15.3分式方程(第1课时)-教学设计
人教版数学八上15.3分式方程(一)教案设计
备课教师课题教课目标教课要点教课难点教课方法教课准备八年级上数学教课方案黄晶八年级上册15.3 分式方程课时第一课时知识与技术：认识分式方程的观点，会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程；数学思虑：认识解分式方程根需要进行查验的原由；解决问题：学会与人合作，并能与别人沟通思想的过程和结果；感情与态度：培育学生努力找寻解决问题的进步心，领会数学中的化归思想，感觉数学的谨慎性 .解分式方程的基本思路和解法.理解解分式方程时可能无解的原由.自主学习——合作研究多媒体课件教课内容复习稳固教课方案教师活动学生活动1.方程：含有的叫做方程 . 1.未知数；等如：式； x 1 0 .2.方程的解：使方程左右两边的未知数 2.相等 .的值叫做方程的解 . 3.去括号；归并3.解一元一次方程的一般步骤：去分同类项； 1.母，，移项，，化系数为 .设计企图学新课以前，先复习方程的相关内容，为本节课的学习做铺垫 .问题引入研究新知一艘轮船在静水中的最大航速为 30解 : 设江水的流km/h, 它沿江以最大航速顺水航行90 km 所用速为 v km/h ，由章前内容引时间 ,与以最大航速逆流航行 60km 所用时间依据题意，得入新课，解决相等 ,江水的流速为多少 ?9060实质问题 .设问：你能发现这个方程和我们学过的有什么30 v30 v不一样？认真察看，未知数地点的特色？1.请注意察看，下边这几个方程与上边的方程有什么共同点？可否给它们取一个共同答：特色；分母的名字，并概括观点？中含有未知数 .1 2 ;110;x2x 1.观点：分母中含以学生察看，2x x 3 x 5 x225 x 1 2x 3未知数的方程自主学习为增补：未知数不在分母中的方程是整式方程.叫做分式方程 .主，概括出分2.帮一帮式方程的定义猴王给小猴下命令，让它把玉米分类，小猴子及特色，并能正忧愁，你能帮助它吗？正确判断分式x 2 x(2)4 37;13答：整式方程：方程。
分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版
第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。
[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。
1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。
[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。
[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。
3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。
在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。
（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。
从下一节起将开始分式方程的应用。
因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。
4 教学方法[1]分组讨论。
[2]类比推理。
[2]启发引导探索的教学方法。
5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。
同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。
人教版数学八上15.3分式方程教学设计
3.设计具有生活气息的练习题，提高学生运用分式方程解决实际问题的能力。
4.针对不同学生的学习需求，提供个性化的辅导，使每位学生都能在课堂上获得成功体验，增强学习信心。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握分式方程的概念，能够正确识别各类分式方程。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的综合素质，将知识、能力、情感态度与价值观有机地结合起来，为学生今后的学习和生活打下坚实的基础。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了方程与不等式的解法，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。在此基础上，他们对分式方程这一章节的学习将面临以下挑战：
人教版数学八上15.3分式方程教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握分式方程的概念，能够识别并写出分式方程。
2.学会使用换元法、消元法等方法求解简单的分式方程，并能够灵活运用到实际问题中。
3.能够分析分式方程的解的特点，理解解的存在性和唯一性。
4.学会运用分式方程解决实际生活中的问题，提高解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.老师通过一个生活中的实际问题引入分式方程的概念，例如：“小明和小华去超市购物，小明花费了50元，小华花费了比小明多1/3的钱。请问小华花费了多少钱？”通过这个问题，让学生感受到分式方程与现实生活的紧密联系。
2.学生在老师的引导下，尝试用代数方法解决这个问题，从而引出分式方程的表达形式。
（五）总结归纳
1.学生在老师的引导下，总结本节课所学的分式方程的概念、求解方法以及解的存在性和唯一性。
15.3 分式方程【教案】八年级上册数学
