放缩与相似形比例线段教案
《北师大版实验教科书八年级下册》第四章 相似图形教案
《北师大版实验教科书八年级下册》第四章相似图形4.1线段的比（2）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在八（下）“变化的鱼”一节中，已经认识了图形在缩放过程中的变化关系。
这节课是“线段的比”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。
通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法，初步认识了比例尺的应用。
在这个基础上，进一步来学习线段的比的有关知识，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。
已经感受了数学知识源于生活，用于生活。
各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。
难点处理：比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。
学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。
在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想像等活动中获取知识。
通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
根据以上的分析，提出本节课的教学目标：1、知识技能：了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
2、过程与方法：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想像等活动中获取知识。
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24章的一部分，主要内容包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。
本节内容在学生的数学知识体系中起到承上启下的作用，为后续学习相似三角形的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象力。
但学生在学习过程中，对于抽象的概念和理论的理解仍有困难，需要通过具体的例子和动手操作来加深理解。
三. 教学目标1.了解相似形的定义和性质，能判断两个图形是否相似。
2.掌握相似形的判定方法，能运用相似形解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.相似形的定义和性质的理解。
2.相似形的判定方法的掌握。
3.相似形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似形的定义和性质。
2.利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，增强学生的直观感受。
3.通过例题和练习题，巩固学生对相似形的理解和应用。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和几何画板软件。
2.准备相关的例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际生活中的相似图形，如眼镜、放大镜等，引导学生思考：这些图形有什么共同特点？从而引出相似形的概念。
2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，动态展示相似形的变换，让学生直观地感受相似形的性质。
同时，引导学生总结相似形的性质，如对应边的比例关系、对应角的相等关系等。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和操作，判断给出的图形是否相似。
在此过程中，引导学生运用相似形的性质进行判断，并总结相似形的判定方法。
4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用相似形的相关知识。
如：已知一个矩形的长和宽，如何求其放大或缩小后的矩形的面积？5.拓展（5分钟）引导学生思考：相似形在现实生活中的应用有哪些？如何利用相似形解决实际问题？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的主要内容和知识点，形成知识体系。
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计
沪教版数学九年级上册24.1《放缩与相似形》教学设计一. 教材分析《放缩与相似形》是沪教版数学九年级上册第24.1节的内容，主要包括相似形的定义、性质及判定，以及相似形的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似三角形、相似多边形等知识打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握相似形的概念和性质，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。
但学生在学习相似形时，可能会对相似形的定义和性质理解不深，难以运用相似形解决实际问题。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解相似形的本质，并通过适量练习，提高学生运用相似形解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似形的定义、性质及判定方法，能运用相似形解决简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生几何思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：相似形的定义、性质及判定方法。
2.难点：相似形的应用，特别是在解决实际问题时，如何正确运用相似形。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识相似形，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，激发学生思维。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生团队合作精神，提高学生解决问题的能力。
4.实践操作法：通过动手操作，使学生加深对相似形的理解和应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示相似形的图片和实例。
2.练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备尺子、三角板等教具，便于学生实践操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中常见的相似形图片，如人民币、手机等，引导学生认识相似形。
24.1放缩与相似形
年
日
月
推进二期课改 实施素质教育 中山学校教师教案
__九Байду номын сангаас___年级
*教材题目 *课时 1 * 教学 目标 24.1 放缩与相似形 *课次 知识目标：1、掌握相似形的概念 2、熟悉相似形的特征 能力目标： 情感目标： * 重点 * 难点 熟悉相似形的特征 相似图形的对应边成比例 1
姓名__________
补充题：两个三角形是相似形，其中一个三角形的三边分别是 4cm， 选做题 6cm，8cm，另一个三角形有一边（不是最小的边）是 9cm，则这个 （课内外） 三角形的最小边是多少厘米？
课后 反思
1、图形的对应边成比例要多加指导 2、比例基本性质需复习巩固
中山学校 注：教具安排主要指电子课件、实验器具，演示器具等。
个别指导：练习第 2 题，唐维特和董云祺骏进行单独辅导，从边长、特殊角来确定。 （四）例题讲解 略 (五)小结: 相似图形的对应角相等, 对应边成比例。 （六）思考：任意两个等边三角形都相似吗？ 矩形呢？正方形呢？菱形呢？ （唐维特和董云祺继续操练例题，给出类似的题进行模仿： 已知四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′相似，点 A 与 A′对应，点 B 与 B′对应，点 C 与 C′对应，点 D 与 D′对应，∠A=90°，∠B=85°，∠D=120°，求∠C、∠D 的度数） * 作业 布置 必做题 （课内外） 1.练习册 24.1 2.书本练习第 3 题
