六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx

数论综合（二）

教学目标：

1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；

2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想

例题精讲：

板块一质数合数

【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．

【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31．

【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数．

【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、

c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11．

【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数

【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、

8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数

67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数．

【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少

【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两

位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了．

把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727．

把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18．

板块二余数问题

【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003

商与余数之和为 2113，则被除数是多少

【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ．

【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个

【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个．

【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．

【解析】 ( 法 1) 39 3 36 ，147 3 144， (36,144)

12，12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ，因为余数为 3 要小于除

数，这个数是 4,6,12

；

( 法 2) 由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任 意两数差的公约数． 51 39 12 ， 147 39 108 ， (12,108) 12 ，所以这个数是 4,6,12 ．

【例 8 】 ( 2005 年全国小学数学奥林匹克试题

) 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和

是 50，那么这个整数是 ______．

【解析】 (70

110 160)

50 290 ， 50

3 16...... 2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是

29 和 58， 110 58 1...... 52 ， 52 50 ，所以除数不是

58．

70 29 2

， 110 29 3...... ， 160 29 5...... ，

12 23 15 50

，所以除数是

29

(12)

23

15 【巩固】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题

) 用自然数 n 去除 63， 91， 129 得到的三个余数之和为 25，那

么 n=________ ．

【解析】

n 能整除 63 91 129 25 258．因为 25 3 8...1，所以 n 是 258 大于 8 的约数．显然， n 不

能大于 63．符合条件的只有 43．

【例 9 】 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除

220 后所得的余数，

则这个自然数是多少

【解析】 这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 90 164 254 后所得的余数，

所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是 254 220 34 的约数，又大 于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34．

如果这个数是 34，那么它去除 90、 164、 220 后所得的余数分别是 22、 28、16，不符合题目条件；

如果这个数是 17，那么他去除 90、 164、220 后所得的余数分别是 5、11、 16，符合题目条件，所以 这个自然数是 17． 【例 10 】甲、乙、丙三数分别为 603，939，393．某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍， A 除

乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍．求 A 等于多少

【解析】 根据题意，这三个数除以 A 都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：

603 A K 1 L L r 1 939 A K 2 L L r 2 393 A K 3 L L r 3

由于 r 1

2r 2 ， r 2

2r 3 ，要消去余数 r 1 ， r 2 ， r 3 ，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．

这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大

2 倍，同理，第三个式子乘以

4．

于是我们可以得到下面的式子：

603 A

K 1 L L r 1 939 2

A 2 K 2 L L 2r 2 393 4

A 2K 3 L L 4r 3

这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被 A 整除．

939 2 603 1275 ， 393 4 603 969， 1275,969

51

3 17 ．

51 的约数有 1、 3、 17、 51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17 满足，所以 A 等于 17．

【例 11 】 ( 2003 年南京市少年数学智力冬令营试题

)

22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________．

【解析】 找规律．用 7 除 2

3

， 4

5

6

，?的余数分别是 2，4， 1， 2，4， 1， 2， 4， 1，?， 2 2， 2 ， 2 2 ， 2 ， 2

的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1； 2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2； 2 的个 数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为

4．因为 22003 23 667

2

，所以 22003 除以 7 余 4．又两个数的积

除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同． 而 2003 除以 7 余 1，所以 2003 2

除以 7 余 1．故

2

2003

与 20032

的和除以 7 的余数是 4 1

5．

【巩固】 22008 20082 除以 7 的余数是多少

【解析】 23

8除以 7

的余数为 1， 2008 3 669 1 ，所以 2

2008

23 669＋1

(23 )669

2 ，其除以 7 的余数为：

669

2 2 ； 2008 除以 7 的余数为

2

2

7 的余数，为 1；所以

1

6，则 2008 除以 7 的余数等于 6 除以

22008

20082 除以 7 的余数为： 2 1 3 ．

【例 12 】 ( 2009 年走美初赛六年级

) 有一串数： 1， 1， 2， 3， 5， 8，??，从第三个数起，每个数都是前两

个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数

【解析】 由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．

所以这串数除以 5 的余数分别为： 1， 1，2， 3， 0， 3， 3，1， 4， 0， 4， 4， 3， 2， 0， 2， 2， 4，1， 0， 1， 1， 2， 3， 0，?? 可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是

由于 2009 5 401L 4 ，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数．

5 的倍数．

【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：

1、 1、

2、

3、 5、 8、 13、 21??这串数列当中第 2008 个数除以 3

所得的余数为多少

【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定

理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列： 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0、 1、1、 2、 0??

