思想方法专题：直角三角形中的思想方法
【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
《解直角三角形》专题复习一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=21AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21AB=BD=AD 】4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a b c h •=•）由上图可得：AB •CD=AC •BC二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°c asin =∠=斜边的对边A Ac bcos =∠=斜边的邻边A Ab atan =∠∠=的邻边的对边A A Aab cot =∠∠=的对边的邻边A A A锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.三、锐角三角函数之间的关系（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系tanA=A Acos sin cotA=AA sin cos（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)AC BDsin A sin c A ，cos b c A 12S ab =）结论：直角三角形斜边上的高）测底部不可到达物体的高度BP=xcot α 东 西 2八、基本图形（组合型）翻折平移九、解直角三角形的知识的应用问题：(1)测量物体高度．(2)有关航行问题．(3)计算坝体或边路的坡度等问题十、解题思路与数学思想方法图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题辅助线构造抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用【聚焦中考考点】1、锐角三角函数的定义2、特殊角三角函数值3、解直角三角形的应用【解直角三角形】经典测试题（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°< cos26°B. sin65°> cos26°C. sin65°= cos26°D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1图15、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．A ．3B ．22C ．3D ．3227、如果∠A 是锐角，且3sin 4B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αααα-+的值等于（ ）A.47B.12C ．13D ．09、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。
论小学数学教学中渗透数学思想方法——以三角形面积为例
三角形、锐角三角形和钝角三角形。如在“等 边三角形”概念的教学过程中，也可以采取 分类的教学思想。那么教师可以采取这样的 方式对小学三角形的教学。假设三角形的一 个角为 60 度，教师可以问同学这个三角形是 什么三角形？在这个三角形中可以进行分类 思想，根据三角形的角度或者边来进行划分。 在角度为标准中，三角形的一个角为 60 度， 另两个角的和加起来就是 120 度，可以判断 当 角 B 为 钝 角 时， 那 么 角 C 为 锐 角， 此 三 角形就有两个锐角，一个钝角，因此三角形 ABC 是钝角三角形。假设角 B 或者角 C 当中 有一个是直角，那么得到的答案据是这个三 角形是直角三角形。假设角 B 是锐角，角 C 也是锐角，可以肯定这个三角形就是锐角三 角形。其次根据三角形边来划分。假设三角 形两边相等就可以推断出来它可以是一个等 腰三角形。而是不是一个等边三角形呢，等 边三角形是一个 度的角，其中一个角已经 是 60 度了，另外两个角度可以调整为 60 度， 那么这个三角形可以确定是等边三角形。
1. 小学三角形教学中渗透类比思想 类比思想是对两个不同对象的某个地方 （包括他们的属性、特性和关系等）相同或 相似，推出它们在其他方面也可能相同或者 是相似的思维形式。这是一种数学的思想方 法，在小学数学教学过程中，运用类比推理 是培养小学学生的归纳、 总结，提高解决问 题的能力。如在进行平行四边形的教学时， 根据以往知识经验，可以得知一个平行四边 形可以分成两个完全相同的三角形，教师可 以拿出平行四边形的相关道具，让学生观察 平行四边形中的涂色三角形和没有涂色的三 角形，使学生认识到这两个三角形应该是一 样的，所以涂色的三角形面积是平行四边形 面积的一半。第一个平行四边形的面积是 16 平方厘米，所以三角形的面积是 8 平方厘米。 又如下图，两条直线相交形成 4 个角，你能 说明∠ 2 ＝∠ 4 吗？
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
《勾股定理》核心专题一点通(历年考题)
7．勤学早第17章《勾股定理》核心专题一点通B ——核心思想方法核心思想方法1：转化的思想（1）斜三角形→转化直角三角形→勾股定理1．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC ＝75°，求△ABC 的面积．AB C解：过B 作BD ⊥AC 于D 点，∠A ＝30°，∴BD ＝2，∴△ABC 的面积是4．2．如图，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北我偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向，已知该岛周围4海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理1.732≈）解：过C 作CD ⊥AB 于D ，可求BC ＝AB ＝6，CD ＝4，∴该船继续向东航行，无触礁危险．（2）割补图形→转化直角三角形→勾股定理3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝6，CD ＝3，求AB 的长．ABD解：延长AB ，DC 交于E 点，∠E ＝30°，CE ＝2BC ＝12，BE＝DE ＝CE ＋CD ＝15，在Rt △ADE 中，∠E ＝30°，ADAE ＝2AD ＝，AB ＝AE －BE ＝．