曲线与方程圆的方程
第二讲 圆的一般方程
第二讲 圆的一般方程一、圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。
【要点】1.220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，2240D E F +-=时表示的是一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2240D E F +-<时方程没有实数解，不代表任何图形；只有当2240D E F +->时，方程才表示圆。
2.22,x y 的系数相同且不等于0；方程不含xy 项。
3. 圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径长为2242D E F +-4.圆的一般方程−−−→←−−−展开配方圆的标准方程考点一 由圆的一般方程求圆的圆心和半径由圆的一般方程求圆心坐标和半径长有两种方法： 1. 通过配方法化为标准方程； 2. 直接用公式法求。
例1 圆22420x y x y +-+=的圆心坐标和半径长分别是（ ）A. ()2,1,5-B.()2,1,5-C.()2,1,5-D.()2,1,5-考点二 判断形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程是否表示圆形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程表示圆必须具备的条件 1. 0A C =≠； 2. 0B =；3. 2240D E AF +->以上三个条件需同时满足时，二元二次方程才表示圆。
例2 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径；若不能，说明理由。
（1）222750x y x +-+=； （2）22580x xy y x y -+-++=； （3）222240x y x +-=； （4）22210x y ay ++-=； （5）2220x y ax ++=.考点三 由确定圆的条件求参数范围二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->，求参数取值范围问题可以转化为解不等式2240D E F +->。
圆系方程
曲线系是解析几何的基本内容之一，它把具有某一共同性质的曲线族表示成一个含参数的方程，然后根据曲线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出曲线方程．本文举例说明几种常用的圆系方程．1．过两圆交点的圆系若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交于A、B两点，则过A、B两点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0)(λ≠－1)．当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程．若λ=－1，表示公共弦AB所在直线(两圆相切时为公切线)的方程．例1求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y －4=0上的圆的方程．解设所求圆的方程为(x2＋y2＋6x－4)＋λ(x2＋y2＋6y－28)=0(λ≠－1)，即2．过圆与直线交点的圆系设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与直线L：ax＋by＋c=0交于A、B两点，则方程x2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)=0表示过A、B两点的圆系方程．若圆C与直线L切于点A，则方程表示与直线L：ax＋by＋c=0相切于A点的圆系方程．例2已知圆x2＋y2＋x－6y＋m=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，若以PQ为直径的圆过原点，求m的值．解设所求圆的方程为x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)=0，例3求证圆系x2＋y2＋2λx＋(4λ＋10)y＋20＋10λ=0中任意两圆相切于同一点，并求出切点坐标．证明3．与已知圆切于圆上一定点的圆系与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0切于点P(x0，y0)的圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)=0(λ≠－1)当λ=－1时，方程表示过P(x0，y0)的切线方程．例4求经过A(4，－1)且与已知圆x2＋y2＋2x－6y＋5=0切于B(1，2)的圆的方程．解4．过一定点的圆系过定点P(x0，y0)的圆系方程为：(x－x0)2＋(y－y0)2＋m(x－x0)＋n(y－y0)=0．例5 求过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的一般方程．解即x2＋y2－4x－2y－20=0．本题用圆系方程解，减少了一个参数，还可以用下面的方法解．5．过两定点的圆系过两已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆系方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＋λ[(x－x1) (y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)]=0，方程的前半部分为以AB为直径的圆的方程表达式，后半部分为直线AB的两点式的表达式，当λ=0时，方程为以AB为直径的圆的方程．例6求过点A(5，2)和B(3，－2)且圆心在直线2x－y=3上的圆的方程．解设所求圆方程为(x－5)(x－3)＋(y－2)(y＋2)＋λ[(x－5)(－2－2)－(y－2)(3－5)]=0，即x2＋y2－4(λ＋2)x＋2λy＋16λ＋11=0，圆心(2(λ＋2)，－λ)代入直线方程得4(λ＋2)＋λ=3，解得λ=－1，所以所求圆方程为x2＋y2－4x－2y－5=0．例7求与已知圆x2＋y2－7y＋10=0相交，所得的公共弦平行于直线2x－3y－1=0且过(－2，3)，(1，4)两点的圆的方程．解设所求圆的方程为(x＋2)(x－1)＋(y－3)(y－4)＋λ[(x＋2)(4－3)－(y－3)(1＋2)]=0，即x2＋y2＋(λ＋1)x－(3λ＋7)y＋11λ＋10=0，两圆相减得公共弦所在的直总之，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2与一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0都有三个参数a、b、r与D、E、F，而上述五种形式的圆系方程只有一个(或两个)参数λ，故灵活利用圆系方程可大大减少运算量，从而迅速求得所求圆的方程．。
