第三章 量子力学导论
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第三章 量子力学导论 15节 薛定谔方程3
三、薛定谔方程的讨论
1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态),(t r →ψ在势场 ),(t r U →中随时间变化的 规律 规律；
2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。
它的 正确性只有通过与实验结果相一致来得到证明。
3．具体的势场 ),(t r U →决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 ),(t r U → 的具体形式，只要我们知道了微观粒子初始时刻的状态),(00t r →ψ原则上说，只要通
过 薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 ),(t r →ψ。
4．薛定谔方程中有虚数单位i ，所以),(t r →ψ一般是复数形式。
),(t r →
ψ表
示概率波， 2),(t r →ψ是表示粒子在时刻t 、在空间某处出现的概率。
因而薛定谔方程所描述的态随时间变化的规律，是一种统计规律。
5．在薛定谔方程的建立中，应用了),(22
t r U p E →+=μ，所以是非相对论的结果；同 时方程不适合一切0=μ的粒子，这是方程的局限性。
第三章量子力学导论1
第三章量⼦⼒学导论1第三章：量⼦⼒学导论§1 玻尔理论的困难 §2 波粒⼆象性 §3 不确定关系 §4 波函数及其统计解释 §5 薛定谔⽅程 §6 平均值与算符 §7 量⼦⼒学对氢原⼦的处理1. 玻尔氢原⼦理论的成绩第⼀节玻尔理论的困难成功地解释了原⼦的稳定性、⼤⼩及氢原⼦光谱的规律性。
从理论上计算了⾥德伯常量；解决了近30年之久的巴⽿末公式之迷，打开了⼈们认识原⼦结构的⼤门，⽽且玻尔提出的⼀些概念，如能量量⼦化、量⼦跃迁及频率条件等，⾄今仍然是正确的。
能对类氢原⼦的光谱给予说明。
冲破了经典物理的束缚，提供了描述微观体系的新⽅法，为⼈们认识微观世界以及对量⼦理论的建⽴打下了基础。
22. 玻尔氢原⼦理论的困难不能解释多电⼦原⼦的光谱；不能解释谱线的强度和宽度；玻尔理论的⾓动量 L＝nh/2π，与实验结果不符，按量⼦⼒学，⾓动量⼤⼩ L = l (l + 1) h ；不能说明原⼦是如何组成分⼦、构成液体和固体的；在逻辑上也存在⽭盾：把微观粒⼦看成是遵守经典⼒学规律的质点，⼜赋予它们量⼦化的特征。
3第⼆节波粒⼆象性1.经典物理中的波和粒⼦在经典波中有两个结论：要⽆限精确地测准频率，就需要花费⽆限长的时间t v ≥ 1要⽆限精确地测准波长，就必须在⽆限扩展的空间中进⾏观察。
xλ ≥ λ242. 光的波粒⼆象性 2. 光的波粒⼆象性ε = hν相对论质能关系：ε = h ν = mc2光⼦的质量：hν = h m = 2 λc cm = m0 1? v2因为：/c25光⼦的动量：p = mcλh p=数联系在⼀起的。
ε = hν光的波动性（λ）和粒⼦性（p）是通过普朗克常光在传播时显⽰出波动性，在转移能量时显⽰出粒⼦性。
光既具有粒⼦性，⼜具有波动性，即具有波粒⼆象性63.德布罗意假设—微粒的波动性 3.德布罗意假设—微粒的波动性德布罗意关系式德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动和波的传播分拆开来。
第三章 量子力学导论
Δx
2φ
单缝
幕
电子双缝干涉实验
电子束
d 双缝
电子干涉、衍射 可以是单电子行为.
屏 电子波与一般的机 械波有本质的不同.
