第三章 3.2立体几何中的向量方法(二)
高中数学人教A版选修1-1第3章3-2立体几何中的向量方法教案
即 a2 = 3x2 + 2(3x2 cos )
x=
1a
3 + 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求
两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
解： 过 A1点作 A1H ⊥ 平面 AC 于点 H.
解：
设平面 AEF 的法向量为
则有
6，如图所示建立坐标系，有
为平面 AEF 的单位法向量。
分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。 解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为， 由
§3.2.2 空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
空间中的几何元素
如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 点、直线、平面的
的位置就可以用向量 OP 来表示．称向量 OP 为点的位置向量。
位置的向量表示方 法。
●P
基点 O●
2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？ l
a
P
A
AP = a( R)
∴ sin BAD = 1− 9 = 32 ， 105 35
五、小结 六、作业
∴ S ABCD =| AB | | AD | sin BAD = 8 6 ．
1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 A，预习课本 105～110 的例题。 B，书面作业:
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积．
3.2立体几何中的向量方法(位置关系)
一、直线的方向向量
把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的 向量叫做直线 l 的方向向量
二、平面的法向量：
如果表示向量 n 的线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面
，记作 n
，
.
如果 n ，那么向量 n 叫平面 的法向量. 一个平面有无数个法向量，它们都是共线向量
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
z
S
y
1 B 则D（ ， 0， 0）C（ 1， 1， 0）， S（ 0， 0， 1） 21 CD （ ， 1， 0）， SC （ 1， 1， 1） 2 A
1. 已知正三棱柱 ABC A1 B1C 1 D1的各棱长都为 1，M 是底面上 1 BC 边的中点， N 是侧棱 CC 1 上的点，且 CN CC 1 . 4 求证： AB1 MN .
A1 B1 A B M C1
N C
2. 如图，已知正方体 ABCD A1 B1C 1 D1中， P 为底面 对角线 BD 上一点，且 BP 3 PD ，Q 为棱 DD1 的中点， 求证： PQ 平面 A1QC 1 .
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
解： AD、AB、AS是三条两两垂直的线段 以A为原点， AD、 AB、 AS的方向为 x、y、z轴的正方向建立坐标系 A xyz. 设平面 SCD的法向量为 n （x，y，z）
三、法向量的求法
例. 已知平面 经过三点A（ 1， 2， 3），B（ 2， 0， 1） ， C（ 3， 2， 0） ，求平面 的一个法向量.
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
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∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
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题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
高考数学 《立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离易错点》
立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点主标题：立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点副标题：从考点分析立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离备考策略易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：空间角，距离，易错点难度：2重要程度：4【易错点】1．直线的方向向量与平面的法向量(1)若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β.(×)(2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．(×)(3)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则a ∥c ，a ⊥b .(√)2．空间角(4)两异面直线夹角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]．(√)(5)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos<m ，n >＝－12，则l 与α所成的角为150°.(×)(6)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45°.(×)(7)在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为60°.(√)剖析:1．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．2．两种关系一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)．二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).。
立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量a 以及与a 共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：A B 与C D 的夹角和AB与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB C DAB C D AB C D ⋅<>=. 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=. 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模.公式为d =9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为n ，则P 到平面的距离d 等于a 在n 方向上正射影向量的模.公式为d =.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A CBC A A ==，D 是棱1A A 的中点，1D C BD ⊥。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
立体几何中的向量方法(2)——求空间角和距离
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离【基础检测】1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( )(4)两异面直线夹角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，二面角的范围是[0，π]．( )2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．正三棱柱(如右图，底面是正三角形的直棱柱)ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为22，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为__ __.4．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为__ __.5．P 是二面角α－AB －β棱上一点，分别在平面α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α－AB －β的大小为__ __.【例题精讲】题型一求异面直线所成的角用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．【例1】(2017·江苏卷)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．题型二求直线与平面所成的角利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所成的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．【例2】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．题型三求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【例3】(2017·浙江卷)如图，已知正四面体D－ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，BQQC＝CRRA＝2.分别记二面角D－PR－Q，D－PQ－R，D－QR－P的平面角为α，β，γ，则()A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α【例4】(2017·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD＝6，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角为B－PD－A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【例5】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M －AB －D 的余弦值．题型四 求空间距离求点面距一般有以下三种方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．【例6】 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)设AA 1＝2，A 1B 1的中点为P ，求点P 到平面BDC 1的距离．。
第3章3.2 立体几何中的向量方法(二)垂直关系
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
授人以渔
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题型一 利用空间向量证明线线垂直 例 1 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱 长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.求证：AB1⊥MN.
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探究 2 如何利用向量法证明线面垂直？ 用向量法证明线面垂直的方法步骤： (1)坐标法： ①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示． ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量． ③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂 直或与平面的法向量平行．
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1．若两个不同平面 α，β 的法向量分别为 u＝(2，1，－1)，
v＝(3，2，8)，则( )
A．α ∥β
B．α ⊥β
C．α ，β 相交不垂直 答案 B
D．以上均不正确
解析 ∵v·u＝6＋2－8＝0.
