212第1课时直线方程的点斜式
高一数学：1.2.1直线的点斜式方程 课件 (北师大必修2)
垂直于y轴； y-1=0 上一页
思考：
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐
标轴在第一象限围成的三角形面积 为8，求直线 l 的方程。
（1）经过点（4，-2），斜率为3；
3x-y-14=0
（2）经过点（3，1），斜率为1/2； x/2-y-1/2=0 （3）经过点（2，3），倾斜角为0 ；
0
y-3=0
（4）经过点（2，5），倾斜角为900； X-2=0
2x-y+14=0 （5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
上一页
Ⅰ 当过 P ( x1 , y1 ) 点直线的倾 1 斜角为90°时, 斜率不存在， 它的方程不能用点斜式表示。 它的方程是 x x1
图1
x1
y1
Ⅱ当过 P ( x1 , y1 ) 点直线 1 的倾斜角为0°时, 直 线的方程是 y y1 上一页
图2
例2 已知直线 l 的斜率为 k ，与y轴的 交点是 P(0, b)，求直线 l 的方程。
解： 由直线的点斜式方程知
y
.
. Q
k2
1
y b k ( x 0)
即
斜率
3– P
返回
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象 限围成的三角形面积为8，求直线 l 的方程。
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
2.1.2.1直线方程的点斜式
第二章
解析几何初步
栏目导引
[自主练习] 1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( A．y＝3x－2 C．y＝3(x－2) B．y＝3x＋2 D．y＝3(x＋2) )
答案：
D
第二章
解析几何初步
栏目导引
2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( A．直线过点(2，－2)，斜率为 2 B．直线过点(－2,2)，斜率为 2 1 C．直线过点(1，－2)，斜率为2 D．直线过点(1，－2)，斜率为 2
设斜截 将点P坐 找到斜率与在y轴 求出斜率 式方程 ―→ 标代入 ―→ 上的截距的关系 ―→ 的范围
第二章
解析几何初步
栏目导引
[规范解答]
方法一：设直线 l 的斜率为 k，
由于这条直线过点 P(－1，－2)， 所以，它的点斜式方程是 y－(－2)＝k[x－(－1)]，3 分 可化为斜截式方程是 y＝kx＋k－2，5 分 所以直线 l 在 y 轴上的截距为 k－2.7 分 由已知得 2≤k－2≤6.9 分 所以 4≤k≤8.11 分 所以直线 l 斜率的取值范围为[4,8].12 分
第二章
解析几何初步
栏目导引
[强化拓展] 一个方程是直线 l 的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可． (1)“直线 l 上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程”，说明直线 l 上没有坐 标不满足方程的点，也就是说直线 l 上所有的点都适合这个方程而毫无例外． (2)“满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线 l 上”，说明适合 方程的所有点都在直线 l 上而毫无遗漏． 只有具备了以上两点，某个方程才能与直线 l 的方程建立一一对应关系．
[提示1] 可以．
第二章
解析几何初步
课件4：2.2.2 直线方程的几种形式 第1课时 直线的点斜式方程和两点式方程
【题后反思】 (1)用待定系数法求直线方程的步骤： ①设方程；②定参数；③写答案．(2)设直线方程的点 斜式时，要注意点斜式的适用条件．
【变式 3】 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： (1)过定点 A(－3,4)；(2)斜率为61.
解 (1)设直线 l 的方程是 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴， y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知， 得(3k＋4)4k＋3＝±6，解得 k1＝－32或 k2＝－83. 故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0.
(2)直线 BC 的方程由两点式可得2y－－((－－33))＝0x－－33， 化简得：5x＋3y－6＝0，这就是直线 BC 的方程． (3)因为直线 AC 在 x 轴、y 轴上的截距分别是－5,2， 由直线方程的截距式得直线 AC 的方程为－x5＋2y＝1， 即 2x－5y＋10＝0.
【变式2】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)， C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
如图，l1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30°， 得到直线 l2 的倾斜角为 α2＝150°－30°＝120°， ∴k2＝tan 120°＝－ 3，∴l2 的方程为 y－2＝－ 3(x＋1)， 即 3x＋y－2＋ 3＝0.
