复数——高中数学基础知识与典型例题
【高三】第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)
【高三】第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)第十五复数一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi（a,b∈r）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用c表示。
2.复数形式。
对于任意复数Z=a+bi（a，B∈ R） a称为实部，记录为re（z），B称为虚部，记录为im（z）。
它由两部分组成，AI=实部，AI=实部；如果将（a，b）作为坐标平面中各点的坐标，则Z对应于坐标平面中的唯一点，这样就可以在复数集和由坐标平面中所有点组成的集合之间建立一对一的映射。
因此，复数可以用点来表示。
表示复数的平面称为复数平面，x轴称为实轴，y轴称为不带原点的虚轴，点称为复数的几何形状；如果将（a，b）作为向量的坐标，则复数Z对应于唯一的向量。
因此，坐标平面上的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；此外，将Z设置为与复杂平面中的点Z相对应，如图15-1所示，连接Oz，并设置∠ xoz=θ，然后RCA，r=ozθ，b=rsinθ，所以z=r （COS）θ+isinθ），这种形式被称为三角形形式。
如果z=R（COS）θ+isinθ），则θ为散度角，称为z≤ θ<2π，那么θ，称为Z的弧度的主值被记录为θ=arg（Z）。
R被称为Z的模，也被记录为Z。
根据毕达哥拉斯定理，Z=如果使用EI，θ表示cosθ+isinθ，那么Z=Reiθ，一种称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈r）,则a-bi称为z的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）z1-z2≤z1±z2≤z1+z2；（8）z1+z22+z1-z22=2z12+2z22；（9）若z=1，则。
4.复数运算：（1）代数形式的加法、减法、乘法和除法运算与实数的范围一致，运算结果可以通过共轭复数相乘而分成实数；（2）根据矢量形式，加法和减法符合平行四边形和三角形规则；（3）在三角形形式中，如果Z1=R1（COS）θ1+isinθ1），z2=r2（COSθ2+isinθ2），那么z1z2=r1r2[COS（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；如果[COS]（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）]，以指数形式表示为z1z2=r1r2ei（θ1+θ2），5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.公式：如果R（COS）θ+isinθ），那么k=0,1,2，。
高考数学复数知识点例题
高考数学复数知识点例题复数是高中数学中的一个重要概念，也是高考中经常考察的一个知识点。
通过学习和掌握复数的相关知识，可以帮助我们更好地理解和运用数学中的一些概念和方法。
在本文中，我们将通过一些例题来讨论复数的一些典型应用。
例题一：已知复数 $z=5+3i$，求复数$z$的共轭复数。
解析：共轭复数的定义是，对于复数 $z=a+bi$，它的共轭复数记作$z^*=a-bi$。
所以对于已知的复数 $z=5+3i$，它的共轭复数为 $z^*=5-3i$。
例题二：已知复数 $z=\frac{2i}{1+i}$，将其转化为通常形式。
解析：首先，我们需要对分式 $\frac{2i}{1+i}$ 进行有理化。
我们可以将分子和分母同时乘以 $1-i$，得到$\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$。
化简后得到 $\frac{2i-2i^2}{1+i-i-i^2}$，继续化简可得 $\frac{2i-2(-1)}{2}$。
最终，我们得到复数 $z=i+1$的通常形式。
例题三：已知复数 $z_1=2+3i$，$z_2=-1+2i$，计算 $z_1+z_2$ 和$z_1-z_2$。
解析：对于复数的加法和减法运算，我们只需要将实部和虚部分别相加或相减即可。
所以，对于已知的复数 $z_1=2+3i$ 和 $z_2=-1+2i$，我们得到 $z_1+z_2=2+3i+(-1+2i)=1+5i$，$z_1-z_2=2+3i-(-1+2i)=3+i$。
例题四：已知复数 $z=2+3i$，求 $z$ 的模和辐角。
解析：复数的模表示为 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，其中$a$ 和 $b$分别为复数 $z=a+bi$ 的实部和虚部。
所以，对于已知的复数 $z=2+3i$，它的模为$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
而复数的辐角记作$\text{arg}(z)$，则 $\text{arg}(z)=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\left(\frac{3}{2}\right)$。
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
高中数学《复数》高考真题汇总(详解)——精品文档
高中数学《复数》高考真题汇总（详解）1.对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A.2z z y -= B.222z x y =+ C.2z z x -≥ D.z x y ≤+2.复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ）A.34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.复数z =1ii+在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（ ） A.31,22a b == B.3,1a b == C.13,22a b == D.1,3a b ==5.已知（x+i ）（1-i ）=y ，则实数x ，y 分别为（ ） A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.已知21i =-，则i(1)=（ ）i i C.i D.i 7.设i 为虚数单位，则51ii-=+（ ） A.-2-3i B.-2+3i C.2-3iD.2+3i8．