4．在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB =BC＝4，CD =ABCD 的面积．ADB C解：分别过A，D作BC的垂线，垂足为M，N，则围成直角梯形AMND，可求四边形ABCD的面积是6643+．（3）将立体图形→转化平面图形→勾股定理5．如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．QP A解：如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴P A＝4＋2＋4＋2＝12（cm），QA ＝5cm ．∴PQ＝13cm．∴蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶爬行到点B的最短路程．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2＋3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设妈蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得()222220[233]25x=++⨯=，解得x＝25．7．有一个如图所示的长立体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G生吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？A'QGFEDCBA解：（1）如图，AQ＋QG为最短路程；（2）∵AE＝40cm，A'A＝120，A'E＝80cm，又EG＝60cm，∴AQ ＋QG ＝'A Q ＋QG ＝A 'G ＝100cm ．∴最短路线长为100cm核心思想方法2：方程的思想（1）一般问题8．如图，等腰△ABC 的周长是16，底边上的高AD ＝4，求这个三角形各边的长．DBC解：设BD ＝x ，则AB ＝8－x ，由勾股定理，可以得到222AB BD AD =+，也就是()22284x x -=+，∴x ＝3，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．9．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH 的边长为2米，∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6米，已知222CD AE BC =+，求AE 的长．A解：AE ＝143（2）直角三角形＋斜边上的高（知二求四） 10．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，BC ＝8，求CD 和AD 的长．DBA解：CD ＝4.8，AD ＝3.611．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DB －AD ＝4，AC ＝4，求BC 和AB 的长．DBA解：BC ＝AB ＝8．（3）直角三角形＋角平分线12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，AB ＝10，BC ＝8，求CD 的长．（提示：面积法求垂线段）CBAD解：过D 分别作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，利用面积法，可求DM ＝DN ＝247，CD =13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交CB 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC 和AD 的长．CBA解：过D 作DM ⊥AB 于M ，AC ＝AM ＝a ，CD ＝MD ＝3，则BM ＝4，在Rt △ABC 中，()22284a a +=+，a ＝6，AC ＝6，AD ＝（4）直角三角形＋中线14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，AD ＝13，AB =AC 和BC 的长．CBA解：AC ＝12，CD ＝5，BC ＝2CD ＝1015．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD ，BE是中线，BE =AD ＝5，求AB 的长．C BA解：AB ＝核心思想方法3：分类讨论的思想（1）三角形的形状不明时需分类讨论16．（2017东营）在△ABC 中，AB ＝10，AC =BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 的长是（ C ） A ．10 B ．8 C ．6或10 D ．8或1017．在△ABC中，AB =AC ＝4，BC ＝2，以AB 为边向△ABC 处作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长．解：AC ＝4，BC ＝2，AB＝222AC BC AB +=，∴△ACB 为直角三角形，即∠ACB ＝90°，分三种情况：（1）如图1，过点D 作DE ⊥CB ，垂足为点E ，易证△ACB ≌△BED ，易求CD ＝（2）如2，过点D 作DE ⊥CA ，垂足为点E ，易证△ACB ≌△DEA ，易求CD＝（3）如图3，过点D 作DE ⊥CB ，垂足为点E ，过点A 作AF ⊥DE 垂足为点F ，易证△AFD ≌△DEB ，易求CD ＝图1DEB CA图2AEDB C 图3DF BECA（3）等腰三角形的顶点和腰不明时需要分类讨论 18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，1） （1）求OA 的长；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点坐标．xx解：（1）0A ； （2）1P （54，0）或2P （4，0）或3P ，0）. 核心思想方法4：建模的思想（1）数学模型1：半倍角→全等→勾股定理19．如图，四边形ADCF 中，∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝6，AE =EAF ＝45° （1）求EF 的长；（2）直接写出点F 到直线AE 的距离是 ．