高二数学 07曲线和方程 圆的方程培优教案
曲线和方程 圆的方程[本讲主要内容]1. 曲线的方程的定义.2. 用直接法求曲线的方程一般步骤.3. 设曲线C 1, ()0,1=y x f ,()0,:22=y x f C ,则有以下结论:①若21,C C 有交点,则21,C C 的交点M ⇔方程组()()⎩⎨⎧==0,0,21y x f y x f 的实数解.②方程组有几组实数解,而曲线21,C C 就有几个交点;方程组无实数解,两曲线21,C C 就无交点.4. 圆的定义及圆的标准方程.5. 圆的一般方程及参数方程.6. 点与圆,直线与圆及圆与圆的位置关系.]学习指导]1. 根据曲线形成的几何条件,在选定的坐标系下求出曲线方程,这是解析几何的基本问题,也是代数方法研究几何问题的基础,求曲线方程的方法,一般有定义法、直接法、变量代换法(转移法).直接法的一般步骤是: (1)建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标;(2)写出适合条件P 的点M 的集合(){}M P M P =;(3)用坐标表示条件P(M)列出方程()0,=y x f ;(4)化方程()0,=y x f 为最简形式;(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程.2. 方程022=++++F Ey Dx y x ,当0422>-+=F E D t 时,表示一个圆;当t=0时,表示一个点;当t<0时,无轨迹.3. 解决和圆有关的问题,通常可考虑三种方法: (1)代数法,(2)几何法,(3)参数方程法. 如直线被圆所截得的弦长的求法: ① 几何法: 用弦心距半径及半弦构成的直角三角形.② 代数法: 由方程组⎩⎨⎧直线方程圆的方程消元得一元二次方程,再由韦达定理可求出弦长:()()221B Ax xk AB -+=.再如求某些最值问题常利用圆的参数方程.4. 在判断点与圆,直线与圆,圆与圆的位置关系时,要注意位置关系与数量关系的等价性,在解决直线与圆相切时,除运用代数法外,还应注意运用几何知识去求解往往更加简便.[例题精讲]例1. 过点(2,0)平行于y 轴的直线l 的方程是2=x 吗?如果是,请说明理由;如不是,应怎样改? [分析及解]根据“曲线的方程”的概念,过点(2,0)平行于y 轴的直线l 上任一点的坐标是方程2=x 的解,即满足轨迹的“纯粹性”,但以方程2=x 的解为坐标的点不都在直线l 上,所以不满足轨迹的完备性,故2=x 不是直线l 的方程.正确答案应是直线l 的方程,为x=2.例2. 过定点A(a,b)作互相垂直的两条直线l 1和l 2,它们分别与x 轴,y 轴交于M,N 两点,求线段MN 的中点B 的轨迹方程. [分析及解]此题按求曲线方程的一般步骤,先设MN 的中点B 的坐标为(x,y),则N(0,2y),M(2x,0),由勾股定理得,222MNAMAN=+,即点M,N 满足此关系式,所以()022222=---+b a b y a ,化简得02222=--+b a by ax .即是所求线段MN 的中点B 的轨迹方程.例3. 已知点P 是圆0422=-+x y x 上的一个动点,点Q 的坐标为(2,6),当点P 在圆上运动时,线段PQ 的中点M 的轨迹是什么? [分析及解]因为中点M 依赖于P 在圆上的运动,所以设M 点的坐标为(x,y),P 点坐标为()00,y x ,则有26,2200+=+=y y x x ,即62,2200-=-=y y x x ,即可用变量代换法求解.由P 点是圆0422=-+x y x 的点,得0402020=-+x y x .即()()()0224622222=---+-x y x ,整理得()()13222=-+-y x ,故所求点的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.此题也可考虑圆的参数方程,将圆方程化为()4222=+-y x ,其参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x ,故可设()θθsin 2,cos 2+P ,由中点坐标公式得点M 轨迹的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin 3cos 22y x . 所以,线段PQ 的中点是M 的轨迹是以点(2,3)为圆心,以1为半径的圆.例4. 直线l 经过点P(5,5),且和圆O:2522=+y x 相交于A,B,若54=AB ,求直线l 的方程. [分析及解]此题一般思路可由直线l 过点P(5,5),设直线l 的点斜式方程()55-=-x k y ,然后利用弦长54=AB 的条件,列出关于k 的方程,确定k 的值,这就需要联立方程组求A,B 的坐标.这种方法运算较繁,其实,我们还可以避免解方程组求A,B 的坐标,即利用平面几何的知识求解.作OH ⊥AB 于H,则H 是AB 的中点.5,5,52===∴OH AO AH这样即可得()51152=+--k k ,解得21=k 或2=k . ∴直线l 的方程是x-2y+5=0或2x-y-5=0.例5. 求过点P(2,4)向圆()()13122=++-y x 所引的切线的方程.[分析及解]此题首先要判断点P 与已知圆的位置关系,即()()150341222>=++- ,∴点P(2,4)在圆()()13122=++-y x 外.接下来可以有二个思路,一是利用圆和直线相交的两个交点重合时,直线和圆相切.当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα≠时,设切线方程是()24-=-x k y .