资本资产定价模型的推导
5.1资本资产定价模型
n n
n
n
对n+1个自变量分别求偏导数，并令其等于零 得n+1个方程，其中前n个方程作下面的代换后
yi
2
xi
变为下面的方程组：
y 1 12 y 2 12 y n 1n ER1 r 2 y 1 21 y 2 2 y n 2 n ER2 r y y y 2 ER r n n n 1 n1 2 n 2
M
p
利用曲线与直线切点处效率相等关系 期 望 收 益 率
M
r
O
B
风险
ERi ERM ERM r M 2 M iM M
ERi ERM
2 ( iM M )( ERM r ) 2 M
iM ERi r 2 ( ERM r ) M
15% 8% (14% 8%)
解上式，得
7 1.17 6
例3.假定无风险资产收益率为6％，市场资产组合 M的期望收益率16％，股票A年初售价每股50元， 在年底将支付每股6元的红利，贝塔系数为1.2， 求年底支付红利后该股票的售价？ 解：
ER 6% (16 6)% *1.2 18%
市场资产组合M
期 望 收 益 率
M
r
O
B
风险
S 一种无风险资产 S0 ，无风险资产的收益率为 r ， n种风险资产的收益率依次为 R ， ，……,R ， 1 R2 n
投资者以
风险资产， 以
假设市场中有n种风险资产 S ， 2 ，……, n ， 1
S
x1，x2，……, xn 的资金比例投资于n种
第三节 资本资产定价模型
例子
• 假设资本市场只有三种风险证券A、 B、C。各自价格为1元、2元、3元， 各自股数为750股、750股、250股。 • 总市值=3000元 • 市场证券组合为
w M A , B , C 0 . 25 , 0 . 50 , 0 . 25
• 假设证券市场中只有三个投资者1、2、3，他们各自的财富为 500元、1000元、1500元。假设切点证券组合为
E ( V A ( 2 )) 0 . 5 1000 0 . 5 800 900
V A (1 ) 900 1 0 . 15 783
故每股的价格为
783 100
7 . 83 $
2 2
0
故，资产组合 W P 的方差 P g s d 2 2 2 g s 称为系统风险，其中 g 度量了系统风险中不可避免的风险，
s
2
r 度量了相应于期望水平 E ( ~P ) 的系统风险，而
g ,s
2 2
d
2
度量了可
分散化风险， 仅有方差
对期望收益有贡献。
• 市场均衡 – 货币市场均衡：借、贷量相等，从而，所有个体的初 始财富的和等于所有风险证券的市场总价值。 – 资本市场均衡：每种证券的供给等于需求。 • 均衡的定义 T – 一个风险资产回报率向量 r r1 ,, rN 和无风险利 T 率 r f （相应地，风险资产价格向量 p p1 ,, pN 和无风险债券价格 p f ）称为均衡回报率（相应地， 均衡价格），如果它们使得对资金的借贷量相等且对 所有风险资产的供给等于需求。
第三节 资本资产定价模型
一、期望收益关系式
设切点的收益率为
Cov ( ~ , ~e ) VW r r
第五章-资本资产定价模型PPT课件
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第五章 资本资产定价模型
资本资产定价模型(CAPM)是现代金融学的奠基石。 CAPM由威廉·夏普、约翰·林特、简·莫辛分别于 1964、1965、1966年独立提出。 研究当投资者按照Markowitz建议的方式行动时，市场达 到均衡时资产的预期收益率与风险之间的关系。
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二、相关的推导
（二）所有投资者都选择市场资产组合作为他们的最优 风险资产组合。
由于投资者按照马可维茨的方法进行投资选择，其持有 的组合是最优风险资产组合，因此它一定在有效边界上， 而且与最优资本配置线相切。
市场组合与无风险资产构成的资本配置线被称为资本 市场线。(CML，Capital Market Line)
•资本资产定价模型的基本形式：
并定义系数：
任意风险资产的风险溢价与市场组合的风险溢价成正比，
该比例系数称为 ᵝ系数，衡量的是单位资产对市场组合
风险的202贡1/3/献12 率。
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实际上，我们可以从ᵝ取值的大小来区分 股票类型：
ᵝ>1的股票被称为“攻击性股票”，市场上升时其
升幅较大；
ᵝ<1的股票被称为“防御性股票”，市场上升时其升
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E(r)
rf •
0
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M
•
•B
•A
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哪一条资本市场线是最优的呢？