AE解：将四边形ADCF 补成正方形ABCD ，由半角与倍角模型结论可知EF ＝DE ＋BF ，设EF ＝x ，则BF ＝x －3，FC ＝9－x ，在Rt △ECF 中，()22293x x =-=，解得x ＝5，EF ＝5；（2）可知△AEF 的面积是15，∴点F 到直线AE 的距离＝215⨯÷20．（2017武汉改）（1）如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 是BC 上任意两点，且∠MAN ＝45，求证：BM 2＋CN 2＝MN 2．（2）如图2，已知△AMC 中，N 为MC 上一点，∠MAN ＝∠C ＝45°，AC =，MC ＝9，求AN 的长．CNCN图1 图2解：（1）略；（1）过A 作AB ⊥AC 交CM 的延长线于B 点，则BC，AC ＝12，BM ＝3，∴设NC ＝x ，则MN ＝9－x ，由（1）可知222BM CN MN +=，∴()22239x x +=-，解得x ＝4，过A 作AT ⊥MC 于T ，则AT ＝TC ＝6，在Rt △ANT 中，运用勾股定理得：AN＝（2）模型2：共顶点的等边三角形→全等→勾股定理21．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，BD ＝5，CE ＝8，求DE 的长．CE DF BAE'CED F BA解：∵AB ＝AC ，可把△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△A 'E B ，BE '＝EC ＝8，'AE AE =，∠E 'AB ＝∠EAC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠EAC ＝60°，∠E 'AD ＝∠E 'AB ＋∠BAD ＝60°， ∴△E 'AD ≌△EAD （SAS ），∴E 'D ＝ED ，过E '作EF ⊥BD 于点F ，∵A B ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝∠E 'BA ＝30°，∴∠E 'BF ＝60°，∴∠BE 'F ＝30°，∴1'42BF BE ==，'E F =BD ＝5，∴FD ＝BD －BF ＝1，在Rt △E 'FD 中，由勾股定理可得E 'D7，∴DE ＝7．22．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为边向外作等边△ACD ，求BD 的长．F解：以AB 为边向外作等边三角形△ABE ，连接EC ，易证△ABD ≌△AEC ，得BD ＝EC ，过E 作EF ⊥BC 交CB 延长线于F ，易得32BF =，EF =，132CF =，在Rt △EFC 中，由勾股定理得EC ＝7，∴BD ＝7．（3）模型3：共顶点的等腰（直角）三角形→全等→勾股定理23．（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 和CE 的大小关系，并说明理由；（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．DABDAB图1 图2 图3解：（1）BD ＝CE ，理由：证△EAC ≌△BAD ，BD ＝CE ；（2）过A 向外作AE ⊥AB 、连接EB，则△ABE 为等腰直角三角形，BE＝AB ＝ABE ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠EBC ＝90°，∴BD ＝EC ＝（3）过A 向外作AE ⊥AB 交BC的延长线于E ，BE＝ BD ＝EC＝BE－BC ＝3．E。
浅析三角形教学中的分类讨论思想
浅析三角形教学中的分类讨论思想作者：饶良鑫来源：《新课程·中学》2015年第06期摘要：初中数学中的分类讨论思想是近几年常州市中考的热门考点之一，几乎每年分类讨论思想都有出现在考题中，它是教学的重点也是难点，分类讨论思想不仅在数学学科中涉及，在其他理科中也经常使用。
分类讨论思想中蕴含严谨的数学学科特点，也可以锻炼学生的思维和想象力，特别是在考查几何问题时，重点阐述了初中几何教学中的分类讨论思想，三角形问题中的分类讨论频繁地出现在常州中考的压轴题中，它的重要性不言而喻。
关键词：初中数学；三角形；分类讨论思想一、问题提出分类讨论思想的基本要求首先是不重复、不遗漏，分类讨论思想可以培养学生思维的连贯性和有序性，培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，提高学生严谨的思维。
通过研究发现，学生碰到这类问题常常不知道如何切入，更不知道要分类讨论解答，还有一类学生清楚分类讨论，但是分类不完整，其次分类完整的学生在计算的过程中也会出现一些小问题，而能完整解答的微乎其微。
因此，教师教学中对这种解题思路方法的渗透显得尤为重要，学生要从平时的教学中积累和提炼、总结归纳。
最后达到运用非常熟练，这将是一个漫长的吸收内化的过程。
几何中的三角形中涉及分类讨论思想的题型有等腰三角形、直角三角形、相似三角形等；等腰三角形经常按顶角和低角分类、按底边或腰进行分类。
直角三角形一般情况是按直角顶点分类。
相似三角形中，当出现“△ABC与△DEF相似”或“以点A、B、C为顶点的三角形相似于△DEF ”时，由于点的对应关系不确定，通过分类讨论才能更清晰、更完整地解答。
二、核心概念所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类思想可不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可让学生掌握应用。
而是要根据学生的年龄特征，学生在学习各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断地丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。
小学数学中的几种思想方法及应用
小学数学中的几种思想方法及应用作者：李秀亲来源：《新课程·教研版》2011年第21期《全日制义务教育数学课程标准》在“双基”的基础上提出了“四基”：即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。
那么，小学数学中有哪些基本思想呢?数学思想蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
小学数学中常见的基本数学思想方法有：转化思想、集合思想、数形结合思想、函数思想。
符号化思想、对应思想、归纳思想、模型思想、统计思想、极限思想等。
下面谈谈几种常见的思想方法及其应用。