方法点评 本例中，通过画图分析，得到两条直线的倾斜 角之间关系，再利用 l1 的斜率，从而求出它的倾斜角，进 而求出 l2 的倾斜角、斜率．因此我们要善于用数形结合的 方法来分析已知条件之间关系，从而找到解题的切入点．
【变式 1】 (1)求经过点(－ 2，2)，倾斜角是 60°的直线 方程． (2)求经过点(10,3)且平行于 x 轴的直线方程． (3)求经过点(－3，－2)，倾斜角是 120°的直线方程． (4)倾斜角是 45°，在 y 轴上的截距是 2 的直线方程．
2.2.1直线的点斜式方程-高二数学(人教A版选择性必修第一册)课件
(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直.
解：(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为−5=2(−2).
(2)由题意知，直线的斜率= 0°=0，所以直线的点斜式方程为−(−1)=0.
(3)由题意知，直线的斜率不存在，所以直线的方程为=1.
练习巩固
变式1-2：求经过点(2, −3)，倾斜角是直线y =
y=3
2π
3
(4)经过点(-4,-2),倾斜角是 .
y + 2 = − 3(x + 4)
(5)过(-2,3)，(5,-4)两点.
y − 3 = −(x + 2)
练习巩固
变式1-1：写出下列直线的点斜式方程.
(1)经过点A(2,5)，且与直线y = 2�� + 7平行；
(2)经过点C(−1, −1)，且与x轴平行；
复习导入
两直线平行
判定
两直线垂直
判定
新知探究
问题1：给定一点和一个方向就可以确定一条直线，那么直线上的任意
一点(，)与给定一点P0 (x0 , y0 ) 及斜率k 之间存在什么样的关系呢？
y y0
k
x x0
变形
x − x0 ≠ 0, 即x ≠ x0
无法表示P0 (x0 , y0 )
(2)由题意可知，k l1 = 2a − 1，k l2 = 4，
3
8
∵l1 ⊥ l2 ，∴4(2a − 1) = −1，解得a = .
故当a =
3
时，直线l1 与直线l2 垂直.
8
练习巩固
变式3：(1)求经过点(0,2)，且与直线l1 : y = −3x − 5平行的直线l2 的方程；
(2)求经过点(−2, −2)，且与直线l1 : y = 3x − 5垂直的直线l2 的方程.
2. 1.2 第一课时 直线方程的点斜式课件(北师大版必修二)
b的不同情况，直线所过的象限可见下表：
k
b b>0
直线特征 仅过第一、二、三象限
k>0
b＝0
b<0 b>0
仅过第一、三象限及原点
仅过第一、三、四象限 仅过第一、二、四象限 仅过第二、四象限及原点 仅过第二、三、四象限
kபைடு நூலகம்0
b＝0 b<0
k
b b>0
直线特征 仅过第一、二象限 不过任何象限，为x轴 仅过第三、四象限
[例3]
已知直线l经过点P(2,3)，且与两坐标轴
围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[思路点拨]
先判断直线的斜率一定存在，设出
直线方程的点斜式或斜截式，再去构造方程求解．
[精解详析]
显然，直线l与两坐标轴不垂直，
否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l 的方程为y－3＝k(x＋2)， 令x＝0，得y＝2k＋3， 3 令y＝0，得x＝－k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 3 2|(2k＋3)(－k－2)|＝4， 3 即(2k＋3)(k＋2)＝± 8.
1．已知直线经过的一点和其斜率，就可以写 出直线方程的点斜式．当斜率为零时，直线垂直于y 轴，直线方程为y＝y0；当直线的斜率不存在时，直 线的倾斜角为90°，直线垂直于x轴，直线方程为x＝
x0.
2．已知直线经过两已知点时，可以用两点 式写出直线方程，但当x1＝x2或y1＝y2时，可直接写 成x＝x1或y＝y1，不要再用两点式表示． 3．直线方程的点斜式、斜截式、两点式和 截距式都可写成一般式，但一般式只能在一定条件下 才能写成其它形式．
上一节学的倾斜角和斜率是在直角坐标系内确定 直线的几何要素．已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜 率)可以确定一条直线．这样，在直角坐标系中，给定一
新教材数学人教B版选择性必修第一册课件：2.2.2 第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
∴所求直线的方程为y＝
3Hale Waihona Puke 3x－5.1．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是
A．y＝x＋2
B．y＝x－2
C．y＝
3 3
x－2 3 3
D．y＝ 3 x－2 3
()
解析：由题得直线l的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0 ＝x－2，即y＝x－2.故选B.
