北京四中九年级(上)开学数学试卷
2023-2024学年北京四中九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（ ）A．36°B．33°C．30°D．27°3．（2分）抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的对称轴是直线（ ）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣3D．x＝34．（2分）关于x的一元二次方程4x2+（4m+1）x+m2＝0有实数根，则m的最小整数值为（ ）A．1B．0C．﹣1D．﹣25．（2分）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）A．A，B，C都不在B．只有BC．只有A，C D．A，B，C6．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的度数为（ ）A．40°B．70°C．80°D．75°7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝x2﹣2ax+4．若A（a﹣1，y1），B （a，y2），C（a+2，y3）为抛物线上三点，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2分）在一化学实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a1，a2，a3．我们规定该实验的“最佳实验数据”a是这样一个数值：a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小．依此规定，则a＝（ ）A．a1+a2+a3B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）如图，AB为⊙O的切线，切点为点A，BO交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ABO的度数是32°，则∠ADC的度数是 ．10．（2分）若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 ．11．（2分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O 的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 ．12．（2分）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 m．13．（2分）如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为 ．14．（2分）某学校有一个矩形小花园，花园长20米，宽18米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306平方米，设雨道的宽为x米，根据题意可列方程为 ．15．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 ．①abc＞0；②a+b+c＝2；③b＞2a；④b＞1．16．（2分）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是 ．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．（6分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）x2﹣1＝2（x+1）．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C （﹣3，3）．（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 ．19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求线段DE的长度．21．（5分）“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一．即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：⊙O（纸片），其半径为r．求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．作法：①如图1，取⊙O的直径AB，作射线BA，过点A作AB的垂线l；②如图2，以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C；③将纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处；④取CB'的中点M，以点M为圆心，MC长为半径画半圆，交射线BA于点E；⑤以AE为边作正方形AEFG．正方形AEFG即为所求．根据上述作图步骤，完成下列填空：（1）由①可知，直线l为⊙O的切线，其依据是 ．（2）由②③可知，AC＝r，AB'＝πr，则MC＝ ，MA＝ （用含r的代数式表示）．（3）连接ME，在Rt△AME中，根据AM2+AE2＝EM2，可计算得AE2＝ （用含r的代数式表示）．由此可得S正方形AEFG＝S⊙O．22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B （3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围；（3）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．23．（5分）如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA交CA 延长线于点D，连接BC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AC＝，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．24．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1 直发式x（dm）024********…y（dm） 3.84 3.964 3.96m 3.64 2.56 1.44…表2 间发式x（dm）024681012141618…y（dm） 3.36n 1.680.840 1.40 2.403 3.203…根据以上信息，回答问题：（1）表格中m＝ ，n＝ ；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．25．（6分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝5cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD．小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 AC/cm0.10.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD/cm0.10.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD/cm0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.80.5在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD＞DF时，AC的长度的取值范围是 ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B．（1）若AB∥x轴，求抛物线的解析式；（2）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x P，y P），都有y P≥﹣3，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB上一点．过点D作DE⊥AC 于点E，过点D作DF⊥BC于点F，G为直线BC上一点，连接GE，M为线段GE的中点．连接MD，MF，将线段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为D'．（1）①在图1中将图形补充完整；②求∠FMD'的度数．（2）如图2所示，，当点G，M，D′在一条直线上时，请直接写出∠GFM 的度数．28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为．对于平面内一点A，若存在边长为1的等边△ABC，满足点B在⊙O上，且OC≥OA，则称点A为⊙O的“近心点”，点C为⊙O的“远心点”．（1）下列各点：D（﹣3，0），，，中，⊙O 的“近心点”有 ；（2）设点O与⊙O的“远心点”之间的距离为d，求d的取值范围；（3）直线分别交x，y轴于点M，M，且线段MN上任意一点都是⊙O的“近心点”，请直接写出b的取值范围．2023-2024学年北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．【解答】解：连接BD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∵∠BCD＝54°，∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，∴∠A＝∠D＝36°．故选：A．3．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x＝＝1．故选：B．4．【解答】解：∵4x2+（4m+1）x+m2＝0，∴Δ＝（4m+1）2﹣16m2＝16m2+8m+1﹣16m2＝8m+1，∵有实数根，∴8m+1≥0，∴，∴最小整数值为0．故选：B．5．【解答】解：∵AB＝300m，BC＝400m，AC＝500m，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵点D是斜边AC的中点，∴AD＝CD＝250m，BD＝AC＝250m，∵250＜300，∴点A、B、C都在圆内，∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．故选：D．6．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，∴∠DAB＝40°，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠ADE＝70°，故选：B．7．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+4的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∴A（a﹣1，y1）到对称轴的距离为1，B（a，y2）点为顶点，C（a+2，y3）点到对称轴的距离为2，∴y2＜y1＜y3．故选：D．8．【解答】解：根据题意：要使a与各数据a1，a2，a3差的平方和M最小，这M应是方差；根据方差的定义，a应该为a1，a2，a3的平均数；故a＝．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∵∠ABO＝32°，∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案为：29°．10．【解答】解：如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，∵多边形ABCD是正六边形，∴∠OAD＝60°，∴OD＝OA•sin∠OAB＝4×＝2．故答案为：2．11．【解答】解：由切线长定理得，BF＝BG，CM＝CG，DF＝DN，EN＝EM，∴BF+CM＝BG+GC＝BC＝9，∴AF+AM＝25﹣9﹣9＝7，△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EM＝AF+AM＝7，故答案为：7．12．【解答】解：设圆的半径为r m，由题意可知，DF＝CD＝m，EF＝2.5m，Rt△OFD中，OF＝，r+OF＝2.5，所以+r＝2.5，解得r＝1.3．故答案为：1.3．13．【解答】解：由勾股定理得，，则OC2+OD2＝CD2，∴∠COD＝90°，∵四边形OACB是正方形，∴∠COB＝45°，∴，，，∴阴影部分的面积为．故答案为：．14．【解答】解：∵花园长20米，宽18米，且雨道的宽为x米，∴种植花卉的部分可合成长为（20﹣2x）米，宽为（18﹣x）米的矩形．根据题意得：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．故答案为：（20﹣2x）（18﹣x）＝306．15．【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x＝﹣＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故①错误，不符合题意；②当x＝1时，函数值为2，∴a+b+c＝2；故②正确，符合题意；③∵对称轴直线x＝﹣＞﹣1，a＞0，∴2a＞b，故③错误，不符合题意；④当x＝﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又∵a+b+c＝2，将a+c＝2﹣b代入（1），2﹣2b＜0，∴b＞1故④正确，符合题意；综上所述，其中正确的结论是②④；故答案为：②④．16．【解答】解：令y＝x2﹣4＝0，则x＝±4，故点B（4，0），设圆的半径为r，则r＝2，连接PB，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝3.5，故答案为：3.5．三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23题每题5分，第27题7分）17．【解答】解：（1）x2﹣2x+1＝0，∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝8＞0，∴x＝＝±，所以x1＝+，x2＝﹣；（2）x2﹣1＝2（x+1）．（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，x+1＝0或x﹣1﹣2＝0，所以x1＝﹣1，x2＝3．18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，交于点P，∴旋转中心的坐标为（2，1）．故答案为：（2，1）．19．【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，∴Δ＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2+8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）解：△ABC为等腰三角形，∴有a＝b＝6、a＝c＝6或b＝c三种情况，①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0，解得k＝3或k＝5，当k＝3时，方程为x2﹣10x+24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的三边长为4、6、6，当k＝5时，方程为x2﹣16x+60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的三边长为6、6、10，②当b＝c时，则方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣1）2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．