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为什么所有的投资者都持有市场资产组合
• 投资者在一个什么样的价位上才愿意将该只股票纳 入其最优风险资产组合。 当某只股票需求为零时，股价会下跌，直至它对于 投资者的吸引力超过任意其它一只股票的吸引力，并进 入到投资者的最优资产组合的构成之中，从而使该股票 价格回升到某一均衡水平
Ch06_资本资产定价模型
假设
1.个人投资者是价格接受者，即完全竞争假设 2.单一时期的投资期限 3.投资者限于投资到可交易的金融资产和无风险的 借贷 4.没有税收和交易成本 5.所有投资者都是理性的追求均值—方差最优化的 人，即所有投资者都使用Markowitz投资组合选择 模型 6.所有投资者都有同质的预期
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斜率和市场风险溢价
M rf E(rM) - rf
E(rM) - rf
= = =
市场组合 无风险利率 市场风险溢价
M
= 报酬—波动性比率
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证券市场线 (SML)
E(r) SML反映单一证券的收益率与风险 之间的关系。 SML E(rM) rf
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解释4 (续)
新头寸的收益率如下：
(1 )rM rf
增加的期望收益率如下： E(r ) [E(rM ) rf ]
新头寸的方差如下：
2 2 (1 )2 M 忽略的平方项，则增加的方差为：
2 2 2 M
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非均衡的例子
• 假设某一证券的等于1.25，期望收益率为 15%。 • 根据SML，期望收益率应该为13%。 • 过低定价：对于其风险水平，证券带来过高的收 益率。 • 过高定价：对于其风险水平，证券带来过低的收 益率。
Copyright by Kaiguo Zhou
• 该均衡模型奠定了所有现代金融理论的基础 • 利用简化假设下的分散化原则推导得出 • 马科维茨（Markowitz）, 夏普（Sharpe）, 林特勒 （Lintner）以及默辛（Mossin）等人为该模型的发 展做出了贡献 • 该模型回答了在市场均衡状态下个股的期望收益率 如何确定的问题，即收益与风险之间的关系如何。 E(ri) = ?
资本资产定价模型
(一)资本市场线（CML）在建立了上述假设后，现在我们考虑所有投资者的投资行为。
显然，当所有投资者对风险资产（证券）的预期一致，而且每个投资者都可以不受限制地以固定的无风险利率借入或贷出资金时，根据我们上面的分析，每个投资者投资组合的有效界面都表现为从无风险资产出发、并与风险资产有效界面相切的同一条射线；每个投资者最优投资组合（最优证券组合）中所包含的对风险证券的投资部分都可以归结为对同一个风险资产组合M（在上一节我们称之为“切点处的资产组合”）的投资，即在每个投资者的最优证券组合中，对各种风险证券投资的相对比重均与M相同；不同投资者的最优证券组合的唯一区别仅在于，由于每个投资者的风险偏好不同，每个投资者投资于无风险资产和风险资产组合M的比例不同。
资本资产定价模型的这一特征常被称为“分离定理”。
换句话说，投资者对风险和收益的偏好状况与其应当持有的风险资产组合无关。
实际上，根据分离定理，我们还可以得到另一个重要的结论：在均衡状态下，每种证券在切点处的风险资产组合M中都有一个非零的比例，而且这个比例就等于该种证券在整个资本市场的相对市值。
这是因为，根据分离定理，每个投资者都持有相同的风险资产组合M。
如果某种证券在组合M中的比例为零，那么就没有人购买该证券，该证券的价格就会下降，从而使该证券的预期收益率上升，一直到在最终的切点处的风险资产组合M中该证券的比例非零为止。
反之，如果投资者对某种证券的需要量超过其供给量，则该证券的价格将上升，导致其预期收益率下降，从而降低其吸引力，它在切点处的风险资产组合M中的比例也将下降，直至对其需要量等于其供给量为止。
当所有证券的供求达到均衡时，整个市场就被带入一种均衡状态：（1）每个投资者对每一种证券都愿意持有一定的数量；（2）市场上每种证券的价格都处在使得需求与供给相等的水平上；（3）无风险利率的水平正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。
结果，在均衡状态下，切点处的风险资产组合M中每种证券的比例就等于该种证券的相对市值，也就是每种证券的总市值在所有证券的市值总和中所占的比重。
资本资产定价模型的推导（方法一）_证券投资学_[共3页]
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证券投资学market line，CML），如图5-1所示。
