中学数学求解最值问题的方法探寻-
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
初中数学求最大值最小值的方法
初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。
一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。
插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。
在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。
二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。
二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。
在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。
三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。
四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。
最值问题解法初探
最值问题解法初探作者：胡红娣来源：《考试周刊》2013年第95期摘要：最值是中学数学中的一个重要知识点，教材中没有系统地介绍极值的求法.本文从七个方面探讨了求初等函数最值的常用方法.关键词：初等函数最值问题求解方法中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中有广泛的应用.中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础.最值问题历来是各类考试的热点，但教材中只是零散地介绍了几种求最值的方法.本文旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法.1.配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解的.2.换元法此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值.用函数极值法处理这一类最值时，需利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定.3.不等式法不等式法是一种根据题设，利用基本不等式或不等式的性质进行求解的方法.4.判别式法所给函数式如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则用判别式法求函数的最值是行之有效的.5.导数法各种类型的函数求最值的问题都可以用导数作为有力的工具来解决.5.1函数单调性判定定理若对？坌x∈（a，b），f′（x）>0或f′（x）5.2极值点概念若对定义在[a，b]上的可导函数f（x），对任意c∈[a，b]，使f′（c）=0的点叫做f（x）的极值点.5.3求函数最值的步骤5.3.1求函数f（x）的导数.5.3.2令f′（x）=0，解出极值点x■，x■…x■.5.3.3求f′（x）的导数f″（x）.当f″（x）0时取极小值.5.3.4计算函数各局部极值和定义域两端点的值，进行比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值.6.函数单调性法利用函数的单调性质，是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性.7.向量法本文系统地探讨了极值的七种求法.在实际解题中使用哪种方法，要根据具体的题目进行选择，灵活地运用.参考文献：[1]陈慧珍.关于一元函数的极值问题[M].武汉：武汉交通管理干部学报，1994（3，4）.[2]赵平中，刘海军，王文.高中物理中求极值问题的数学技巧[M].保定：保定师范专科学校学报，2002（10）：15.[3]薛金星.怎样解题[M].北京教育出版社.。
初中数学中最值问题解法的探讨
初中数学中最值问题解法的探讨【摘要】仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，也是初中数学中比较常见的题目。
而此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
我通过多年教学经验的积累，总结出最值问题的常用方法有“配方法、运用一次函数的性质、运用二次函数性质、运用基本不等式”。
本文举例介绍初中数学中有关最值问题的一些常用的方法和运用，仅供参考。
【关键词】初中数学最值问题配方法一次函数性质二次函数性质基本不等式求最值问题是一类常见的题型，这类问题没有固定的公式，需要结合图形集体分析后，灵活的运用各种数学思想、方法和解题技巧才能顺利的走出“最值”的问题，找到解题的途径。
而且仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
本文通过我多年教学经验的积累总结，举例介绍出最值问题的一些常用的方法，仅供参考。
１运用配方法来求解最值问题配方法是中学数学解题中一种重要的方法，通常用于解一元二次方程及其演变而来的题型。
再求最值问题中也有着广泛的应用，而学生却经常忘记或者忽视这种方法。
在求最值问题时，通过配方，将代数式变形成“完全平方式”的形式，最后利用完全平方式在实数范围内具有非负性确定最值。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)
福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。
以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。
本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。
关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。
例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。
2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。
处理高中数学最值问题的方法探析
的取 值范 围进行讨论 ， 去 掉绝对值 ， 从 而简化题 目 ， 找
高中数 学内容 涉及很多 的公式 ， 尤其 是 三角 函数公 式非 常多 ， 使得学 生在三角 函数求最值 的题 型 中感觉无 从 下手 ，所 以高 中数 学教 师需要 帮助学生 灵活运 用公 式， 通过公 式变换 ， 利用函数的有界性求解最值．
则 函 ） 在 （ 一 ∞ ， ａ ］ 上 的 最 小 值 为 ） （ ÷ １ ＿ 叶 ． 依据具体条件求出最值．
２ ０ １ ５ 年 ９ 月
解 析 ） ＝ ｓ ｉ ｎ ＋ ２ ｓ ｉ 似ｃ 。 眦＋ ３ ｃ 。 ｓ ＝ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋
… 究 鍪
生在 利 用数 列 知 识 解 题 时 总 感 觉 力 不从 心 ， 无 法 找 到 正
ｆ （ ｘ ） 的最小值．
二、 根 据实 际情况 灵活 变换 数 学公 式 ， 借
卧 千 函 的 右 界 十 牛 卜 王 ｌ 目 晶信 ｆ ＝ － － ］ 颢
ห้องสมุดไป่ตู้
思路 分析 ： 由题 目中的已知 条件可知 ： 题 目中既 含 有 未知参数ａ ， 又含有绝对值 ， 解题 的关键是对未知参数
功率 。 体 现 了 函数 模 型 处 理 极 值 ｆ ， － ＇ Ｉ 题 的 优 越 性．
其他 知识点的联系也 比较 紧密 ， 在求解最值方 面也 不例
外． 高 中数学教 师在 指导学 生解 此类题 型 时 ， 应 引导 学
生善于建立函数模型 ， 利用 函数思想求解最值． 例１ 已知ａ 为实 数 ， 函数厂 （ ） ＋ ｉ ｘ — ａ ｌ ＋ ｌ ， 求 函数
例２ 已知 函数 厂 （ ） ＝ ｓ ｉ ｎ Ｚ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｃ ｏ ＋ ３ ｃ ０ ｓ ， ∈Ｒ，
初中数学 如何求解三角函数的最值问题
初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。
下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。
1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。
因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。
-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。
因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。
-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。