已知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3 9.在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i10. i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝（ ）A.－1B.1C.i -D.i11. i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i 12．i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）A.1＋iB.5＋5iC.-5-5iD.-1－i 13.若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2i B. 2+i C. 2+2i D.3 14. i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1D ．-115.复数3223ii+=-（ ） A.i B.i - C.12-13i D. 12+13i16.已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） A.-1 B.1 C.2 D.3 17. i 33i=+ （ ） A.13412- B.13412+ C.1326i + D.1326- 18.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1z i+的点是（ ）A.EB.FC.GD.H19.某程序框图如左图所示，若输出的S=57，则判断框内位（ ） A. k ＞4? B.k ＞5? C. k ＞6? D.k ＞7? 20.如果执行下图（左）的程序框图，输入6,4n m ==，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.12021.如果执行上图（右）的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（ ） A.1m nC - B.1m nA - C.m n C D.mn A22.某程序框图如下图（左）所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ） A.k >4? B.k >5? C. k >6? D. k >7?23.【2010·天津文数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.3标准答案1.【答案】D【解析】可对选项逐个检查，A 项，y z z 2≥-，故A 错；B 项，xyi y x z 2222+-=，故B 错；C 项，y z z 2≥-，故C 错；D 项正确.本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题. 2.【答案】A【解析】本试题主要考查复数的运算.231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. 3.【答案】A【解析】本题考查复数的运算及几何意义.1i i +i i i 21212)1(+=-=，所以点（)21,21位于第一象限 4.【答案】A【解析】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力. 由121ii a bi +=++可得12()()i a b a b i +=-++，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得32a =，12b =，故选A.5.【答案】D【解析】考查复数的乘法运算.可采用展开计算的方法，得2()(1)x i x i y -+-=，没有虚部，x=1,y=2. 6.【答案】B【解析】直接乘开，用21i =-代换即可.(1)i i =，选B. 7.【答案】C【解析】本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题. 8.【答案】B 9.【答案】C 10. 【答案】A【解析】由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i )＝－1. 11.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 12.【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高中数学复数的四则运算(3) 例题解析
复数的四则运算(3) 例题解析【要点梳理】１． 复数的除法法则：=++di c bi a ２． 特殊结论：=i 1 =-+i i 11 =+-i i 11【典型例题】例1． 已知i i ab b a b a b ab a 2382722222+-=+++++，求实数b a ,． 解析：可先由已知等式变形 左边＝abi b a abib a abi b a abi b a abi b a abi b a -+=++-+++=++-+))(()()(22 右边＝i i i i i i 65137865)23)(23()23)(827(-=-=-+-- 所以i abi b a 65-=-+由复数相等的定义知：⎩⎨⎧==+65ab b a解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3223b a b a 或 点评：本题解答是否简便关键在于采取的变形方法．例２．计算：（１）54)31()22(i i -+ （２）199********⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-i i i解析：（１）原式[]ωωωωω22242)2(23212)1(2312)1(325252254==--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i i i i i i 3123212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= （其中i 2321+-=ω） （２）原式＝2249499899899822212321)321(+⨯+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++i i i i i i i i i ii i i +-=+=12点评：代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质，i 2321±-=ω的性质及i ±1的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度．例３．已知,682i z +=求z z z 100163--的值． 解析：z i z z z z z z z z 164)6(164)8(1001610016222243-=--=--=--z200-= 又[])3(,)3(6822i z i i z +±=∴+±=+=Θ． 当,3i z +=i i i z z z z 206010)3(2003200200100163+-=--=+-=-=-- 当),3(i z +-=i i i z z z z 206010)3(2003200200100163-=-=+=-=-- 点评：对于复数计算题，尤其是对条件求值问题．正确的处理是先审清题意，选准正确的切入方向．。