把①代入圆的方程得()()[]1342122=++-+-x k x ,即()()049284214412222=+-++--+k k x k kx k 19256-=∆∴k .令0=∆,得724=k ,把724=k 代入①,得020724=--y x .当过P(2,4)的直线的倾斜角2πα=,此直线方程是x=2.∵圆心(1,-3)到该直线的距离d=1∴x=2是所求的另一条切线,因此,所求的切线方程是020724=--y x 和x=2. 二是利用圆心到切线的距离等于半径.圆心是(1,-3),r=1,将切线方程写成一般形式024=-+-k y kx ,可是有112432=+-++=k kk d ,解得724=k ,下面再考虑k 不存在的特殊情况,即可得到x=2是另一条所求直线.[能力训练部分] A. 基础性训练题1. 下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A. 1,==xyx y B. 2,x y x y == C. y x x y ==, D. 22,y x x y ==2. 曲线C 的方程是F(x,y)=0,则C 关于直线x+y=0的对称的方程是( ) A. F(y,x)=0 B. F(-y,x)=0 C. F(-y,-x)=0 D. F(y,-x)=03. 到两坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是( )A, 二条直线 B. 四条直线 C. 四条射线 D. 八条射线 4. 若方程()022222=++++a ax y a x a 表示圆,则a 的值是( ) A. –1 B. 2 C. –1或2 D. 15. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( )A. 2=bB. 11≤<-b 且2-=bC. 11≤≤-bD. 非A,B,C 的结论6. 当曲线241x y -+=与直线()42+-=x k y 有两个相异交点时,实数k 的取值范围是( ) A. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,125 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D. ⎪⎭⎫⎝⎛43,31 7. 过点P 1(1,5)任作直线交x 轴于点A,过点P 2(2,-7)作直线P 1A 的垂线,交y 轴于B,点M 在线段AB 上,且BM:MA=1:2,求动点M 的轨迹方程.8. 两条直线分别过点A(a,0),B(-a,0),且绕A,B 旋转,它们在y 轴上的截距分别是OC=c,OD=d,且2a d c =⋅(a 是定值,c,d 是可变的),求两直线的交点M 的轨迹方程. 9. 若实数x,y 满足024222=++-+y x y x ,试求y x 3-的最大值和最小值.10.已知经过点A(0,1),B(4,a)且与x 轴相切的圆只有一个,求此时a 的值及相应的 圆的方程. B. 提高性训练题1. 已知动点P 到点A(-3,4)和B(4,6)的连线互相垂直,则P 点的轨迹方程是__________.2. 已知两点A(0,1),B(1,0),若直线y=k(x+1)与线段AB 总有公共点,则k 的取值范围是___________.3. 已知两点A(1,1),B(3,3),P 是x 轴上一个动点,那么使∠APB 最大的点P 的坐标是______.4. 过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点,圆心为C(-1,1)的圆的方程为__________.5. 若P(x,y)在圆()()63322=-+-y x 上运动,则xy的最大值为_______. 6. 当实数m 的取值范围是________时,直线02=--y x 与曲线m y x 422=-的交点P 在圆()4422=+-y x 内部.7. 如图,已知两点A(-1,0),B(2,0),求使夹角αβ2=的点M 的轨迹方程.8. 直线32=+y x 与曲线0622=+-++P y x y x 的两个交点为A,B,O 是原点,当P 为何值时,有OA ⊥OB.9. AB,CD 是半径为a 的定圆O 的两互相垂直的直径,作动弦AF 交CD 于E,引EP ∥AB,且交BF 于P,求点P 的轨迹方程. 10. 已知圆012222=+--+y x y x ,点A(2a,0),B(0,2b)且a>1,b>1, ① 若圆与AB 相切时,求AB 中点的轨迹方程.②若圆与AB 相切时,且△AOB 面积最小,求直线AB 的方程及面积最小值. C. 研究性习题已知圆()024*********=--+---+m m y m mx y x ()R m ∈ (1)求证: 不论m 为何值,圆心在同一直线上.(2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证: 任何一条平行l 且与圆相交的直线被圆截得的弦长相等. [解答](1)配方得()()[]251322=--+-m y m x .设圆心为(x,y),则⎩⎨⎧-==13m y mx 消去m 得,033:=--y x l ,则圆心恒在直线l:033=--y x 上.(2)设与l 平行的直线是03:=+-b y x l ,则圆心到直线l 的距离为()10310133b bm m d +=+--=∴圆的半径为r=5.∴当d<r 时,即31053105-<<--b 时,直线与圆相交; 当d=r 时,即3105-±=b 时,直线与圆相切;当d>r 时,即3105--<b 或3105->b 时,直线与圆相离.(3)对于任一条平行l 且与圆相交的直线03:1=+-b y x l ,由于圆心到直线l 1的距离103b d +=,从而弦长222d r -=与m 无关.能力训练题点拨与解答: 基础性训练题1. D 因为A 中y=x 表示一条直线,而1=xy表示这条直线除去一点(0,0);在B 中y=x 表示一条直线,而2x y =表示一条折线;在C 中x y =表示两条相交直线,而y x =表示一条射线;在D 中x y =与22y x =都表示两条相交直线.故应选D.2. C 设点M 的坐标为M(x,y),易得到点M 关于直线x+y=0的对称点坐标为M ’(-y,-x),所以曲线C 关于直线x+y=0的对称方程为F(-y,-x)=0,故应选C.3. D 设动点为M(x,y),则2=-y x ,即2±=-y x .