∴v⊥u，∴α⊥β.
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【解析】 方法一：(基向量法) 设A→B＝a，A→C＝b，A→A1＝c，则由已知条件和正三棱柱的性 质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0. A→B1＝a＋c，A→M＝12(a＋b)，A→N＝b＋14c， M→N＝A→N－A→M＝－12a＋12b＋14c， ∴A→B1·M→N＝(a＋c)·(－12a＋12b＋14c) ＝－12＋12cos60°＋14＝0. ∴A→B1⊥M→N，∴AB1⊥MN.
a，0)．
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立体几何中的向量方法之方向向量与法向量平行垂直
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 3
x x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
几何法呢？
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
EG
D
C
F
Y
B
X
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB.
3.2立体几何中的向 量方法
---------方向向量与法向量
一、方向向量与法向量
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系
§3.2立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系课时目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．1．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a ＝(a1，a2，a3)，直线m 的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔______设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔________线线垂直线面垂直面面垂直①证明两直线的方向向量的数量积为______．①证明直线的方向向量与平面的法向量是______．①证明两个平面的法向量____________．②证明两直线所成角为______.②证明直线与平面内的相交直线________.②证明二面角的平面角为________.________.一、选择题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于()A．1B．2C．3D．42．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则() A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交4．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定5．设直线l 1的方向向量为a ＝(1，－2,2)，l 2的方向向量为b ＝(2,3,2)，则l 1与l 2的关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．不确定 6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．相交且垂直D ．以上都不是 二、填空题7．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝______.8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0； ②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0； ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 正确的命题序号是________．(填写所有正确的序号) 三、解答题10．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .11．已知ABC —A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.能力提升12．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC ＝1.设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.13．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.垂直关系的常用证法(1)要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．(2)要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． (3)要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．§3.2 立体几何中的向量方法(二)——空间向量与垂直关系知识梳理1．a ⊥b a ∥u u ⊥v1．B [∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2.]2．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|，∴△ABC 为直角三角形．] 3．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.] 4．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 5．B [∵a·b ＝2×1－2×3＋2×2＝0，∴a ⊥b ， ∴l 1⊥l 2.]6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →的关系判断．] 7．－9解析 ∵l ⊥α，∴u ⊥v ， ∴(1，－3，z )·(3，－2,1)＝0， 即3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 8．0解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直．9．①②③ 10．证明如图，以平面ABC 内垂直于AC 的直线为x 轴，AC →、AA 1→所在直线为y 轴、z 轴，则A (0,0,0)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1， M ⎝⎛⎭⎫34，34，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，14. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫32，12，1，MN →＝⎝⎛⎭⎫－34，14，14.∴AB 1→·MN →＝－38＋18＋14＝0， ∴AB 1→⊥MN →，即AB 1⊥MN . 11．证明如图，取AB 1的中点M ， 则D M →＝D C →＋CA →＋AM →. 又D M →＝DC 1→＋C 1B 1→＋B 1M →，两式相加得2D M →＝CA →＋C 1B 1→＝CA →＋CB →.由于2D M →·AA 1→＝(CA →＋CB →)·AA 1→＝0， 2D M →·AB →＝(CA →＋CB →)·(CB →－CA →) ＝|CB →|2－|CA →|2＝0.∴DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ， ∴DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM ⊂平面AB 1D . ∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1. 12．证明取O 为坐标原点，以OA ，OC 所在的直线为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz (如图所示)．设A (1,0,0)，C (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，0. ∵P 为AC 中点，∴P ⎝⎛⎭⎫12，0，12. ∵AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，又由已知，可得AQ →＝13AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0，又OQ →＝O A →＋AQ →＝⎝⎛⎭⎫12，36，0，∴PQ →＝OQ →－OP →＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12.∴PQ →·O A →＝⎝⎛⎭⎫0，36，－12·(1,0,0)＝0，故PQ →⊥O A →，即PQ ⊥OA . 13.证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz . 设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)， BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)， 则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0. 所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AE ⊥平面PBC .。
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∴AC、BC、C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0，0,4)，B(0,4,0)， → ＝(－3,0,0)， ∵AC
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
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3.2(二)
探究点二 ：证明线面垂直
例2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD
的交点，G 为 CC1 的中点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
1 1
方法二
设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1，
以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OO1 为 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得
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3.2(二)
探究点一 ：证明线线垂直
1 A－2，0，0，
1 2 ＝2(b －a2＋c· a＋c· b) 1 → → 1 → → → 1 ＝2(AA1＋BD)＝2(AA1＋AD－AB)＝2(－a＋b＋c)， 1 2 ＝2(|b| －|a|2＋0＋0)＝0. → ⊥AB → ，即 EF⊥AB ，同理，EF⊥B C. ∴EF
1 1 1
又 AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面 B1AC.