(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点题库
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点题库单选题1、在复平面内，复数z=1+i2−i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案：A分析：根据复数除法运算化简z，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.因为z=1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+3i+i24−i2=1+3i5=15+35i，∴z̅=15−35i，对应点为(15,−35)，在第四象限，故选：A．2、设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．z=x+yi,z−i=x+(y−1)i,|z−i|=√x2+(y−1)2=1,则x2+(y−1)2=1．故选C．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3、复数1−3i(1−i)(1+2i)=（）．A．−1B．−i C．35−45i D．35−i答案：B解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.根据复数的运算法则，可得1−3i (1−i)(1+2i)=1−3i 3+i =(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i 10=−i .故选：B.4、i 为虚数单位，已知复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，则a 等于（ ）A ．±1B ．1C ．−1D ．0答案：C解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，所以{a 2−1=0a −1≠0，得a =−1. 故选：C.5、复数z 满足(1+2i )z =3−i ，则|z |=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5答案：A分析：先求出复数z ，再求|z |.因为(1+2i )z =3−i ，所以z =3−i 1+2i =(3−i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=15−75i ，所以|z |=√(15)2+(−75)2=√2.故选：A6、已知z =2+i ，则z̅−i1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z̅=2−i ，所以z̅−i1+i =2−i−i1+i=2(1−i)×(1−i)(1+i)×(1−i)=2×(1−2i+i2)2=−2i.故选：D.7、设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（）A．0B．−1C．1D．√2答案：B分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a+1=0，即可得答案. ∵复数(1+i)(a+i)=(a−1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上，∴a+1=0，即a=−1．故选：B8、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.9、已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．−1B．1C．−3D．3答案：C分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值. (1+ai)i=i+ai2=i−a=−a+i=3+i，利用复数相等的充分必要条件可得：−a=3,∴a=−3.故选：C.10、若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：D分析：由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.填空题11、已知复数z=|3−4i|2−i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第_____象限. 答案：一解析：化简得到z=2+i，得到复数对应象限.z=|3−4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数z在复平面内对应的点位于第一象限.所以答案是：一.小提示：本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12、已知复数z＝√3+i(1−√3i)2，则z·z̅＝________.答案：14分析：化简z,计算z·z̅即可.z＝√3+i(1−√3i)2＝√3i2(1−√3i)2＝√3i)(1−√3i)2＝1−√3i＝√3i)(1−√3i)(1+√3i)＝−√34+i4z̅=−√34−i 4z ⋅z̅=316+116=14 所以答案是：1413、已知关于x 的实系数方程x 2−2ax +a 2−4a +4=0两个虚根为x 1，x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a =______. 答案：12解析：根据关于x 的实系数的方程有两个虚根，由Δ<0解得a 的范围，再根据|x 1|+|x 2|=3及两根互为共轭，由|x 1|=|x 2|=√a 2−4a +4=32求解. 由Δ=16a −16<0，得a <1，因为|x 1|+|x 2|=3，所以|x 1|=|x 2|=√a 2−4a +4=32即a 2−4a +74=0， 解得a =12或72(舍)， 所以a =12.