还可采取以下方法：由x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0得到（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0，解得x＝2k或k+1，当a＝b＝2k＝6时，则a＝b＝6，k＝3，此时，三角形的边长为6，6，4；当a＝c＝k+1＝6时，则a＝c＝6，k＝5，则x＝2k＝10＝b，此时，三角形的边长为6，6，10；当b＝c时，即2k＝k+1，解得k＝1，则b＝c＝2，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去）∴综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．20．【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝6．∵AB＝3AD，∴AD＝2，BD＝4．由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∴DE2＝BE2+BD2，∴DE＝＝2．21．【解答】解：（1）∵l⊥OA于点A，OA为⊙O的半径，∴直线l为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）∵以点A为圆心，AO长为半径画弧交直线l于点C，∴AC＝r．∵纸片⊙O沿着直线l向右无滑动地滚动半周，使点A，B分别落在对应的A'，B'处，∴AB'＝＝πr，∴CB′＝CA+AB′＝r+πr＝（π+1）r．∵M为CB′的中点，∴MC＝CB′＝．∴MA＝MC﹣AC＝﹣r＝．故答案为：；；（3）连接ME，如图，则ME＝MC＝．在Rt△AME中，∵AM2+AE2＝EM2，∴AE2＝EM2﹣AM2＝﹣＝[][]＝πr×r＝πr2．∴S正方形AEFG＝S⊙O．故答案为：πr2．22．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）﹣1≤y≤3．理由如下：当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝0；又y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，即x＝2时，y有最小值﹣1，∴当0≤x≤3时，y的取值范围为：﹣1≤y≤3；（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b（k≠0），∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），又∵B（3，0），∴，解得，所以直线BC的表达式为y＝﹣x+3；抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x＝＝＝2，当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝﹣1，故顶点坐标为（2，﹣1），画出函数图象如图，∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），∴y1＝y2，∴x1+x2＝4．令y＝﹣1，代入BC的解析式y＝﹣x+3，得x＝4．∵x1＜x2＜x3，∴3＜x3＜4，∴7＜x1+x2+x3＜8．23．【解答】（1）证明：连接OB，如图．∵OA＝OB，∠OAB＝45°，∴∠1＝∠OAB＝45°，∵AO∥DB，∴∠2＝∠OAB＝45°，∴∠1+∠2＝90°，∴BD⊥OB于B，又∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；（2）解：作OE⊥AC于点E．∵OE⊥AC，AC＝4，∴AE＝＝2．∵∠BAC＝75°，∠OAB＝45°，∴∠3＝∠BAC﹣∠OAB＝30°．∴在Rt△OAE中，OA＝＝＝4．24．【解答】解：（1）由抛物线的对称性及已知表1中的数据可知：m＝3.84；在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设这条直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，3.36）、（8，0）代入，得，解得：，∴这条直线的解析式为y＝﹣0.42x+3.36，当x＝2时，y＝﹣0.42×2+3.36＝2.52，表格2中，n＝2.52；故答案为：3.84，2.52；（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为（4，4），∴设此抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a＜0），把（0，3.84）代入，得3.84＝a（0﹣4）2+4，解得：α＝﹣0.01，∴“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y＝﹣0.01（x﹣4）2+4；（3）当y＝0时，0＝﹣0.01（x﹣4）2+4，解得：x1＝﹣16（舍去），x2＝24，∴“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1＝24；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为（16，3.20），∴设这条抛物线的解析式为y＝m（x﹣16）2+3.2 （m＜0），把（8，0）代入，得0＝m（8﹣16）2+3.2，解得：m＝﹣0.05，∴这条抛物线的解析式为y＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，当y＝0时，0＝﹣0.05（x﹣16）2+3.2，解得：x1＝8，x2＝24，∴d2＝24dm，∴d1＝d2，故答案为：＝．25．【解答】解：（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数．故答案为：AC，CD，FD．（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm．故答案为：3.5cm＜x＜5cm．26．【解答】解：（1）若AB∥x轴，则A、B关于抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）的对称轴对称，∵抛物线y＝ax2﹣2a2x﹣3（a≠0）与y轴交于点A，与直线x＝﹣4交于点B，∴A（0，3），∴B（﹣4，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，∴a＝＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣3；（2）当x＝﹣4时，y＝8a2+16a﹣3，∵y P≥﹣3，∴8a2+16a﹣3≥﹣3，a2+2a≥0，a（a+2）≥0，∴或，解得：a＞0或a≤﹣2；综上所述：a的取值范围是a＞0或a≤﹣2．27．【解答】（1）①补全图形如图1.1；②延长FM、DE，相交于H，如图1.2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠D'DF＝135°，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠C＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE∥FC，∴∠H＝∠MFG，∵M为EG中点，∴EM＝GM，∵∠FMG＝∠HME，∴△FMG≌△HME（AAS），∴HM＝FM，∵△FDH是直角三角形，∴DM＝HM＝FM，由题意得：MD＝MD′，∴DM＝D′M＝FM，∴∠MDD′＝∠MD′D，∠MDF＝∠MFD，∴∠FMD′＝360°﹣∠MDD′﹣∠MD′D﹣∠MDF﹣∠MFD＝360°﹣2∠D′DF＝360°﹣2×135°＝90°，即∠FMD'＝90°；（2）∠GFM的度数为15°或75°．理由如下：分两种情况讨论：①如图2.1，连接EF，∵DE＝DF，在Rt△DEF中，tan∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，∴∠EFC＝30°，由（1）得：∠FMD'＝90°，∴FM⊥EG，∵M为线段GE的中点，∴FM垂直平分EG，∴∠GFM＝∠EFC＝15°；②如图2.2，同①可得：∠GFM＝∠EFC＝（180°﹣30°）＝75°．综上，∠GFM的度数为15°或75°．28．【解答】解：（1）如下图，观察图形可知，∴⊙O的“近心点”有F，G，故答案为：F，G；（2）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当O．B，C在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“远心点“C之间的距离最大，此时OC＝OB+BC＝+1；当A'C'⊥x轴时，点O与⊙O的“远心点”C之间的距离最小，设A'C'与x轴交于点K，∵BC'＝BA'，∴A'K＝C'K＝A'C'＝，∴BK＝＝＝，∴OK＝OB﹣BK＝＝，∴OC'＝＝＝1，综上所述，点O与⊙O的“远心点“之间的距离d的取值范围为：1≤d≤+1；（3）如图，设点B在⊙O与x轴交点，即B（，0），根据题意，等边△ABC的顶点A，C在以B为圆心，以1为半径的圆上，当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大，设AC与x轴交于点G，∵BC＝BA，∴AG＝CG＝AC＝，∴BG＝＝＝，∴OG＝OB+BG＝+＝，∴OA＝＝＝，当O．，A'，C'在同一直线上，即C也位于x轴上时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最小，此时OA'＝OB+A'B＝﹣1，点O与⊙O的“近心点”之间的距离d的取值范围为﹣l≤d≤；对于直线y＝﹣x+b，令x＝0，则y＝b，即N（0，b），令y＝0，则有0＝﹣+6，解得x＝b，M（b，0）；如下图，当b取最大值时，有b＝，解得b＝，当b取最小值时，过点O作OH⊥MN，垂足为H，此时OH＝﹣1，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝b，ON＝b，∴MN＝＝2b，∵S△OMN＝OM•ON＝MN•OH，∴，解得b＝2﹣，∴b的取值范围为2﹣≤b≤．。
2024-2025学年北京四中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】
学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………2024-2025学年北京四中学九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）实数a 、b 在数轴上对应的位置如图所示，则22(a 1)(1b)---等于()A ．2a b --B ．a b 2+-C ．a b -D ．b a -2、（4分）若分式23x +有意义，则x 的取值范围为（）A ．3x ≠-B ．3x ≠C ．0x ≠D ．3x ≠±3、（4分）已知点P （a ，m ），Q （b ，n ）是反比例函数y 2x =图象上两个不同的点，则下列说法不正确的是（）A ．am =2B ．若a +b =0，则m +n =0C ．若b =3a ，则n 13=m D ．若a ＜b ，则m ＞n 4、（4分）方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（）A ．1﹣B ．C ．﹣1+D ．5、（4分）用配方法解方程x 2﹣8x+7＝0，配方后可得()A ．(x ﹣4)2＝9B ．(x ﹣4)2＝23C ．(x ﹣4)2＝16D ．(x+4)2＝96、（4分）如图，M 是ABC ∆的边BC 的中点，AN 平分BAC ∠，BN AN ⊥于点N ，延长BN 交AC 于点B ，已知10AB =,15BC =，4MN =，则ABC ∆的周长是（）A ．43B ．42C ．41D ．407、（4分）如图，正方形ABCD ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，BG ⊥EF ，点G 为垂足，AB =5，AE =1，CF =2，则BG 的长为（）A B ．5C ．235D ．2158、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形AOB ，∠OAB ＝90°，直角边AO 在x 轴上，且AO ＝1．将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O ＝2AO ，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O ＝2A 1O ……依此规律，得到等腰直角三角形A 22OB 22．则点B 22的坐标（）A ．（222，－222）B ．（22016，－22016）C ．（222，222）D ．（22016，22016）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若分式1x x 值为0，则x 的值为__________．10、（4分）在矩形纸片ABCD 中，AB=5,AD=13.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A¢处，折痕为PQ ，当点A¢在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A¢在BC 边上可移动的最大距离为_________．11、（4分）在平面直角坐标系中有一点()5,12P -，则点P 到原点O 的距离是________．12、（4分）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若CD ＝3cm ，△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则四边形ABCD 的周长＝______cm ．13、（4分）在反比例函数3k y x -=图象的毎一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解方程：(1)9x 2＝(x ﹣1)2(2)34x 2﹣2x ﹣12＝015、（8分）某单位计划在暑假阴间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客七五折优惠.设该单位参加旅游的人数是x 人.选择甲旅行社时，所需费用为1y 元，选择乙旅行社时，所需费用为2y 元.（1）写出甲旅行社收费1y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的关系式.（2）写出乙旅行社收费2y （元）与参加旅游的人数x （人）之间的关系式.（3）该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？16、（8分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）17、（10分）按要求解不等式（组）（1）求不等式2132135+-≤+x x 的非负整数解．（2）解不等式组2(3)45121123x x x x -<⎧⎪-+⎨-≤⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．18、（10分）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．组别身高(cm )A x<150B 150≤x ＜155C 155≤x ＜160D 160≤x ＜165E x≥165根据图表中提供的信息，回答下列问题：(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组(填组别序号)，女生身高在B 组的人数有________人；(2)在样本中，身高在150≤x ＜155之间的人数共有________人，身高人数最多的在________组(填组别序号)；(3)已知该校共有男生500人、女生480人，请估计身高在155≤x ＜165之间的学生有多少人B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n =．