A
B
A1
B1
A
B
A1
B1
已知 ABC～ A 1B 1C1 ,则∠A =∠ A 1 ,∠B =∠ B 1 ,∠C =∠ C1 且有
AB BC CA 1 , A1B1 B1C1 C1 A1 2
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.1 放缩与相似形 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯§24．1 放缩与相似形教学目标：1．能用图形放缩运动的观点认识相似形的意义．2．知道相似形的概念，理解相似多边形的对应角、对应边的含义．3．通过对进行放缩运动的图形进行度量分析，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征以及相似形与全等形的关系．教学重点和难点：相似形的意义及性质教学过程：教师活动学生活动教学设计意图一、引入问1．证明三角形全等有哪些方法？问2．能用角角角证明两个三角形全等吗？如果不能，请举出反例问3. 这两个等边三角形有什么特点？问4. 以上四组图形用什么共性？问5. 我们给具备这种特性的两个图形一个什么名称呢？二、学习新知1、相似形的定义问6：你能说出相似形的概念吗？（教师要特别强调形状相同即可，大小可以相同也可以不相同）问7：两个全等形是相似形吗？答：边边边、边角边、角边角、角角边．（H.L只用于直角三角形）答：不能．答：两个边长不同的等边三角形．答：它们的形状一样，大小不一样．答：这些图形形状一样，大小有的一样，有的不一样．答：相似形（学生说不出，老师引出）预设生答：相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．如果学生不能表述清楚，教师补充．是相似形。
以学生熟悉的全等三角形的判定方法和熟悉的等腰直角三角板引入，一方面从全等三角形的判定方法引入，有助于学生建立全等形和相似形的联系，另一方面，让学生通过观察，直观的认识形状相同的图形．自然引出本节新课内容—相似形培养学生数学语言的表达和归纳能力．2. 观察几何画板动态演示，探索相似多边形性质观察1 相似四边形演示：在四边形A’B’C’D’的缩放过程中的角与边，什么在变化，什么不变？四边形A’B’C’D’与四边形ABCD 是相似四边形，他们的对应边之间有怎样的关系？对应角之间有怎样的关系？观察2 相似五边形演示：（将边数增加一条）在五边形A’B’C’D’E’的缩放过程中的角与边，什么在变化，什么不变？五边形A’B’C’D’E’与五边形ABCDE是相似五边形，他们的对应边之间有怎样的关系？对应角之间有怎样的关系？推广：问1：当相似多边形的边数增加时，对应边和对应角是否还满足上面的特征？问2：若两个相似的多边形是全等形时，他们对应边的长度的比是多少？【适时小结】相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．答：边的长度在变，但角度不变。
放缩与相似形、比例线段讲义
放缩与相似形、比例线段课后作业一、选择题1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶42.下列线段能成比例线段的是（ ）(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知32=ba ，则bb a +的值为（ ）(A)23 (B)34 (C)35 (D)535.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-36.在比例尺为1∶38000交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AEAC ，那么下列各式中正确的是（ ）(A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC 10.若ba c ac b cb a k 222-=-=-=，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ）(A)-1 (B)21 (C)1 (D)- 12二、填空题1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则yz y x +-∶xx z y -+＝ .3.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 .4.已知ba ＝43，那么bb a +＝ .5.若ba ＝dc ＝fe ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ .6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若ba b +＝53，那么ba ＝ .8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，''B A AB ＝''C B BC ＝''A C CA ＝23，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ .10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm.11.已知3∶x ＝8∶y ，求yx =12. 已知b b a 23+＝27，求b a =13. 若2x ＝3y ，求yy x +=14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么zy x z y x +--+33＝15.正方形对角线的长与它的边长的比是16．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 . 17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______. 18.已知b a ＝dc ＝52 (b+d ≠0)，则db ca ++＝ 19、若43x x=，则x 等于20．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 21、若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x22．已知a b a 3)(7=-，则=ba23．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 323224．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .27．若43===f e d c b a , 则______=++++f d b ec a .28、若322=-yy x , 则_____=yx .29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .30．如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm ,AB = 40 cm , AC = 28 cm ,则 AE = ；AC D B E三、解答题1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)2、已知c b a +=a c b +=bac +＝x ，求x3、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.4、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b ca ++＝f d e c ++＝3.5、如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上， AB AD ＝ACAE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE的周长之差为15cm ，求△ABC 与△ADE 的周长.6、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+27、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．8、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a :: 9、已知0≠-=-=-zac y c b x b a ，求x+y+z 的值.10、已知dc b a =，证明：d dc b b a -=-11、若3:2:1::=c b a ，求cb ac b a +---的值。
