高考数学复数典型例题附答案

1, 已知复数求k的值。

解：，∴由的表示形式得k=2即所求k=2点评：(i) 对于两个复数、，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此，、能够比较大小，均为实数。

（ii）虚数不能与0比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数z，且R；且R。

2, 若方程有实根，求实数m的值，并求出此实根。

解：设为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得，消去m得，故得当时得，原方程的实根为；当时得，原方程的实根为。

点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根——代入方程——利用两复数相等的充要条件求解。

3, 已知复数z满足，且z的对应点在第二象限，求a的取值范围。

解：设，。

由得①对应点在第二象限，故有②又由①得③由③得，即，∴，∴④于是由②，④得，即再注意到a<0，故得即所求a的取值范围为点评：为利用导出关于a的不等式，再次利用①式：由①式中两复数相等切入，导出关于与a的关系式：此为解决这一问题的关键。

此外，这里对于有选择的局部代入以及与的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。

4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）；（2）z的实部与虚部都是整数。

解：设，则由题意，∴∴y=0或（Ⅰ）当y=0时，，，∴由得①注意到当x<0时，；当x>0时，，此时①式无解。

（Ⅱ）当时，由得∴又这里x，y均为整数∴x=1，或x=3，，∴或于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求复数z=1+3i，1-3i，3+i，3-i.5, （1）关于x的方程在复数集中的一个根为-2i，求a+b的值。

（2）若一元二次方程有虚根，且，试判断a，b，c所成数列的特征。

解：（1）解法一：将代入方程得由于，故有，解法二：注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是由韦达定理得，解得（2）解：设则为方程的另一虚根。

∵，∴由得①又由韦达定理得，∴由①得∴，∴，即a，b，c成等比数列。

6,（2004·上海卷）已知复数满足，，其中i为虚数单位，，若，求a的取值范围。

分析：从化简切入，从利用复数的模的公式突破。

解：由题意得∴ ，又∴∴ 所求a 的取值范围为（1，7）。

7, 设z ∈C ，求满足z +z1∈R 且|z －2|=2的复数z 分析：设z =a +b i(a 、b ∈R )，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a 、b 的两个方程 解法一：设z =a +b i ，则z +z 1=a +b i+i 1b a +=a +b i+22i b a b a +-=a +22b a b ++(b －22ba b+)i ∈R ∴b 22b∴b =0或a 2+b 2=1 当b =0时，z =a ， ∴|a －2|=2∴a =0或4a =0不合题意舍去，∴z =4 当b ≠0时，a 2+b 2=1又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2=4解得a =41，b =±415，∴z =41±415i综上，z =4或z =41±415i解法二：∵z +z 1∈R ，∴z +z 1=z z1∴(z －z )－zz zz -=0，(z －z )·22||1||z z -=0∴z =z 或|z |=1，下同解法一点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法8,设z 是虚数，ω=z +z1是实数，且－1＜ω＜2 （1）求|z |的值及z 的实部的取值范围；（2）设u =zz+-11，求证：u 为纯虚数；（3）求ω－u 2的最小值（1）解：设z =a +b i(a 、b ∈R ，b ≠0)，则ω=a +b i+i 1b a +=(a +22b a a +)+(b －22ba b +)i ∵ω是实数，b ≠0， ∴a 2+b 2=1，即|z |=1∵ω=2a ，－1＜ω＜2，∴z 的实部的取值范围是(－21，1)（2）证明：u =z z +-11=i1i1b a b a ++--=i)-i)(11(i)i)(11(b a b a b a b a +++-+--=2222)1(i 21b a b b a ++--- =－1+a b i∵a ∈(－21，1)，b ≠0， ∴u 为纯虚数（3）解：ω－u 2=2a +22)1(+a b=2a +22)1(1+-a a =2a －11+-a a =2a －1+12+a =2［(a +1)+11+a ］－3∵a ∈(－21，1)，∴a +1＞0∴ω－u 2≥2×2－3=1当a +1=11+a ，即a =0时，上式取等号∴ω－u 2的最小值为19, （2009年上海卷理）若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a ＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i10, 已知关于x 的方程2120x zx i +++=有实数根，求复数z 的模的最小值。