第1课时分式方程课时目标1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.学习重点分式方程的解法.学习难点理解解分式方程时可能无解的原因.课时活动设计新知引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,(1)轮船顺流航行速度为30+v千米/时,逆流航行速度为30-v千米/时;(2)顺流航行90千米的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米的时间为6030−v小时;(3)根据题意可列方程为9030+v =6030−v.想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.探究新知探究1 分式方程的概念问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的? 学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数. 问题2:下列关于x 的方程中哪些是分式方程? (1)1x =5;(2)x5=1;(3)x 2-x +13=0; (4)2x+2-1x ;(5)4x +3y =7;(6)12x 2-2a =1. 学生独立完成.探究2 分式方程的解法 1.解方程:2x -13-3x -12=116.请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程. 解:去分母,得2(2x -1)-3(3x -1)=11. 去括号,得4x -2-9x +3=11. 移项,得4x -9x =11+2-3. 合并同类项,得-5x =10. 系数化为1,得x =-2. 2.解分式方程:9030+v =6030−v .分析:先将分式方程转化为整式方程.解:9030+v =6030−v去分母,两边同乘(30+v )(30-v )90(30-v )=60(30+v )去括号2 700-90v =1 800+60v移项-90v -60v =1 800-2 700合并同类项-150v =-900系数化为1v =6思考:v =6是原分式方程的解吗?将v =6代入原方程中,左边=52=右边,因此v =6是原分式方程的解.总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.探究3 增根 解方程:1x -5=10x 2-25.解:方程两边同乘最简公分母(x -5)(x +5),得整式方程x +5=10. 解得x =5.将x =5代入原分式方程检验,分母x -5和x 2-25的值都为0,相应的分式无意义. 所以这个分式方程无解.思考:上面两个分式方程中,为什么9030+v =6030−v ①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x -5=10x 2-25②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.典例精讲 例 解方程:(1)2x -3=3x ; (2)xx -1-1=3(x -1)(x+2).解:(1)方程两边同乘x (x -3),得2x =3x -9.解得x =9. 检验:当x =9时,x (x -3)≠0. 所以,原分式方程的解为x =9.(2)方程两边同乘(x -1)(x +2),得x (x +2)-(x -1)(x +2)=3.解得x =1. 检验:当x =1时,(x -1)(x +2)=0,因此x =1不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解.设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.课堂小结1.分式方程的概念是什么?2.怎样解分式方程?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.2.作业.第1课时分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化归.三、解分式方程的一般步骤:1.化——化分式方程为整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.四、例题讲解.教学反思第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题课时目标1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.学习重点会列分式方程解决实际问题. 学习难点实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.解分式方程:1x -2+1=x+12x -4.2.列方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 .3.常见等量关系式:路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.探究新知问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则顺水航行的速度为 x +3 千米/时,逆水航行的速度为 x -3 千米/时,顺水航行的时间为 40x+3 小时,逆水航行的时间为 30x -3 小时,根据题意,可得方程 40x+3=30x -3 .解:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则40x+3=30x -3,解得x =21. 检验:当x =21时,(x +3)(x -3)≠0, 所以,x =21是原分式方程的解. 答:轮船在静水中的速度为21千米/时.对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.典例精讲例1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x .记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+12x =1.方程两边乘6x ,得2x +x +3=6x.解得x =1. 检验:当x =1时,6x ≠0. 所以,原分式方程的解为x =1.由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快.例2 某次列车平均提速v km/h .用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度是多少?解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km 所用时间为s xh;提速后列车的平均速度为(x +v )km/h,提速后它行驶(s +50)km 所用时间为s+50x+vh .