相似形,放缩,比例线段
一、放缩与相似形观察下面的图片提问：图中的两面国旗，大小、形状有什么特点？图中的大五星与小五星，大小、形状有什么特点？1.相似形的定义形状相同，大小也相同的图形是全等形。
而日常生活中，还可以看到许多相这样形状相同、大小不一定相同的图形。
对于下图的三个四边形，缩小四边形ABCD，就得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，就得到四边形A2B2C2D2。
像这样对图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2大小和形状是什么关系？将一个图形放大或缩小后，得到的图形与原图形的形状相同吗？我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
如何用放缩的观点来描述两个相似形呢？相似的图形，其大小与形状有什么特点呢？请你举出日常生活中图形放大或缩小的实例。
2.相似形的性质如图，△A 1B 1C 1是△ABC 通过放大后得到的图形。
提这两个图形是相似形吗？提请对这两个三角形的三个内角与三条边的大小进行观察和测量。
这两个三角形的三个内角分别有怎样的大小关系？ （∠A 1与∠A 、∠B 1与∠B 、∠C 1与∠C 对应相等） 三条边的长度的比值间有怎样的大小关系？ （111111A B B C A C AB BC AC ==的长度的长度的长度的长度的长度的长度，即这两个三角形的边的长度对应成比例）可见，△ABC 放大为△A 1B 1C 1后，角的大小不变，而各边“同样程度”的放大了。
△A 1B 1C 1是△ABC 形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例。
事实上，在其他多边形，比如四边形中，上述结论仍然成立。
由此得到多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
特别地，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1.例题 在下列方格中，画出△ABC 的一个相似形。
练习在下列方格中，画出四边形ABCD的一个相似形。
九年级秋季班-第1讲相似性与比例线段-教师版
相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要讲解比例线段的有关概念和性质，以及三角形一边的平行线的相关性质和判定．比例线段的知识点，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．对比例线段的学习之后，我们进一步学习三角形一边的平行线分线段成比例的相关性质和判定．三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论和三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理．重点是掌握这两个定理及其推论，分清两个定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A ”字型和“X ”字形这两个基本图形，最后灵活运用本节的三个定理及两个推论，理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．知识结构模块一：放缩与相似形知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为 1．例题解析【例1】下列说法中错误的是（）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两次形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【难度】★【答案】B【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的基本定义即形状完全相同才是相似形．【例2】有以下命题：1 邻边之比为2 : 3 的两个平行四边形相似；2 有一个角是40°的两个菱形相似；3 两个矩形相似；4 两个正方形相似，其中正确的是（）A．1和2 B．2和4 C．3 和4 D．1 和3【难度】★★【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90 度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．【总结】考查相似形的定义，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形．b 甲乙ba 甲b 乙【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为．【难度】★★【答案】4.8cm 或7.5cm ．【解析】设矩形另一边长为xcm ，根据相似形的定义，对应边成比例，可知5=4或5=4，6 x x 6解得：x = 4.8 或x = 7.5 ．【总结】考查相似图形的性质，对应边成比例，但要注意好对应关系，题目未指明的要进行分类讨论．【例4】在平面内，两个形状相同、大小不一定相同的图形称作相似形．我们可以把这一概念推广到空间：如果两个几何体的形状完全相同，大小不一定相同，我们称它们为相似体．如图，甲乙两个不同的正方体，它们是相似体．若两个正方体的棱长分别为a 和b，则称这两个相似体的相似比为a : b．我们不难发现它们的一些基本性质：设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲=S乙6a26b2⎛a ⎫2= ⎪；⎝⎭设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V=a3=V b3⎛a ⎫3⎪．⎝⎭（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A．两个圆柱体B．两个圆锥体C．两个球体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①两个相似体的对应线段或对应弧长的比等于；②两个相似体表面积的比等于；③两个相似体体积的比等于．（3）某海岛周围海域出产一种鱼，在体长10 厘米之后的生长过程中，体型可以近似地看作相似体．若体长20 厘米的鱼质量为0.2 千克，则体长为60 厘米的鱼质量为多少？当地市场上出售这种鱼价格与体长成正比，购买哪种鱼更划算？60【难度】★★★【答案】（1）C ；（2）相似比，相似比的平方，相似比的立方；（3） 5.4kg ， 60cm 划算 【解析】（1）和圆一样，球只有一个基本量，即半径，所有球体都是相似体，类似所有圆都是相似形，其它的几何体都是至少两个基本量，不能确定相似；（2）表面积是进行平方运算，体积是进行立方运算，由正方体相似进行归纳总结，由此可得相似体对应线段比是相似比，表面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方； （3）鱼的体型可看作相似体，可知其体积比即为相应相似比的立方，即鱼体长比的立方，设60cm 长鱼体重mkg ，则有0.2 m ⎛ 20 ⎫3= ⎪ ，解得m = 5.4 ，这种鱼的价格与体长成正比，⎝ ⎭可知体型越大，这种鱼的单价越低，由此可知60cm 体长的鱼划算．【总结】阅读题，主要考查归纳总结的能力，要用题目中的条件分析清楚，进行类比，即可解决问题．知识精讲1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作a : b （或表示为a）；b如果a : b = c : d （或 a = c），那么就说a 、b 、c 、 d 成比例．