浅淡中学数学中最值的求解大学

本科毕业论文（设计）题目：浅淡中学数学中最值的求解学生：姚雪飞学号： 201140510448 学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学入学时间： 2011 年 09 月 15 日指导教师：汪会玲职称：讲师完成日期： 2015 年 03 月 20 日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《浅淡中学数学中最值的求解》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。

承诺人（签名）：年月日浅淡中学数学中最值的求解摘要: 最值问题在中学数学中的涉及较广，应用范围较大，难度有难有易，利用最值的求解方法能够更简洁清晰地解决一些问题，但也会有一定的难度。

本文介绍了12种求解的方法,其中二次函数法和判别式法是中学范围内最常用的求最值问题的方法，将它们拓展开来的不等式法、代换法还有几何法也是在考试中较常见的考察知识点，另外更深层次的导数法、复数法，等等，是讲高中内容与大学内容接轨,希望这些内容能在中学数学范围内对关于求解最值的问题有一些小的帮助.关键词: 最大值；最小值;极值；解法；定义域The most value of solving shallow light middle school mathematicsAbstract: the most value problems widely involved in the middle school mathematics application scope is larger, the difficulty trouble easily, using the value solution method can resolve some problems more concise and clear, but also has the certain difficulty. 12 kinds of solving methods were introduced in this paper, the quadratic function method and discriminant method is a high school within the scope of the most commonly used to get the most value problem, they are broadening the inequality (lmi) method, substitution method and geometry method is also more common in the examination of knowledge points, the other at a deeper level of derivative method, the complex method, and so on, is about high school content and content of the university community, hope these content can within the scope of the middle school mathematics about solving the most value problem with a little help.Key words: The maximum; The minimum value; The extreme; Solutions；domain目录1 引言 (1)2 最值定义的基本知识 (1)3 中学数学中常见的最值问题及解决方法.............................. `1 3.1 二次函数求解法. (1)3.2 导数求解法 (2)3.3 判别式求解法 (2)3.4 不等式求解法 (2)3.4.1 均值不等式求解法 (2)3.4.2 柯西不等式求解法 (3)3.5 几何求解法 (3)3.5.1 可视为距离的函数的最值求解 (4)3.5.2 可视为曲线截距的函数的最值求解 (4)3.6 代换求解法 (5)3.6.1 局部换元求解法 (5)3.6.2 三角代换求解法 (5)3.6.3 均值换元求解法 (6)3.7 构造方差求解法 (6)3.8 复数求解法 (6)3.9 数形结合求解法 (7)3.10 单调性求解法 (7)3.11 数列中的最值问题求解 (8)3.12 三角函数的最值问题求解 (8)4 最值问题求解方法小结 (9)参考文献 (10)致谢 (10)1．引言数学中的最值问题是一种非常典型的问题，无论是在学习或是日常生活中都是很常见的，在中学数学中尤其重要，占领着非常重要的地位。

最值问题几乎在所有的数学领域中都有涉及，所有就要求我们遇到最值问题要熟练的求解，这样就需要学生熟练掌握相关的知识，综合运用各种技能求解最值问题，本篇文章就最值问题求解方法做出了一些探究。

2．最值定义的基本知识一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

最小值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。

使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。

最大值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。

使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数 y=f(x)的最大值。

3. 中学数学中常见的最值问题及解决方法中学数学中有许多相关的最值问题，需要我们准确判断并给与解答，以下是我结合数学学习或实际生活中的问题，从十二个方面说明最值问题的相关计算及解决方法3.1 二次函数求解法遇到二次函数求解最值，我们需要做的第一步是观察，看看是否需要配方，如需要配方，我们先配方，然后再看看对称轴，开口方向以及顶点坐标，最后判断出它是否有最值。

这种方法对于形如或者可以转化为二次函数的都比较有用，求解时主要有以下两种情况：1．当的定义域是R时，先配方，得到当时开口朝上,有最小值,即，当时开口朝下,有最大值,即,2．当的定义域是时，我们先判断开口方向，在得出对称轴，看是否在定义域内，然后得出最值的判断。