当0,0≥≥y x 时,2±=-y x ;当0,0≤≤y x 时, 2±=+-y x ;当0,0≤≥y x 时,2±=+y x ;当0,0≥≤y x 时, 2±=--y x ,所以动点的轨迹是八条射线.4. A 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧>⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ② ①04222222a aa a a a 由①得,a= -1或a=2.当a= -1时,②成立;当a=2时,②不成立.5. B 将曲线21y x -=化为122=+y x ()0≥x ,当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时,则满足1200=--b,即2±=b .观察图形可得当2-=b 或11≤<-b 时,直线与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.6. B 曲线241x y -+=是以(0,1)为圆心,2为半径的圆(如图)直线()42+-=x k y 是过定点(2,4)的直线.设切成PC 的斜率为k,切成PC 的方程为()420+-=x k y 圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即125,2142020==+-+k k k . 直线PA 的斜率为431=k ,所以,实数k 的范围是43125≤<k . 7. 如图,设M(x,y) ∵BM:MA=1:2∴211210++=A x x 即x x A 3=,∴A(3x,0)211021+⨯+=B y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴y B y y B 23,0,23 B P A P 21⊥121-=⋅∴B P A P k k , 故1022373105-=---⋅--yx化简后得动点的轨迹方程是4x+5y+22=0.当直线A P 1的斜率不存在时,点A 是(1,0),点B 是(0,-7),此时点M 是⎪⎭⎫⎝⎛-314,31,也满足轨迹方程4x+5y+22=0. 8. 如图,设M(x,y) ∵点M 在直线AC 上∴点M(x,y)满足直线AC 的方程,即1=+cya x . 同理,点M(x,y)满足直线BD 的方程,即1=+-dya x . ∴x,y 应是方程①,②构成的方程组的解. 下面设法从①,②中消去变量c,d由①得,a x c y -=1 由②得,axd y +=1③×④得,2221ax cd y -= 将2a cd =代入⑤,整理得点M 的轨迹方程是222a y x =+.9. 圆方程化为()()32122=-+-y x ,其参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 32cos 31y x (θ为参数) ()θθsin 323cos 313+--+=-∴y x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=θθsin 23cos 2132321 ⎪⎭⎫⎝⎛+++=3cos 32321πθ∴最大值为134+,最小值为1.10. 设圆心为()00,y x ,则圆的方程为()()202020y y y x x =-+-.∵A(0,1),B(4,a)在圆上()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+∴2202020202041y y a x y y x 消去y 0,得()()016812020=+-+--a a x x a当1=a 时, x 0=2,相应的250=y ; 当1≠a 时,由()()0161442=+---=∆a a a b ,解之得a=0. 此时, x 0=4, 2170=y . 故所求a 的值为0或1,相应圆的方程为:()42525222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 或()4289217422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x .提高性训练题1. 0121022=+--+y x y x设P 点的坐标为(x,y),则1-=⋅BP AP k k .即14634-=--⋅+-x y x y , 整理得0121022=+--+y x y x .2. 10≤≤k线段AB 与直线y=k(x+1)总有公共点,须满足的条件是:()[]()[]0011110≤-+⋅-+k k ,即()021≤⋅-k k ,解得10≤≤k .3. ()0,6P设P 点的坐标为(x 0,0),则0011,33x k x k PA PB -=-=, 46224626421tan 0200200-⋅≤-+=+-=⋅+-=∠∴x x x x x k k k k APB PB PA PB PA 此时等号成立的条件是006x x =60=∴x ,即()0,6P .4. ()()251122=-++y x⎩⎨⎧=--=++01223073y x y x 解得⎩⎨⎧-==32y x 又∵点(2,-3)在圆上,圆心为C(-1,1) ∴半径为()()5131222=--++=r∴圆的方程为()()251122=-++y x . 5. 32+设直线OP 的斜率为k,直线OP 的方程为y=kx,圆心O 1坐标为()3,3,半径为6,圆心O 1到直线OP 的距离等于6,可列出方程:61332=+-kk,解得23,3221-=+=k k .xy∴的最大值是32+.6. 1<m<3 ⎩⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=-=-11224222m y m x m y x y x m y x y x 即为P 点坐标. ∵若P 在圆内()()0414122<--+-+∴m m ∴1<m<3 7. 设点M(x,y)① 若︒=90β,则︒=45α,从而由△ABM 是等腰直角三角形,可得M(2,3),(2,-3). ② ︒≠90β,设点M 在x 轴或x 轴上方,则αααβ2tan 1tan 22tan tan -==2tan ,1tan --=+=x y x y βα ()03322=--∴y x y当M 在x 轴下方时,同样可得上方程.y=0,由于只有在()2,1-∈x 时,0==βα符合题意,在x 轴的其它各线段(包括A,B 本身)都不合题意,所以轨迹方程为y=0,(-1<x<2).03322=--y x 满足题意,动点M 应在AB 的垂直平分线右面,所以应有x ≥1且x ≠2.