一、集合的思想方法集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。
在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。
让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。
利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边形集合等。
二、对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。
小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。
如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
三、数形结合的思想方法数和形是数学研究的两个主要对象，数寓不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念、复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化；另一方而复杂的形体可以用简单的数量关系表示。
“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所做的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
三角形问题中的数学思想方法
三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm 和6cm 两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm ，哪一段为6cm ，故需分类讨论.解:设腰长为xcm ，底边为ycm ，即AB=x ，则AD=CD=21x ，BC=y ⑴ 若x+21x=6时，则y+21x=15. 由x+21x=6得x=4.把x=4代入y+21x=15得y=13. 因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+21x=15时，则y+21x=6. 由x+21x=15得x=10.把x=10代入y+21x=15得y=1. 10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm 、10cm 、1cm.例2 已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC 为锐角三角形时(图2)∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD 中， ∠ABD=180°－90°－45°=45°.图1图2ABC D H E∵∠BHC 是△BHE 的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC 为钝角三角形时(图3)∵H 是△ABC 两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt △BEH 中， ∠BHC=180°－90°－45°=45°. ∴∠BHC 的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为∠A +∠C+∠E=180°， 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C ，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC 的方程. 解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC 的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.又因为∠2是△ABD 的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x ，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C ，所以2x=40°，解得x=20°.A BDHCE图3图5AEGFB CD图4剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.例5 如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．解:因为∠1=∠C+∠E ，∠2=∠B+∠D ，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨:此题还可以连接CD 求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想例6 如图7，在△ABC 中，已知AD 是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB 和∠ADC 的度数.分析:在△ABD 中，∠ADB 是一个内角，它等于180°－∠B －∠BAD ，故求出∠BAD 即可求出∠ADB 的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC 的度数.解:在△ABC 中，∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°－60°－45°=75°. 又∵AD 是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=21∠BAC=37.5°. 在△ABD 中，∠ADB=180°－∠B －∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°－∠C －∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.图6A D 图7数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm ，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm ，可列方程为x +2x +2x =24，解之即可.