所以答案是：1214、复数12+√32i 的三角形式是______． 答案：cos π3+i sin π3分析：直接利用辅助角公式计算得到答案.12+√32i =cos π3+i sin π3.所以答案是：cos π3+i sin π3.15、设z =52+i ，其中i 为虚数单位，则Imz =________答案：−1解析：直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果.因为z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)22−(−1)=2−i所以Imz=−1.所以答案是：−1.解答题16、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i. （2）根据复数的四则运算规则得，z1z2=3−4i3−2i=(3−4i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=17−6i13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i)2n+(1−i)2n=(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N （4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i)15+(1−i)15 (1+i)14−(1−i)14=(1+i)14·(1+i)+(1−i)14·(1−i)(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i)−28i=−27i+27+27i+27−28i=i17、已知复数z=(m2+2m)+(m2−2m−3)i, m∈R，其中i为虚数单位．（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（II）若z满足z⋅z̅−4i z=9−12i，求m的值．答案：（I）m的取值范围是−2<m<−1；（II）m=1．分析：（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可；（II）设出z=x+y i(x,y∈R)，先利用复数的共轭的概念和负数的乘法运算化简已知等式的左端，利用两个复数相等的充要条件可求出z的两个值,进而根据题设条件对应得到两个关于m的方程组，分别求解即得．解：（I）∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴{m2+2m<0m2−2m−3>0，解得：−2<m<−1，所以m的取值范围是−2<m<−1；（II）设z=x+y i(x,y∈R)，∵z⋅z̅−4i z=9−12i，∴(x2+y2)−4i(x+y i)=9−12i，即(x 2+y 2+4y )−4x i =9−12i ，∴{x 2+y 2+4y =9−4x =−12， ∴{x =3y =0 或{x =3y =−4， ∴z =3或z =3−4i .∵z =(m 2+2m )+(m 2−2m −3)i ，∴当z =3时，{m 2+2m =3m 2−2m −3=0，无解； 当z =3−4i 时，{m 2+2m =3m 2−2m −3=−4，解得m =1， 综上可知：m =1．18、已知复数z =b i (b ∈R)，z+31−i 是实数.(1)求复数z ；(2)若复数(m −z)2−8m 在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.答案：(1)z =−3i(2)(0,9)分析：（1）先将z =b i 代入z+31−i 化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ，（2）先对(m −z)2−8m 化简，再由题意可得{m 2−8m −9<0,6m >0, 从而可求得结果 (1)因为z =b i ，所以z+31−i =3+b i 1−i =(3+b i )(1+i )2=3−b+(b+3)i 2， 因为z+31−i 是实数，所以b +3=0，解得b =−3.故z =−3i .(2)因为z =−3i ，所以(m −z)2−8m =(m +3i )2−8m =(m 2−8m −9)+6m i .因为复数(m −z)2−8m 所表示的点在第二象限，所以{m 2−8m −9<0,6m >0,解得0<m <9，即实数m 的取值范围是(0,9).19、已知i 是虚数单位，设复数z 满足|z −2|=2.（1）求|z +1−4i |的最小值与最大值；（2）若z +4z 为实数，求z 的值. 答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi =x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y 2)+(y −4y x 2+y 2)i ， 因为z +4z 为实数，所以y −4y x 2+y 2=0，即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0 ，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3， 所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.。
复数的运算-高中数学知识点讲解(含答案)
复数的运算（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•大兴区期末）已知复数z 在复平面上对应的点为(,1)m ，若iz 为实数，则m 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-2．（2020•怀柔区模拟）若复数z 满足1zi i =-，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．（2020•北京模拟）在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)-二．填空题（共9小题）4．（2019秋•丰台区期末）已知i 是虚数单位，复数31ii+=+ ． 5．（2019秋•海淀区校级期末）复数(34)(2)z i i =+-的虚部为 ． 6．（2019秋•丰台区期末）复数11i+的实部为 ． 7．（2020•朝阳区模拟）设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的虚部为 ，1z= ． 8．（2020•平谷区一模）如果复数z 满足1i z i =+，那么||z = (i 为虚数单位）．9．