20、（4分）化简226xy x y =______.21、（4分）函数y ＝2x x 中，自变量x 的取值范围是_____．22、（4分）如图，ABC ∆的面积为362cm ,边12BC =cm ，矩形DEFG 的顶点D 、G 分别在AB 、AC 上，EF 在BC 上，若=2EF DE ，则DG =______cm.23、（4分）如图，将平行四边形ABCD 折叠，使顶点D 恰好落在AB 边上的点M 处，折痕为AN ，有以下四个结论①MN ∥BC ；②MN=AM ；③四边形MNCB 是矩形；④四边形MADN 是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，四边形中，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求四边形的面积.25、（10分）如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠>，D 是AC 的中点，过点A 作直线//l BC ，过点D 的直线EF 交BC 的延长线于点E ，交直线l 于点F ，连接AE 、CF ．（1）求证：①ADF ≌CDE △；②AE FC =；（2）若260CDE B ∠=∠=，试判断四边形AFCE 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）若EF AC ⊥，探索：是否存在这样的B Ð能使四边形AFCE 成为正方形？若能，求出满足条件时的B Ð的度数；若不能，请说明理由．26、（12分）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、A 【解析】直接利用数轴得出10a -<，10b -<，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：10a -<，10b -<，则原式()112a b a b =---=--．故选A ．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项的符号是解题关键．2、A 【解析】直接利用分式有意义的条件即分母不为零，进而得出答案．【详解】解：∵分式23x +有意义，∴x+1≠0，解得：x≠-1．故选A ．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．3、D 【解析】根据题意得：am=bn=2，将B ，C 选项代入可判断，根据反比例函数图象的性质可直接判断D 是错误的．【详解】∵点P(a ，m)，Q(b ，n)是反比例函数y 2x =图象上两个不同的点，∴am=bn=2，若a+b=0，则a=﹣b ，∴﹣bm=bn ，∴﹣m=n 即m+n=0，若b=3a ，∴am=3an ，∴n 13 m ，故A ，B ，C 正确，若a ＜0＜b ，则m ＜0，n ＞0，∴m ＜n ，故D 是错误的，故选D ．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是灵活运用反比例函数图象的性质解决问题．4、D 【解析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．【详解】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝，所以x 1＝，x 2＝．故选：D ．本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．5、A【解析】首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【详解】解：x 2﹣8x+7＝0，x 2﹣8x ＝﹣7，x 2﹣8x+16＝﹣7+16，(x ﹣4)2＝9，故选：A ．本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6、A 【解析】证明△ABN ≌△ADN ，得到AD=AB=10，BN=DN ，根据三角形中位线定理求出CD ，计算即可．【详解】解：在△ABN 和△ADN 中，12AN AN ANB AND ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABN ≌△ADN ，∴AD=AB=10，BN=DN ，∵M 是△ABC 的边BC 的中点，BN=DN ，∴CD=2MN=8，∴△ABC 的周长=AB+BC+CA=43，故选A ．本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7、C【解析】如图，连接BE 、BF ．首先利用勾股定理求出EF ，再根据S △BEF =12•EF•BG=S 正方形ABCD -S △ABE -S △BCF -S △DEF ，列出方程即可解决问题．【详解】如图，连接BE 、BF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=5，∵AE=1，CF=2，∴DE=4，DF=3，∴=5，∵S △BEF =12•EF•BG=S 正方形ABCD -S △ABE -S △BCF -S △DEF ，∴12•5•BG=25-12•5•1-12•5•2-12•3•4，∴BG=235，故选C ．本题考查正方形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用分割法求三角形面积，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．8、A 【解析】∵将Rt △AOB 绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A 1OB 1，且A 1O=2AO ，A 1B 1=OA 1，再将Rt △A 1OB 1绕原点O 顺时针旋转90°得到等腰三角形A 2OB 2，且A 2O=2A 1O ，A 2B 2=A 2O …，依此规律，∴每4次循环一周，B 1（2，﹣2），B 2（﹣4，-4），B 3（-8，8），B 4（16，16），∵22÷4=504…1，∴点B 22与B 1同在第四象限，∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，∴点B 22（222，-222），故选A.【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，得出B 点坐标变化规律是解题关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、-1【解析】根据分式值为0的条件进行求解即可.【详解】由题意得，x+1=0，解得x=-1，故答案为：-1.本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0时，分子为0且分母不为0是解题的关键.10、1【解析】如图1，当点D 与点Q 重合时，根据翻折对称性可得A′D=AD=13，在Rt △A′CD 中，A′D 2=A′C 2+CD 2，即132=（13-A′B ）2+52，解得A′B=1，如图2，当点P 与点B 重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=5，∵5-1=1，∴点A′在BC 边上可移动的最大距离为1．11、13【解析】根据点的坐标利用勾股定理，即可求出点P 到原点的距离【详解】解：在平面直角坐标系中，点P 到原点O 13=，故答案为：13.本题主要考查学生对勾股定理和点的坐标的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.12、16【解析】根据条件可得：四边形ABCD 是平行四边形，得OA OC =，根据△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，可得BC 的长，求解即可．【详解】∵四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ∴四边形ABCD 是平行四边形∴OA=OC,AB=CD=3∵△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ∴OB+OC+BC=OB+OA+AB+2∴BC=AB+2=5∴四边形ABCD 的周长:5+5+3+3=16(cm)故答案为：16本题考查了平行四边形边长的问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．13、3k >【解析】根据反比例函数中，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，可得k-3>0，解可得k 的取值范围．【详解】根据题意,在反比例函数3k y x -=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，即可得k−3>0，解得k>3.故答案为：k>3此题考查反比例函数的性质，解题关键在于当反比例函数的系数大于0时得到k-3>0三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）112x =-，214x =；（2）143x =，243x -=．【解析】（1）利用因式分解法即可解答（2）先将分数化为整数，再利用判别式进行计算即可【详解】（1）229(1)x x =-229(1)0x x --=，则(31)(31)0x x x x +--+=，故(41)(21)0x x -+=，解得：112x =-，214x =；（2）2312042x x --=则23820x x --=，△246424880b ab =-=+=>，则86x =，解得：1x =，2x =．此题考查解一元二次方程-因式分解法和判别式，掌握运算法则是解题关键15、（1）12000.7140y x x =⨯=；（2）22000.75(1)150(1)y x x =⨯-=-；（3）当人数为15人时，两家均可选择，当人数在1014x 之间时选择乙旅行社，当人数1625x 时，选择甲旅行社，见解析.【解析】（1）根据甲旅行社的优惠方式，可计算出y 1与x 之间的关系．（2）根据乙旅行社的优惠方式，可计算出y 2与x 之间的关系．（3）根据（1）（2）的表达式，利用不等式的知识可得出人数多少克选择旅行社．【详解】（1）12000.7140y x x =⨯=；（2）根据乙旅行社的优惠方式；22000.75(1)150(1)y x x =⨯-=-；（3）①甲社总费用=乙社总费用的情况，此时140150(1)x x =-，解得：15x =；即当15x =时，两家费用一样．②甲社总费用多于乙社总费用的情况：140150(1)x x >-，解不等式得：15x <，即当1014x 时，乙旅行社费用较低．③甲社总费用少于乙社总费用的情况，此时140150(1)x x <-解得：15x >即当1625x 时，甲旅行社费用较低．答：当人数为15人时，两家均可选择，当人数在1014x 之间时选择乙旅行社，当人数1625x 时，选择甲旅行社．此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是得出甲乙旅行社收费与人数之间的关系式，利用不等式的知识解答，难度一般．16、（1）证明见解析；（2）四边形EFGH 是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH 是正方形.【解析】（1）如图1中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH=FG 即可．（2）四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC=BD ，再证明EF=FG 即可．（3）四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP=∠BDP ，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图1中，连接BD ．∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH=12BD ，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD．∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=12AC，FG=12BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．考点：平行四边形的判定与性质；中点四边形．17、（1）非负整数解为1、2、3、4；（2）-3＜x≤1，数轴上表示见解析【解析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】（1）5（2x+1）≤3（3x-2）+15，10x+5≤9x-6+15，10x-9x≤-6+15-5，x≤4，则不等式的非负整数解为1、2、3、4；（2）解不等式2（x-3）＜4x ，得：x ＞-3，解不等式，得：x≤1，则不等式组的解集为-3＜x≤1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18、（1）D ；12；（2）16；C ；（3）身高在155≤x ＜165之间的学生约有541人．【解析】从频数分布直方图可得到男生的总人数，则中位数是第20、21个人身高的平均数，女生与男生人数相同，由此可得到题（1）的答案；结合上步所得以及各组的人数可求出身高在150≤x ＜155的总人数和身高最多的组别，从而解决（2）；对于（3），可根据两幅统计图得到男女生身高在155≤x ＜165之间的学生的百分率，从而使问题得以解决.【详解】解：（1）因为在样本中，共有男生2+4+8+12+14=40（人），所以中位数是第20、21个人身高的平均数，而2+4+12=18人，所以男生身高的中位数位于D 组，女生身高在B 组的人数有40×(1-30%-20%-15%-5%)=12（人）.（2）在样本中，身高在150≤x ＜155之间的人数共有4+12=16（人），身高人数最多的在C 组；（3）500×121440 ++480×(30%+15%)=541（人），故估计身高在155≤x ＜165之间的学生约有541人.本题主要考查从统计图表中获取信息，中等难度,解题的关键是要读懂统计图.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】试题分析：由m 与n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即2m ﹣mn+2n =()2m n +﹣3mn=16+9=1．故答案为1．考点：根与系数的关系．20、13x .【解析】约去分子与分母的公因式即可.【详解】22216233xyxyx y xy x x ==.故答案为：13x .本题主要考查了分式的约分，主要是约去分式的分子与分母的公因式.21、x ≥1．【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，x ﹣1≥0且x ≠0，解得x ≥1且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥1．故答案为x ≥1．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．22、6【解析】作AH ⊥BC 于H 点，可得△ADG ∽△ABC ，△BDE ∽△BAH ，根据相似三角形对应边比例等于相似比可解题．