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3.2(二)
探究点三 ：证明面面垂直
设平面 ABC 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，
→ ＝0， n1· AB 则 → ＝0， BC n1·
－az1＝0 即 x1＋y1＝0
，取 x1＝1，
→ 显然A 1O＝(－1,1，－2)＝－n，
→ ∴A 1O∥n，∴A1O⊥平面 GBD.
反思与感悟
本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立坐标系，用坐标表示
向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．
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3.2(二)
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3.2(二)
探究点三 ：证明面面垂直
例3 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD＝90° ，∠ADB＝30° ，
E、F 分别是 AC、AD 的中点，求证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)，
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3.2(二)
[情境导学] 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量 方法解决线面垂直关系的判断及证明．直线的方向向量与一平面的法向量平 行，则该直线与平面有什么关系？若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？ 下面将解决这一问题．
|a|＝|b|＝|c|＝1， a· c＝b· c＝0， 1 → → AB1＝a＋c，AM＝2(a＋b)， 1 → AN＝b＋4c，
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3.2(二)
探究点一 ：证明线线垂直
1 1 1 → → → MN＝AN－AM＝－ a＋ b＋ c， 2 2 4 1 1 1 → → ∴AB1· MN＝(a＋c)· (－2a＋2b＋4c) 1 1 1 ＝－2＋2cos 60° ＋4＝0. → ⊥MN → ，∴AB ⊥MN. ∴AB
1 B2，0，0 ，
C 0，
N 0，
3 ， 0 ， 2
1 3 1 ， 0 ， 1 ， B ， 1 . 2 2 4
1 中点，∴M 4， 3 ， 0 . 4
∵M 为 BC
明目标、知重点
则易得
D(0，
B(0,0,0)，C
3a,0)，E
3 3 ， 2 a， 2 a，0
3 a 3 3 a ，F(0， 2 a，2)， 4 a， 4 a，2
3 3 → → 故AB＝(0,0，－a)，BC＝ a， a，0 . 2 2
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3.2(二)
探究点二 ：证明线面垂直
思考
答
怎样利用向量方法证明线面垂直？
可以利用直线的方向向量和平面的法向量共线证明线面垂直；也可以证明
直线的方向向量和平面内的两个不共线向量垂直．
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跟踪训练3 在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P—ABC中，三条侧棱两两互
相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝ 1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明
以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、PB、PC 所在直线分别
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3.2(二)
探究点一 ：证明线线垂直
例1 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，
AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
证明
∵直三棱柱 ABC—A1B1C1 底面三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，
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3.2(二)
探究点二 ：证明线面垂直
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0. →· → ＝(－1，－1,1)· EF AC (－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又 AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面 B1AC. 方法二 → ＝a，AD → ＝c，AA → ＝b， 设AB 1
探究点二 ：证明线面垂直
跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分
别是 BB1，D1B1 的中点．求证：EF⊥平面 B1AC.
证明 方法一
设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
设直线l的方向向量是a＝ 若平面α的法向量为u＝ (a1，b1，c1)，平面α的法 (a1，b1，c1)，平面β的 向量为u＝(a2，b2，c2)， 法向量为v＝(a2，b2， 则l⊥α⇔
k∈R a∥u⇔a＝ku， c2)，则α⊥β⇔ u⊥v
⇔u· v＝0
b＝0 l⊥m⇔ a·
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3.2(二)
探究点一 ：证明线线垂直
思考
答
怎样证明两条直线互相垂直？
一般有以下三种思路证明两条直线垂直：
(1)转化为向量垂直问题，即证明两直线的方向向量垂直； (2)证明两条直线所成的角为90° ； (3)转化为证明线面垂直，即先证线面垂直，再运用线面垂直的性质．
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3.2(二)
探究点一 ：证明线线垂直
→ ＝(0，－4,4)， BC 1
→· → ＝0.∴AC⊥BC . ∴AC BC 1 1
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标
→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
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3.2(二)
探究点三 ：证明面面垂直
思考
答
怎样证明两个平面垂直？
有两种思路可以证明两个平面垂直
①据面面垂直判定定理，转化为证相应线面垂直、线线垂直．
②证明两平面的法向量相互垂直．这种方法大大优化了解题过程，并避免了繁 琐的计算．
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3.2(二)
探究点一 ：证明线线垂直
1 3 1 → → ＝(1,0,1)， ∴MN＝－ ， ， ， AB 1 4 4 4
1 1 → → ∴MN· AB1＝－4＋0＋4＝0.
→ ⊥AB → ，∴AB ⊥MN. ∴MN 1 1
设正方体棱长为 2，
则 O(1,1,0)，A1(2,0,2)，
G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，
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3.2(二)
探究点二 ：证明线面垂直
→ ＝(1，－1,2)，OB → ＝(1,1,0)，BG → ＝(－2,0,1)， ∴OA 1
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3.2(二)
1.能利用平面法向量证明两个平面垂直. 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的 垂直关系．
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3.2(二)