直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注 意截距和距离的区别； (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的 斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了 然．因此，在解决一次函数的图像问题时，常通过把一次函数解析式化为直线 的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.
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解为坐标的点都在直线 l 上，则称 F(x，y)＝0 为直线 l 的方程，而直线 l 称为方程 F(x，y)＝0 的直线，“直线 l”也可说成“直线 F(x，y)＝0”，记作 l：F(x，y)＝0.
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点(3，2)在直线y－2＝ 3 (x－1)上．
()
1．若直线的倾斜角为0°，且经过点P(x0，y0)，能用点斜式表示吗？ 提示：能．
2．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
提示：斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距).
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则 A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C
2-2-1直线的点斜式方程课件(人教版)
∴BC 边上的高所在的直线方程为 y－1＝12(x－1)，即 x－2y＋1 ＝0.
②直线 l 过点(2，－3)，且与 y 轴平行，故直线的方程为 x ＝2.
(2)①若 l1∥l2，则a22a－≠22＝，－1，得 a＝－1. ②若 l1⊥l2，则 4(2a－1)＝－1，得 a＝38.
题型四 直线的平移
例 4 已知直线 l1：y＝2x－3，将直线 l1 向上平移 2 个单位 长度，再向左平移 4 个单位长度得到直线 l2，则直线 l2 的方程为 _y_＝_2_x_＋__7_．
【解析】 (1)直线 y＝x＋1 的斜率 k＝1，∴倾斜角为 45°. 由题意知，直线 l 的倾斜角为 135°，∴直线 l 的斜率 k′＝ tan135°＝－1. 又点 P(3，4)在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程为 y－4＝－(x－3)． (2)由 A(－1，2)，B(m，3)，可得 当 m＝－1 时，直线 AB 的方程为 x＝－1，没有点斜式方程； 当 m≠－1 时，直线 AB 的斜率 k＝m＋1 1， 直线 AB 的点斜式方程为 y－2＝m＋1 1(x＋1)．
①若直线与 x 轴平行，求其方程； ②若直线与 y 轴平行，求其方程． (2)①当 a 为何值时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2 －2)x＋2 平行？ ②当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x －3 垂直？
【解析】 (1)①由已知可得直线 l 过点(2，－3)，且与 x 轴 平行，故直线的方程为 y＝－3.
思考题 2 (1)直线方程 y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的直 线可能是( B )
课件1：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
(1)所求直线的方程是y-4=3(x-3),即3x-y-5=0.
(2)由题意知直线经过点(-5,0),
所求直线的方程是y-0=3(x+5),即3x-y+15=0.
典例解析
例2 已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.
(1)求直线l的方程;
(2)当m为何值时,直线通过(1,1)点?
上的截距比在y轴上的截距大1,求直线l的斜截式方程.
3
解:由题意知,直线 l 的斜率为 ,
2
3
故设直线 l 的方程为 y=2x+b,
2
l 在 x 轴上的截距为- b,在 y 轴上的截距为 b,
3
2
3
3
5
所以- b-b=1,b=- ,
3
3
所以直线 l 的斜截式方程为 y=2x-5.
பைடு நூலகம்
课堂小结
本
课
结
束
同时要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直
线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图
像就一目了然.因此,在解决直线的图像问题时,常通过把直线方程
化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.
小试牛刀
5.判断
(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离. (
0
-
提示:方程- 0 =k 和 y-y0=k(x-x0)不表示同一条直线,前者表示的直线
0
缺少一个点 P0(x0,y0).