【详解】解：作AH ⊥BC 于H 点，∵四边形DEFG 为矩形，∴△ADG ∽△ABC ，△BDE ∽△BAH ，,DE BD DG AD AH AB BC AB ∴==1BD AD AB AB +=1DE DG AH BC ∴+=∵ABC ∆的面积为362cm ,边12BC =cm ∴AH=61162DE DG ∴+=∵EF=2DE ，即DG=2DE 12621DE DE ∴+=解得：DE=3∴DG=6故答案为：6本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．23、①②④【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得∠B=∠D ，再根据折叠可得∠D=∠NMA ，再利用等量代换可得∠B=∠NMA ，然后根据平行线的判定方法可得MN ∥BC ；证明四边形AMND 是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA ，进而可证出四边形AMND 为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM ，不能得出∠B=90°；即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B=∠D ，∵根据折叠可得∠D=∠NMA ，∴∠B=∠NMA ，∴MN ∥BC ；①正确；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DN ∥AM ，AD ∥BC ，∵MN ∥BC ，∴AD ∥MN ，∴四边形AMND 是平行四边形，根据折叠可得AM=DA ，∴四边形AMND 为菱形，∴MN=AM ；②④正确；没有条件证出∠B=90°，④错误；本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）见解析；（2）四边形的面积.【解析】（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得．【详解】解：（1）证明：∵，∴，∴，又∵是边的中点，∴，在与中，，∴，∴∴四边形是平行四边形；（2）∵，∴，∴四边形的面积．本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．25、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）四边形AFCE 是矩形，证明见解析；（3）当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形，证明见解析．【解析】（1）①根据中点和平行即可找出条件证明全等．②由全等的性质可以证明出四边形AFCE 是平行四边形，即可得到AE =FC ．（2）根据260CDE B ∠=∠=和AC BC =可证明出△DCE 为等边三角形，进而得到AC=EF 即可证明出四边形AFCE 是矩形．（3）根据四边形AFCE 是平行四边形，且EF ⊥AC ，得到四边形AFCE 是菱形．由AC=BC ，证出△DCE 是等腰直角三角形即可得到AC=EF ，进而证明出菱形AFCE 是正方形．所以存在这样的B Ð．【详解】（1）①∵AF ∥BE ，∴∠FAD =∠ECD ，∠AFD =∠CED ．∵AD =CD ，∴△ADF ≌△CDE ．②由△ADF ≌△CDE ，∴AF =CE ．∵AF ∥BE ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴AE =FC ．（2）四边形AFCE 是矩形．∵四边形AFCE 是平行四边形，∴AD =DC ，ED =DF ．∵AC =BC ，∴∠BAC =∠B =30°，∴∠ACE =60°．∵∠CDE =2∠B =60°，∴△DCE 为等边三角形，∴CD =ED ，∴AC =EF ，∴四边形AFCE 是矩形．（3）当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形．∵四边形AFCE 是平行四边形，且EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．∵AC =BC ，∴∠BAC =∠B =22.5°，∴∠DCE =2∠B =45°，∴△DCE 是等腰直角三角形，即DC =DE ，∴AC =EF ，∴菱形AFCE 是正方形．即当EF ⊥AC ，∠B =22.5°时，四边形AFCE 是正方形．此题考查三角形全等，特殊平行四边形的判定及性质，难度中等．26、（1）证明见解析；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，理由见解析．【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而得出答案；（2）根据平行四边形的判定先证明AECF 是平行四边形，再由90ECF ∠=︒证明是矩形即可．【详解】（1）证明：如图，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF ；（2）解：当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由是：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，由题意可知CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACB ，25,46,12456180902∴∠=∠∠=∠∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒即90ECF ∠=︒∴平行四边形AECF 是矩形．本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，根据已知得出∠ECF＝90°是解题关键.。
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)
数学练习班级________姓名________学号________学生须知1.本练习卷共6页，共26道小题，满分100分.练习时间120分钟.2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.4.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.一.选择题（每题2分，共16分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（）.A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（ ）.A. B. C. D.3.一元二次方程的解为（ ）.A.，B.，C.，D.，4.二次函数与轴的公共点个数是（ ）.A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（）.A.B. C. D.6.关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）.A.且 B.且 C. D.7.已知二次函数，分别取，，，那么对应的函数值为，，中，最大的为（ ）.A. B. C. D.不能确定8.如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以线段为边向左作菱形，点恰与原点重合，抛物线的顶点在直线移动.若抛物线与菱形的边、都23x y =y =213y x =-3y x =-()2314y x =++()1,4-()1,4--()1,4()1,4-2430x x -+=11x =-23x =11x =23x =11x =-23x =-11x =23x =-223y x x =++x 2y ax bx c =++0a >0b <0c >x ()()2212110k x k x -+++=k 14k >1k ≠14k ≥1k ≠14k >14k ≥22y x x c =-++11x =-212x =32x =1y 2y 3y 1y 2y 3y 122y x =-+y A 12y x =D AD ABCD C O ()2y x h k =-+12y x =AD CD有公共点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题2分，共16分）9.用配方法解方程，配方后所得的方程是________.10.关于的方程的一个解是，则值为________.11.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________.12.某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意，可列方程________.13.已知函数.若，则________.14.如图，点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.15.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1.其中结论正确的是________.16.如图，网格（每个小正方形的边长为1）中有、、、、、、、、九个格点，抛物线的解析式为（为整数）.h 122h -≤≤12h -≤≤312h -≤≤112h -≤≤2650x x -+=x 22424x kx k ++=2-k x 2210x x m +-+=m x 2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩2y =x =A B 214y x =A B 2-OA OB 214y x =P PAB △AOB △P ()20y ax bx c a =++≠0abc <20a b ->0a b c ++=80a c +>20ax bx c ++=3-22⨯A B C D E F G H O l ()21ny x bx c =-++n（1）若为偶数，且抛物线经过点和，则抛物线还经过网格上的________点；（2）若经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线共有________条.三.解答题（共68分，第17、20题每题8分，第18、19、21、24题每题6分，第22、23、25、26题每题7分）17.解方程：（1）；（2）.18.小马与小郭两位同学解方程的过程如下表：小马：两边同除以，得，则.小郭：移项，得，提取公因式，得.则或，解得，.（1）你认为他们的解法是否正确？若正确，请在对应的括号内打“√”；若错误，请在对应的括号内打“×”；（2）请写出你的解答过程.19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值.20.已知抛物线经过点和.（1）求和的值；（2）列表并画出函数图象；（3）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.n l ()1,0A ()2,0B l l 2450x x --=2310x x -+=()()2333x x -=-()3x -33x =-6x =()()23330x x ---=()()3330x x ---=30x -=330x --=13x =20x =x 22430x mx m -+=0m >m ()21y a x k =-+()0,3-()3,0a k21.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点.（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式的解集.22.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.（1）求与之间的函数表达式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.（1）求雕塑高；（2）求落水点、之间的距离；（3）若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.22y x mx =+x ()2,0A m M 2224x mx x +>-y x ()603060y x x =-+≤≤w w x O OA A x O A y x C D ()21566y x =--+OA C D OD E EF 9m OE =F24.已知关于的二次函数（实数，为常数）.（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值；（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，请直接写出实数的最小值.25.已知，点在直线上，以为边作等边（要求点、、为逆时针顺序），过点作于点.请解答下列问题：（1）当点在图①位置时，求证：；（2）当点在图②位置时，请直接写出线段，，的数量关系；（3）当点在图③位置时，补全图形并直接写出线段，，的数量关系.26.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的勤学点.例如：点的勤学点的坐标是，点的勤学点的坐标是.（1）①点的勤学点的坐标是________；②点是函数图象上某一个点的勤学点，则的值为________；（2）若点在函数（，）的图象上，求其勤学点的纵坐标的取值范围（结果可用含的代数式表示）；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其勤学点的纵坐标的取值范围是或，其中.令，直接写出关于的函数解析式及的取值范围.x 21y x bx c =++b c ()0,41x =20b c -=3b x b -≤≤b x 222y x x m =++01x ≤≤21y y ≥m 60ABC ∠=︒F BC AF AFE △A F E E ED AB ⊥D F AD BF BD +=F AD BF BD F AB BF BD xOy (),P a b (),Q a b '1,1,1b a b b a +≥⎧=⎨-<'⎩QP ()2,3()2,4()2,5-()2,5--()()2,A a 4y x =a P 2y x =+3k x ≤<73k -<<Q b 'k P x 222y x tx t t =-+-+Q b 'b m'>b n '≤m n >s m n =-s t t北京四中10月参考答案一、选择1-8 A A B A C D B A8.提示：将与联立得：，解得：.点的坐标为.由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为.将，，代入得得：，解得，抛物线的解析式为.当抛物线经过点时.将代入得：，解得：（舍去），.当抛物线经过点时.将代入得：，整理得：，解得：，（舍去）.综上所述，的范围是.二、填空9.10.0或411.12.13.214.4个15.①③④⑤16.点，8条16.提示：（1）为偶数时，，经过点和，122y x =-+12y x =12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩∴D ()2,1(),h k x h =y k =12y x =12h k =12k h =∴()212y x h h =-+C ()0,0C ()212y x h h =-+2102h h +=10h =212h =-D ()2,1D 21()2y x h h =-+()21212h h -+=22760h h -+=12h =232h =h 122h -≤≤()234x -=2m ≤()21001121x +=F n 2y x bx c =++l ()1,0A ()2,0B，解得，抛物线解析式为，当时，，点在抛物线上，抛物线还经过网格上的点；（2）所有满足条件的抛物线共有8条.当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示.三、解答题17.（1）5，（218.小马×，小郭×，，619.