b d 2、比例的性质（1）基本性质：如果 a = c，那么ad = bc ；b d 如果 a =c ，那么 b =d ， a = b ， c = d．b d （2）合比性质： ac cd a b 如果 a = c ，那么 a + b = c + d；b d b d 如果 a =c ，那么 a - b = c - d．b d b d（3）等比性质： 如果 a = c = k ，那么 a + c = a = c= k （如果是实数运算，要注意强调b + d ≠ 0 ）．b d 3、比例线段的概念b + d b d对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果 a : b = c : d （或表示为 a = c ），那么a 、b 、c 、db d叫做成比例线段，简称比例线段． 4、黄金分割如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB （ AP > PB ）两段（如下图），其中 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的黄金分割点．其中， AP = AB5 - 1 ≈ 0.618 ，称为黄金分割数，简称黄金数． 2 模块二：比例线段APB2 ⎩ ⎩【例 5】把ab = 1cd 写成比例式，不正确的写法是（）2A ． a = dB ． a = dC ． 2a = dD ． c =2ac 2b 2c b c b b d【难度】★ 【答案】B【解析】应用比例的基本性质，可知 B 选项即为ab = 2cd ，与原条件不符，故选 B ． 【总结】考查比例式的变形，应用比例的基本性质转化为等积式，看能不能得到原本题目条件乘积式即可．【例 6】已知线段 x 、y 满足(x + y ): (x - y ) = 3 :1 ，那么 x : y 等于（）A ．3 : 1B ．2 : 3C ．2 : 1D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C⎧x + y = 3k 【解析】令⎨x - y = k ⎧x = 2k ，可解得⎨ y = k ，即得 x : y = 2k : k = 2 :1 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系．【例 7】等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 ．【难度】★【答案】 2 : 2 ．【解析】设三角形直角边长为 a ，根据勾股定理可知斜边长为 2a ，直角边与斜边比为a : 2a = 1: = 2 : 2 ．【总结】考查应用勾股定理解决等腰直角三角形三边比，注意结果要进行化简．例题解析5【例 8】已知 a = c，则下列式子中正确的是（）b d A ． a : b =c 2 :d 2C ．a :b = (a +c ): (b +d ) B ． a : d = c : bD ．a :b = (a - d ): (b - d )【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例的合比性，可知 C 正确．【总结】考查比例的性质的变形应用，本题根据合比性即可很快得出答案．【例 9】若 a = 8 cm ，b = 6 cm ，c = 4cm ，则 a 、b 、c 的第四比例项 d =cm ；a 、c 的比例中项 x = cm ．【难度】★★【答案】3， 4 2 ．【解析】根据第四比例项和比例中项的基本定义，可得 a = c ， a = x，代入即可分别求得d = 3cm ， x = 4 2cm ．【总结】考查比例定义中的相关基本概念．【例10】已知点C 是线段AB 的黄金分割点，AC = 5 b d x c - 5 ，且AC > BC ，则线段AB = ，BC = ．【难度】★★【答案】10，15 - 5 5 ．【解析】根据黄金分割点的概念，且 AC > BC ，可知 AC=AB5 - 1， AC = 5 2- 5 代入可得AB = 10 ，则 BC = AB - AC = 15 - 5 ．【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比．5 53【例 11】已知三个数 2、 3 、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是．【难度】★★★【答案】 5 3 或10 3 或 2 3 ．2 3 5【解析】设这个数是 x ，根据比例的基本性质，转化后，可以得到三种情况，即2x = 5 ，3x = 5 ⨯ 2 ， 5x = 2 ，分别解得 x =5 3， x = 10 3 ， x = 2 3． 2 3 5【总结】考查对比例基本性质的应用，一定要注意题目条件的说明是否需要进行分类讨论的情况，通过转换为乘积的形式，可以做到不重不漏．【例 12】已知实数 a 、b 、c 满足 b + c = c + a = a + b ，求 b + c的值．a b c a 【难度】★★★ 【答案】2 或-1【解析】当 a + b + c ≠ 0 时，根据比例的等比性质，可得b +c = b + c + c + a + a + b= 2 ； a a + b + c当 a + b + c = 0 时，则有b + c = -a ，由此 b + c = -a= -1 ．a a故 b + c 的值为 2 或-1 ．a【总结】考查比例的等比性质，注意等比性质在实数运算中运用的条件，要根据分母是否为 0 进行分类讨论．3AlDEBCAD E BC1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知∆ABC ，直线 l // BC ，且与 AB 、AC 所在直线交于点 D 和点 E ，那么 AD = AE．DB EC2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点 D 、 E 分别在∆ABC 的边 AB 、 AC 上，DE // BC ，那么 DE = AD = AE．BC AB AC3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在∆ABC 中，直线l 与 AB 、 AC 所在直线交于点 D 和点 E ，如果 AD = AE ，那DB EC 么l // BC ．模块三：三角形一边的平行线知识精讲AlEDBCAl DEB C6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线l // l // l ，直线m 与直线 n 被直线l 、l 、l 所截，那么 DF= EG．1 2 3 1 2 3FB GC7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例 13】如图，DE // BC ，AD = 5，BD = 2，AE = 3，BC = 8，求线段 AC 、DE 的长． 【难度】★ 【答案】 AC =21 ， DE = 40 ． 5 7【解析】AD = 5，BD = 2，可得 AB = AD + BD = 7 ，由 DE // BC ，根据三角形一边平行线性质定理的推论，可得 AE = DE = AD，AC BC AB即 3 = DE = 5 ，可求得： AC = 21 ， DE = 40 ． AC 8 7 5 7【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意解题中适当应用边的关系和相关比例的性质．D EFGBC例题解析AEDBC ADEB CADEB CC EADB3 【例 14】如图， ∆ABC 中，DE // BC ，AD = EC ，BD =4 cm ，AE = 3 cm ，则 AB = ．【难度】★★【答案】(4 + 2 3)cm ．【解析】设 AD = xcm ，由 DE // BC ，可得 AD = AE ，又 A D E C = ，AB ACADE 则该式即为 x = 3，整理得 x 2 = 12 ，由此得 x = 2 ，x + 4 3 + x BCAB = AD + BD = (4 + 2 3)cm ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意好题目中对相关条件的应用，改写成比例式解决问题．