电子的干涉是自己 幕 与自己的干涉.光的
行为与电子的行为
类似！
(5) 德布罗意波和量子态
• 在此之前，玻尔用定态条件、频率条件和相应原理得到 角动量的量子化条件L=nh/2，并据此导出氢原子的第一 玻尔半径、能量和动量的量子化结果。以下介绍德布罗 意将原子中的定态和驻波联系起来，自然地得到角动量 的量子化条件。
若一个粒子的能量状态是完全确定的即e0则粒子停留在该态的时间为无限长t若粒子在能量状态e只能停留t时间则这段时间内粒子的能量状态并非完全确定它有一个弥散eht能量和时间角动量和角位移的测不准关系宏观例子
第三章 量子力学导论
19世纪末的三大发现(1895年X射线，1896年发现放射性， 1897年发现电子)为近代物理学的序幕。1900年普朗克 提出量子化概念，1905年爱因斯坦在解释光电效应时提 出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念 用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光 谱。此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌 仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释 元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。至此形成的 量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
x 0, x d
必为驻波的波节。其波长必满足
n d, n 1,2,
2
，即盒子的宽度至少为半波长。代上式至德布罗意关系式
p h
和非相对论动能公式
Ek
p2 2m
得到：
p
nh 2d
Ek
n2h2 8m d2
原子物理第三章-量子力学导论
Ψ(r,t)
u(r)f
t
u(r)e
i
Et
定态波函数
21
说明： • E是粒子的总能量，定态下与时间t无关 • 定态下的概率密度为：
ΨΨ uu
与时间无关即定态时粒子在空间的概率 分布不随时间变化
22
§3-5 算符与力学量 一、算符 (运算符号) 量子力学中每一个力学量对应一个算符
R2 (r)4 r 2dr r / a1
给定 n , l 值可求出R 2 r
40
例：相对概率 R2r2 随 r 的变化
n 1 l 0
R2r2
n 2 l 1 R2r2
123
r / a1
r a1 出现的概率最大
246
r / a1
r 4a1 出现的概率最大
41
四、氢原子问题上量子力学和玻尔理论的比较 ⒈ 理论的出发点
可解决一般结构与精细结构 可以给出谱线强度大小
准确结果
44
4. 主要结论的区别和联系
① 能量
两种理论采用不同途径得到的原子内部 的总能量是完全相同：
En
mee4
(40 )2 22
1 n2
n 1、2、3
45
②角动量
玻尔理论： P n n 1,2,3n
量子力学： Pl l(l 1) l 0, 1, 2(n 1)
d) ( d
m2
sin2
) 0
②
d 2
d 2
m2
0
③
28
二、方程的解 利用标准化条件和归一化条件得到三个方程 的解分别如下：
量子力学导论
量子力学的建立
➢ 1900年，普朗克能量量子化 ➢ 1905年，爱因斯坦光量子说 ➢ 1913年，玻尔提出原子结构模型 ➢ 1924年，德布罗意提出物质波概念 ➢ 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克 等人建立了完整的量子力学理论
量子力学的内容
1、产生新概念的一些重要实验。 2、不同于经典理论的新思想。 3、解决具体问题的方法。
§3.1、玻尔理论的困难
原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学 规律应用于微观粒子。
➢ 卢瑟福的质疑。 逻辑上的恶性循环
➢ 薛定谔的非难。
E2
h
E1
“遭透的跃迁”
玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手 无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第 二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。
电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描 述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子 波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的， 也突破了玻尔理论的局限性。
今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他 领域也有广阔的应用前景。
➢ “光电技术”领域 ➢“纳米物理与纳米技术”领域 ➢“分子器件” 小尺度发展领域 ➢“量子生物”、“量子化学”交叉学科 等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说， 量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。
海森堡
玻恩 M.Born (1882-1970) 薛定谔
狄拉克 PAUL DIRAC (1902-1984)
WERNER HEISENBERG ERWIN SCHRODINGER
(1901-1976)
(1887-1961)
5
曾谨言《量子力学导论》第二版的课后答案
)
[ (
) (
)
]
其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此
ℏ2 T= d 3 r∇ψ * ⋅ ∇ψ ∫ 2m
结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度
（3）
w=
且能量平均值
ℏ2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ψ *Vψ , 2m
第一章 1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
量子力学的诞生
⎧∞, x < 0, x > a V ( x) = ⎨ ⎩0, 0 < x < a
试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有
λ 2 ∴ λ = 2a / n a = n⋅
又据 de Broglie 关系
�
E = ∫ d 3r ⋅ w ，
（能量密度）
w=
ℏ2 ∇ψ *ψ + ψ *Vψ 2m ∂w � +∇⋅s = 0 ∂t
（b）证明能量守恒公式
2
⎞ ℏ 2 ⎛ ∂ψ * ∂ψ � ⎜ s =− ∇ψ + ∇ψ * ⎟ ⎜ ⎟ 2m ⎝ ∂ t ∂t ⎠
证： （a）粒子的能量平均值为（设ψ 已归一化）
= mh,
m = 1, 2 , 3 , ⋯
pϕ = mh ，
2 E m = pϕ / 2I = m 2 ℏ 2 / 2I ，
m = 1, 2 , 3 ,⋯
ödinger 方程 第二章 波函数与 Schr Schrö 2.1 设质量为 m 的粒子在势场 V ( r ) 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为
Chap03-量子力学导论
2017/4/13 22
mv r n
？ h
2
r
（n=1,2,……）
驻波： 2r n n h
mv 朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因 斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚啊”