（1）证明：，，，.无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根.（2）解：，即，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.20.（1），；（2）略；（3）21.（1），；（2）或22.解：（1），与之间的函数解析式；（2）当时，，解得，，10420b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩32b c =-⎧⎨=⎩∴232y x x =-+0x =2y =∴()0,2F ∴F n n 1-3x =1a =Q 4b m =-23c m =()2222444134b ac m m m ∴∆=-=--⨯⨯=Q m 240m ≥0∆≥∴22430x mx m -+=Q ()()30x m x m --=1x m ∴=23x m =0m >Q 32m m ∴-=1m ∴=1a =4k =-()222y x =--4m =-()1,2M -1x <2x >()()()2230603030601800901800w x y x x x x x x x =-⋅=-+-=-++-=-+-w x ()29018003060w x x x =-+-≤≤200w =2901800200x x -+-=140x =250x =，不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；（3）根据题意得：，当时，有最大值，最大值是225.23.（1）；（2）；（3）不会碰水.24.解：（1）二次函数的图象经过点，；对称轴为直线：，，此二次函数的表达式为：.（2）当时，，此时函数的表达式为：，根据题意可知，需要分三种情况：①当，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；②，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；③，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得.综上所述，的值为或4.（3）由（1）知，二次函数的表达式为：，对称轴为直线：，当时，随的增大而减小，且最大值为4；二次函数的对称轴为直线：，且，当时，随的增大而增大，且最小值为，当时，总有，，即的最小值为4.25.（1）如图，证，，则；5048>Q 250x =()2290180045225w x x x =-+-=--+45x =w 116OA =22CD =109,3F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,44c ∴=12bx =-=2b ∴=-∴2124y x x =-+20b c -=2b c =221y x bx b =++2bb <-0b <x b =22221b b b ∴++=1b =2b =32bb ->-2b >3x b =-()()223321b b b b ∴-+-+=34b =41b =-32b b b -≤-≤02b ≤≤2bx =-222122b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =±b 2124y x x =-+1x =∴01x ≤≤y x 222y x x m =++14x =-20>∴01x ≤≤y x m 01x ≤≤21y y ≥4m ∴≥m ADE FHE △≌△BDE BHE △≌△BD BH FH BF AD BF ==+=+（2）；（3）.26.（1）①；②9（2）当时，；当时，或；当时，.（3），.BD AD BF =-2AB BD BF +=()1-13k ≤<36k b +≤'<61k -<<32b k -<≤--'46b ≤'<76k -<≤-36b -<'<24s t t =-4t >。
精品解析：北京四中2020-2021学年九年级上学期数学试题(解析版)
正确的是（ ）
A. ③
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
6. 矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等 C. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角
【答案】C
【解析】 【分析】 利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等， 互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图 形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选 C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠 后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合．
4. 方程 x(x x 的解是（ ）
A. x 1 C. x1 0 ， x2 1
B. x 2
D. x1 0 ， x2 2
【答案】D 【解析】 【分析】 首先移项，然后提取公因式 x，即可得到 x（x-1-1）=0，则可得到两个一次方程：x=0 或 x-2=0，继而求得 答案． 【详解】解：∵x（x-1）=x， ∴x（x-1）-x=0， ∴x（x-1-1）=0， 即 x=0 或 x-2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式 x，利用提取公 因式法求解．
2024北京四中初三(上)开学考数学
数学练习一、选择题（共20分，每小题2分）1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）． AB CD2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．A ．2，3，4BC ．5，6，7D ．5，12，13 3．如图，在平行四边形ABCD 中，由尺规作图的痕迹，下列结论中不一定成立的是（ ）． A ．DAE BAE ∠=∠ B ．AD DE = C ．DE BE =D ．BC DE = 4．某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T 恤衫销售情况统计如下：（ ）． A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．众数5．已知关于x 的一次函数(2)3y m x =−+，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）．A ．2m <B ．2m >C ．0m >D ．0m < 6．如图所示，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且90AFB ∠=︒，若6AB =，8BC =，则EF 的长为（ ）．A ．1B ．2C ．1.5D ．2.57．如图，正比例函数11y k x =和反比例函数22ky x=的图象交于(1,2)A −、(1,2)B −两点，若12y y <，则x 的取值范围是（ ）．A ．1x <−，或1x >B ．1x <−，或01x <<C ．10x −<<，或1x >D ．10x −<<，或01x <<8．若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．1k < B ．1k C ．1k <，且0k ≠ D ．1k ，且0k ≠9．保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子．该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子．若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x ，则根据题意列出的方程是（ ）．A ．100(12)81x −=B ．100(12)81x +=C ．281(1)100x −=D ．281(1)100x +=10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）．A ．当P ＝440W 时，I ＝2AB ．Q 随I 的增大而增大C ．I 每增加1A ，Q 的增加量相同D ．P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（共16分，每小题2分）11．一次函数(0)y kx b k =+≠中两个变量x ，y 的部分对应值如下表所示：537b 的解集是 ． 12．若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(,2)A a 和(,2)B b −，则a b +的值为 ．13．某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．14．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O ，固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D '处，则点C 的对应点C '的坐标为 ． 15．如图，正方形ABCD 的中心在原点O 上，且正方形ABCD 的四个顶点分别位于两个反比例函数3y x=和ny x=的图象上的四个分支上，则n = ． 16．已知实数x ，y 满足2330x x y ++−=．则x y +的最大值为 ．17．如图，四边形ABHK 是边长为12的正方形，点C 、D 在边AB 上，且2AC DB ==，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长等于 ．18．甲乙两人玩一个游戏：将(n n 为奇数）个数排成一列，记作1[a ，2a ，⋯，]n a ，甲，乙轮流从这一列数中删除两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数．甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数．每次操作时，甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化．（1）对于[1，2，3，4，5]，被删除一次后可以成为[3，4，5]或[1，4，5]以及一些其他情况，写出未列举的其他情况 ；（写出一种即可） （2）对于[2，9，1，7，3，4，5，8，6]，最后剩下的数为 ．三、解答题（共64分，第19、20题每题6分，第21、22、24、26、27题每题8分，第23题7分，第25题5分） 19．解方程：（1）2610x x +−=； （2）2(2)3(2)x x −=−．20．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个ABC ∆（三边均不相等），以一边的端点B 为顶点在三角形外作角CBF ∠，使其等于这条边另一端点C 为顶点的三角形的内角ACB ∠，射线BF 与这条边上的中线AD 的延长线相交于一点E ，则以A 、B 、C 、E 四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等、平行四边形以及平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空．如图，在ABC ∆中，点D 为BC 边上的中点，连接AD ．（1）尺规作图：在BC 下方作射线BF ，使得CBF ACB ∠=∠，且射线BF 交AD 的延长线于点E （不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CE ，求证：四边形ABEC 是平行四边形．（请补全下面的证明过程）证明：点D 为BC 边上的中点，DC DB ∴=.在ADC ∆和EDB ∆中，ACD EBDDC DBADC EDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADC ∴∆≌ ()ASA ， AC ∴= ． CBF ACB ∠=∠，∴ ．∴四边形ABEC 是平行四边形．兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题：以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，则以该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是 ．21．如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点．连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =．连接AF ，CF ，AD ． （1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）连接BF ，若60ACB ∠=︒，2AF =，求BF 的长．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+的图象与x轴交于点(3,0)A−，与y轴交于点B，且与正比例函数43y x=的图象交点为(,4)C a．（1）求a的值与一次函数y kx b=+的解析式；（2）在y轴上求一点P，使POC∆为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，函数(0)y kx b k=+≠的图象经过点(1,3)A和(1,1)B−−，与过点(2,0)−且平行于y轴的直线交于点C．（1）求该函数的表达式及点C的坐标；（2）当2x<−时，对于x的每一个值，函数(0)y nx n=≠的值大于函数y kx b=+ (0)k≠的值且小于2−，直接写出n的取值范围．24．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求AB的长；（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）25．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：a ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：售价涨跌幅100%−=⨯当周售价前周售价前周售价，成本涨跌幅100%−=⨯当周成本前周成本前周成本；b ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；c ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：甲商品的成本与售价信息表根据以上信息，回答下列问题：（1）甲商品这五周成本的平均数为 ，中位数为 ；（2）表中m 的值为 ，从第三周到第五周，甲商品第 周的售价最高； （3）记乙商品这40周售价的方差为21s ，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为22s ，则21s 22s （填“>”，“ =”，或“<” )．26．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：（1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t = s 时，杯中水位最高，是 cm ；（3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 /cm s； （4）求停止注水时t 的值；（5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 s ．27．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BCA =α，点D为线段BC的延长线上一点，将线段BD 绕点D 顺时针旋转2α得到线段ED ．图1 图2（1） 如图1，当α=30°，且点B 与点D 关于点C 对称时，求证：EC ⊥BD ； （2） 如图2，若点C 关于点D 的对称点为点F ，连结EF ，依题意补全图形，求证：AE ⊥EF ．BA附加题（共10分）28．（3分）有如下的一列等式：00T a =，110T a x a =−，22210T a x a x a =−+，3233210T a x a x a x a =−+−，……， 若将0123n T T T T T +++++记为n A ，其中n 为正整数，n T 的各项系数均不为0．那么以下说法正确的是 ． ①若1x =，则4420A a a a =++；②若44(21)T x =−，那么4T 的所有系数之和为1；③若2221(21)nn n A A x −−=−，那么当5n =时，101086420132a a a a a a ++++++=．29．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点11()P x y ，和22()Q x y ，，我们称01212(,)||||d P Q x x y y =−+−为P 和Q 两点的“亚距离”．进一步，对于平面中的点R 和图形Ф，Ψ，我们给出如下定义：点R 到图形 Ф上各点的最短亚距离为d ，点R 到图形Ψ上各点的最短亚距离为d '，若d =d '，则称点R 为图形Ф，Ψ 的一个“亚等距点”．如图，已知(4,4),(8,0),(4,4),(2,0)A B C D −−−−−，点A 、C 、D 关于y 轴的对称点分别为点A '、C '、D '，将正方形OABC 向上平移4个单位得到正方形AEFG ． （1）① 0(,)d A B = ；②在点1234(2,2),(2,2),(7,8),(5,1)P P P P −−−中，哪个点是点A 和点C '的亚等距点____________； （2）在坐标系中，画出正方形OABC 和正方形AEFG 的亚等距点所组成的图形； （3）已知线段(04)y kx b y =+≤≤上恰好存在3个线段AA '和线段DD '的亚等距点，直接写出k 的取值范围．备用图。