【例 15】∆ABC 中，∠A = 90︒ ，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，若 DE = BD，那么 DEAC BA平行于 AC ．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”） 【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知一条直线截三角形两边所得的线段对应成比例，可判定平行，本题中对应成比例的并不是截三角形两边所得线段对应成比例，即 不可判定平行，在 AB 上固定一点 D ，作 E D ⊥A B 交 BC 于点 E ，以点 D 为圆心，ED 长 为半径画圆，与边 AB 还会有另外一个交点，即不一定能判定平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的条件，只能根据所截得的两边线段对应成比例判定平行，而不能根据这条直线对应成比例关系判定平行．【例 16】如图，两条相交于点 O 的直线被另外三条直线所截，交点分别为 A 、B 、C 和 D 、 E 、F ，则下列说法中正确的有（ ）（1）若 AD // BE // FC ，则 AB = BC；DE EF OF AC（2）若 AD // BE // FC ，则 =； OC DF（3）若 AB = DE，则 AD // FC ；BC EF （4）若 BC = BO，则 BE // FC ；EF EO （5）若 BE = BO，则 BE // FC ．FC OCA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，知（1）正确；同时 OF = OD = OF + OD = DF，OC OA OC + OA AC知（2）错误；根据平行线分线段成比例定理，由于题目中没有给出有直线与 BE 平行的条件，则不能证明平行，（3）错误；根据三角形一边平行线的判定定理，BC = BO，EF EO根据比例的基本性质变形可得 BO = OE，即可证平行，可知（4）正确，（5）错误．OC OF 【总结】考查平行线分线段成比例相关的性质定理和判定，注意前提条件再进行判断．【例 17】如图， ∆ABC ，DE // BC ，若 AD = 2，则 S : S =（）DB 3∆CDE ∆BDCA ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 15D ．6:15【难度】★★ 【答案】B【解析】根据 DE // BC ，可得 AE = AD = 2，三角形为同EC DB 3高三角形，则有 S ∆ADE = AE = 2，可设 S = 2a ，则S ∆CDE EC 3∆ADE有 S = 3a ， S= 5a ，同理 S ∆ACD = AD = 2 ， ∆CDE ∆ACDS ∆BCD BD 3可得 S ∆BCD = 15 a ，则有 S 2∆CDE : S ∆BDC = 3a : 15 a = 2 : 5 ． 2【总结】结合三角形一边平行线性质定理，考查三角形中的同高三角形，面积比即为其底边长度之比．ADB E O FCA DEB C【例 18】如图，DF // AC ，DE // BC ，下列各式正确的是（ ）A ． AD = BE BC CF 【难度】★★ 【答案】DB ． AE = CE DE BC C ． AE = BD CE AD D ． AD =AB DE BC 【解析】由 DE // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AD =DE ，变形即为 AB BC AD = AB，D 正确． DE BC 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，利用比例变形可以将对应边成比例转化为一个三角形中对应边的比例关系，利用相关性质等积转化即可进行判断．【例 19】如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下 2.7 米宽的亮区 DE ，如果亮区一边到窗下墙脚的距离 CE = 8.7，窗口高 AB = 1.8 米，那么窗口底边离地面的高度 BC = ．【难度】★★ 【答案】4m ．【解析】射入的光线平行，则有 AB = DE ，代入可求得AC CEA C = 5 . 8m ， BC = AC - AB = 4m ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例 20】如图，AD // EG // BC ，AF = 12，FC =3，BC = 10，AD = 5，那么 EG 的长是 ．【难度】★★ 【答案】9【解析】由 AD // EG // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AF = EF ，AC BC CF = FG ，代入即为AC ADEF = 12 ， FG = 3 ，求得 EF = 8 ， FG = 1， 10 15 5 15 即得： EG = EF + FG = 9 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．AD EBFCA BE DCC G FD B EAD C EOFA B【例 21】如图，已知 ABCD 是梯形，其中 AB // CD ，对角线 AC 与 BD 交于 O ，过 O 作 AB的平行线交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ，若 AO : OC = 2 : 1，且 CD = 1.8，CF = 0.8，那么 AB = ，BC = ．【难度】★★ 【答案】3.6 ， 2.4 ．【解析】由 AB / /CD / /EF ，根据三角形一边平行线的性质定理及推论，可得 AB = AO = OB = BF= 2 ，由此可CD OC OD CF求得：AB = 3.6 ，BF = 1.6 ，故 BC =BF +C F = 2.4 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 22】如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC ，MN // BC ，且交对角线 BD 于 O ，AD = DO =p ，BC = BO = q ，则 MN 为（ ）A ． pq p + q C ．p + q pqB ．2 pq p + q D ．p + q 2 pq【难度】★★ 【答案】B【解析】由 AD // MN // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 MO = BO，AD BDON = DO ，由 AD = DO = p ，BC = BO = q ，代入即为 MO = q ， ON = p ， BC BDp p + q q p + q 求得： MO =pq p + q ， ON = pqp + q，即得： MN = MO + ON =2 pq ． p + q 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．A D MONB CAC 2 + BC 2 【例 23】如图，直角∆ABC 中两条直角边 CA = 4，CB = 3，点 E 为斜边 AB 上的一个动点，ED ⊥ BC 于 D ，设 AE = x ，BD = y ，则 y 关于 x 的函数解析式为 ．【难度】★★ 【答案】 y = 3 - 3x ．5【解析】由勾股定理，可得 AB = = 5 ，AE = x ，则 BE = 5 - x ，由 ED ⊥ BC ， ∠C = 90︒ ，可得 DE / / AC ，根据三角形一边平行线性质定理，则有 BD = BE，BC AB即 y = 5 - x ，即可得 y = 3 - 3 x ． 3 5 5【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 24】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，求证：（1） AE = AB ；（2） GD 2 = GF GE ．