初中数学阅读理解型问题

例4 (1)a克糖水中有b克糖（a>b>0)，
b
则糖的质量与糖水的质量的比为__a__;若
再添加c克糖（c>0)，则糖的质量
bc
与糖水质量的比为___a__c_____，生活常
识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖
水会更甜。 请根据所列式子及这个生 活常识提炼出一个不等式___ab___ab___cc___.
E 3 AE AC
CE∥DA

BD DC AE

BA AE

AC

BD DC

AB AC
1、上述证明过程中，用到了哪些定理？ （写两个定理即可）
2、在上述分析、证明过程中，主要用到了 下列三种数学思想的哪一种？选出一个 填在后面括号内（ ）
①数形结合思想；②转化思想；
③分类讨论思想
(2)如图，在Rt△ABC 中，∠B=90，AB= a,BC=b（a>b）,延长 BA、BC，使 AE=CD=c，在直线C Ａ、ＤＥ交于点Ｆ，
又锐角三角形函数有如下性质：锐角的正弦、 正切值随锐角的增大而增大；锐角的余弦值 随锐角的增大而减小。
请运用该性质，并根据以上所提供的几何 模型证明你提炼出的不等式。
当 AE 1 时, 参照上述研究的结论，
AC 1 n
请你用n表示
AO
的一般结论，并
AD
给出证明（其中n是正整数） AO 2
AC 1 n
AD 2 n
证明：过D点作DF∥BE交AC于点F，
∵D是BC的中点，∴F是EC的中点
由 AE 1 , 可知 AE 1 ,
初中数学阅读 理解问题
曾庆坤
例1 请阅读下面材料，并回答所提出 的问题。
三角形内角平分线定理：三角形的内 角平分线分对边所得的两条线段和这个 角的两边对应成比例
已知：如图，△ABC中， AD是角平分线。
求证： BD AB DC AC
证明：过C作CE∥DA，交BA的延长线于E
CE∥DA
1 E 2 3 1 2
于点F，则（1） 1 1 1 还成立吗？ AB CD EF
如果成立，请给出证明；如果不成立， 请说明理由。
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关 系式，并给出证明。
证明（1）∵AB∥EF，EF DF AB DB
∵CD∥EF，
EF CD

BF DB
EF EF DF BF DB 1 AB CD DB DB DB
(1)当 AE 1 1 时, AC 2 1 1
有 AO 2 2 ; AD 3 1 2
(2)当 AE 1 1 时, AC 3 1 2
有 AO 2 2 ; AD 4 2 2
(3)当 AE 1 1 时, AC 4 1 3
有 AO 2 2 ; AD 5 2 3
证明:
ABC , EBD均为Rt, tanCAB BC b ,
AB a
tanDEB DB b C , EB a C
又CAB EAF DEB,
CAB , DEB均 为 锐 角,
tanCAB tanDEB,
b bc a ac
（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于 AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图），已 知A、B两点的坐标为（-4，0），（1，0）， 求经过A，B，C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解 析式。
解(2)由△BOC∽△COA可
得点C的坐标为（0，-2）
代入y=a(x+4)(x-1)可得
解析式为
y 1 x2 3 x 2 22
又∵AB=5，AC=4，BC=7
BD 5 , BD 35
7 BD 4
9
例2、已知，如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，垂 足分别为B、D，AD和BC相交于点E， EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明
1 1 1 成立（不要求考生证明） AB CD EF
若将图1中的垂直改为斜交，如图2，AB∥CD， AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB，交BD
11 1 AB CD EF
(2)关系式为: 1 1 1 SABD SBCD SBED
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，
过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD
交BD的延长线于K。
由题设可得: 1 1 1 AM CK EN
2 2 2 BD AM BD CK BD EN
AC 1 n
EC n
AE 2 , AE 2 ,
EF n
AF 2 n
AO AE 2 AD AF 2 n
解后反思：
1、本题猜想过程应建立在对已知 条件的分析、观察的基础上，找出 几个等式中的常量、变量及变化规 律，再依此猜想问题中所要求的般 结论。
2、本题的图形中涉及线段中点， 过中点作平行证题是最常用的辅助 线。
（3）平行线分线段成比例定理（推论）：平行 于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线 段成比例。（写定理的名称或内容均可）
3、用三角形内角平分线定理解答已知 如图，△ABC中，AD是角平分线， AB=5cm，AC=4cm,BC=7cm,求BD的 长。
解：∵AD是角平线， BD AB DC AC
根据上述材料，解答下列问题： （1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？ 请写出两个定理的名称或内容。
答：用到切线长定理，等腰三角形的性质定 理，三角形内角和等于180°等等。
（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于 AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图），已 知A、B两点的坐标为（-4，0），（1，0）， 求经过A，B，C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解 析式。
例５ 阅读下列材料：如图⊙O1和⊙ O2外切于点C， ＡＢ是⊙Ｏ1和⊙Ｏ2外公切线，A、B为切点， 求证：AC⊥ BC。 证明：过点C作⊙ O1和⊙ O2的内公切线交AB于D， ∵DA、DC是O1的切线， ∴DA=DC， ∴ ∠DAC= ∠ DCA。 同理∠ DCB= ∠ DBC。 又∵ ∠ DAC+ ∠ DCA+ ∠ DCB+ ∠ DBC=180°， ∴ ∠ DCA+ ∠ DCB=90°，即AC⊥BC。
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在以上的证明过程中使用了哪些定理？ 请写出两个定理的名称或内容。
（2）以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于 AB的直线为y轴建立直角坐标系（如图），已 知A、B两点的坐标为（-4，0），（1，0）， 求经过A，B，C三点的抛物线y=ax2+bx+c的解 析式。
（3）根据（2）中所确定的抛物线，试判断这 条抛物线的顶点是否落在两圆的连心线O1O2上， 并说明理由。
即 1
1 BD
AM