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷
北京市第四中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷一、单选题1．下面四个标志中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程220x x -=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-，=0D ．=2，=03．若()13,A y -，()22,B y -，()33,C y 为二次函数()21y x =+图象上的三点，则1y ，23,y y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<4．二次函数()()57y x x =-+的图象的对称轴是（）A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线2x =D ．直线6x =5．如图，AB 为⊙O 直径，点,C D 在⊙O 上，如果70ABC ∠=︒，那么D ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．70︒6．2024年北京第一季度GDP 约为1.058万亿元，第三季度GDP 约为1.167万亿元，设2024年北京平均每季度GDP 增长率为x ，则可列关于x 的方程为（）A ．()21.0581 1.167x -=B ．()1.05812 1.167x +=C ．()21.0581 1.167x +=D ．()21.1671 1.058x -=7．如图是一个钟表表盘，若连接整点2时与整点10时的B 、D 两点并延长，交过整点8时的切线于点P ，若切线长2PC =，表盘的半径长为（）A ．3BC ．D ．8．某农场用篱笆围成饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的篱笆（不包括门）总长为12m ，现有四种方案（如图）中面积最大的方案为（）A 方案为一个封闭的矩形B 方案为一个等边三角形，并留一处1m 宽的门C 方案为一个矩形，中间用一道垂直于墙的篱笆隔开，并在如图所示的三处各留1m 宽的门D 方案为一个矩形，中间用一道平行于墙的篱笆隔开，并在如图所示的四处各留1m 宽的门A ．B ．C ．D ．二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x 向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，∠A=50°，则∠DCE 的度数为．11．抛物线y ＝x 2－5x ＋6与y 轴交点的坐标是．12．如图，,PA PB 分別切⊙O 于,A B 两点，点C 为AB 上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交,PA PB 于,M N 两点，若PMN 的周长为10，则切线长PA 等于．13．已知22310a a -+=，则代数式()()233a a a -++的值为．14．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是cm ．15．二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，图象过点()1,0-，对称轴为直线2x =，抛物线与y 轴交点在()0,1A 和()0,2B 之间（不与A B 、重合）．下列结论：①0abc >；②93a c b +>；③40a b +=；④当0y >时，15x -<<；⑤a 的取值范围为2155a -<<-．其中正确结论有（填序号）16．如图，在直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，D 是AC 上一点，10BD =，AB CD =，则BC 的最大值为．三、解答题17．解下列方程：(1)23610x x -+=；(2)()233x x x -=-．18．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()3,1B -，()1,4C -．将ABC V 绕着点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ．(1)请在图中画出11A BC V ；(2)线段BC 旋转过程中所扫过的面积是______（结果保留π）．19．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，连接CD ，BE．(1)求证：AEB ADC ≌ ；(2)连接DE ，若96ADC ∠=︒，求BED ∠的度数．20．已知关于x 的一元二次方程()22840x k x k +--=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程有一个根小于3，求k 的取值范围．21．已知：如图，O 及O 外一点P ．求作：直线PB ，使PB 与O 相切于点B．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B 是直线OP 上方一点）：作法一（如图1）作法二（如图2）①接OP ，作线段OP 的垂直平分线，交OP 于点A ；②以点A 为圆心，以AO 的长为半径作A ，A 交O 于点B ；③作直线PB ，则直线PB 是⊙O 的切线．①连接OP ，交O 于点M ，过点M 作OP 的垂线MN ；②以点O 为圆心，以OP 的长为半径作弧，交直线MN 于点Q ；③连接OQ ，交于点B ；④作直线PB ，则直线PB 是的切线．证明：如图1，连接OB ，PO 为A 直径，∴90PBO ∠=︒．（______）∴PB OB ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线PB 是O 的切线．证明：……请仔细阅读，并完成相应的任务：(1)“作法一”中的“依据”是指______；(2)请写出“作法二”的证明过程．22．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象经过()0,2A -，()2,0B 两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x⋅⋅⋅1-01212⋅⋅⋅y⋅⋅⋅2-0⋅⋅⋅(3)若一次函数y mx n =+的图象也经过,A B 两点，结合图象，直接写出不等式2x bx c mx n ++<+的解集．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥．(1)求证：AC 是BDE V 的外接圆的切线；(2)若2AD =，AE =，求EC 的长．24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O 处，以点O 为原点，水平方向为x 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线2(20)y a x k =-+的一部分，山坡OA 上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD ，墙宽2BC =米，BC 与x 轴平行，点B 与点O 的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米(1)求抛物线的解析式；(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；25．如图1，线段AB 及一定点,C P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ CP ⊥于点Q ，已知7cm AB =，设,A P 两点间的距离为cm x ，,A Q 两点间的距离为1cm y ，,P Q 两点间的距离为2cm y ．小明根据学习函数的经验，分别对函数12,y y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程：第一步：按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y 、2y 与x 的几组对应值．/cm x 00.30.50.81 1.52345671/cmy 00.280.490.7911.481.872.372.612.722.762.782/cmy 00.080.090.0600.290.73 1.82 3.03 4.20 5.33 6.41第二步：在同一平面直角坐标系xOy 中，描出表中各组数值所对应的点()()12,,,x y x y ，并画出函数12,y y 的图象．解决问题：(1)在给出的平面直角坐标系中（图2）补全函数2y 的图象；(2)结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30︒时，AP 的长度约为______cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2240y ax a x a =-≠．(1)当1a =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11,M x y 和()22,N x y 是抛物线上的两点．若对于15x a =，256x ≤≤，都有12y y <，求a 的取值范围．27．已知，如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，DC BE =，连接AE ，过C 作CF AE ⊥于F ，CF 交AB 于G ，连接DG ．(1)求证：AEB ACF ∠=∠；(2)用等式表示CG ，DG 和AE 的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy 内的直线l 和点P ，若点A 关于l 作轴对称变换得到点1A ，点1A 关于点P 作中心对称变换得到点2A ，我们则称点2A 为点A 关于直线l 和点P 的“正对称点”．已知()1,0B -，()2,0C ，(1)写出B 关于y 轴和点C 的“正对称点”的坐标______；(2)已知点()112,02C m m ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，存在过原点O 的直线1l ，使得点B 关于直线1l 和点1C 的“正对称点”在直线2:l y x b =+上，求b 的取值范围；(3)已知点H 是直线1x =上的一点，且点H 的纵坐标小于0，()3,0C ，E 点在以C 为圆心1为半径的圆上，对于直线6x =上的点()6,F h ，以F 为圆心，1为直径作圆F ，若圆F 上存在点B 关于直线OH 和点E 的“正对称点”，直接写出h 的取值范围．。
北京市第四中学2024年数学九上开学预测试题【含答案】
北京市第四中学2024年数学九上开学预测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）在实数0，，3-，-1中，最小的是（）A ．0B ．C ．3-D ．1-2、（4分）不等式组21112x x +>⎧⎪⎨≤⎪⎩的解集在数轴上可表示为（）A ．B ．C ．D ．3、（4分）直线y=x －1的图像经过的象限是A ．第二、三、四象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、三象限4、（4分）若把分式2xy x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值()A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．不变D ．缩小为原来的15倍5、（4分）随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x （辆）的关系如图所示，当x≥8时，y 与x 成反比例函数关系，当车速度低于20千米/时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x 应该满足的范围是（）A ．x ＜32B ．x≤32C ．x ＞32D ．x≥326、（4分）下列运算正确的是（）A ．236m m m ⋅=B ．352()a a =C ．44(2)16x x =D ．2m 3÷m 3=2m 7、（4分）一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l 的左侧水平平移至右侧(下图中的虚线都是水平线)．其中，所需平移的距离最短的是()A ．B ．C ．D ．8、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为4cm，动点P 从点A 出发，沿A→D→C 的路径以每秒1cm 的速度运动（点P 不与点A、点C 重合），设点P 运动时间为x 秒，四边形ABCP 的面积为ycm 2，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）以正方形ABCD 的边AD 为一边作等边△ADE ，则∠AEB 的度数是________.10、（4分）方程＝0的解是___．11、（4分）是同类二次根式，则a =__________．12、（4分）某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛．在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：甲乙丙丁平均数/环9.59.59.59.5方差/环2 5.1 4.7 4.5 5.1请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是________．