概念解析
3.直线的斜截式方程
斜截式
已知条件 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
学案1：2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2 第2课时 直线的两点式方程
2.2.2第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程~2.2.2第2课时直线的两点式方程学习目标核心素养1．会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程．(重点)2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系．(重点)3．灵活选用恰当的方式求直线方程．(难点)1．通过直线方程的几种形式的学习，培养数学抽象的核心素养．2．通过直线方程的几种形式适用范围的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养．【情境导学】情境引入斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程．(1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为．(2)直线的点斜式方程：若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x －x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程．思考1：直线的点斜式方程应用范围是什么？(3)直线的斜截式方程当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程．思考2：直线的斜截式方程应用范围是什么？2．直线的两点式方程与截距式方程(1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则称为直线的两点式方程．(2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程称为直线的截距式方程．思考3：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是什么？3．直线的一般式方程直线的一般式方程为．初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1,3)．()(2)直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3．()(3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．过点(1,2)和(3,5)的直线方程为．4．经过点P(－2,1)，且斜率为－1的直线方程为．【合作探究】【例1】写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点(2,5)，倾斜角为45°；(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；(3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直．[规律方法]1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[跟进训练]1．求满足下列条件的直线的点斜式方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3．(2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5．(3)过点A (－1，－2)，B (－2,3)．[思路探究] 先求直线的斜率，结合y 轴上的截距可用斜截式方程求解．[规律方法]1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．2．直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[跟进训练]2．(1)写出直线斜率为－1，在y 轴上截距为－2的直线的斜截式方程；(2)求过点A (6，－4)，斜率为－43的直线的斜截式方程； (3)已知直线l 的方程为2x ＋y －1＝0，求直线的斜率，在y 轴上的截距以及与y 轴交点的坐标．【例3】在△ABC中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，(1)求BC所在直线的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[思路探究](1)由两点式直接求BC所在直线的方程；(2)先求出BC的中点，再由两点式求直线方程．[规律方法]1．由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2．求直线的两点式方程的策略以及注意点当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]3．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为；(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝．[探究问题]1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？为什么？2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗？为什么？【例4】设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为．[思路探究]含有参数的一般式直线方程问题⇒化为直线方程的相应形式，根据实际情况求解．[母题探究]1．本例中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？2．若本例中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？[规律方法]当题目给出直线的一般式方程而考查直线经过的象限问题时，可将一般式方程转化为斜截式方程(但它的参数要有限制，注意分类讨论)，直接研究y＝kx＋b：①k>0，b>0，经过第一、二、三象限；②k>0，b<0，经过第一、三、四象限；③k<0，b>0，经过第一、二、四象限；④k<0，b<0，经过第二、三、四象限．【课堂小结】1．本节课的重点是了解直线方程的五种形式，难点是根据条件求直线的方程并能在几种形式间相互转化．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程与斜截式方程的方法．(2)求截距式方程与两点式方程的方法．(3)求一般式方程的方法．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．【达标检测】1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝33(x＋3)2．直线y－2＝3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．60°，2＋3C．120°，2＋ 5 D．120°，23．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为．5．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝3x＋3的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．【参考答案】【情境导学】新知初探1．直线的点斜式方程与斜截式方程(1) x＝x0思考1：[提示]直线l的斜率k存在．(3)y＝kx＋b思考2：[提示]直线既不与x轴重合也不与y轴重合．2．直线的两点式方程与截距式方程(1) y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(2)xa＋yb＝1思考3：[提示]两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点．3．直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)初试身手1．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)由点斜式方程的形式知正确．(2)由斜截式方程的形式知正确．(3)两点式方程不能表示与坐标轴平行或重合的直线，错误．(4)正确．2．