2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。
-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。
-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。
-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。
3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。
解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。
然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。
f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。
最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。
例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。
解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。
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中学数学求解最值问题的方法探寻
数学的核心就是问题的解决，在科学研究和生产实践中，人们竭尽全力使耗量最少而成效最佳，因此最值问题是生产实践、科学研究和日常生活中无法回避的现实问题，同时它又是中学数学的重要内容之一。
对于最值问题的求解它没有通用的方法，根据所求的问题背景不同，涉及的数学模型也就不同，进而求最值的方法一般需要进行选择。
求解最值的问题，要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。
一、通过配方求最值
这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。
用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。
例1: 2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式二（x+2y）
2+ （x-2）2+（y+1）2-10
由此可知，当x=2，y=-1 时，有最小值-10。
例2:求函数y=5sinx+cos2x的最值。
解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-）2+，
可知，取sinx=1，即当x=2k n （k€ Z）时，ymax=-2x +=4 取sinx=-1，即
当x= n +2k n k € Z）时，ymin=-2 x + =-6
评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的
图像来求。
在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也
就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x二而sinx的最大值为1）。
这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。
二、通过均值不等式求最值
均值定理构成的注意事项。
首先，我们应当关注如下的预备知识。
二元均值不等式：>（a>0, b>0,当且仅当a=b时取等号）。
三元均值不等式：> ,（a>0, b>0,当且仅当a=b=c时取等号）。
n元均值不等式：> （a1>0, a2>0,…，an>0,当且仅当a1=a2= —=a时取不等号）。
同时，在运用均值不等式求最值时应注意以下三点。
1. 函数解析式中各项均为正数。
2. 函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。
3. 含变数的各项均相等时才能取得最值。
例3:求函数y （x>-1且a>0）的最小值.
解：y二ax+ +（1-a）=a（1+x）+ +1-2a>2H-2a=1，当且仅当 a （x+1）二，即x=0时等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不满足则改用其他方法，如单调性。
三、通过数形结合法求最值
数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它的主要思路是代数和几何思想的完美结合。
通常是在解决代数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。
例4：若a、b是小于1的正数，证明：
+ + + >2
证明：作边长为1的正方形ABCD分别在AB、CD上取AE=a AG=b，过E、G 作EF// AD, GH// AB,交DC于F, BC于H, EF与GH交于0,连结0A、OB、OC、OD、BD、AC.
0B=,0C=,0D= .而0A+0C> A,C0B+0D>
二0A=,
故+ + + >2 .
评注：所有数形结合就是代数与几何结合起来探寻解决问题的方法。
其应用范围在于用纯粹的代数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根据几
何性质能有助于我们把复杂问题简单化。
四、利用函数单调性求最值
先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。
1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，女口x€ ［m , n］，则f (m)与f (n)中较大者为最大值，较小者为最小值。
2.求二次函数f (x) =ax2+bx+c在［m , n］上的最值时，先判定对称轴x=-是否属于［m，n］,若x=-€ ［m, n］,贝S f (m)、f (n)与f (-)中较大者是最大值，较小者是最小值，若x=-?埸［m, n］则f (m)与f (n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f (x) =ax2+bx+c的定义域为R,当a>0时，有最小值ymin二.当a0 时f (x)解：令x仁x2=0,则f (0) =f (0) +f (0),f (0)
=0.
令x仁x, x2二-x,则 f (x) +f (-x) =f (0) =0, /. f (x) =-f (-x), /. f (x) 为奇函数。
设x1, x2€ R,且x10,f (x2) -f (x1)=
f(x2) +f(-x1) =f(x2-x1) -2)的最大值。
分析：此题为含根号的分式函数,不能直接运用均值不等式求最值,考虑分子常数化,变形后对分母用均值不等式。
解：设=t，则x=t2-2,故y= ? = ? < ?=当且仅当t+仁且t>0,即t=-1,
x=2-2时，等号成立，即所求的最大值为.
2.三角换元。
三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透, 解法灵活多变,突出对思维的灵活性和严密性的考察,历来都是高考中的常见题型。
学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。
下面通过对典型错解例题的剖析,揭示题型规律,提高解题的准确性。
例9:已知a2+b2<2 c2+d2w,求ac+bd的最大值。
分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会产生错解，因为
2ac < a2+c22bd < b2+d2 所以ac+bd < =3
但其中取等号的条件a=c, b=d才能成立。
于是得到a2+b2=c2+d2,与已知相矛盾。
在这种情况下，我们应用三角函数替代得到a= cos a b= sin a
c=2cosB, d=2s in伏代入原式得到一道简单的三角函数题。
解解设a=cos a b=sin a c=2cos g d=2sin g 贝U ac+bd=2
(cos a cos g +si n a)i=2g os (a g < 2 , •••当且仅当cos ( a- g) =1 时，即
(a=b=1 , c=d=或a=b=-1 , c=d=-成立时取等号)，• ac+bd 的最大值为 2 .
评注:换元的方法形式多种多样有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用我们要注意的是不管怎样变换其变换的取值范围都不能改变。
这种方法有助于我们把复杂的式子简单化利于我们求解。
七、结语
近几年的高考题往往会在函数、三角、立体几何、解析几何等知识的交汇点处命题注重知识之间的交叉、渗透和综合性。
求函数的最值时首先要仔细、认真观察其题型特征然后再选择恰当的方法。
一般优先考虑配方法、数形结合法、函数单调性法和基本不等式法然后再考虑其他各种特殊方法。
在以上介绍的方法中最简单的方法是配方法和单调性法最重要的方法是基本不等式法。
总之以上各种方法需要灵活应用有些题目可用多种方法只有熟练掌握各种方法才能在解题中做到得心应手根据具体的题目选择最好的方法。