根据行驶时间的等量关系,得s x =s+50x+v .方程两边乘x (x +v ),得s (x +v )=x (s +50).解得x =sv50. 检验:由v ,s 都是正数,得x =sv50时,x (x +v )≠0. 所以,原分式方程的解为x =sv 50. 答:提速前列车的平均速度为sv 50 km/h .设计意图:通过例题让学生巩固解题步骤,规范书写格式,亲身体验建立分式方程解决实际问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?2.工程、行程问题中都存在哪些等量关系式?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第154页练习第1,2题,第154页习题15.3第3题.2.作业.第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、例题讲解.教学反思第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题课时目标1.通过使学生经历用分式方程解决销售问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决销售问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力. 学习重点会列分式方程解决销售问题. 学习难点销售问题中相等关系的寻找及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.列分式方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 ;2.销售问题中基本量之间有什么关系? 利润= 售价-进价 ;利润率= 利润进价;总价= 单价×数量 ;打折后的销售价= 单价×折扣 ;……设计意图:通过复习列分式方程解决实际问题的步骤和销售问题中常见的基本量之间的关系,唤起学生已有的知识体系,为本节课的学习做好准备.探究新知问题:在某“爱心义卖”活动中,商家购进甲、乙两种文具,甲每个进货价比乙高10元,90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价.分析:设甲的进货价为x 元,则乙的进货价为 x -10 元,150元可以购买甲的数量为 150x 个,90元可以购买乙的数量为 90x -10 个,根据题意,可得方程150x=90x -10 .解:设甲的进货价为x 元/个,则150x=90x -10,解得x =25.经检验,当x =25时,x (x -10)≠0,所以x =25是原分式方程的解. x -10=25-10=15.答:甲的进货价为25元/个,乙的进货价为15元/个.设计意图:用同学们熟悉的实际问题题引入分式方程的模型,激发学生们对本节课学习的兴趣,加深学生对解分式方程的步骤和解应用题步骤的认识.典例精讲例 某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11 000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?解:(1)设试销时该品种的苹果的进货价是每千克x 元. 根据题意,得2×5000x=11000x+0.5,解得x =5.经检验,x =5是原分式方程的解.答:试销时该品种的苹果的进货价是每千克5元. (2)试销时购进苹果的数量为50005=1 000(千克),第二次购进苹果的数量为2×1000=2 000(千克).赢利为(1 000+2 000-400)×7+400×7×0.7-5 000-11 000=4 160(元). 答:超市两次销售该品种苹果共赢利4 160元.设计意图:通过例题引导学生再次体会建立分式方程解决销售问题的过程,增强学生对销售问题中基本量之间关系的深刻理解,培养学生的应用意识.教学中,教师应注意鼓励学生积极探究,充分发挥学生的主观能动性,让学生经过自己的努力,最终解决实际问题,体验到获得成功后的喜悦.巩固训练某商城销售一种商品,第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价,共获利6 000元.第二个月商场搞促销活动,将商品的进价提高10%作为销售价,第二个月的销售量比第一个月增加了80件,并且商场第二个月比第一个月多获利400元.此商品的进价是每件多少元?商场第二个月共销售此商品多少件?解:设此商品的进价为每件x 元.根据题意,得6000+40025%x =600025%x +80,解得x =500.经检验,x =500是原分式方程的解.6000+40010%×500=128(件).答:此商品的进价是每件500元,商场第二个月共销售此商品128件.设计意图:通过练习巩固所学,提高学生分析和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么?2.销售问题中常见量之间有什么关系?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第155页习题15.3第7,8题.2.作业.第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、销售问题中常见量之间的关系.三、例题讲解教学反思。
人教版八年级上册数学 15.3 第1课时 分式方程及其解法优质教案
15.3 分式方程
第1课时分式方程及其解法
一、教学目标
1．使学生理解分式方程的意义．
2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．
3．了解解分式方程解的检验方法．从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点
1．教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．
2．教学难点：检验分式方程解的原因
三、教学过程
(一)复习及引入新课
提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
(二)新课
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．
解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得