综上所述,所求轨迹方程为y=0, (-1<x<2)或1322=-y x (x ≥1且x ≠2). 8. 设()()2211,,,y x B y x A由方程组⎩⎨⎧=+-++=+063222P y x y x y x 消去x,得0122052=++-P y y ∵直线与曲线有两个交点()8,01254400<>+⨯-=∆∴P P ,且根据韦达定理有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅=+51242121P y y y x()()2211,23,,23y y B y y A --∴又∵OA ⊥OB123232211-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴y y y y即()09652121=++-y y y y即094612=+⨯-+P∴P=3.9. 以直线AB,CD 分别为x,y 轴建立直角坐标系, 如图,则圆O 的方程为:222a y x =+.设θ=∠BOF ,取θ为参数. 则点F 的坐标为()θθsin ,cos a a 直线AF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y +=+ ①BF 的方程为:()()θθsin 1cos a x y -=- ② 以x=0代入①解得点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+1cos sin ,0θθa E∵EP ∥AB∴直线EP 的方程为()θθsin 1cos a y =+ ③ ②×③得, ()()θθ222sin 1cosa x a y -=-即()a x a y --=2 ()a x ≤≤0.10. 如图,①设AB 的中点M(x,y),b b y a a x =+==+=220,202 直线AB: bx+ay-2ab=0.∵AB 与圆相切∴d=r,即121122=+-⋅+⋅b a aba b整理化简为 2a+2b-2ab-1=0 (*)∴AB 中点的轨迹方程: 2x+2y-2xy-1=0 (x>1,y>1)②设△AOB 面积为AOB S ∆.()14121222-≥-+=-+==∆ab b a b a ab S AO B 122-=∆AOB S令2>=∆AOB S t1,1>>b a 1222-≥∴t t即101222≥+-t t ,解得12-≤t 或12+≥t . 223+≥∴∆AO B S ,当且仅当a=b 时,等号成立. 代入(*)式得: 22101422±=⇒=+-a a a 221+=∴a ∴直线AB 的方程:022=--+y x .。
【数学课件】曲线与方程、圆(10)
0
0 联立方程组两__不___同__解__ 0
(4) 内切 d | R r | 联立方程组 _唯__一___解___
(5) 内含 0 d | R r |
联立方程组 __无__解____
_d____0__时，两圆过 __同___心___圆___
则有
x 1
x
x 2
x
12k 1 k 11
2
1 k 1 2
2
| AB | ( x x )2 ( y y )2
1
2
1
2
( x x )2 (kx 6 kx 6)2
1
2
1
2
x 1
x
x 2
x
12k 1 k 11
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
圆的切线
1、过圆上一点的切线方程： (1) 过圆 x 2 + y 2 = r 2 上一点 P ( x o , y o ) 的切 线方程为 __x__ox__+__y_o_y_=__r_2__ (2) 过圆 ( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = r 2 上一点 P ( x o , y o ) 的切线方程为 _(_x__o_－__a_)_(_x__－__a_)_+__(_y__o _－__b_)_(_y__－__b_)_=__r_2___
曲线与方程、圆(3)
课堂小结(一)
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条 曲线叫做方程的曲线（图形）。
如果曲线C的方程是f(x，y)= 0，那么 点P0 (x0，y0)在曲线C上的充要条件是 f(x0，y0) = 0。
曲线与方程
苏州第二高级中学数学组 潘敏荣
曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看
作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与 一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立如下的 关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条 曲线叫做方程的曲线（图形）。
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
•
十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果
•
十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德
•
十六、有梦者事竟成。——沃特
•
十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生
•
十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂
曲线的方程与方程的曲线
由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程 是f(x，y) = 0，那么点P0 (x0，y0)在曲线C上 的充要条件是f(x0，y0) = 0。
圆与方程
2
所以
2
所以m=3.所以半径为 ，圆心为(-
5 2
4 1 2
.
，3).
在解决与圆有关的问题中 . 借助与圆 的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化 运算.
