专题14 锐角三角函数(原卷版)

专题14 锐角三角函数
一．选择题（共4小题）
1．（2020•无锡）如图，在四边形ABCD 中()AB CD >，90ABC BCD ∠=∠=︒，3AB =，
BC Rt ABC ∆沿着AC 翻折得到Rt AEC ∆，若tan AED ∠=，则线段DE 的长度( )
A B C D 2．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；
（2）量得测角仪的高度CD a =；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．
利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为( )
A ．tan a b α+
B ．sin a b α+
C ．tan b a α+
D ．sin b a α
+ 3．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则sin ADC ∠的值为( )
A B C ．23 D ．32
4．（2020•镇江）如图①，5AB =，射线//AM BN ，点C 在射线BN 上，将ABC ∆沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，//PQ AB ．设AP x =，QD y =．若y 关于x 的函数图象（如图②)经过点(9,2)E ，则cos B 的值等于( )
A ．25
B ．12
C ．35
D ．710
二．填空题（共4小题）
5．（2020•苏州）如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于12
AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作//AD ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠= ．
6．（2020•泰州）如图，点P 在反比例函数3y x
=的图象上，且横坐标为1，过点P 作两条坐
标轴的平行线，与反比例函数(0)k y k x
=<的图象相交于点A 、B ，则直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为 ．
第7题 第8题 第9题 7．（2020•常州）如图，点C 在线段AB 上，且2AC BC =，分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同侧作正方形ACDE 、BCFG ，连接EC 、EG ，则tan CEG ∠= ．
8．（2020•南通）如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部5m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50︒．若测角仪的高度是1.5m ，则建筑物AB 的高度约为 m ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19)︒≈
三．解答题（共9小题）
9．（2020•南京）如图，在港口A 处的正东方向有两个相距6km 的观测点B 、C ．一艘轮船从A 处出发，沿北偏东26︒方向航行至D 处，在B 、C 处分别测得45ABD ∠=︒、37C ∠=︒．求轮船航行的距离AD ．（参考数据：sin260.44︒≈，cos260.90︒≈，tan260.49︒≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈．)
10．（2020•泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m 的A 处测得在C 处的龙舟俯角为23︒；他登高6m 到正上方的B 处测得驶至D 处的龙舟俯角为50︒，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m ，参考数据：tan230.42︒≈，tan400.84︒≈，tan50 1.19︒≈，tan67 2.36)︒≈
11．（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中
写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车O按逆时针方向每分钟转5
6
圈，
筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．
（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？
（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？
（3）若接水槽MN所在直线是O的切线，且与直线AB交于点M，8
MO m
=．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．
（参考数据：
11
cos43sin47
15
︒=︒≈，
11
sin16cos74
40
︒=︒≈，
3
sin22cos68)
8
︒=︒≈
12．（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M 处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45︒方向，爸爸在小红的北偏东60︒方向，若小红到雕塑的距离30
PM m
=，求小红与爸
爸的距离PQ．（结果精确到1m 1.41 1.73 2.45)
≈
13．（2020•盐城）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A ABC ∠的平分线BD 交AC 于
点D ，CD =，求AB 的长？
14．（2020•淮安）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，
45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7，结果精确到1千米）．
15．（2020•南通）【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD 中，5AB =，6BC =，4CD =，连接AC ．若AC AB =，求sin CAD ∠的值；
（2）如图②，凸四边形ABCD 中，AD BD =，AD BD ⊥，当2222CD CB CA +=时，判断四边形ABCD 是否为对余四边形．证明你的结论；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，点(1,0)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，四边形ABCD 是对余四边形，点E 在对余线BD 上，且位于ABC ∆内部，90AEC ABC ∠=︒+∠．设
AE u BE
=，点D 的纵坐标为t ，请直接写出u 关于t 的函数解析式．
16．（2020•镇江）如图，点E 与树AB 的根部点A 、建筑物CD 的底部点C 在一条直线上，10AC m =．小明站在点E 处观测树顶B 的仰角为30︒，他从点E 出发沿EC 方向前进6m 到
点G时，观测树顶B的仰角为45︒，此时恰好看不到建筑物CD的顶部(
D H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1)
m．（参
1.41
≈ 1.73．)
17．（2020•镇江）如图，ABCD中，ABC
∠的平分线BO交边AD于点O，4
OD=，以点O为圆心，OD长为半径作O，分别交边DA、DC于点M、N．点E在边BC上，OE交O于点G，G为MN的中点．
（1）求证：四边形ABEO为菱形；
（2）已知
1
cos
3
ABC
∠=，连接AE，当AE与O相切时，求AB的长．。