组合的倾向，最终所有个人的资产组合会趋于一致，每种资产的权重都与市场组合中每种资产的权重相同。
依据前文给定的假设条件，投资者在一个相同的时期内计划他们的投资，他们对证券收益率的概率分布预期也是一致的，并且都按马科维茨的投资组合理论选择证券，那么他们的效率边界必然是相同的，从无风险资产出发的直线效率边界也必然是相同的，都会经过相同的最优风险资产组合，图5-1 资本市场线与市场组合即切点组合。
这意味着，所有投资者都会持有切点组合，而所有投资者的持股总和就是市场组合，因此，直线效率边界上的切点组合就是市场组合。
例如，若A公司在一个普通投资者的风险资产组合中所占的比例为1%，那么A公司的市值在市场组合中的比例也是1%。
这一结果对任何投资者的风险资产组合中的每一只股票都适用。
结果，所有投资者的最优风险资产组合只不过是市场组合的一部分。
不难看出，所有的投资者均倾向于持有同样的风险资产组合。
此外，现在假设最优资产组合中不包括B公司的股票。
当所有投资者对B公司股票的需求为零时，B公司的股价将相应下跌，当这一股价变得异乎寻常的低廉时，它对于投资者的吸引力就会超过任意其他一支股票的吸引力。
最终，B公司的股价会回升到这样一个水平，在这一水平上，B公司完全可以被接受进入最优股票的资产组合之中。
这样的价格调整过程保证了所有股票都被包括在最优资产组合之中，这也说明了所有的资产都必须包括在市场组合之中，区别仅仅在于，在一个什么样的价位上投资者才愿意将一支股票纳入其最优风险资产组合。
以上分析看起来好像是绕了一个大圈才得到一个简单的结果：如果所有的投资者均持有同样的风险资产组合，那么这一资产组合一定就是市场组合。
应当讲，这一均衡过程是证券市场运作的基础。
第二节资本资产定价模型的推导资本资产定价模型被誉为金融市场的基石。
为了更好地理解这一模型，本节介绍了两种推导方法。
一是来自兹维·博迪编写的《投资学》（第五版），二是来自威廉·夏普——CAPM模型的创始人。
资本资产定价模型
资本资产定价模型目录CAPM模型的提出 (2)一. 资本资产定价模型公式 (5)二. 资本资产定价模型的假设 (6)三. 资本资产定价模型的优缺点 (7)四. Beta系数 (9)五. 资本资产定价模型之性质 (10)六. CAPM 的意义 (10)七. 资本资产订价模式模型之应用——证券定价 (12)八. 资本资产定价模型之限制 (13)CAPM模型的提出马科维茨（Markowitz,1952）的分散投资与效率组合投资理论第一次以严谨的数理工具为手段向人们展示了一个风险厌恶的投资者在众多风险资产中如何构建最优资产组合的方法.应该说，这一理论带有很强的规范（normative）意味，告诉了投资者应该如何进行投资选择.但问题是，在20世纪50年代,即便有了当时刚刚诞生的电脑的帮助,在实践中应用马科维茨的理论仍然是一项烦琐、令人生厌的高难度工作;或者说，与投资的现实世界脱节得过于严重，进而很难完全被投资者采用——美国普林斯顿大学的鲍莫尔（william Baumol)在其1966年一篇探讨马科维茨一托宾体系的论文中就谈到，按照马科维茨的理论，即使以较简化的模式出发，要从1500只证券中挑选出有效率的投资组合,当时每运行一次电脑需要耗费150~300美元，而如果要执行完整的马科维茨运算，所需的成本至少是前述金额的50倍;而且所有这些还必须有一个前提，就是分析师必须能够持续且精确地估计标的证券的预期报酬、风险及相关系数，否则整个运算过程将变得毫无意义.正是由于这一问题的存在，从20世纪60年代初开始,以夏普(w．Sharpe，1964)，林特纳（J．Lintner，1965)和莫辛（J．Mossin，1966）为代表的一些经济学家开始从实证的角度出发，探索证券投资的现实，即马科维茨的理论在现实中的应用能否得到简化?如果投资者都采用马科维茨资产组合理论选择最优资产组合，那么资产的均衡价格将如何在收益与风险的权衡中形成？或者说，在市场均衡状态下，资产的价格如何依风险而确定？这些学者的研究直接导致了资本资产定价模型(capital asset pricing model，CAPM)的产生。
资本资产定价模型的推导过程
资本资产定价模型的推导过程
资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是一种用于确定资产期望收益率的定量模型，其核心思想是资产的期望收益率与市场风险成正比。
以下是资本资产定价模型的推导过程：
1. 假设市场中存在一个风险资产组合，即市场组合。
市场组合是由所有可投资的资产按照其市值加权得到的。
2. 根据市场组合的风险收益特征，我们可以通过计算市场组合的预期收益率和风险来确定风险资产的收益率。
3. 根据资本市场线（Capital Market Line，CML）的概念，我们可以将无风险资产和市场组合的线性组合构建为一个投资组合线。