·高中新课标总复习（第1轮）·文科数学 ·福建 · 人教版
立足教育 开创未来
方法2
2 将x 3 2 y, 代入x2 y 2 x 6 y m 0 5 y 20y 12 m 0
2
y 2 2 已知实数 x,y满足方程 x +y -4x&# =k，即y=kx，当直线y=kx与 x
x
圆相切时，斜率 k 取得最大值和最小值 . 因为 圆心（2,0）到直线y=kx的距离为 3，所以
2k 0 3， 得k=± 3 . 2 k 1 y y （ ） 3，（ ） 所以 max min 3. x x
AB 2 r 2 d 2 .
对称
1.圆心为点C(8，-3)，且过点A(5，1)的圆 的标准方程为（ D ） A.(x+8)2+(y-3)2=5
C.(x+8)2+(y-3)2=25
B.(x-8)2+(y+3)2=5
D.(x-8)2+(y+3)2=25
2
半径 r CA (8 5)2 ( 3 1) 5，
本小题主要考查直线与圆的位置关 系，圆的标准方程及点到直线的距离公式.
(Ⅱ)：根据图形的几何性质：半径，弦长 的一半，弦心距构成直角三角形，由勾股定 理，
4 2 2 可得弦心距 d r 2 （ ） 10 8 2 2 因为弦心距等于圆心（a,b）到直线x-y=0 的距离， ab 所以 d 2， 又已知b=2a，
圆的标准方程3(201911整理)
M r C
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合
M r
C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适合的O
x
条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得：
特例：如果圆心在 坐标原点，圆的方
x 2+y2=196
例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支 撑,求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) y
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程 是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
M r C
x
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距离等 于r，所以圆C就是集合
P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式，点M适合的O 条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
程为 x2+y2=r2.
小结：
1 圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小。
2 只要a,b,r(r＞0）三个量确定 了,方程就确定了。
3 要确定圆的方程，必须知道 三个独立的条件。
练习：1、写出下列各圆的方程：
(高考数学复习讲练21)曲线方程、圆的方程
个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：叶雷 授课时间：2011 年 月 日(星期 ) : ~ : 姓名 年级性别教学课题 曲线与方程、圆的方程教学 目标 重点 难点 课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________第 次课第 讲 曲线与方程、圆的方程知识点一：曲线与方程在直角坐标系中,当曲线C 和方程F(x ，y )=0满足如下关系时：①曲线C 上点的坐标都是方程F(x ，y)=0的解；②以方程F(x ，y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则称曲线C 为方程F(x ，y )=0表示的曲线；方程F(x ，y )=0是曲线C 表示的方程.注：⑴如果曲线C 的方程是F (x ,y )=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0 ,y 0)=0；⑵解析几何研究的内容就是给定曲线C ，如何求出它所对应的方程，并根据方程的理论研究曲线的几何性质。
其特征是以数解形, 坐标法是几何问题代数化的重要方法； ⑶求曲线方程的步骤:建、设、现（限）、代、化.【例1】 点),(62t t M 适合方程3x y =是点M 在曲线3x y =上的 ( )(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)什么条件也不是【例2】 曲线C 1：x y x =+22与C 2：y xy =2的交点数是（ ） (A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个【例3】 已知定点)0,1(-A ，)0,1(B ，点M 与A 、B 两点所在直线的斜率之积等于4-，则点M 的轨迹方程 是 。
【例4】 已知圆422=+y x 和两点A （0，4），B （4，0）当点P 在圆上运动时，求ABC ∆的重心的轨迹方程.【例5】 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM PN ，（M N ，分别为切点），使得2PM PN =.试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.知识点二：圆的方程确定圆的方程需要有三个互相独立的条件。