2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3．
检验：把x=3代入原方程
左边=右边 ∴x=3是原方程的解．
例2：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v 千米/时， 可列方程v 20100＋＝v 2060
－解方程得：v ＝5
检验：v ＝5为方程的解。
所以水流速度为5千米/时。
(三)课堂练习：
(四)小结：谈谈你的收获
(五)布置作业
(六)板书设计
解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．。
人教版数学八年级上册教学设计《15-3分式方程》(第1课时)
人教版数学八年级上册教学设计《15-3分式方程》（第1课时）一. 教材分析《15-3分式方程》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生掌握分式方程的定义、解法以及应用。
分式方程是初高中数学的重要衔接点，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
教材通过引入实际问题，让学生在解决问题的过程中自然地接触到分式方程，并逐步引导他们理解和掌握分式方程的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式方程的解法，对代数式有一定的了解。
但由于分式方程与整式方程在形式和思想上都有较大的区别，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知差异，针对不同学生的学习情况，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法。
2.能够应用分式方程解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及解法。
2.分式方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生自然地接触到分式方程。
2.启发式教学法：在教学过程中，引导学生主动思考，发现分式方程的解法，培养学生的逻辑思维能力。
3.案例教学法：通过分析实际问题，让学生学会将分式方程应用于解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实际问题、解题步骤和应用案例的教学PPT。
2.教学素材：准备一些实际问题，作为课堂练习和拓展应用的材料。
3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，帮助学生理解和记忆分式方程的解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，让学生尝试解决。
在解答过程中，引导学生发现这是一个分式方程。
通过这个问题，引出本节课的主题——分式方程。
2.呈现（10分钟）讲解分式方程的定义，让学生了解分式方程的基本形式。
接着，介绍分式方程的解法，包括去分母、求解、检验等步骤。
在这个过程中，引导学生积极参与，发现问题、解决问题。
人教版八年级上册15.3分式方程教案设计
课题：15.3分式方程
课题：15.3分式方程
字。
2.解：设小红每分钟录入x 字，则 90002500220x x
=
- 解得x ＝120。
经检验是原方程的根。
220一x=100。
答：小红每分钟录入120宇，小丽每分钟录入100字。
例2、某工程队承建一所希望学校。
在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20％，因此，比原定工期提前1个月完工。
这个工程队原计划用几个月建成这所希望学校? 分析：如果设工程队原计划用x 个月建成这所学校，那么，改进工作方法前的工作效率为1x
，改进工作方法后的工作
效率为1
1
x -。
根据等量关系“改进工作方法前的工作效率
1
x
×(1+20％)＝改进工作方法后的工作效率”，可列出方程。
解：设工程队原计划用x 个月建成这所希望学校，根据题
意，得11
(120)1
x x +=-％。
解这个方程，得x ＝6。
经检验，x=6是原方程的根。
答：这个工程队原计划用6个月建成这所希望学校。
三、练习
某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天? 四、课堂小结
本节课学习了列分式方程解应用，与列整式方程的步骤基本相同，但解得结果要检验，解既要是分式方程的解，又要符合题意。
人教版数学八年级上册 15.3 分式方程 教学设计
人教版八年级上册第十五章分式方程（第一课时）一．教学内容解析本节课的内容是分式方程的概念和解法．分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的又一次升华．本节课是在学生学习了分式的概念、分式的基本性质及分式的运算的基础上进行的，既是对分式的基本性质的应用，又是为今后学习可化为一元二次方程的分式方程打下基础，起着承上启下的作用．本节课首先通过生活中的事例建立数学建模，让学生经历探索分式方程概念的过程，接着，由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程转化为整式方程，引导学生探究出分式方程的解法，并在与整式方程的对比之下，突出了分式方程解法上的个性特点及解法，同时也反映出了这两种方程在解法上的内在关联．本节的重点是利用去分母的方法解分式方程，难点是利用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．解分式方程的基本思路是将分式方程转化为一元一次方程，转化的关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因为解分式方程去分母时在方程的两边同时乘以一个整式，可能会产生增根，所以，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节，这是分式方程和整式方程的区别．同时，教学时应注重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想．