C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1．]3．3x－2y＋1＝0[由直线的两点式方程，得y－25－2＝x－13－1，化简得3x－2y＋1＝0．] 4．x＋y＋1＝0[由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．]【合作探究】【例1】[解] (1)因为倾斜角为45°，所以斜率k ＝tan 45°＝1，所以直线的方程为y －5＝x －2．(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°．由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1．所以直线的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，直线的斜率k ＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y －(－1)＝0，即y ＝－1．(4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x ＝1，该直线没有点斜式方程．[跟进训练]1．[解] (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)．(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＋4＝0．(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1． 又∵直线过点P (－2,3)，∴直线的点斜式方程为y －3＝－(x ＋2)．【例2】[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝3x －3．(2)∵倾斜角是60°，∴斜率k ＝tan 60°＝3，由斜截式可得方程y ＝3x ＋5．(3)斜率为k ＝3＋2－2＋1＝－5，由点斜式得y －3＝－5(x ＋2)，化为斜截式y ＝－5x －7． [跟进训练]2．[解] (1)易知k ＝－1，b ＝－2，故直线的斜截式方程为y ＝－x －2．(2)由于直线的斜率k ＝－43，且过点A (6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y ＋4＝－43(x －6)，化成斜截式为y ＝－43x ＋4． (3)直线方程2x ＋y －1＝0可化为y ＝－2x ＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k ＝－2，在y 轴上的截距b ＝1，直线与y 轴交点的坐标为(0,1)．【例3】[解] (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0．故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52， y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3．∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0． 故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0．[跟进训练]3．(1)x ＝2 (2)－2 [(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2．(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0． 又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2．][探究问题]1．[提示] 都可以，原因如下：(1)直线和y 轴相交于点(0，b )时：此时倾斜角α≠π2，直线的斜率k 存在．直线可表示成y ＝kx ＋b ，可转化为kx ＋(－1)y ＋b ＝0，这是关于x ，y 的二元一次方程．(2)直线和y 轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝π2，直线的斜率k 不存在，不能用y ＝kx ＋b 表示，而只能表示成x －a ＝0，它可以认为是关于x ，y 的二元一次方程，此时方程中y 的系数为0．2．[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0可变形为y ＝－A Bx －C B ，它表示过点⎝⎛⎭⎫0，－C B ，斜率为－A B的直线． 当B ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0．即x ＝－C A，它表示与y 轴平行或重合的一条直线． 【例4】[1，＋∞) [把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，a ＋2≥0，解得a ≥1．所以a 的取值范围为[1，＋∞)．][母题探究]1．[解] (1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝11－a x －2＋a 1－a， 因为直线l 不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的截距大于等于零． 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－a ≤0，－2＋a 1－a ≥0，解得a ＞1．由(1)(2)可知a ≥1．2．[解] 把直线l 化成斜截式，得y ＝(1－a )x ＋a ＋2，因为直线l 不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y 轴上的截距小于等于零．即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，a ＋2≤0，解得a ≤－2．所以a 的取值范围为(－∞，－2]．【达标检测】1．C [因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y －2＝3(x ＋3)．]2．B [由y －2＝3(x ＋1)的可知斜率k ＝3，故倾斜角60°，令x ＝0可得在y 轴上的截距2＋3．]3．B [∵直线经过一、三、四象限，由图知，k ＞0，b ＜0．]4．y－1＝－(x－2)[直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]5．[解]直线y＝3x＋3的斜率k＝3，则其倾斜角α＝60°，∴直线l的倾斜角为120°．∴直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－3．∴直线l的点斜式方程为y－4＝－3(x－3)．。
2.2.1 直线的点斜式方程(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，
建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式．
探究新知
点斜式方程辨析
点斜式方程 y y0 k ( x x0 )
① 点斜式方程由直线的斜率k 与直线上定点P x0 , y0 确定 ；
② 斜截式特点：左边y y0 ，右边 x x0 外为斜率；
x0 2, 则y1 3, 得点P0的坐标为( 2, 3), 画过P0 , P1两点的直
线即可得到直线 l 的图, 如右图所示.
应用新知
变式训练：
求下列直线的点斜式方程：
解析
(1)经过点 D(－1，1)，倾斜角为 0°；
（1）y 1
(2)经过点 B(4，2)，倾斜角为 90°；
（2）x 4
当 k 0 时，直线 l 不经过第三象限， k 0, b 0 ， kb 0 ．
当 k 0, b 0 时，直线 l 也不经过第三象限，
( 2) 若l1 l2 , 则k1 k2 1;
反之, 若k1 k2 1, 则l1 l2 .
应用新知
总结：如何利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直？
对于直线
l1 : y k1 x b1 ,
l2 : y k2 x b2
平行
l1 / / l2 k1 k2 , 且b1 b2
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数.
对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0.
例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数,
当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了.