（2020•朝阳区模拟）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的实部为 ，虚部为 ．10．（2019•房山区一模）复数31iz i+=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 11．（2019•平谷区一模）复数2i i+= ． 12．（2018秋•通州区期末）复数(1)i i +的虚部为 ． 三．解答题（共3小题）13．（2019秋•海淀区校级期末）已知复数z 满足||z =z 的实部大于0，2z 的虚部为2； （1）求复数z ；（2）设复数z ，2z ，2z z -之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求()OA OB OC +的值．14．（2019春•西城区校级期中）已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)(z i z i i -=+为虚数单位），1||z = （Ⅰ）求1z 的值；（Ⅱ）若1z 的虚部大于零，且11(,)mz n i m n R z +=+∈，求m ，n 的值． 15．（2018春•海淀区校级期中）已知复数124z i =+，2()z a i a R =+∈，12(1)z z i =+，求2||z ．复数的运算（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•大兴区期末）已知复数z 在复平面上对应的点为(,1)m ，若iz 为实数，则m 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-【分析】由题意求得z ，再由iz 为实数列式求得m 值． 【解答】解：由题意，z m i =+， 再由()1iz i m i mi =+=-+为实数， 得0m =． 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题． 2．（2020•怀柔区模拟）若复数z 满足1zi i =-，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【分析】利用除法法则求出z ，再由共轭复数的定义求z ． 【解答】解：因为1zi i =-，所以11iz i i-==--， 则1z i =-+． 故选：C ．【点评】本题考查了共轭复数以及复数的加减运算，属于基础题． 3．（2020•北京模拟）在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(2)12i i i +=-+，∴复数(2)i i +对应的点的坐标为(1,2)-，故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 二．填空题（共9小题）4．（2019秋•丰台区期末）已知i 是虚数单位，复数31ii+=+ 2i - ． 【分析】利用复数的四则运算法则进行化简即可．【解答】解：23(3)(1)334221(1)(1)22i i i i i i i i i i i ++-+---====-++-．故答案为：2i -．【点评】本题主要考查复数的四则运算，比较基础．5．（2019秋•海淀区校级期末）复数(34)(2)z i i =+-的虚部为 5 ． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(34)(2)6384105z i i i i i =+-=-++=+，∴复数(34)(2)z i i =+-的虚部为5．故答案为：5．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．（2019秋•丰台区期末）复数11i +的实部为 12． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：11111(1)(1)22i i i i i -==-++-， ∴复数11i +的实部为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（2020•朝阳区模拟）设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的虚部为 4 ，1z= ． 【分析】设(z a bi a =+，b R ∈且0a >，0)b >，由||5z =，6z z +=，得关于a ，b 的方程组，求解可得a ，b 的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求得1z． 【解答】解：设(z a bi a =+，b R ∈且0a >，0)b >， 由||5z =，6z z +=，得222526a b a ⎧+=⎨=⎩，解得3a =，4b =．z ∴的虚部为4；11343434(34)(34)2525i i z i i i -===-++-． 故答案为：4；342525i -． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．8．（2020•平谷区一模）如果复数z 满足1i z i =+，那么||z i 为虚数单位）．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：1i z i =+，21(1)()1i i i z i i i++-∴===--，||z ∴=【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．9．（2020•朝阳区模拟）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的实部为 3 ，虚部为 ．【分析】设复数z a bi =+(,)a R b R ∈∈，且0a >，0b >，由6z z +=可求出a 的值，再由||5z =求出b 的值即可． 【解答】解：设复数z a bi =+(,)a R b R ∈∈，且0a >，0b >， ||5z =，6z z +=，∴5=，6a bi a bi ++-=，3a ∴=，4b =，z ∴的实部为 3，虚部为4，故答案为：3，4．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 10．（2019•房山区一模）复数31iz i+=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 1- ． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴复数z 的虚部为1-．故答案为：1-．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．