利用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，并把整式方程逐步化为ax 的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想．二．教学目标1．知识与技能目标①理解分式方程的概念，学会解可化为一元一次方程的分式方程．②了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程检验根的方法．2．过程与方法目标①通过经历实际问题；列分式方程；探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识．②通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想就是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．3．情感态度与价值观①通过建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会分式方程的数学模型在解决实际问题中的重要作用，从而提高学生学习数学的兴趣．②在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻找解决问题的方法，体会数学的应用的价值．三．重点与难点重点：正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程．难点：解分式方程产生增根的原因．四．教学方法情境探究教学法五．学情分析本节课是学生在前面学习了分式的意义、分式的基本性质、分式通分、分式的混合运算和能够熟练解一元一次方程的基础上学习本节内容的，同时八年级学生已经具备了一定的自主探究能力和分析问题，解决问题的能力，并对发现新问题以及寻求解决办法有了一定的兴趣和积极的愿望．能比较容易地开发他们的主观能动性．但是，对于分式方程学生毕竟是第一次接触，在对整式方程的认识不够深刻的情况下，就会遇到比解整式方程更复杂的求解过程和可能出现增根的新情况，特别是产生赠根的原因，学生没有认知上的准备．同时，学生在解整式方程时往往会有一种思维定势，即所有遇到的方程都是有解的．因此对有些分式方程无解就产生了疑惑和不理解，尤其是对产生增根的原因不明白，为什么有些分式方程会无解．教师在教学时要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程产生增根的原因．本节课的教学难点是：了解利用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．六．教学策略分析为了更有效的完成本节课设定的教学目标，本节课采取了探究式的教学方法．本节课从实际问题出发，通过观察概括出分式方程的概念，接着对分式方程的解法进行探究．针对数学学科的特点，本节课充分利用“问题串”的方式，并采取引导加小组合作的模式．上课时注重精讲多练，层层推进，逐步深入的原则，体现了以学生为主体，教师只是课堂的组织者、引导者．在教学引导的过程中，针对学生回答问题时所出现的错误及时给以纠正，在课堂练习时，除了让学生板演展示外，自己还在下面及时发现学生所出现的问题，对于比较典型的问题全班讲评外，个别学生出现的问题个别解决，让所有学生都有所发展．七．教学过程1．创设情境，导入新课问题1：一艘轮船在静水中的速度为30km/h ，它以最大航速沿江顺流航行90km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相等，江水的流速为多少？首先让学生独立思考，回忆以往所学知识，并根据题意，完成分析中的填空，顺便复习分式及方程的相关知识．设船在静水中的速度为x km/h ，填空：（1）轮船顺流航行速度为______km/h ，逆流航行速度为______km/h ；（v +30，v -30）（2）顺流航行90km 所用时间为_________h ；（3090+v ） （3）逆流航行60km 所用时间为_________h ；（v -3060） （4）根据题意可列方程为________________．（vv -=+30603090） 设计意图：可在学生独立思考的基础上提问：行程问题的基本数量关系是什么？在静水中航行速度为20km/h 的船只，它顺流、逆流航行的速度相同吗？船只顺流、逆流的航行速度与什么有关？可与学生依托所列式子一同回顾分式、方程的概念，以便新知识的展开．问题2：为了解决问题1中的问题，我们得到了方程vv -=+30603090．认真观察这个方程，未知数的位置有什么特点？师生活动：学生独立思考并作出回答．设计意图：由实际生活中的问题出发引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程是非常有必要的．问题3：方程2331+=x x ，168412-=-x y ，15521++=+x x x x ，与上面的方程有什么共同特征？师生活动：由学生观察并独立思考，尝试着进行归纳、总结，发现这几个方程不同于原来所学过的方程，其特征是未知数含在分母中．师生共同总结出分式方程的概念——把分母中含有未知数的方程叫做分式方程．教师进一步说明，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数都不在分母中．设计意图：通过让学生在观察和独立思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，理解分式方程的概念，认识其本质属性是分母中含有未知数，同时为继续探索解分式方程的基本思路和关键步骤做铺垫．问题4：判断下列各式那些是分式方程____________（填写序号） ①251=-x x ；②2512=+x x ；③21413y y -=-；④32412=+y y ；⑤452>y ． 师生活动：由学生思考并回答．设计意图：利用分式方程的概念作出判断，让学生进一步理解分式方程的概念．2．尝试练习，探索解法问题5：你们能尝试着解出问题1中分式方程vv -=+30603090吗？ 师生活动：由教师提出问题，学生进行独立思考，并尝试着解这个方程，并将代表不同解法的过程在黑板上进行展示，学生间互相交流．设计意图：让学生在已有的知识经验的基础上，通过学生间的合作探究尝试着解这个分式方程．问题6：同学们的这些解法有什么共同的特点？师生活动：在学生进行充分的讨论之后，教师进行总结，这些解法的共同特点是先去分式方程的分母将分式方程转化为整式方程，再求解整式方程．