AD CF 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：（1） 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB / /CD ， AD / /BC ， AB = CD∴ DC = GC =CF AE AG AD ∴AB = CF AE AD即 得 AE =AB AD CF（2）同样地，由 AD / /CF ， DC / / AE ，可得： GD = AG = GE ．GF GC GD∴ GD 2 = GF GE ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的基本应用，考查在有平行线的图形中的基本图形， “A ”字型和“8”字型，“A ”字型和“8”字型有叠合的时候可进行等比例转化．D CGFAB EA EB DC【例 25】如图，在∆ABC 中，AB > AC ，AD ⊥ BC 于 D ，点 F 是 BC 中点，过点 F 作 BC 垂线交 AB 于点 E ，BD : DC = 3 : 2，则 BE : EA = ．【难度】★★★ 【答案】5 :1．【解析】由 BD : DC = 3 : 2，F 为 BC 中点，即可得B F + B F - F D = 3 ，则 B F F D 2= 5F D ，由 EF ⊥BC ，AD ⊥ BC ，可得： EF / / AD ，根据三角形一边平行线性质定理， 即可得： BE : EA = BF : FD = 5 :1 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，过程中注意比例转化．【例 26】如图，在∆ABC 中，E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，AE 、BF 交于点 G ，过 G 作GD // AC 交 BC 于点 D ，若 ED = 5，则 BC 的长为 ．【难度】★★★ 【答案】30．【解析】∵E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，∴G 是∆ABC 的重心．GE 1 ∴ = ． AE 3 ∵GD // AC ，∴可得 ED = GE = 1，EC AE 3由此 EC = 3ED = 15 ， BC = 2EC = 30 ．【总结】考查重心性质的证明，构造平行线，结合三角形一边平行线性质定理即可解决问题．A EB F D CAFG BE DC1 【例 27】如图，AD // OM // BC ，AC 、BD 相交于点 O ．求 证 ： 1 + 1 = 1．AD BC OM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： AD / /OM / /BC ，O M B M OM AM ∴ = ， A D A B = ． BC AB ∴ O M + O M = B M + A M =． A D B C A B A B即 得 ： 1 + 1 = 1．AD BC OM【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，尤其图形中“A ”字型等基本图形有部分叠加图形的情况下可进行等比例转化．【例 28】如图，已知：在∆ABC 中， BD = 1 ， AF = 2 ，求 AE的值．CD 3 DF AC 【难度】★★★1【答案】 ．3【解析】过点 D 作 DG / / BE 交 AC 于点G ，根据三角形一边平行线的性质定理， 可 得 EG = BD = 1 ， AE = AF = 2 ，GC CD 3 EG DF 则有 AE = 2 ，则有 AE= 2 = 1 ，GC 3 EC 1 + 3 2根据比例的合比性，则有 AE = 1．AC 3【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造平行线，构造出“A ”字型等相关基本图形进行等比例转化解决问题．CDOAM BAEFG BDC【例 29】如图，已知 AM 是 ∆ABC 的中线，P 是 BC 边上的一个动点，过点 P 作 AM 的平行线分别交 AB 、AC 所在直线与点 Q 、R ，求证：PQ + PR 为定值． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明： PR / / AM ，∴ PQ = BP ， PR = PC ． AM BM BM = CM ，AM MC∴ PQ + PR = BP + PC = BC AM BM BM= 2 ．即得： PQ + PR = 2AM ，即证 PQ + PR 为定值．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意观察图形中的基本图形，本题中即用到两个“A ”字型．【例 30】如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与 AB 、DC 、BC 、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、N 、R 、S 和 P ． 求证： PM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： ．BD / /MS∴ BO = AO ， DO = AO MP AP ∴ BO = DO PM PS PS AP∴ PS = DO PM BO同时由OB / /PR ， OD / /PN ， ∴ OB = OC ， OD = OC PR CP ∴ OB = OD PR PN ∴PN = DO =PN CP PSPR BO PM即证 PM 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化即可．AB O DMC N PR SPN = PR PS PN = PR PSR AQBP MCDEM N PFQ【例 31】（1）如图 1，在∆ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上满足 DE // BC ，点 P 为 BC上的任意一点，AP 交 DE 于点 Q ，求证： DQ = BP．QE PC （2）试参考（1）的方法解决下列问题：如图 2，M 、N 为边 BC 上的两点，且满足 BM = MN= NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、AM 和 AN 的延长线于点 D 、E 和 F ． 求 EF : DE 的值．ABC【难度】★★★【答案】（1）略；（2） 3 :1 ． 【解析】（1）证明： DE / /BC ，∴ DQ = AQ ， QE = AQ ． BP AP ∴ DQ = QE ．BP PC ∴ DQ = BP ． QE PCPC AP（2）过点 B 作 BQ / /DF 交 AF 延长线于点Q ，交 AM 延长线于点 P ，则有 BQ / /DF / / AC ，BM = MN = NC ，∴ BP = BM = 1 ， BQ = BN = 2 ． AC MC 2 AC NC ∴ BP = 1 ，即得： BP = 1 ． BQ 4 PQ 3由（1）的结论即可得 EF : DE = PQ : BP = 3:1．【总结】考查三角形一边平行线的应用，“8”字型的叠合，可以进行相应等量转化确定相关线段之间的比例关系解决问题．图 1图 2AD QE BP C⎩⎩【习题 1】如果图形 A 与图形 B 相似，图形 B 与图形 C 相似，那么图形 A 与图形 C相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【难度】★ 【答案】一定．【解析】根据相似形定义，可知图形 A 与图形 B 形状相同，图形 B 与图形 C 形状相同，则必有图形 A 与图形 C 形状相同，即两图形相似． 【总结】考查相似形具有传递性．【习题 2】若(x + y ): y = 8 : 3 ，则 x : y =．【难度】★ 【答案】5 : 3 ．⎧x + y = 8k【解析】令⎨ y = 3k⎧x = 5k ，可解得： ⎨ y = 3k ，即得 x : y = 5k : 3k = 5 : 3 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系，也可直接利用比例的合比性质进行求解．【习题 3】如图，DE // BC ，下列比例式成立的是（ ）A ． AD = AC AB AE 【难度】★ 【答案】CB ． DE = DA BC AB C ． EA =DA AB AC D ． DA =AE AB AC【解析】根据三角形一边平行线性质定理的推论，由 DE // BC ，可得： DA = EA，可知 C 正确．