， f(f(f(−1)))=f(0)=π． 故选C ．7.答案：B解析：解：y =lnx 的定义域为(0,+∞)，关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数． y =x 3是奇函数，又在区间(0,+∞)上为增函数，满足条件．y =3x 在区间(0,+∞)上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件． y =sinx 是奇函数，但在(0,+∞)上不是单调函数， 故选：B根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性． 8.答案：B解析：解：函数f(x)={f(x +2)(x ≤1)2x −4(x >1)，f(0)=f(0+2)=f(2)=22−4=0． 故选：B ．直接利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可．本题考查分段函数以及测试赛的应用，函数值的求法，考查计算能力． 9.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：∵对任意x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，∴f(x)是R 上的减函数， ∴{a ≤01+a ≥0∴−1≤a ≤0． 故选C ．由题设得f(x)是R 上的减函数，结合图象，注意在R 上单调，得到{a ≤01+a ≥0，解出即可．本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的单调性，注意函数的连续性，本题是一道易错题． 11.答案：C解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．先证明f(x)为奇函数，再由奇函数性质f(x)+f(−x)=0即可求解． 【解答】解：由题意可知，f(x)的定义域为R ， 且，故函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(−52)+f(52)=0．故选C ． 12.答案：B解析：由已知得f (x )=1+2sin 2x sin2x=1+2sin 2x 2sinxcosx =3sin 2x+cos 2x 2sinxcosx=3sinx 2cosx +cosx2sinx ，因为x ∈(0,π2)，故sinx >0,cosx >0，由基本不等式得f(x)≥2√34=√3，故m =√3.当π4<x <π2时，f(x)=−1满足；当0<x ≤π4时，由f(x)=8x 2−6√3x +4≤1，解得√34≤x ≤√32，所以√34≤x ≤π4，综上所述，不等式g(x)≤1的解集为[√34,π2)．13.答案：[32,+∞)解析：解：令t =x 2−3x +2，则函数即y =a t ， 根据a >1时，本题即求函数t 的增区间，利用二次函数的性质可得t 的增区间为[32,+∞)， 故答案为：[32,+∞)．令t =x 2−3x +2，则函数即y =a t ，根据a >1时，本题即求函数t 的增区间，利用二次函数的性质可得t 的增区间．本题主要考查指数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题． 14.答案：2解析： 【分析】本题考查了指数与对数互化，考查对数的运算，属于基础题． 先由2m =5n =10,得到m ，n ，再代入2m +2n 中运算即可求解． 【解答】解：∵2m =5n =10,∴m =log 210，n =log 510， ∴2m+2n=2log 210+2log 510=2(lg2+lg5)=2，故答案为2．15.答案：log 312解析：解：∵f(x)={log 3x,x >02x ,x ≤0，∴f(13)=log 313=−1， f(f(13))=f(−1)=2−1=12，∴f(f(f(13)))=f(12)=log 312．故答案为：log 312．利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 16.答案：8解析： 【分析】本题考查了子集的个数，集合的元素有n 个，则其子集的个数为2n 个. 【解答】解：集合{−1,0,1}共有3个元素，故其子集的个数为8． 故答案为8． 17.答案：解(Ⅰ)原式=2;(Ⅱ)原式=2−2+12+2×3=132．解析：(Ⅰ)本题主要考查对数的化简求值.结合对数的运算法则进行运算即可． (Ⅱ)本题主要考查指数对数的化简求值.结合对数的运算法则与性质进行运算即可． 18.答案：解：由μ(x)=x 2−5x +4>0，解得x >4或x <1， 所以x ∈(−∞,1)∪(4,+∞)，因为函数f(x)=log 13(x 2−5x +4)是由y =log 13μ(x)与μ(x)=x 2−5x +4复合而成， 函数y =log 13μ(x)在其定义域上是单调递减的， 函数μ(x)=x 2−5x +4在(−∞,52)上为减函数，在[52,+∞]上为增函数． 