解：设0x 是方程的一个实数根00012z x ix x z ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⇒=当且仅当000x x ==时，min z =11, 设关于x 的方程22230x ax a a ++-=至少有一个模为1的根，求实数a 的值。

解：（1）(][)0,80,a ∆≥⇒∈-∞-+∞时，方程有两个实数根，若其中至少有一个模为1则11或x x ==-22122014202x a a a x a a a ⎧=⇒++=⇒∈∅⎪⇒⎨=-⇒-+=⇒=±⎪⎩（2）()08,0a ∆<⇒∈-时，方程有一对共轭虚根，设虚根为(),,0m ni m n n ±∈≠R 方程有一个模为1的根221m n ⇒+=由韦达定理知()()22223322212122m ni m ni a m a a a a a a a m ni m ni m n ⎧⎧++-=-=-⎪⎪⎪⎪⇒⇒=-=⎨⎨--⎪⎪+-=+==⎪⎪⎩⎩或（舍）综上所述，12a =-或12, 已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--， 其中i 为虚数单位，a ∈R 。

若121z z z -<，求a 的取值范围。

由题意得115231iz i i-+==++于是1242z z a i -=-+，1z =()271780,a a a -+<⇒∈13, （1）当z =20101z z ++的值；（2）已知复数z 满足341z i --=，求z 的取值范围。

（1）()()102202201051011z i z i z z i z i i⎧=-=-⎪==-⇒⇒++=-⎨=-=-⎪⎩ （2）复数z 在复平面所表示的点在以()3,4C 为圆心，以1为半径的圆上 z 表示复数z 在复平面上圆C 上的点到原点的距离[]4,6z ⇒∈14, 方程2220x x -+=的根在复平面上对应的点分别为A 、B ，点C 对应复数z 满足()()2116i z ++=-，求ABC 的最大内角。

解方程2220x x -+=得1x i =±，则()()1,1,1,1A B - 又由()()2116i z ++=-解得13z i =-+，则()1,3C - ()()32,2,0,2cos 24AC AB AC AB A A AC ABπ⋅=-=-⇒==-=15, 已知复数()()010,,,,,z mi m z x yi a bi x y a b ω=->=+=+∈R ，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,2z z z ωω=⋅=。

（1）试求m 的值，并分别写出a 和b 用x 、y 表示的关系式；（2）将(),x y 作为点P 的坐标，(),a b 作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