从而明确解分式的方法和依据．学生在思考后得出结论：解分母中含有未知数的方程，通过去分母就能转化为整式方程．去分母的依据是利用等式的性质给方程两边都乘以同一个式子，这个式子是各分母的最简公分母．进而师生共同得出解分式方程的方法：解：给方程两边同时乘以各分母的最简公分母)30)(30(v v -+，则可得：)30)(30(3060)30)(30(3090v v vv v v -+⋅-=-+⋅+， 即 )30(60)30(90v v +=-．解得： 6=v ．设计意图：通过上面的探究活动，学生探究出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解分式方程的关键是去分母．问题7：得到的解6=v 是不是分式方程vv -=+30603090的解吗？ 师生活动：由学生回答问题，并互相补充．设计意图：让学生知道将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等是检验分式方程解的一种方法．学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原方程的解，从而说明上述解分式方程的方法是有效的，进而可得：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要而有效的步骤．问题8：解分式方程2510512-=-x x ． 师生活动：教师给出问题，学生在独立思考后解这个方程可得：在去分母后的整式方程的解是5=x ．但是有的学生认为5=x 是原分式方程的解，不过有部分学生会发现当5=x 时，分式51-x ，25102-x 都没有意义，但又不能解释其产生的原因． 设计意图：为了让学生积累去分母的经验，去分母的通常做法是给分式方程两边的每一项同时乘以最简公分母，同时，是为了让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化．问题9：如何验证整式方程的解5=x 是分式方程2510512-=-x x 的解？ 师生活动：先有学生独立思考问题，然后再互相交流，最后达成一致的认识，5=x 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．设计意图：目的是让学生发现去分母后的整式方程的解使原分式方程的分母为0了，但无法说明原分式方程两边的值是否相等；从而可以得出这个整式方程的解不是原方程的解，因此原分式方程无解，进一步可以得出存在一些分式方程无解的事实．问题10：对于以上两个分式方程的求解过程，同样是通过去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程)30(60)30(90v v +=-的解6=v 是分式方程vv -=+30603090的解，但整式方程105=+x 的解5=x 又不是方程2510512-=-x x 的解呢？ 师生活动：针对两个分式方程的解答过程提出的问题，先由学生独立思考，然后再进行小组交流，最后老师进行归纳师生达成一致：在去分式方程分母的过程中，对原方程进行了恒等变形，但这种变形是否会引起分式方程的解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对方程的解进行检验时，通常有两种方法，一是将整式方程的解代入最简公分母中，看是否为0；二是将整式方程的解代入原分式方程中，看方程左右两边是否相等．设计意图：目的是让学生了解分式方程产生增根的原因：问题11：综合以上两个分式方程vv -=+30603090与2510512-=-x x 求解的过程，你能总结出解分式方程的基本思路和一般的步骤吗？师生活动：由学生回答，并相互间补充，最后形成解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式，具体的做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母．并归纳出解分式方程的步骤如下图所示：设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解分式方程的解题思路和步骤，体会化归思想与程序化解题的思想，积累解题的经验．3．例题讲解例1 解分式方程xx 332=-； 例2 解分式方程 )2)(1(311--=--x x x x ． 师生活动：此问题由师生共同分析完成，教师对例1进行板书演示．例2由学生独立完成，然后分组交流，并对典型的错例进行展示，教师和学生共同纠正错误的原因．设计意图：进一步规范学生解分式方程的步骤和格式，加深学生对分式方程解法的理解．4．课堂练习解下列分式方程：（1）3221+=x x （2）13321++=+x x x x 师生活动：让两名学生在黑板上板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视并指导做题有问题的学生，并对学生完成的情况作出评价．设计意图：使得学生能够按照规范的步骤和格式解分式方程，在熟练解题过程的同时，体会化归思想和程序化思想．5．课时小结师生一起归纳本节课所学的主要内容，并让学生回答下面问题：（1）本节课学习了那些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？（3）解分式方程应该注意什么？设计意图：通过小结，使学生对本节课所学内容进行总结，掌握本节课的核心内容．6．布置作业课本习题15.3中，第1题．7．板书设计。
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15.3分式方程教学设计
第1课时
前言：
本节内容从本章引言中的航行问题说起，列出分母中含有未知数的方程，然后分析这样的方程的特点，给出分式方程的概念，接着由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。
在教学过程中要重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。
本节知识都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。
一、教学任务分析
二、教学流程安排
三、教学过程设计
活动二诱导尝试，探究新知
：如何解分式方程=
：如何解分式方程=
=
(2)
(3)-1=
的值比分式
为何值时，分式方程+k=无解。
四、板书设计。