AC AB 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．随堂检测DEAB C5 5 【习题 4】有以下命题，其中正确的判断有（ ）个（1）如果线段 d 是线段 a 、b 、c 的第四比例项，则有 a = c ；b d （2）如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB 、BC 的比例中项；（3）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC > BC ，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；（4）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC > BC ，且 AB = 2，则 AC = -1 ．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例相关定义，可知（1）正确； C 是 AB 中点时，则有 AC = BC = 1AB ，此2时 AB ≠ AC ，（2）错误；根据黄金分割点的基本定义，可知（3）正确，同时黄金比 AC BC 为 5 - 1 ，即 AC = 5 - 1 ，可得 AC = -1，（4）正确；（1）（3）（4）正确． 2 AB 2综上所述，故选 C ．【总结】考查比例中的相关概念，以及黄金分割等基本知识．【习题 5】如图，已知菱形 BEDF 内接于∆ABC ，点 E 、D 、F 分别在 AB 、AC 和 BC 上，若AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，则菱形边长为 ．【难度】★★【答案】 20cm ．3【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，则有 DE = AE，BC AB则有 BE + AE = BE + DE= 1 ，由 AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，AB AB AB BCDE = BE ，即为 DE + DE = 1 ，解得： DE = 20，即菱形边长．15 12 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用．AEDB FC【习题 6】如图，在∆ABC 中，DE // BC ，EF // CD ，AF = 3，FD = 2，求 AB 的长． 【难度】★★【答案】 25．3【解析】AF = 3，FD = 2，可得 AD = AF + FD = 5 ，由 DE // BC ，EF // CD ，可得 AF = AE = AD ，即得 3 = 5 ，求得 AB = 25．AD AC AB 5 AB 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意利用基本“A ”字型，尤其有叠合的图形进行等比例转化．【习题 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 24，X 、Y 是对角线 AC 上的三等分点，联结 DX 并延长，交 AB 于 P ，再联结 PY 并延长，交 DC 于 Q ，则 CQ 的长为【难度】★★ 【答案】6．【解析】由四边形 A B C D 是平行四边形， 可知AB / /CD ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得 DC = XC = 2 ， CQ = CY = 1 ，由此可得 AP AX AP AY 2 CQ = 1 ，即得CQ = 1 CD = 1AB = 6 ． CD 4 4 4【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找到图形中的“X ”字型．AF DE BCDQC YXAP B矩形DEFC 【习题 8】如图，在矩形 ABCD 中，截去一个矩形 ABFE （图中阴影部分），余下的矩形 DEFC与原矩形 ABCD 相似．（1）设 AB = 6 cm ，BC = 8 cm ，求矩形 DEFC 的面积；（2）若截去的矩形 ABFE 是正方形，求 AB的值．BC 【难度】★★【答案】（1） 27cm 2 ；（2）5 - 1 ．2【解析】（1）余下矩形与原矩形相似，根据相似形的性质，则有 DE = EF ，代入即为 DE = 6 ，求得 DE = 4.5cm ， AB BC 6 8则有 S = DE ⋅ EF = 27cm 2；（2）同（1）有 D E =E F ，设原矩形宽为 a ，则有 AE = EF = BF = a ，代入即为 BC - a = a，A B B C⎛ a ⎫2a a BC整理得： a 2 + aBC - BC 2 = 0 ，两边同除以 BC 2，即得 ⎪ ⎝ BC ⎭ +- 1 = 0 ，解方程得 BCa = 5 - 1 ，即 AB = 5 - 1 ，此时为黄金比． BC 2 BC 2 【总结】考查相似形的基本性质的应用．【习题 9】如图，平行四边形 ABCD 中，对角线交点为 O ，E 为 AD 延长线上一点，OE 交CD 于 F ，交 AB 于 G ，交 CB 的延长线与 H ，试求 AB - AD的值．DF DE【难度】★★★ 【答案】2．【解析】由平行四边形的性质，则有 DO = OB ，由此可得DF = GB ，又 DC / / AB ，则有 AG = AE，则有DF DEEDF COA B A D A +G G B -A E ⎛D E⎫A G ⎛ ⎫ A E AGBD F - = - = + 1⎪ - - 1⎪ = ． DE DF D E ⎝ D ⎭F ⎝ D ⎭ EH【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找准图形中的“A ”字型和“8”字 型等基本图形进行比例转化，同时应用好平行四边形的相关性质．AE DF C33 5 - 2 3【习题 10】如图，已知在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，以 BC 为边向外作正方形 BCDE ，联结 AE 交 BC 于 F ，作 FG // AC ，交 AB 于 G ． （1）试判断∆FCG 的形状，并加以证明；（2）若正方形 BCDE 边长为 1， ∠AEB = 30︒ ，求 AB 的长． 【难度】★★★【答案】（1）等腰直角三角形；（2） 5 - 2 3 ．【解析】（1） ∆FCG 是等腰直角三角形． 证明 四边形 BCDE 是正方形，∴ BC / /DE ， BE / /CD / /FG ．∴ CF = AF ， DE AE ∴ CF = FG ． DE BE ∴CF = FG ． FG / / AC ，FG = AF ． BE AE ∴∠CFG = ∠ACB = 90︒ ． 即证∆FCG 是等腰直角三角形． （2） BE = BC = 1 ， ∠AEB = 30︒ ，∴ BF =BE =3 ．3∴ FG = CF = 1 - 3．3由 FG / / AC ，可得 FG = BF = AC BC根据勾股定理，即可得 AB = 3，则 AC = 3=3FG = -1，= ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，结合归纳猜想进行解题．AC 2+ BC 2( 3 - 1)2+ 12 DECFAGB【作业 1】下列说法正确的是（）A ．边数相同的多边形相似B ．对应边成比例的多边形相似C ．对应角相等的多边形相似D ．全等的多边形相似 【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的概念和性质，形状大小完全相同，即对应角相等，对应边对应成比例同时满足，可知 ABC 错误，全等的图形是特殊的相似形，可知 D 正确． 【总结】考查相似形的基本概念和性质．【作业 2】已知 x - y = y，则 x + y 的值为．13 7y【难度】★【答案】 27．7【解析】由 x - y = y ，则有 x - y = 13 ，根据比例的合比性， x + y = 13 + 7 + 7 = 27．13 7 y 7 x 7 7【总结】考查相关比例的转化，可利用比例的性质进行求解．【作业 3】如图，已知 AD // BE // CF ，下列比例式成立的有（ ）（1） AB = AC ；（2） AB = DE ；（3） AC = DF ；（4） BC = EF ．DE DF EF BC EF BC AC DFA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，可得 AB = DE，BC EF结合比例的合比性，即得 AB = DE ， BC = EF，AC DF AC DF（1）正确，（2）错误，（3）错误，（4）正确，综上所述，故选 B ． 【总结】考查平行线分线段成比例定理，结合比例基本性质进行等比例转化．课后作业ADB EO FC。