13、（4分）如图，在ABC △中，4AC AB ==，AH BC ⊥垂足为H AH =，，BD 是中线，将CBD 沿直线BD 翻折后，点C 落在点E ，那么AE 为_________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）先化简再求值：（11x x x --）÷22x x x -+，其中x ＝11.15、（8分）如图，△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 与AC 、AE 分别交于点O 、点E ，连接EC ．（1）求证：AD=EC ；（2）当∠BAC=Rt ∠时，求证：四边形ADCE 是菱形．16、（8分）如图，在四边形OABC 中，OA ∥BC ，∠OAB=90°，O 为原点，点C 的坐标为(2，8)，点A 的坐标为(26，0)，点D 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC 向点C 运动，点E 同时从点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线OAB 运动，当点E 达到点B 时，点D 也停止运动，从运动开始，设D(E)点运动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABDE 是矩形；(2)当t 为何值时，DE=CO ？(3)连接AD ，记△ADE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．17、（10分）已知一次函数y ＝kx +b 的图象与直线y ＝﹣2x +1的交点M 的横坐标为1，与直线y ＝x ﹣1的交点N 的纵坐标为2，求这个一次函数的解析式．18、（10分）计算（1））0+|2|（2）（+（（2）B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在平面直角坐标系中，已知点P （x ，0），A （a ，0），设线段PA 的长为y ，写出y 关于x 的函数的解析式为___，若其函数的图象与直线y ＝2相交，交点的横坐标m 满足﹣5≤m ≤3，则a 的取值范围是___．20、（4分）函数21x y x +=-中，自变量x 的取值范围是．21、（4分）如图，已知矩形ABCD ，AB 在y 轴上，AB=2，BC=3，点A 的坐标为(0，1)，在AD 边上有一点E(2，1)，过点E 的直线与BC 交于点F ．若EF 平分矩形ABCD 的面积，则直线EF 的解析式为________.22、（4分）如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去⋯记正方形ABCD 的边为1a 1=，按上述方法所作的正方形的边长依次为2a 、3a 、4a 、n a ⋯，根据以上规律写出2n a 的表达式______．23、（4分）在菱形ABCD 中，460AB ABC =∠=︒，，E 为AD 中点，P 为对角线BD 上一动点，连结PA 和PE ，则PA PE +的值最小为_______．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知正方形ABCD ，点P 是对角线AC 所在直线上的动点，点E 在DC 边所在直线上，且随着点P 的运动而运动，PE=PD 总成立。
2022-2023学年北京市西城区第四中学九年级上学期开学数学试卷含答案
北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案解析）一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．75．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥96．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是67．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞08．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是．10．（2分）比较二次根式的大小：23．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝°．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝，a的值为．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是．（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形（填推理的依据）．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 （1），解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．请你用（2）中的方法求出方程（x2+x）2﹣2x2﹣2x＝8的实数解．26．（7分）已知一次函数y1＝（k+1）x﹣2k+3，其中k≠﹣1．（1）若点（﹣1，2）在y1的图象上，则k的值是．（2）当﹣2≤x≤3时，若函数有最大值9，求y1的函数表达式；（3）对于一次函数y2＝m（x﹣1）+6，其中m≠0，若对一切实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段P A绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．（1）在图1中补全图形；（2）①求证：EF＝CF．②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；（3）若将线段P A绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当点Q（x2，y2）满足x1•x2＝y1•y2时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．（1）在Q1（2，1），Q2（﹣4，﹣1），Q3（8，2）中，点P的等积点是．（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题2分，共16分）1．（2分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．（2分）下列三边能构成直角三角形的是（）A．1，1，2B．1，2，3C．1，2，D．1，1，【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵1+1＝2，∴1，1，2三边不能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵1+2＝3，∴1，2，3三边不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝3，22＝4，∴12+（）2≠22，∴1，，2不能作为直角三角形三条边，故C不符合题意；D、∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴1，1，能作为直角三角形三条边，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3．（2分）一次函数y＝﹣2x+1的图象经过（）A．一、二、三象限B．二、三、四象限C．一、三、四象限D．一、二、四象限【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，即可得到图象经过的象限．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴一次函数的图象经过第二四象限，∵b＝1＞0，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象与y轴正半轴相交，经过第一象限，∴一次函数y＝﹣2x+1的图象经过第一二四象限，故选：D．【点评】本题考查一次函数的性质，对一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，函数图象经过第一三象限，k＜0时，函数图象经过第二四象限，b＞0时，函数图象与y轴正半轴相交，b＜0时，函数图象与y轴负半轴相交．4．（2分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ADB＝30°，DC＝3，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】由矩形的性质得出AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，由直角三角形的性质得出AC＝BD＝2DC＝6即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，∠BAD＝90°，∵∠ADB＝30°，∴AC＝BD＝2CD＝6，故选：C．【点评】此题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+6x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9B．a＞﹣9C．a≥﹣9D．a≥9【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，然后求出不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣a）≥0，解得a≥﹣9．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．6．（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A．平均数是3.8B．样本为20名学生C．中位数是3D．众数是6【分析】根据样本的概念、众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．【解答】解：A．平均数为×（2×3+3×6+4×5+5×4+6×2）＝3.8（个），此选项说法正确，符合题意；B．样本为20名学生的编织数量，此选项说法错误，不符合题意；C．共20个数据，从小到大排列后位于第10个和第11个的数据分别是4和4，∴中位数为＝4，此选项说法错误，不符合题意；D．众数是3，此选项说法错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．7．（2分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k（k＞0）图象上不同的两点，若t＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则（）A．t＜0B．t＝0C．t≤0D．t＞0【分析】由k＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，可得出（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．【解答】解：∵k＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝kx+2k图象上不同的两点，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，即t＞0．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（）A．①②B．③C．②④D．②③④【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，∵BD＝AB，DB＜DC，∴CD＞AB，故①不符合题意；∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，∴FN＝NB，∵GN⊥AB，∴FG＝GB，故②符合题意；∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，∴△AEF≌△AMF，∴FE＝FM，∵EG＝GC，∴FG∥AC，∴∠GFB＝∠CAB，∴∠GBF＝∠EAB，∴EA∥BG，∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，∴△AED≌△BGD（ASA），∴AE＝BG，∴四边形AEBG是平行四边形，故③符合题意；∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，∴∠EAC+∠FGB＝180°，故④符合题意，故选：D．【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点．二.填空题（每题2分，共16分）9．（2分）函数的自变量x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数非负列式求解即可．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（2分）比较二次根式的大小：2＜3．【分析】把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可．【解答】解：∵2＝＝，3＝＝，∴2＜3，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质，注意：当m≥0时，m＝．11．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC ＝70°．【分析】根据直角三角形斜边上的中线可AD＝CD＝AB，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝35°，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD＝AB，∴∠A＝∠DCA＝35°，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．12．（2分）若一次函数的图象过点（0，3），请写出一个符合条件的函数解析式y＝x+3（答案不唯一）．【分析】可设x的系数为1或其他不为0的数都可以，把点的坐标代入求b的值即可．【解答】解：设一次函数的解析式为：y＝x+b，把（0，3）代入得b＝3．∴一次函数的解析式为：y＝x+3，故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，需注意应先确定x的系数，然后把适合的点代入求得常数项．13．（2分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC ＝8，则四边形BDEF的周长是14．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝8＝4，∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，故答案为：14．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．14．（2分）如图，直线y＝kx+b经过点A（2，2），点B（6，0），直线y＝x过点A，则不等式x＜kx+b的解集为x＜2．【分析】根据函数图象的上下解不等式．【解答】解：∵x＜kx+b，∴直线y＝x在直线y＝kx+b的下方，即在点A的左边的图象符合要求，∴x＜2．故答案为：x＜2．【点评】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，将不等式转化为函数图象的上下关系是求解本题的关键．15．