（1）由题意知)())2000221401z z z z mm m z mi ax a bi x yix y i byω⎫=⋅=⇒=⎫+=⎪⇒⇒=⎬⎬>=-⎭⎪⎭⎧=⎪⇒+=+=++-⇒⎨-⎪⎩（2）由题意(),P x y 在直线1y x =+上移动时，点Q 的坐标满足 ())(12211a b a b x ⎧=++⎪=-⎨=-⎪⎩⇒点Q 的轨迹方程为(22y x =-（3）假设存在这样的直线，显然平行于坐标轴的直线不满足条件 故设直线方程为()0y kx b k =+≠设直线上任意一点(),P x y 经过变换后得到的()3,3Q x y x y +-仍然在该直线上 ()()()33313x y k x y b k y k x b ⇒-=++⇒-+=-+当0b ≠时，方程组()3113k k k⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩无解当0b =时，()231333230313或k k k k k k-+-=⇒+-=⇒=- ⇒存在这样的直线，其方程为333或y x y x ==- 16, 判断下列命题是否正确(1)若C z ∈, 则02≥z (2)若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z > (3)若b a >，则ib i a +>+17, 满足条件512=++-z i z 的点的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.线段D.圆 18,.211<<-+=ωω是实数，且是虚数，设z z z.的实部的取值范围的值及求z z解析 是虚数z yix yi x z z +++=+=∴1)(1ω可设 i y x yy y x x x y x yi x yi x )()(222222+-+++=+-++=,0≠y 是实数，且ω 1,0112222=+=+-∴y x yx 即 ,1=∴zx 2=ω此时22121<<-<<-x 得由ω)1,21(,121-<<-∴的实部的范围是即z x圆锥曲线一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况．例1．从集合{1,2,3,,11}中任意取两个元素作为椭圆22221x y m n+=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ）A 、43B 、72C 、86D 、90解：根据题意，m 是不大于10的正整数、n 是不大于8的正整数．但是当m n =时22221x y m n+=是圆而不是椭圆．先确定n ，n 有8种可能，对每一个确定的n ，m 有1019-=种可能．故满足条件的椭圆有8972⨯=个．本题答案选B ．例2．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=_______． 解：如图，根据椭圆的对称性知，117111122PF P F PF PF a +=+=， 同理其余两对的和也是2a ，又41P F a =，∴1234567735PF P F P F P F P F P F P F a ++++++==例3．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．解：（Ⅰ）设A 1()x b ，，B 2()x b ，，由2214x b +=，解得21221x b =±-，， 所以1212S b x x =-2222111b b b b =-≤+-=．当且仅当22b =时，S 取到最大值1．（Ⅱ）由2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2104k x kbx b +++-=，2241k b ∆=-+① 2121AB kx x =+-2222411214k b kk -+=+=+．② A yxOB例3图设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为d =所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是y x =或y x =或y x =+，或y x = 点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何的基本技能和基本方法进行考查．例4．已知双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF∆的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解：D ．双曲线222221(0,0)(,0),x y a a b F c x a b c -=>>=的焦点右准线方程，x a by =渐近线，则),(2c ab c a A ，所以2212a c abc S OAF =⨯⨯=∆，求得a b =，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角为90︒，故选D ．点评：本题考查双曲线中焦距，准线方程，渐近线方程，三角形面积，渐近线夹角等知识的综合运用．例5． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）A. 6B.7C.8D.9解：设双曲线的两个焦点分别是1(5,0)F -与2(5,0)F ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、1F 三点共线以及P 与N 、2F 三点共线时所求的值最大，此时12(2)(1)1019PM PN PF PF -=---=-=，故选B ．例6．已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（Ⅰ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （Ⅰ）设()M x y ，，则则1(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，，于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8yy y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（Ⅱ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++-- 222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．当AB 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(2，(2-，，此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．故在x 轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等．例7．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1716 B ．1516 C ．78D ．0 解：由题意抛物线为：y x 412=，则焦点为1(0,)16F ，准线为：116y =-；由抛物线上的点00(,)M x y 到焦点的距离与到准线的距离相等，推得：16150=y ，即M 点的纵坐标为1516，故选B ．例8．已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →(0)λ>．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM AB 为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值．解：（Ⅰ）由已知条件，得(0,1)F ，0λ>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由AF →＝λFB →， 即得1122(,1)(,1)x y x y λ--=-，⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝λx 2 ①1－y 1＝λ(y 2－1) ②将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2y 2 ③解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12x ．所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22． 解出两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22，－1)．所以FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0所以FM →·AB →为定值，其值为0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB||FM|．|FM|＝(x 1＋x 22)2＋(－2)2＝14x 12＋14x 22＋12x 1x 2＋4＝y 1＋y 2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ)2．于是S ＝12|AB||FM|＝(λ＋1λ)3，由λ＋1λ≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4．例9．如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y mλ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424m m =---0=． 点评：本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．四、圆锥曲线的综合应用问题，往往以解答题的形式进行考查.常以与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，这类以圆锥曲线为载体的解答题，多与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量等知识交汇在一起．例10．设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（Ⅰ）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（Ⅱ）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点．y解：（Ⅰ）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =2211x y λλ-=-． （Ⅱ）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)2101131001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ≤<．。