2017/4/13 23
h mvr n 2
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。
2017/4/13
8
1928年，革命结束，量子力学的基础本质上已 经建立好了。 量子理论的主要创立者都是年轻人。1925年， 泡利25岁，海森堡和恩里克· 费米（Enrico Fermi） 24岁，狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器 晚成者，36岁． 创立量子力学需要新一代物理学家并不令人惊 讶，开尔文认为基本的新物理学必将出自无拘 无束的头脑。
24
四、戴维逊—革末实验
德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙－ 革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象（如图）
2017/4/13
25
实验结果 (1)当U不的上将出现极值。 (2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
15
我去过 吗？？
E2
E1
2017/4/13
玻尔
这一理论是十分初步的，许多问题还没有解决
玻尔理论困难的根源
把微观粒子看做经 典力学中的质点
把经典力学的规律用于 微观粒子
根本解决途径：用全量子的观点看世界！
2017/4/13 16
§3.2
波粒二象性
mv r n
？ h
2
r
（n=1,2,……）
驻波： 2r n n h
mv 朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因 斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角” “瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚啊”
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经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注。
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1928年，革命结束，量子力学的基础本质上已 经建立好了。 量子理论的主要创立者都是年轻人。1925年， 泡利25岁，海森堡和恩里克· 费米（Enrico Fermi） 24岁，狄拉克和约当23岁。薛定谔是一个大器 晚成者，36岁． 创立量子力学需要新一代物理学家并不令人惊 讶，开尔文认为基本的新物理学必将出自无拘 无束的头脑。
24
四、戴维逊—革末实验
德布罗意指出由于实物粒子的波粒二象性，当加速后的电 子穿过晶体时，将会发生电子波的衍射现象，1925年戴维孙－ 革末在一次偶然的事故中将镍单晶化，电子穿过镍单晶时，观 察到电子的衍射图象（如图）
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实验结果 (1)当U不的上将出现极值。 (2)当不变时，I与U的 关系如图 当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
15
我去过 吗？？
E2
E1
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玻尔
这一理论是十分初步的，许多问题还没有解决
玻尔理论困难的根源
把微观粒子看做经 典力学中的质点
把经典力学的规律用于 微观粒子
根本解决途径：用全量子的观点看世界！
2017/4/13 16
§3.2
波粒二象性
第三章量子力学导论教材
随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分 子都具有波动性。 1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图
五 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼格和瑞士人罗雷尔制成了扫 描隧道显微镜。 他们三人获1986年诺贝尔物理 奖。
第三节 不确定关系
海森堡（W.K.Heisenberg， 1901--1976）德国理论物理学家。 他在1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，于26岁时提出 的不确定关系和物质波的概率解 释，奠定了量子力学的基础。为 此，他于1932年获诺贝尔物理学 奖。
4 德布罗意波的实验证明
（1） 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
K
电子束
M
电子枪 检测器
G
散 射 线
电子被镍晶体衍射实验
将54eV电子束（λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按
布喇格衍射公式， 2d sin n, d a sin,
取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 50.9 0 ,
玻尔曾用过的角动量 量子化条件。
mvr n h n
2
（2）把
p
nh
2r
n r
代入氢原子总能量表达式
E
p2 2m
e2
4 r
n22 2mr 2
e2
4 r
由dE / dr 0 给出
rn
2 m
4
e2
n2
a1n2
0.053 n2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后 的运动位置就可确定。但微观粒子，具有显著的 波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波 粒二象性包含更深层的物理含义。
五 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼格和瑞士人罗雷尔制成了扫 描隧道显微镜。 他们三人获1986年诺贝尔物理 奖。
第三节 不确定关系
海森堡（W.K.Heisenberg， 1901--1976）德国理论物理学家。 他在1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，于26岁时提出 的不确定关系和物质波的概率解 释，奠定了量子力学的基础。为 此，他于1932年获诺贝尔物理学 奖。
4 德布罗意波的实验证明
（1） 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
K
电子束
M
电子枪 检测器
G
散 射 线
电子被镍晶体衍射实验
将54eV电子束（λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按
布喇格衍射公式， 2d sin n, d a sin,
取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 50.9 0 ,
玻尔曾用过的角动量 量子化条件。
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（2）把
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代入氢原子总能量表达式
E
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由dE / dr 0 给出