解：(1)设底边长x cm ，则腰长为2x cm x +2x +2x =24 x =4.8∴腰长=2x =2×4.8=9.6 (cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 和CE 所在直线交于H ，求∠BHC 的度数.分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.图1ACD解：∵△ABC 为斜三角形，∴△ABC 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形， （1） 当△ABC 为锐角三角形时（如图1）， ∵BD 、CE 是△ABC 的高，∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当△ABC为钝角三角形时（如图2），H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC= 90°-∠ABD=90°-45°=45°.综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.三、转化的数学思想方法：例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析：直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN的外角，∴∠1=∠B+∠D.在△AMN中，由三角形内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠E.在△ACD中，∠A+∠ACE+∠ADC=180°，∴∠A+∠ACE+∠ADC+∠3+∠4+∠ADB=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨：在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.。
专题27 角中的常见思想方法的应用(生)
专题27 角中的常见思想方法的应用【题型5 角中的整体思想】 (1)【题型6 角中的方程思想】 (3)【题型7 角中的分类讨论思想】 (4)【题型8 角中的数形结合思想】 (5)【题型5 角中的整体思想】【例5】（2022·山西·七年级期末）数学课上，李老师出示了如下题目．将一副三角板按如图1所示方式摆放，分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON，然后提出问题：求∠MON 的度数．小明与同桌小丽讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索思路将三角板分别按图2，图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线，其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON，OD，OB在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC和∠BOD相等．（1）请你直接写出计算结果：图2中∠MON的度数为______，图3中∠MON的度数为______；特例启发，解答题目（2）请你完成李老师出示的题目的解答过程；拓展结论，设计新题（3）若将李老师出示的题目中条件“分别作出∠AOC，∠BOD的平分线OM，ON”改为“分别作出射线OM，ON，使∠AOM=34∠AOC，∠DON=14∠BOD”，请你直接写出∠MON的度数．【变式5-1】（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知∠AOB 内部有三条射线，其中OE 平分角∠BOC ，OF 平分∠AOC ．（1）如图1，若∠AOB=120°，∠AOC=30°，求∠EOF 的度数？（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF 的度数，（用含α的式子表示）（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=13∠COB ，∠COF=23∠COA ，且∠AOB=α，求∠EOF 的度数．（用含α的式子表示）【变式5-2】（2022·全国·七年级）已知∠AOB ＝120∘，OC 、OD 是过点O 的射线，射线OM 、ON 分别平分∠AOC 和∠DOB ．（1）如图①，若OC 、OD 是∠AOB 的三等分线，求∠MON 的度数；（2）如图②，若∠COD ＝50∘，∠AOC ≠∠DOB ，则∠MON ＝________；（3）如图③，在∠AOB 内，若∠COD ＝α(0∘<α<60∘)，则∠MON ＝________．【变式5-3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，将一副三角板如图①所示摆放，∠AOB ＝60°，∠COD ＝45°，OM ，ON 分别平分∠AOD 、∠COB ．(1)求∠MON 的度数；(2)将图①中的三角板OCD 绕点О旋转到如图②的位置，求∠MON 的度数；(3)将图①中的三角板OCD绕点О旋转到如图③的位置，猜想∠MON的度数，并说明理由．【题型6 角中的方程思想】【例6】（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）以直线MN上点O为端点作射线OC，将直角三角板AOB的直角顶点放在点O处．(1)如图①，三角板AOB的边OB在射线ON上，若∠BOC=40°，则∠AOC=________．(2)如图②，将三角板绕点O逆时针方向转动，使得OB平分∠CON，请判断OA平分∠COM吗？并说明理由．∠AOM，则∠BON=________．（可(3)若∠CON=50°，将三角板AOB绕点O按逆时针方向转动，使得∠BOC=13用备用图．）【变式6-1】（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，已知∠AOC:∠AOB=2:7,OD是∠AOB的平分线，若∠AOC= 16°，求∠AOD的度数．【变式6-2】（2022·山东烟台·期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．(1)当∠BON=60°时，求∠COM的度数；(2)若∠AOM=2∠COM，求∠AON的度数．【变式6-3】（2022·河南郑州·七年级期末）如图，已知∠AOB=90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD =45°，OE 平分∠BOC ．