（2019•平谷区一模）复数2i i+= 12i - ． 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以i ，分子变化成实数，写成最简形式，得到结果． 【解答】解：复数2(21)12121i i i ii i i i ++-+===-- 故答案为：12i -【点评】本题考查复数的除法运算，本题解题的关键是熟练应用复数除法的法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，本题是一个基础题．12．（2018秋•通州区期末）复数(1)i i +的虚部为 1 ． 【分析】化简复数为a bi +的形式，即可得到结果． 【解答】解：复数(1)1i i i +=-+．复数的虚部为：1． 故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力． 三．解答题（共3小题）13．（2019秋•海淀区校级期末）已知复数z满足||z =z 的实部大于0，2z 的虚部为2； （1）求复数z ；（2）设复数z ，2z ，2z z -之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求()OA OB OC +的值． 【分析】（1）设复数z x yi =+，x 、y R ∈；列方程组求得x 、y 的值，得出复数z ； （2）求出复数z 、2z 和2z z -对应的点A 、B 、C 的坐标，计算()OA OB OC +的值． 【解答】解：（1）设复数z x yi =+，x 、y R ∈；由||z =222x y +=； 又z 的实部大于0x >，2222z x y xyi =-+的虚部为22xy =， 所以1xy =； 解得1x =，1y =； 所以复数1z i =+；（2）复数1z i =+，22(1)2z i i =+=，2(1)21z z i i i -=+-=-； 则(1,1)A ，(0,2)B ，(1,1)C -；所以()(1OA OB OC +=，3)(1，1)113(1)2-=⨯+⨯-=-．【点评】本题考查了复数的代数形式运算问题，也考查了平面向量的运算问题，是基础题．14．（2019春•西城区校级期中）已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)(z i z i i -=+为虚数单位），1||z = （Ⅰ）求1z 的值；（Ⅱ）若1z 的虚部大于零，且11(,)mz n i m n R z +=+∈，求m ，n 的值． 【分析】（Ⅰ）设1(,)z x yi x y R =+∈，则2z x yi =-+，由题意列方程组求得x ，y 的值，则答案可求； （Ⅱ）求得1z ，代入11mz n i z +=+，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解． 【解答】解：（Ⅰ）设1(,)z x yi x y R =+∈，则2z x yi =-+，12(1)(1)z i z i -=+，1||z =∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩， 即11z i =-或11z i =-+；（Ⅱ）1z 的虚部大于零，11z i ∴=-+，则11z i =--， 则有(1)1mi n i i+--=+-+， ∴12112mn m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得41m n =-⎧⎨=⎩．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．15．（2018春•海淀区校级期中）已知复数124z i =+，2()z a i a R =+∈，12(1)z z i =+，求2||z ．【分析】把124z i =+，2()z a i a R =+∈代入12(1)z z i =+，整理后利用复数相等的条件列式求得a ，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：124z i =+，2()z a i a R =+∈，由12(1)z z i =+，得24()(1)(1)(1)i a i i a a i +=++=-++． ∴1214a a -=⎧⎨+=⎩，即3a =．2|||3|z i ∴=+=．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题．。
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3.如果复数 (其中 为虚数单位， 为实数)的实部和虚部互为相反数，则b=()
(A)0(B)1(C)2(D)3
4.下列四个命题：
①满足 的复数有 ；
②若a，b是两个相等的实数，则 是纯虚数；
③复数 的充要条件是 ；
④复平面内x轴即实轴，y轴即虚轴.其中正确的有()
②复数 的共轭复数为 ,则有
4.复数是纯虚数的充要条件:
① ，则 是纯虚数 且 ;
② 是纯虚数 且
5.复数 与平面上的点 、向量 一一对应.
6.
注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小
复数
1.z＝ 是纯虚数，实数m的值是()
(A)1(B)2(C)－2(D)1和2
2.当 时，复数 在复平面上对应的点位于()
10.关于x的方程 （
⑴若此方程有实数根，求锐角 的值；⑵求证：对任意的实数 （ ），原方程不可能有纯虚根.
数学基础知识与典型例题(第十二章)复数答案
例1.B例2.D例3.A例4.B例5.A例6.B例7. 例8. 4－4i
例9.0或[点评]本题考查复数的运算和复数的几何意义.
例10.解：⑴设 是方程 的根，
数学基础知识与典型例题
复数
复数
1.虚数单位 及特性:
① 的性质: ;
② 的幂的周期性:若 ,则 , , , ;
③实数可以与 进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.
2.复数相等的充要条件:
①复数的代数形式 , 称为实部, 称为虚部.
②如果 ,那么 ；
3.复数是实数的充要条件:
① ;
(A)1个()
(A) (B) (C) (D)
复数
6. 的值等于()
(A)1(B)-1(C)i(D)-i
7.复数 的虚部是.
8.在复平面内， 是原点， ， ， 表示的复数分别为 ，那么 表示的复数为____________.
9.已知复数 对应的点 在圆 上移动,并且 是纯虚数,则复数 的值为________.
则 ∴
由②得 代入①得 ，∴锐角
⑵证明：反证法
若方程有纯虚根，设为 ，代入原方程并整理得
∴ （*）∵方程 无实根，∴方程组（*）无解.
故假设不成立，因此原方程无纯虚根.