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4
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0.053 n2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后 的运动位置就可确定。但微观粒子，具有显著的 波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波 粒二象性包含更深层的物理含义。
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x
b ph
y
o
ph
因为电子具有波动性，单 逢衍射后可以出现在衍射
电子的单缝衍射实验
强度不为零的任何地方，所以在 x 方向上的动量也 是不确定的。
如果只考虑出现在中央 主极大区域的电子
电子经过缝后 x 方向 动量 不p确x定psinpb
h p
px
h b
x
五 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼格和瑞士人罗雷尔制成了扫 描隧道显微镜。 他们三人获1986年诺贝尔物理 奖。
第三节 不确定关系
海森堡（W.K.Heisenberg， 1901--1976）德国理论物理学家。 他在1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，于26岁时提出 的不确定关系和物质波的概率解 释，奠定了量子力学的基础。为 此，他于1932年获诺贝尔物理学 奖。
观点，物质波来回反射形成驻 波，驻波波长满足
dn/2n/h 2p
于是粒子的动量
pnh/2d
动能
Ekp2/2mn2h2/8m2d
可见匣中的粒子的动量和能 量都是量子化的，定域的波必 然导致量子化行为。
4 德布罗意波的实验证明
（1） 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
K
电子枪 检测器
电子束
2
（2）把
p
nh
2r
n 代入氢原子总能量表达式
r
E2pm 24e2r2nm 222r4e2r
由 dE /d r0 给出
rn m 24 e2n2a1n20.05 n3 2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
（3）考虑在刚性匣子中的运动粒子（如图）
粒子在匣中的动能为 1/2mv2 ，
运动周期为2d/v，按照物质波的
3. 德布罗意关系式的应用
(1)若将德布罗意关系式应用在氢原子上，原子定态假 设便和驻波联系起来，十分自然地给出角动量量子化 条件。电子要想作稳定运动，电子回转一周的周长应 为其波长整数倍，即
2rnnhnh, n1,2
p m v
于 是有
mvrn h n
2
玻尔曾用过的角动量 量子化条件。
mvrn h n
经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后 的运动位置就可确定。但微观粒子，具有显著的 波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波 粒二象性包含更深层的物理含义。
用电子衍射说明不确定关系
中央主极大半角
sinb
电子经过缝时的位置
不确定 xb。
电子通过单缝后动量保 持不变，在 x方向上的动 量 只取决于它的出射角，
理论 基础
原子核式结构模型； 普朗克量子假 说； 爱因斯坦光子假说。
二、玻尔理论的困难
1、只能计算氢原子和类氢离子的光谱线的 频率，对于多于一个电子的氦原子。理 论完全不适 用，且不能计算谱线的强度。
2、角动量量子化条件 p n 与现代实验结
果不符，只是人们的假 设，无理论根据。
3、轨道的概念不正确。
1盾的假
设。另一方面又认为经典理论（牛顿定
律、库仑定律）适用。所以不是一贯的
原
量子理论，也不是一贯的经典理论，而 是量子论 + 经典理论的混合物。
因 2、没有抓住微观粒子的根本特性：波粒
二象性，仍然把微观粒子看作经典理 论中的质点。更完整、更准确的、应 用面更广的关于原子的理论是1925年 建立起来的量子力学。
vc m h 0v9.16 1.6 0 3 3 1 18 .0 4 34160nm
8.6 71 0 2nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当。
例2: 质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运 动，试比较电子与人的德波波长。
解 ： 6.6310348.81037m
5015
电子的德波波长与 X 射线接近，而人的德波波长 仪器观测不到，宏观物体的波动性不必考虑，只 考虑其粒子性。
“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研 究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物 理论上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关 于‘粒子’的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的 图象呢？”
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 。
h p
Eh
德布罗意公式
h h
p mv
E mc2
hh
第二节 波粒二象性
1. 光的波粒二象性
• 光的本性的认识
• 爱因斯坦的观点
E h Ph/ k
• 康普顿散射表明光在传播时显示出波动性， 在转移能量时显示出粒子性。
2. 德布罗意假设
法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
思想方法 自然界在许多方面都 是明显地对称的，他采用类比的 方法提出物质波的假设。
注意
1）若 vc 则 mm0
若 v c则 m m 0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性。
例1 在一束电子中，电子的动能为200eV，求此电
子的德布罗意波长 ？
解 vc, Ek12m0v2
v 2Ek m0
v 2 2 9 .1 0 1 1 .6 0 3 0 11 1 0 m 9s 1 8 .4 16 m 0 s-1
G
散
M
射
线
电子被镍晶体衍射实验
将54eV电子束（λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按
布喇格衍射公式， 2 dsin n ,dasi,n
取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 50.90,
它比实验测值(θ =50o)差不到1度。
（2 ） G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
第一节 波尔理论的困难
一、玻尔理论的成功之处
（1）应用于氢原子和类氢离子光谱时，理论计 算与实验测量结果符合得很好。 （2）里德堡常数的理论值与实验值符合极好。 R实=10967758m-1，R理=10973731m-1。 （3）原子定态假设至今有效。
（4）辐射频率法则是正确的。
原因
实验 基础
光谱实验规律； 黑体辐射实验； 光电效应实验。
电子束透过多晶铝箔的衍射
D
P
K
U
M
1927年 G.P.汤姆孙（J.J.汤姆孙之子） 也独立完 成了电子衍射实验。与 C.J.戴维孙共获 1937 年诺 贝尔物理学奖。
德布罗意假设被证实，获1929年诺贝尔物理奖。
随后人们从实验还发现质子、中子、原子、分 子都具有波动性。 1961年约恩还给出了电子的单缝和多缝衍射图