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直线上任一点的坐标都满足方程 y 2x 3
满足方程的每一个所对应的点也都在直线上
直线方程的定义
一般地，如果一条直线上任一点的坐标 (x, y) 都满足一个方程，满足 该方程的每一个数对 (x, y) 所确定的点都在直线 l 上，我们就把这个方程 称为直线 l 的方程．
直线 l 的斜率不存在 l 的方程：x x0
y l
O x0
x
例２ 分别求出通过点 P(3，4）且满足下列条件的直线方程，
并画出方程：
（１）斜率 k 2；（２）与 x 轴平行；（３）与 x 轴垂直．
解：（１）这条直线经过点 P(3，4），斜率 k 2 ，
点斜式方程为
4y
y 4 2(x 3) ，
不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出 硕果。
合作愉快
解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1 直线过点（1，2）代入点斜式方程得 y–2 = x-1或 y－２＝－（ｘ－１） 即 ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－3＝0
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
y
直线l的斜率为k
l
P0 b
O
x
yy0kxx0
ykxb
点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应用
1、直线的点斜式方程：
已知直线 l 经过已知点 P0(x0 , y0)，并且它的斜率是 k ，能否
将直线上任意点 P( x , y) 的坐标满足的关系表示出来呢？
设点 Q ( x , y ) 是直线 l上不同于点 P 的任意一点
根据经过两点的直线斜率公式，得
k y y0 x x0
可y 化 y 0 k x 为 x 0
(2)y 2 3x 3 k 3,60
例３ 求经过点 (0, b) ，斜率是 k 的直线方程．
解：由于这条直线经过点 (0, b) 并且斜率是 k ，
所以，它的点斜式方程是 ybk(x0)
可化为 y kx b ．
直线方程的斜截式 我们称 b 为直线 y kx b 在 y 轴上的截距， 称 y kx b 为直线方程的斜截式．
所以直线方程为 如图所示．
x3
4y
3
–2–1
–1
x 1234
–2
–3
–4
练一练
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1 )经 过 A (3 , 1 ),斜 率 是 2 2xy3210
（2）经过点（1，3）倾斜角为90 x 1
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：
(1)y2x1 k1,45
3
2
可化为 2x y 2 0
1
O
x
如图所示．
–4–3–2–1 1 2 3 4 –1
–2
–3
–4
（２）由于直线经过点 P(3，4）且与 x 轴平行，即斜率 k 0 ，
所以直线方程为 如图所示．
y4
4y
3
P(3,4)
2
1
O –4–3–2–1
–1
x 1234
–2
–3
–4
（３）由于直线经过点 P(3，4）且与 x 轴垂直，
经过探究，上述两条都成立，所以这个方程就是
过点P0 x0 , y0 ，斜率为 k 的直线 l 的方程．
特别地
(1)当直线 l与 x 轴平行或重合时
直线 l 的倾斜角是 0 ,
它的斜率是
ktan0 0,
直线l 的方程：
yy0 0 即：y y0
y
y0
l
O
x
(2) 直线 l与y轴平行或重合时
直线 l 的倾斜角是 9 0 ,
k 30 3 3(5) 8
该直线的点斜式方程是 y 0 3 (x 5) ，
8 可化为 3x 8y 15 0 ．
归纳：点斜式方程与斜截式方程的对比
点斜式方程: y-y0 = k(x-x0) 几何意义：k 是直线的斜率，(x0 ，y0 )是直线上的一个点
斜截式方程: y = k x +b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
1．已知直线 l过 A(0, 5) 和 B(2 , 5) , 求直线 l的方程
解：∵直线 l 过点A(0 , 5) 和 B(2 , 5)
55
kl 20 5
∵直线 l 过 A(0 , 5，)
它在 y 轴上的截距 b 5
∴直线 l 的方程为 y5x5
２、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的 直线方程.
. y
l
P (x,y)
.
P0（x0,y0)
O
x
思考交流
（ 1 ） 过 点 P 0 x 0 ,y 0 ， 斜 率 是 k 的 直 线 l上 的
点 ， 其 坐 标 都 满 足 方 程 y y 0 k x x 0 吗 ？ （ 2 ） 坐 标 满 足 方 程 y y 0 k x x 0 的 点 都
在 过 点 P 0 x 0 ,y 0 ， 斜 率 为 k的 直 线 l上 吗 ？
上一节我们分析了在直角坐标系内确定一条直线的
几何要素.那么我们能否用给定的条件（点 P 0 的坐标和
斜率 k ),将直线上所有点的坐标（ x , y )满足的关系表示
出来呢？
直线 l 过点 P(0,3) ，斜率 k 2 ， Q(x, y) 是直线上不同 于点 P 的任意一点
你能用点 P,Q 的坐标来表示直线 l 的斜率吗？
练一练
写出下列直线的斜截式方程： (1 )斜 率 是 3,在 y 轴 上 的 截 距 是2
2
y 3 x2 2
( 2 ) 斜 率 是 2 ,在 y 轴 上 的 截 距 是 4
y2x4
例４．求经过两点 A(5, 0), B(3, 3) 的直线方程．
解 根据经过两点的直线的斜率公式得直线 AB 的斜率