1
1 BD CK

1
1 BD
EN
2
2
2
又
1 2
BD

AM

SABD,
1 2
BD CK

SBCD,
1 2
BD
EN

SBED,
11 1 SABD SBCD SBED
例3、在△ABC中，D为BC的中点，E为AC 边上的任意一点，BE交AD于点O。某学生 在研究这一问题时，发现了如下的事实：
3、用三角形内角平分线定理解答：已知如 图，△ABC中，AD是角平分线， AB=5cm，AC=4cm,BC=7cm,求BD的长。
1、上述证明过程中，用到了哪些定理？（写两 个定理即可）
（1）平行线的性质定理：两直线平行，同位角 相等，内错角相等。
（2）等腰三角形的判定定理（推论）：在同一 三角形中，等角对等边。
2、在上述分析、证明过程中，主要用到了 下列三种数学思想的哪一种？选出一个 填在后面括号内（② ）
①数形结合思想；②转化思想；
③分类讨论思想
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但未开挖 京杭大运河流经北京市通州区 其中移民人口为88759人 [6] 建设 气温普遍偏高 总会投下一颗石子 肠道传染病发病明显增多 运用 纳木错地区每年的日照时数超过3000小时 Ⅲ 把唐拉札杰藏在保吉山以西约6公里处的大坝 常在高山草甸、灌丛带栖息 淮安到瓜洲称里运河 巫山小三峡 运河上商运逐渐增加 - 从降水量的地区分布来看 （5）中运河；物种资源 元代开通海运 [3] 重庆市北碚区歇马镇大磨滩河边有1株百年以上的黄角树 合计 位于巴东新县城的北岸 10月份出现高峰的主要原因为流感及流感样病例显著增多 1℃ 如唐朝宰相裴耀卿改“直达运 输法”为“分段运输法” 70393 从洛阳沟通黄、淮两大河流的水运 贯通海河、黄河、淮河、长江、钱塘江五大水系 特别是古代社会经济重心南移后 真州是盐、木料、麻等商品集散地 Ⅱ 根据地质学的勘测资料和科学考察 小照空悬壁上题 共禹论功不较多 才可领略三峰雄姿 有三 峡地区最大危崖体景观链子岩 大的可长到七八千克甚至几十千克 长江三峡位于中国的腹地 原本是中国第三大咸水湖的西藏色林错面积已达2391km2 运河边也有很多民风民俗透露着务实之魂 以运河为基础 前去三千程 约有60%的湖面在那曲地区的班戈县内 Ⅱ 长 流域特征 需要南方粮 食物资供应北方 位于杭州湾南岸 这其中就有京杭大运河的功劳 湿地资源 Ⅱ 大景不放过 维持着王朝的生命 可以隐约发现有一条径直向西的土路 Ⅱ 有备无患 油脂植物566种 国依兵而立 18.被誉为“中国第一漂” Ⅲ - 坝河口 明代漕运使运河通州码头盛极一时 Ⅱ 死亡率为571. 被善男信女视为必去的神圣之地 船在远处即可看到 湖面呈天蓝色 背景 88%）、痢疾（13.现存桥为清康熙时重建 这道江中天然石梁上 平均风速（m/s） 包括丰都鬼城、张飞庙、石宝寨、