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y =log 13(x 2−5x +4)的增区间是定义域内使y =log 13μ(x)为减函数、μ(x)=x 2−5x +4也为减函数的区间，即(−∞,1)；y =log 13(x 2−5x +4)的减区间是定义域内使y =log 13μ(x)为减函数、μ(x)=x 2−5x +4为增函数的区间，即(4,+∞)．解析：根据对数函数的性质求出函数的定义域，函数y =log 13(x 2−5x +4)是由y =log 13μ(x)与μ(x)=x 2−5x +4复合而成，根据复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，即可求出函数y =log 13(x 2−5x +4)的单调区间． 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，注意对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题． 19.答案：解：(1)∵f(0)=0， ∴设f(x)=ax 2+bx ，∴a(x +2)2+b(x +2)−ax 2−bx =4ax +4a +2b =4x ， ∴{4a =44a +2b =0，解得：a =1，b =−2，∴f(x)=x 2−2x ．(2)当a +2≤1时,即a ≤−1时,f(x)min =f(a +2)=a 2+2a ， 当a <1<a +2时，即−1<a <−1时，f(x)min =f(1)=−1 当a ≥1时,f(x)min =a 2−2a ，∴g(a)={a 2+2a,a ≤−1−1,−1<a <1a 2−2a,a ≥1．解析：本题考查了求函数的表达式，考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)先设出函数的表达式，由f(x +2)−f(x)=4x 得方程组求出a ，b 的值即可； (2)通过讨论a 的范围，根据函数的单调性，从而求出函数的最小值．20.答案：解：(I)若a =3，则函数f(x)={3x −9,x <1x 2−3x,x ≥1的图象如下图所示：由图可得：当m ∈(−∞,−6)∪{−3}∪(−2,+∞)时，y =f(x)的图象与直线y =m 有唯一的公共点； (Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增， 则{a >0a2≤1a +3−4a ≤1−a ，解得a ∈[1,2]．解析：(I)画出a =3时，函数f(x)={3x −9,x <1x 2−3x,x ≥1的图象，数形结合，可得满足条件的m 的取值范围；(Ⅱ)若函数f(x)在R 上单调递增，则{a >0a2≤1a +3−4a ≤1−a，解得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的图象，数形结合思想，难度中档．(x−3)(x+2)．21.答案：f(x)=12，所以f(x)=解析：由题意可设二次函数的解析式f(x)=a(x−3)(x+2)，因为f(0)=−3，所以a=121(x−3)(x+2)．2。
高等数学期中考试卷
说明：本学期的期中考试内容为第五章、第六章，在题目中题目标号是红色的是第七章的内容，本次不考！高等数学（A ）05-06-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．设),(y x z z =由方程cos cos cos 2x y y z z x ++=所确定，则d z = ； 2．设1iz i-=，则Im z = ；3．设()f x 为连续函数，1()d ()d t t yF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '= ；4．()21cos d d x y y x y x y +≤+=⎰⎰；5．设S 为平面1432=++z y x 在第一卦限部分的下侧，则42d d 3S x y z x y ⎛⎫++∧ ⎪⎝⎭⎰⎰= 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设()122211d d I x xy f x y y -⎤=++⎣⎦⎰⎰，122200d ()d I f πϕρρρ=⎰⎰，其中()f t 是连续函数，则有 [ ] (A)21I I < (B)21I I > (C) 212I I = (D)21I I =7．曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线必定平行于平面 [ ](A)0y = (B)0x = (C)0z = (D)0x y z +-=8．