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曲线与方程、圆的方程1.曲线C的方程为：f(x,y)=o 曲线C上任意一点P (X o,y o)的坐标满足方程f(x,y)=O，即f(x o,y o)=0 ;且以f(x,y) =0的任意一组解(x o,y o)为坐标的点P (x o,y o)在曲线C上。
依据该定义：已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程；求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。
求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。
求动点轨迹方程的步骤：①建系，写(设)出相关点的坐标、线的方程，动点坐标一般设为(x,y)，②分析动点满足的条件，并用等式描述这些条件，③化简，④验证：满足条件的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都满足条件。
解析：原方程等价于: x y 1 0 2 2 2 2 '，或x y 4；x y 4其中当x y 1 0需；x2y24有意义，等式才成立，即x2y24，此时它表示直线x y 1 0上不在圆x2y? 4内的部分，这是极易出错的一个环节。
选［举例2］已知点A (- 1 , 0), B (2, 0),动点M满足2 / MAB2 MBA求点M的轨迹方程。
解析：如何体现动点M满足的条件2/ MAB M MBA是解决本题的关键。
用动点M的坐标体现2 / MAB M MBA 的最佳载体是直线MA MB的斜率。
设M(x, y), / MAB=，则/ MBA=2，它们是直线MA MB的倾角还是倾角的补角，与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：① 若点M在x轴的上方，(00,900), y 0 ,此时，直线MA的倾角为，MB的倾角为-2 ,tan k MA xV an( 2)七(2 900)［举例1］方程(x y 1). x2y2 4 0所表示的曲线是：( )［巩固2］已知点R (-3, 0),点P 在y 轴上，点 Q 在x 轴的正半轴上，点 M 在直线PQ 上, PM =0 , 2 PM +3MQ =0，当点P 移动时，求M 点的轨迹方程。
ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点M 是棱AB 的中点，点P 是平面 ABCD 上的 P 到直线A 1D 1的距离两倍的平方比到点 M 的距离的平方大4,则点P 的轨迹 A •圆B •椭圆C •双曲线D •抛物线2.圆的标准方程刻画了圆的位置特点 (圆心与半径)，圆的一般方程反映了圆的代数特点 (元二次方程 Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B 工0 , C=0,且 D 2+E 2-4AF>0 )。
判断点 P(X 0,y 0)与O M : (x-a)2+(y-b) 2= r 2的位置关系，用|PM|与r 的大小，即：|PM|> r (X 0-a)2+(y 0-b)2> r 2 P 在O M 夕卜；|PM|< r (x 0- a)2+(y 0- b)2< r 2 P 在O M 内； |PM| =r(X 0- a)2+(y 0-b)2= r 2P 在O M 上。
过两个定点 A 、B 的圆，圆心在线段 AB 的中垂线上。
［举例1］ 一圆经过A (4, 2), B (-1 , 3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2,则圆tan( tan 2 ,2 ? y —x 12yTP得: 1，I MA MB,当2 方程. 90° 时,=45 ,MAB 为等腰直角三角形，此时点M 的坐标为(2,3)，它满足上述②当点2M 在x 轴的下方时，y V0,同理可得点 M 的轨迹方程为x2汽1(x 1),M 在线段 AB 上时，也满足2/ MAB 2 MBA 此时y=0(-1 2综上所求点的轨迹方程为 x 2 — 1(x 1)或y 0( 1 x③当点 3［巩固1］右图的曲线是以原点为圆心, 则它的方程是(X=0C . (X•厂 y 2) .1 X 2 ) =0 (X厂2「)1 x2 ) =o (X.1 y 2 )1 X2 )=0且满足RP • ［迁移］正方体 一动点，且点 为：)• 2 VxV 1为半径的圆的一部分,的方程为 _________________________ 。
解析：研究圆在坐标轴上的截距，宜用一般方程（因为与圆心、半径没有直接联系），设圆 2 2的方程为 x+y+Dx+Ey+F=O,T 圆过点 A B ,「. 4D+2E+F+20=0 ①，-D+3E+F+10=0 ②，圆在x 轴上的截距即圆与 x 轴交点的横坐标，当 y=0时，X 2+D X +F=0, x 计X 2=-D 圆在y 轴上的截距即圆与 y 轴交点的纵坐标，当 x=0时，y 2+Ey+F=0, y i +y 2=-E 由题意知：-D-E=2 ③，解①②③得 D=-2, E=0, F=-12。
［举例2］若存在实数k 使得直线I : kx-y-k+2=0与圆C: x 2+2ax+y 2-a+2=0无公共点，则实数 a 的取值范围是： ______________ 。
解析：本题看似直线远的位置关系问题，其实不然。
注意到直线I 对任意的实数k 恒过定点M （ 1,2），要存在实数k 使得直线I 与O C 相离，当且仅当M 点在圆外；方程x 2+2ax+y 2-a+2=0 变形为：（x+a ）2+y 2= a 2+a- 2, M 点在O C 夕卜（1+a ）2+4>a 2+a-2>0,解得：-7<a<-2 或 a>1.注：本题中a 2+a- 2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