(1)如图1，当∠AOC =30°时，∠DOE =_____________°；(2)如图2，当∠AOC =60°时，∠DOE =_____________°；(3)如图3，当∠AOC =α（90°<α<180°）时，求∠DOE 的度数（用α表示）；(4)由前三步的计算，当0°<∠AOC <180°时，请直接写出∠AOC 与∠DOE 的数量关系为_______________________________________．【题型7 角中的分类讨论思想】【例7】（2022·浙江金华·七年级期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．(1)如图，已知∠AOB ＝120°，若OC 是∠AOB 三等分线，求∠AOC 的度数．(2)点O 在线段AB 上（不含端点A ，B ），在直线AB 同侧作射线OC ，OD ．设∠AOC ＝3t ，∠BOD ＝5t ． ①当OC 是∠AOD 的三等分线时，求t 的值．②当OC 是∠BOD 的三等分线时，求∠BOD 的度数．【变式7-1】（2022·江苏·文昌初级中学七年级阶段练习）已知如图，∠COD=90°，直线AB 与OC 交于点B ，与OD 交于点A ，射线OE 与射线AF 交于点G.(1)若OE 平分∠BOA ，AF 平分∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °(2)若∠GOA=13∠BOA ，∠GAD=13∠BAD ，∠OBA=42°，则∠OGA= °；(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)(4)若OE 将∠BOA 分成1︰2两部分，AF 平分∠BAD ，∠ABO=α(30°<<90°) ，求∠OGA 的度数.(用含α的代数式表示)【变式7-2】（2022·江西省遂川县教育局教学研究室七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠BOC=α(0°<α<180°)，OD，OE分别是∠AOB，∠BOC的平分线．(1)如图1，当OC在OB左侧，且α=80∘时，∠DOE的度数是_________；(2)当OC的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究∠DOE的大小与α的数量关系；(3)当∠DOE的度数为36°时，请直接写出α的度数．【变式7-3】（2022·广东汕头·七年级期末）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”（1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=______；（用含α的代数式表示）；深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请求出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时的值．【题型8 角中的数形结合思想】【例8】（2022·浙江台州·七年级期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2．(1)求∠AOC ，∠BOC 的度数；(2)作射线OM 平分∠AOC ，在∠BOC 内作射线ON ，使∠BON =70°，补全图形， 并求出∠MON 的度数；(3)若存在射线OD ，使∠AOD =4∠BOD ，请直接写出所有可能的∠COD 的度数．【变式8-1】（2022·山东临沂·七年级期末）已知∠AOB 、∠COD ，射线OE 平分∠AOD ；(1)如图1，已知∠AOB =180°、∠COD =90°，若∠DOB =46°，求∠COE 的度数；(2)∠AOB 、∠COD 的位置如图2，已知∠COD =12∠AOB ，求∠COE:∠DOB 的值． 【变式8-2】（2022·全国·七年级单元测试）操作与实践：在综合与实践活动课上，老师将一副三角板按图1所示的位置摆放，分别在∠AOC ，∠BOD 的内部作射线OM ，ON ，然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON 的度数．(1)特例探究：“兴趣小组”的同学添加了：“若OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOD ”，画出如图2所示图形．小组3号同学佳佳的做法：由于图中∠AOC 与∠BOD 的和为90°，所以我们容易得到∠MOC 与∠NOD 的和，这样就能求出∠MON 的度数．请你根据佳佳的做法，写出解答过程．(2)特例探究：“发现小组”的同学添加了：“若∠MOC =13∠AOC ，∠DON =13∠BOD ”，画出如图3所示图形．小组2号同学乐乐的做法：设∠AOC 的度数为x °，我们就能用含有x °的式子表示出∠COM 和∠DON 的度数，这样就能求出∠MON 的度数，请你根据乐乐的做法，写出解答过程．(3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组”的同学添加了：“若∠MOC =1n ∠AOC ，∠DON=1∠BOD”．请你直接写出∠MON的度数．n【变式8-3】（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点O，作射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点O旋转时，∠EOF的度数如何变化．【A组研究】在同一平面内，将这副三角板的的两个锐角顶点重合（图中点O），此时∠AOB=45°，∠COD=30°将三角板OCD绕点O转动．（1）如图①，当射线OB与OC重合时，则∠EOF的度数为___________；（2）如图②，将∠COD绕着点O顺时针旋转，设∠BOC=α，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图②求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．【B组研究】在同一平面内，将这副直角三角板中的一个直角顶点和一个锐角顶点重合(图中点O)，此时∠AOB=90°，∠COD=30°，将三角板OCD绕点O转动．（3）如图③，当三角板OCD摆放在三角板AOB内部时，则∠EOF的度数为___________；（4）如图④，当三角板OCD转动到三角板AOB外部，设∠BOC=β，∠EOF的度数是否发生变化？如果不变，请根据图④求出∠EOF的度数；如果变化，请简单说明理由．。