第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0．

【例 13 】 ( 1997 年全国小学数学奥林匹克试题 ) 将 12345678910111213......依次写到第 1997 个数字，组成一个

1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 ________ ．

【解析】 本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和．

1～9 共有 9 个数字， 10～99 共有 90 个两位数，共有数字： 90 2 180 ( 个 ) ， 100～999共 900 个

三位数，共有数字： 900 3 2700 ( 个) ，所以数连续写，不会写到 999，从 100 开始是 3 位数，每

三个数字表示一个数， (1997 9 180) 3 602......2 ，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它

的百位和十位．从

100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来．因为

连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9 个自然数也能被 9 整除， 702 个数能分成的组 数是：702 9 78 ( 组 ) ，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为 9-2 7 ．

【例 14 】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是

10，第

二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和 ．

【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之

和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数．因为这是一个一定正确的算式，

所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9 的

余数为 8，那么□ 1031 除以 9 的余数也必须为 8，□只能是 3．将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，

即 31031 31 1001 143 217

所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是

360

【例 15 】设 20092009 的各位数字之和为

A ， A 的各位数字之和为

B ， B 的各位数字之和为

C ， C 的各位数字

之和为 D ，那么 D

9 的余数相同， 所以 20092009 与 A 、B 、C 、D

【解析】 由于一个数除以

9 的余数与它的各位数字之和除以

除

以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则 2009 2009

除以 9 的余数与 2 2009 除以 9 的余数相同，而 2

6

64

除以 9 的余数为

2009

26 334 5

6

334

5

9 的余数为 5

1，所以 2

2

2 除以 2 除以 9 的余数，即为 5．

另一方面，由于 20092009 100002009 108036 ，所以 20092009 的位数不超过 8036 位，那么它的各位数字

之和不超过 9 8036 72324 ，即 A ；那么 A 的各位数字之和 B

9 5 45 ， B 的各位数字之

72324

和 C 9 2 18 ， 小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么 C 为 5 或 14， 的各位数字之和为 5，即 D 5 ．

C

C

板块三 完全平方数

【例 16 】从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而 72 23

32

2 6 6 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的

2 倍，

由于 2 31 31 1922

2008 2 32

2 2

、??、 2

2

都满足题意，即

32 2048，所以 2 1 、 2 2 31 所求的满足条件的数共有

31 个．

【例 17 】一个数减去100 是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少

【解析】设这个数减去

2

，减去 100为B

2

，则 A

2

B

2

A B A B100633737 1，

63 为A

可知 A B 37 ，且 A B 1 ，所以 A19 ， B18，这样这个数为 182100424 ．

【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数

【解析】假设能找到，设这两个完全平方数分别为A2、 B 2 ，那么这两个完全平方数的差为

54A B A B ，由于 A B 和 A B的奇偶性质相同，所以A B A B不是 4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以 54 不可能等于两个平方数的差，那么

题中所说的数是找不到的．

【例 18 】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．

【解析】考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．

设中间数是 x，则它们的和为5x，中间三数的和为3x ． 5x 是平方数，设 5 x222

5 a ，则 x 5a，

3x15a23 5 a 2是立方数，所以 a2至少含有3 和 5 的质因数各 2 个，即 a2至少是 225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

板块四位值原理

【例19 】 ( 美国小学数学奥林匹克) 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少

如

【解析】设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba，根据题意，

ab ba(10a b) (10b a )9(a b)45 ，a b 5 ，原两位数最大时，十位数字至多为9，即a9 ，

b 4 ，原来的两位数中最大的是94．

【巩固】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( 这个数也叫原数的反序数) ，新数比原数大8802．求原来的四位数．

【解析】设原数为 abcd ，则新数为dcba，

dcba abcd (1000d100c 10b a)(1000a 100b10c d)999( d a)90(c b) ．

根据题意，有 999( d a)90(c b)8802 ， 111(d a)10 (c b)97888890 ．

推知 d a8 ， c b9 ，得到 d9 ， a 1， c9 ， b0 ，原数为1099．

【例 20 】 ( 第五届希望杯培训试题) 有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少

【解析】设这六个不同的三位数为abc,acb, bac,bca, cab, cba ，

因为 abc100a10b c ， acb100a10c b ，??，它们的和是：222(a b c)1554 ，所以

a b c15542227 ，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少

为 1， 2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为4；又1 2 367 ，所以最大的数大于 3，所以最大的数为4，其他两数分别是1， 2．

【巩固】 ( 迎春杯决赛 ) 有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是2886，求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数．

【解析】设三个数字分别为a、 b、 c，那么6 个不同的三位数的和为：

abc acb bac bca cab cba2(a b c) 1002( a b c)102(a b c)222( a b c)

所以 a b c 288622213，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位

数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13 19 3，所以所

有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139．

【巩固】 a， b， c 分别是0 : 9 中不同的数码，用a， b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234 ，那么另一个三位数是几

【解析】由 a ，b， c 组成的六个数的和是222(a b c) ．因为223422210 ，所以 a b c 10 ．若 a b c11，则所求数为222112234208，但 2081011，不合题意．