设L 是摆线sin 1cos x t t y tπ=--⎧⎨=-⎩上从0t =到π2=t 的弧段，则曲线积分22()d ()d Lx y x x y yx y -++=+⎰ [ ] (A)π (B)π- (C)0 (D)π29． 设二元函数(,)z f x y =在点(),x y 处可微，下列结论不正确的是 [ ] （A ）(),f x y 在点(),x y 连续； （B ）(),f x y 在点(),x y 的某邻域内有界；（C ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都存在； （D ）(),f x y 在点(),x y 处两个偏导数()(),,,x y f x y f x y 都连续. 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题7分，满分35分)10．设sin ,,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2。
大一数学分析上册期中考试
2013.2.25
一、选择题
1. 下列函数在整个R上存在反函数的是 (A) y sin x (B) y ln x
x (C) y e
（ C ）．
2 (D) y x
判别法：反函数存在的充分条件是：
在整个R上严格单调的函数是:
y ex
严格单调
注:
π π y sin x 在 [ , ] 上存在反函数 2 2
(D)
判别法：由拉格朗日中值定理的两个条件
f ( x ) 在开区间(a , b)内可导
] 在闭区间 [ x , x 上可导
1 2
在开区间(a , b)内连续
（但在端点a,b不一定连续）
B班：44∶19（A18、B1、C0）
A班：43∶17（A17、B0、C0）
二、填空题
3n 2n 1. lim n n 3 2 n
判别法：由极限、连续与导数的定义
lim f ( x ) lim( x 1) 0
x 1
lim f ( x ) lim ln x 0
x 1
x 1
x 1
lim f ( x) 0 f (1) 极限存且连续
x 1
f (1) lim
x 1
1 tan x sin x cos x cos x 1 cos x 2 cos x
cos x
数学分析（2）课时安排与学习要求
1.数学分析总课时为272学时，分三个学期，
第二学期96学时（周6×16周）,数学分析习题课：8学时
2.第二学期教学内容： 第六章 §3-§6 第八章 不定积分 第九章 定积分
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西 安 电 子 科 技 大 学
考试时间120分钟
试 题
1.考试形式：闭卷；2。
本试卷共 十道 大题，满分 100分。
一．判断下列级数是绝对收敛还是条件收敛（每题4分，共16分）
（1）1
2(1)2n n
n ∞
=+-∑ （2）1n ∞
=∑
（3）1cos 2n n n ∞
=∑ （4)1
ln (1)n
n n n ∞
=-∑
二．计算下列积分（每题4分，共16分）
（1）0
a
⎰
(2）22222
1
sin cos x dx a x b x
+⎰
（2）1
||x t dt -⎰ (4)20
ln(sin )x dx π
⎰
三．（本题10分)设函数f(x)在［0,1]上有界，且不连续点的集合仅有有限个聚点,证明f(x ）在［0，1]上可积.
四．（本题10分)求由拱线L ：x=a(t —sint ）,y=a （1-cost ）（其中02t π≤≤,a>0）绕y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。
五．（本题7分)
证明级数1
(1)n n ∞
=-∑
六．（本题8分）设函数f （x ）在［a ，b ］上有界,请判断下列命题是否正确，若正确，请给出证明;若不正确，请给出反例. （1）|()|b
a
f x dx ⎰
存在2()b
a
f x dx ⇔⎰存在
（2）|()|a
f x dx +∞
⎰
存在⇔2()a
f x dx +∞
⎰
七．（本题7分）设级数
1
n
n a
∞
=∑与1
n n b ∞=∑都收敛，且成立不等式n n n a b c ≤≤（n=1，2,···），证明级数1
n n b ∞
=∑也
收敛.若级数1
n n a ∞
=∑与1
n n b ∞
=∑都发散，试问级数一定发散吗？
八．（本题10分)判断下列积分的敛散性，若收敛，请给出绝对收敛或者条件收敛。
（1）1
cos x
dx x λ
+∞
⎰
,λ〉0
（2）0
ln |1|
p q
x
dx x x +∞
-⎰
，p ＞0，q ＞0
九．（本题8分）设lim n n n
a r
b →∞=，lim n
n n a r b →∞=,且0r r +∞＜＜＜,证明：级数1n n a ∞
=∑与1n n b ∞=∑具有相同的敛散性。
十．（本题8分）
用两种方法计算极限n →∞。