例1 求在内的最值解：配方得 此函数开口朝上，对称轴为x=1，在定义域内有最值，当x=1，有最小值，y=1，当x=4时，有最大值，y=19，因此函数有最值，最大值为y=19，最小值y=1. 3.2 导数求解法利用导数求解高次函数的最值，其具体求解步骤如下：1．求导 )('x f2．求出 )('x f =0 的极值点，判断是最大值还是最小值3．将求的值及端点值带入验证 4．得出极值，写出极值例2 求函数在 上的最值解： 求导 )('x f = ， 当)('x f =0时，得 x= 或 x=， 则 ，，，，因此函数的最大值为，函数的最小值为。

3.3 判别式求解法判别式法是中学数学求函数最值的常用方法之一。

若可以将函数()y f x =的y 转化为系数得到一个的关于x 的二次函数: 2()()a y x b y x +()0c y +=。

在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,于是得到2()4()()0b y a y c y ∆=-≥,由此可以判断y的取值范围,从而可以确定所求函数的最值例 3 实数,x y 满足 ,设 ,则的值为_______.解:由题意知,,故又所以22,x y 是方程的两个实根，于是解得 ，即， ,所以3.4 不等式求解法 3.4.1 均值不等式求解法均值不等式是一种常用的求解最值的方法，均值不等式的定义是任取n个数12,,...n x x x ，当然这里都要取整数，根据它们的算数平均数大于等于几何平均数，来求出最值，即12...n x x x n+++≥12...n x x x ==时，等号是成立的；利用这种方法求解最值的时候,要充分满足一正二定三等的条件。

即“正”是指它的每一项都是正数；“定”是指其中每项的和或积是定值；“等”是等号成立的条件.，如果不能满足以上条件，那么就不能求出最值。

例4 已知 ，，求的最小值分析：我们看到所求式子的分母满足 ，将其带入所求式子，即可用均值不等式求解。

解： 因为 ，，所以 ，又因为 ，所以当且仅当，即 或者舍去 时，等号成立故的最小值为36。

3.4.2 柯西不等式求解法近年来柯西不等式现在的应用越来越广泛，对于求解最值越来越重要，需要我们重点的去掌握这种方法。

设有两组数 ， ， 和 ， ， ，根据柯西不等式当且仅当时，等号成立。

例5 已知 ， ， ，求 的最大值。

解：因为 ，所以则 即，所以 的最大值为3.5 几何求解法在求解某些函数的最值时，有些问题的目标函数几何形象比较明显，我们就可以运用它的图象直观性来简便求解。

常用到的几何知识有斜率公式、截距、点到直线的距离求法，以及结合图象的一些含义来求解最值问题．用几何法求最值时要充分运用数形结合这个知识点。

通过应用几何知识来研究函数的最值问题,会使灵活多变、复杂难解的函数最值问题简单化、直观化、浅显化,让我们能够轻松简便的求解函数最值问题,从而激发学生的兴趣,提高学生的综合能力以及训练学生的发散思维能力.3.5.1 可视为距离的函数的求解例6 函数()f x =_______。

解：将函数式变形,得()f x =可知函数()y f x =的几何意义是：抛物线2y x =上的点()2,P x x 分别到点()3,2A 和点()0,1B 的距离之差，现在要求计算它们的最大值.因为PA PB AB -≤知，当P 在AB 的延长线上'P 处时，()f x 取得最大值AB所以()max f x AB ===⎡⎤⎣⎦3.5.2 可视为曲线截距的函数的最值求解例7 求函数sin cos sin cos v u u u u =++的最大值。

解: 令cos ,sin u x u y ==,则v xy x y =++,且221x y +=.则问题转化为: 当点(),x y 在圆221x y +=上时,双曲线族0xy x y v ++-= (设v 为常数)在y 轴上 计算v 的最大值.当1v ≠-时,由方程0xy x y v ++-=得1y v x y -+=+ , 1x vy x -+=+ 由此可知:当1y →-时, x →∞;当1x →-时, y →∞ 所以此双曲线族有公共的渐进线1x =-和1y =-,有公共的中心()'1,1O --所以双曲线族0xy x y v ++-=与圆221x y +=的切点是(22T ,此时纵截距v 得到一个极大值12+，而112+>,所以求得的极大值就是最大值.因此,所求函数v 的最大值为12+3.6 代换求解法3.6.1 局部代换求解法局部代换法是一种将所求式子的部分用字母代替来达到简化求解最值的方法，这在数学中应用越来越广，需要我们熟练掌握。