4. 假设我们投资的资产组合是市场组合与无风险资产的组合，那么资产组合的预期收益率可以通过资本市场线与资产组合的权重组合得到。
5. 根据市场组合的风险和资产组合的系统风险，我们可以得到资产组合的期望收益率与市场组合的风险之间的线性关系，即资本资产定价模型。
CAPM的数学表示如下：
Rp = Rf + βp(Rm - Rf)
其中，Rp是资产组合的期望收益率，Rf是无风险资产的收益率，βp是资产组合的系统风险（即β系数），Rm是市场组合
的预期收益率，Rm - Rf是市场组合的超额收益率。
通过上述推导过程，我们可以确定资产组合的预期收益率，并衡量其系统风险与市场的相关性。
这对于投资者来说非常重要，可以帮助他们合理定价资产，并据此制定投资策略。
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资本资产定价模型的推导
考虑市场投资组合M 和任一给定的风险证券K 构成的投资组合P ：
M M K K W R W R +，有：()()()P M M K K E R W E R W E R =+，222222P
M M K K M K MK M K W W W W σσσρσσ=++。
可以形成“,E σ”平面的一条曲线。
首先，由于R F M 是最佳投资组合线，那么KM 必然与R F M 相切，否则KM 的组合不可能是最佳的。
其次，求出KM 在M 点的切线的斜率。
()()()()(1)()P M M K K K K K M E R W E R W E R W E R W E R =+=+-
2222222222(1)2(1)P M M K K M K MK M K
K M K K k K MK M K
W W W W W W W W σσσρσσσσρσσ=++=-++-
有：()/()()P k K M dE R dW E R E R =-
22222(1)2(1)P K M K K k K MK M K W W W W σσσρσσ=-++-
2
22
22
11//[2(1)22(12)]
221
[(1)(12)]
P k P k K M K K k MK M K P
P
K M K K k MK M K P
d dW d dW W W W W W W σσσσρσσσσσσρσσσ==
--++-=-++-
从而：
2
22
()/()()1
/[1]
*(()())*[()()]cov(,)cov(,)K
P k K M W P k M MK M K P
P K M M K M K M M K M M
dE R dW E R E R d dW E R E R E R E R R R R R σσρσσσσσσσ=-=-+--=
=--
E
R f
σ
最后，资本市场线R F M 的斜率为：
()()m
f
m
E R
R σ-
所以有：
()2
()*[()()]
cov(,)m
f
M
K M m
K M M
E R
R E R E R R R σ
σσ--=- 得到：
()2
2
2222
()*[()()]
cov(,)[()][cov(,)]
()()[cov(,)]()[()]()
cov(,)
[()]
m
f
M
K M m
K M M
m f K M M K M M K M M
K f m f f M M
K M m f M
E R
R E R E R R R E R R R R E R E R R R E R R E R R R E R R R E R R σ
σσσσσσσ--=----=
--=--+=
-
定义2cov(,)K M k M
R R βσ=
所以有：()[()]K f k m f E R R E R R β-=-
这说明，资本资产定价模型在“cov(,),K M R R E ”平面上仍是一条直线，这条直线的斜率为2()m f
M E R R σ-，表示协方差cov(,)K M R R 增加一个单位，证券的期望回报增加
2
()m f
M
E R R σ-个单位。
这里，cov(,)K M R R 可以理解为该证券的系统风险，而k β可以理解为该证券相对于整个市场组合的系统风险大小。
另一种简单的证明： 设风险的价格为：m f
M
r r P σ-=
，为整个市场的平均风险报酬
股票K 的市场风险可以表示为k M βσ，
所以股票K 的市场风险报酬为：k M βσ*P =k M βσ*
m f
M
r r σ-=()k m f r r β-
在一个不存在套利的市场中，无风险报酬是一样的，设为f r 则对于证券K ，有()f k k m f r r r r β=-- 对于证券i ，也有()f i i m f r r r r β=-- 二者相等
所以有()()k k m f i i m f r r r r r r ββ--=--
令k 就是无风险证券，比如政府债券
则()()k k m f f
i i m f r r r r r r r ββ--==--
所以有：()i f i m f r r r r β=+-。