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上海育才苑教学设计方案
放缩与相似形、比例线段课后作业
一、选择题
1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4
2.下列线段能成比例线段的是（ ）
(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm 3.如果线段a =4，b =16，c =8，那么a 、b 、c 的第四比例项d 为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32 4.已知3
2=b
a ，则b
b a +的值为（ ）
(A)2
3 (B)3
4 (C)3
5 (D)5
3
5.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3
6.在比例尺为1∶38000交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ） (A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km
7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米
8.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）
(A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm (D)(3- 5 )cm
9.若D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，且AD AB =AE
AC ，那么下列各式中正确的是（ ）
(A)AD DB =DE BC (B)AB AD =AE AC (C)DB EC =AB AC (D)AD DB =AE AC 10.若b
a c a
c b c
b a k 222-=-=-=，且a +b +
c ≠0，则k 的值为（ ）
(A)-1 (B)21 (C)1 (D)- 12
二、填空题
1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .
2.若3
x ＝4
y ＝5
z ，则y
z y x +-∶x
x z y -+＝ .
3.已知13
y x -＝7
y ，则y
y x +的值为 .
4.已知b
a ＝4
3，那么b
b a +＝ .
5.若b
a ＝d
c ＝f
e ＝3，且b+d+
f ＝4，则a+c+e ＝ .
6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .
7.若b
a b +＝5
3，那么b
a ＝ .
8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .
9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′，'
'B A AB ＝'
'C B BC ＝'
'A C CA ＝2
3，且A ′B ′+B ′C ′+C ′A ′＝16cm.
则AB+BC+AC ＝ .
10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm.
11.已知3∶x ＝8∶y ，求y
x =
12. 已知b b a 23+＝27，求b a =
13. 若2
x ＝3
y ，求y
y x +=
14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z
y x z y x +--+33＝
15.正方形对角线的长与它的边长的比是
16．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 . 17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______.
18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则d b c
a ++＝
19、若4
3x x
=，则x 等于
20．已知
3
5
=y x ，则=-+)(:)(y x y x 21、若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x
22．已知a b a 3)(7=-，则
=b
a
23．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c
b a z y x 3232
24．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .
25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .
26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .
27．若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e
c a .
28、若3
22=-y
y x , 则_____=y
x .
29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .
30．如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，
AD = 15 cm ,AB = 40 cm , AC = 28 cm ,
则 AE = ；
A
C D B E
三、解答题
1、已知：5y-4x ＝0，求(x+y)∶(x-y)
2、已知
c b a +=a c b +=b
a
c +＝x ，求x
3、已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.
4、已知：b a ＝d c ＝f e ＝3(且有b+d+f ＝0)，求证：d b c
a ++＝f d e c ++＝3.
5、如图，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上， AB AD ＝AC
AE ＝BC DE ＝32，且△ABC 与△ADE
的周长之差为15cm ，
求△ABC 与△ADE 的周长.
6、已知8
7
5
c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2
7、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．
8、若65
432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a :: 9、已知0≠-=-=-z
a
c y c b x b a ，求x+y+z 的值. 10、已知d
c
b a =，证明：
d d c b b a -=-
11、若3:2:1::=c b a ，求c
b a
c b a +---的值。
12.已知
0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)
y z
y x +- (2)z y x z y x +-++35432.
13.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c=60cm ，a ∶b ∶c=3∶4∶5，求ΔABC 的面积.。