［巩固1］过点A （3, -2 ）, B （2, 1）且圆心在直线 x-2y-3=0上的圆的方程是 __________ 。
［巩固2］已知定点M （x c ,y o ）在第一象限，过M 点的两圆与坐标轴相切， 它们的半径分别为r 1, r 2,贝 H r 1r 2= ___________ 。
［迁移］关于曲线C : x 4 y 2 1给出下列说法：①关于直线y 0对称；②关于直线x 0对 称；③关于点（0,0）对称；④关于直线 y x 对称；⑤是封闭图形，面积小于 ：⑥是封闭图形，面积大于；则其中正确说法的序号是 ________________3•涉及直线与圆的位置关系的问题，宜用圆心到直线的距离d 来研究。
d = r （ r 为圆的半径） 直线与圆相切；过圆x 2+y 2=r 2上一点M （X 0,y 0）的切线方程为 X 0x+y 0y=r 2;过圆x 2+y 2=r 2 外一点M （X 0,y 。
）作圆的两条切线，则两切点 A 、B 连线的直线方程为 X 0X+y °y=r 2。
过O A 外一点P 作圆的切线PQ （Q 为切点），则|PQ|= J PA |切线PQ （Q 为切点），则|PQ|=」PA|2 1 ,当且仅当|PA|最小时|PQ|最小，易见|PA|的最直线与圆相交，弦 长|AB| =2 r 2 d 2 ;过直线 A x +B y +C = 0 与圆：x 2 y 2 Dx EyF =0的交点的圆 系方程：x 2y 2 Dx Ey F +(A X +B y +C )直线与圆相离，圆周上的点到直线距离的最小值为d - r , 最大值为d +r o［举例1］从直线x-y+3=0上的点向圆(x 2)2 (y 2）2 1引切线，则切线长的最小值是3.2 A.-214 B.-23.2 C<43、. 2D.-12解析：圆（x2)2 (y 2)2 1的圆心A （-2, -2）,直线x-y+3=0上任一点P ,过引圆的小值即A 到直线x- y+3=0的距离， 为3 2J14，此时|PQ|=，选B 。
222 2［举例2］能够使得圆x y 2x 4y 1 0上恰有两个点到直线 2x y c 0距离等于1的C 的一个值为：A . 2B. ,5C . 3D . 35解析：本题如果设圆上一点的坐标， 用点到直线的距离公式得到一个方程， 进而研究方程解 的个数，将是非常麻烦的。
注意到圆心 M (1, -2),半径r =2,结合图形容易知道，当且仅当M 到直线l : 2x y c 0的距离d €( 1, 3)时，0 M 上恰有两个点到直线I 的距离等于 1,由 d =孕 €( 1, 3)得：c ( 3聽 75) (V5,3、；；5)，选 CoV 5［巩固1］若直线(1+a)x+y+仁0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为 ()(A ) 1,- 1( B ) 2,- 2(C ) 1(D )- 1［巩固2］直线l 1: y=kx +1与圆C : x 2+y 2+2kx+2my=0的两个交点 A 、B 关于直线12 : x+y=0内切，|MN| <|r i - r 2| 内含。
［举例1］已知两圆O i ： x 2+y 2=16 , O 2： (x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线 O 1O 2于M 点，则O 1分有向线段 MO 2所成的比入= ( )6565A.—B.—C. - ■D.--5 65 6|MN|> r 1 + 「2外离,|MN| =A+ D外切，*-r 2 |<|MN|< r 1 + D相交，此时，若O M :2 2x yD 1xE 1yF 1 20 , O N : x2y D 2 x E 2yF 2 0,过两圆交点的圆(系) 的方程为： 2 x 2yD 1x E” F 1 + (x 2y2D 2xE 2 yF 2) = 0 (O N 除外)。
差的大小。
O M 、O N 的半径分别为ri 、r2 ,4.判断两圆的位置关系用圆心距与它们半径和、特别地：当 =-1时，该方程表示两圆的公共弦。
连心线垂直平分公共弦。
|MN| =|r i -r 2|对称，贝y CA CB= ______ 。
［迁移］实数x,y 满足x 2y 22x 2y 144A • H,)B • ［0,;］33一 v 40,则 的取值范围为( )x 24 D - [ 3,0)解析：直线。
1 02： y= - 2x ，两圆公共弦: x-2y=6，于是有：6 M ( 512 … —),有定比分点5坐标公式不难得到入的值，选 C 。
［举例 2］若 A {( x, y)| x 2y 2 16}, B {(x, y)|x 2(y 2)2 a1}且A B B,则a 的取值范围是( )A. a 1 B . a 5 C . 1 a 5 D . a 5解析：集合 A 、B 分别表示两个圆面(a=1时集B 表示一个点)，A H B=B B A,即两圆内含；有两圆圆心分别为原点和(0, 2),半径分别为4和 .a 1，于是有:2 w 4- . a 1 ,解得：1 a 5，选C o［巩固1］圆心在直线x y 4 0上,且经过两圆 2x 2y4x 3 0,x 2 y 2 4y 3的交点的圆的方程为( )A . x 2 y 2 6x 2y 3 0B . 2 x 2y 6x 2y 3 0 2 2C . x y 6x 2y3 0D . 2 x 2y6x 2y 3［巩固2］若圆(x — a)2+(y — b)2=6始终平分圆 /+y 2+2x+2y — 3=0的周长，则动点 M(a,b)的轨迹 方程是A. a 2+ b 2— 2a — 2b+1=0B. a 2+b 2+2a+2 b+1=0C.a 2+b 2— 2a+2b+仁0D.a 2+b 2+2a — 2b+1=0［迁移］与圆x 2+ y 2 2x =0外切且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 _______________ 。