若 a b c12，则所求数为222122234430 ，但 430712，不合题意．

若 a b c13，则所求数为222132234652， 6 5213，符合题意．

若 a b c14，则所求数为222142234874，但 8741914 ，不合题意．

若 a b c15，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意．

所以，只有 a b c 13时符合题意，所求的三位数为652．

板块五进制问题

【例 21 】在几进制中有 4 13 100

【解析】利用尾数分析来解决这个问题：

由于 (4)10(3)10(12)10，由于式中为100，尾数为 0，也就是说已经将12 全部进到上一位．

所以说进位制n 为12的约数，也就是12，6， 4， 3，2 中的一个．

但是式子中出现了4，所以 n 要比 4 大，不可能是4， 3，2 进制．

另外，由于(4)10(13)10(52)10，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知

道n 10 ，那么n不能是12．所

以， n 只能是 6．

【巩固】算式 1534 25 43214是几进制数的乘法

【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为45 20 ，但是现在为 4 ，说明进走

20 4 16 ，所以进位制为16 的约数，可能为16、 8、 4 或 2．

因为原式中有数字5，所以不可能为4、 2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制．

【例 22】在 6 进制中有三位数abc ，化为9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少

【解析】(abc)6 =a× 62＋ b× 6+c=36a+6b+c ；(cba)9=c× 92+b×9+a=81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a ；

于是 35a=3b+80c ；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数．所以 3b 也必须是 5 的倍数，又(3 ，5)=1 ．所以， b=0 或 5．

①当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7 ，16)=1 ，并且 a、c≠ 0，所以 a=16，c=7．但是在6， 9 进制，

不可以有一个数字为16．

②当 b=5，则 35a=3× 5+80c ；则 7a=3+16c； mod7 后， 3+2c≡ 0．所以 c=2 或者 2+7k(k为整数 ) ．因

为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+80× 2，a=5．所以 (abc)6 =(552)6

=5× 62+5×6+2=212．这个三位数在十进制中为212．

课后练习：

练习 1 ．三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数．

【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc7( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为7，不妨记为 a ，那么bc7 b c，整理得(b1)(c1)8 ，又8 1 82 4 ，对应的 b 2、c9( 舍去 ) 或

b 3、c5，所以这三个质数可能是3， 5，7

练习 2 ．有一个大于 1 的整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数．

【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差

的公约数．

1014556，

4514

，

14

，的约数有

1,2,7,14

，所以这个数可能为

2,7,14

．59(56,14)14

练习 3 ．将 1 至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：L ，试求这个多位数除以 9 的余数．

【解析】以这个八位数为例，它被9 除的余数等于19 99 2 00 0 被 9 除的余数，但是由于1999

与 1 9 9 9 被 9 除的余数相同， 2000 与 2 0 0 0 被 9 除的余数相同， 所以就与 1999 2000

被 9 除的余数相同．

由此可得，从 1 开始的自然数

L

被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以 9 的余数相同．

根据等差数列求和公式，这个和为： 1 2008 2008

2017036 ，它被 9 除的余数为 1． 2

另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，??， 0062007 ， 2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被 9 除的余数相同．因此，此数被 9 除的余数为 1．

练习 4 ． 在 7 进制中有三位数

abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少

【解析】 首先还原为十进制： (abc )7 a 72

b 7

c 49a 7b c ； (cba)9 c 92

b 9 a 81

c 9b a ．

于是 49a 7b c 81c 9b a ；得到 48a 80c 2b ，即 24a 40c b ．

因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以 b 也应该是 8 的倍数，于是 b 0 或 8．

但是在 7 进制下，不可能有 8 这个数字．于是 b 0 ， 24a 40c ，则 3a 5c ． 所以 a 为 5 的倍数， c 为 3 的倍数． 所以， a 0 或 5，但是，首位不可以是 0，于是 a 5 ， c

3 ；

所以 (abc)7 (503)7 5

49 3 248 ．

于是，这个三位数在十进制中为

248．

月测备选：

【备选 1】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数把它们写出来 ．

【解析】 有六个这样的数，分别是 11， 13， 17， 23， 37， 47．

【备选 2】 ( 2002 年全国小学数学奥林匹克试题

) 两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和

等于 415，则被除数是 _______．

（415 4 8

8）（4 1） 79

【解析】 因为被除数减去

8 后是除数的

，

4 倍，所以根据和倍问题可知， 除数为

所以，被除数为

79 4 8 324．

【备选 3】 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是 ________．

【解析】 先将 1016 分解质因数： 1016

3

a 是一个完全平方数，所以至少为

4

2

，故

2 127 ，由于 1016 2

127 a 最小为 2 127 254．

【 备选 4】在几进制中有 125 125 16324

【解析】 注 意 (125)10 (125)10 (15625)10 ，因为 15625 16324，所以一定是不到

10 就已经进位，才能得到

16324，所以 n 10 ．

再注意尾数分析，

(5)10 (5)10 (25)10 ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21 进到上一位．

所以说进位制 n

为

21 的约数，又小于 10，也就是可能为

7 或 3．

因为出现了 6，所以 n

只能是 7．