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，点E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PD的最小值是．【分析】如图，连接BD，BE，PB．由PE+PD＝PB+PE≥BE，求出BE的值，可得结论．【解答】解：如图，连接BD，BE，PB．∵四边形ABCD是菱形，∴B，D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PE+PD＝PE+PB≥BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥CB，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝DE，∴BE⊥AD，∴BE＝AB•sin60°＝，∴PE+PD≥，∴PE+PD的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．16．（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（a＞b＞c，a、b、c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，则a+b+c＝8，a的值为5．【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和＝最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出a+b+c的值，再结合a＞b＞c，a、b、c均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值．【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为m，则m＝5（a+b+c），∵四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21，6，9，4，∴m＝21+6+9+4＝40．∴5（a+b+c）＝40，∴a+b+c＝8．∵a＞b＞c，a、b、c均为正整数，∴当c＝1时，b＝2，则a＝5；当c＝1时，b＝3，则a＝4，此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为20＜21分，不符合题意舍去；当c＝2时，b＝3，则a＝3，不满足a＞b，舍去；当c＝3时，b＝4，则a＝1，不满足a＞b，舍去．综上所得：a＝5，b＝2，c＝1．故答案为：a+b+c＝8，a＝5．【点评】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和＝四个班总成绩的和，是解决本题的关键．三.解答题（17、22、25每题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17．（5分）计算：．【分析】首先计算二次根式乘法、化简二次根式和去绝对值，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝++﹣2+＝3+3+﹣2+4＝6+5﹣2．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．18．（6分）用适当的方法解方程：（1）x2＝7x；（2）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵x2＝7x，∴x2﹣7x＝0，∴x（x﹣7）＝0，则x＝0或x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝7；（2）∵x2+4x﹣5＝0，∴（x+5）（x﹣1）＝0，则x+5＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．19．（6分）已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数m的值．【分析】（1）分类讨论m＝0和m≠0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3＝0因式分解得到x1＝﹣，x2＝﹣3，根据题意可知﹣是整数，据此求出正整数m的值．【解答】（1）证明：当m＝0时，原方程可化为x+3＝0，方程有实根x＝﹣3；当m≠0时，mx2+（3m+1）x+3＝0是关于x的一元二次方程．∵Δ＝（3m+1）2﹣4m×3＝9m2+6m+1﹣12m＝（3m﹣1）2≥0，∴此方程总有两个实数根．综上所述，不论m取何值，方程都有实数根．（2）解：∵（mx+1）（x+3）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣3．∵方程有两个整数根且m是整数，∴m＝﹣1或m＝1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0时，方程没有实数根．20．（4分）下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2B铅笔作图！）（2）完成下面的证明．证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．对角线互相平分的四边形为平行四边形（填推理的依据）．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形为菱形（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程补全图形即可．（2）根据平行四边形和菱形的判定定理可得出答案．【解答】（1）解：补全图形如图．（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形为平行四边形）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形．（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形．【点评】本题考查尺规作图、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理是解答本题的关键．21．（4分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C坐标．【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；（2）设点C的横坐标为x，根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值，从而得到其坐标．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的横坐标为x，∵S△BOC＝2，∴•2•|x|＝2，解得x＝±2，∵直线AB上一点C在第一象限，∴x＝2，∴y＝2×2﹣2＝2，∴点C的坐标是（2，2）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．22．（5分）今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝（400+400）千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）【分析】（1）利用等腰直角三角形和含30度的直角三角形的性质得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠CAD＝45°，∴∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∵∠DBC＝30°，∴BD＝CD，∵AB＝（400+400）千米，∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，∴CD＝400千米，∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，∵ED＝＝200（km），∴EF＝400km，∵台风的速度为20千米/小时，∴400÷20≈45（小时）．答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．23．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．（1）求证：四边形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC＝90°，OC＝AC，推出BE＝OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC＝90°，即可得出结论；（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC＝AC＝2，由勾股定理求出OB＝，则BD＝2，由矩形的性质得出BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，再由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴四边形BECO是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝2，在Rt△BOC中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，由（1）得：四边形BECO是矩形，∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，在Rt△DBE中，由勾股定理得：DE＝＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．24．（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务．市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查．家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），市教育局对数据进行了分析．部分信息如下：c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：学校平均数中位数众数甲85n83乙817980d．甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．请你根据以上信息，回答下列问题：（1）直接写出m和n的值；（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；（3）市教育局指出：延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．【分析】（1）根据扇形统计图的意义，各组频率之和为1即可求出m的值，利用中位数的意义可求出甲中学得分的中位数，即n的值；（2）根据平均数、中位数的大小进行判断即可；（3）求出乙中学延时服务合格所占的百分比即可．【解答】解：（1）乙中学“比较满意”所占的百分比为1﹣40%﹣7%﹣18%﹣10%＝25%，即m＝25，∵甲中学“满意组”的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝81.5，因此中位数是81.5，即n＝81.5，答：m＝25，n＝81.5；（2）甲中学的延时服务开展得更好，理由如下：因为甲中学延时服务得分的平均数、中位数均比乙中学的高，所以甲中学的延时服务开展得更好；（3）1000×（1﹣7%﹣18%）＝750（人）．答：估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数为750人．【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是解决问题的前提．25．（5分）阅读下面的材料，回答问题：（1）将关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0变形为x2＝﹣bx﹣c，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1＝0，用“降次法”求出x4﹣3x+2020的值是2022．（2）解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常。
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位数是（ ）
年龄（单 18 19 20 21 22 23 位：岁）
人 234111 数
A．19，20
B．20，20
C．20，20.5
D．23，20.5
7．（3 分）如图，△ABC 为等腰三角形，如果把它沿底边 BC 翻折后，得到△DBC，
那么四边形 ABDC 为（ ）
第1页（共8页）
A．一般平行四边形
知点 E、点 F 分别从 A、点 B 同时出发，点 E 以每秒 2 个单位长度的速度在线
段 AB 上来回运动．点 F 沿 B→C→0 方向，以每秒 1 个单位长度的速度向点 O
运动，当点 F 到达点 O 时，E、F 两点都停止运动．在 E、F 的运动过程中，存
在某个时刻，使得△OEF 的面积为 6．那么点 E 的坐标为
26．
；27．
；
第8页（共8页）
北京四中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分）
1．（3 分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A． ， ，2 B．6，8，10
C．4，5，6
D．5，10，12
2．（3 分）在▱ABCD 中，如果∠A+∠C=140°，那么∠C 等于（ ）
A．20°
B．40°
B．正方形
C．矩形
D．菱形
8．（3 分）已知，一次函数 y=kx+b 的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
二、填空题（本题共 25 分，第 9～15 题每小题 3 分，第 16 题 4 分）
9．（3 分）一元二次方程 x2﹣2x=0 的解是
的度数是
．
15．（3 分）已知 y1=x+1，y2=﹣2x+4，对任意一个 x，取 y1，y2 中的较大的值为 m，
则 m 的最小值是
．
16．（4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2，…，
按如图所示的方式放置、点 A1、A2、A3，…和点 B1、B2、B3，…分别在直线 y=kx+b
C．AB=CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD∥BC
5．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，BD=AB，BM⊥AD 于点 M，N 是
AC 的中点．连接 MN，若 AB=5，BC=8，则 MN 的长为（ ）
A．6
B．3
C．1.5
D．1
6．（3 分）某排球队 12 名队员的年龄情况如下：则这 12 名队员年龄的众数和中
19．（6 分）已知 m2﹣5m﹣14=0，求（m﹣1）（2m﹣1）﹣（m+1）2+1 的值． 20．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=﹣ x+8 与 x 轴，y 轴分别
交于点 A，点 B，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线 AD 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处． （1）求 AB 的长和点 C 的坐标；
．第5页（共8页）来自二、解答题（本题 14 分，每题 7 分） 26．（7 分）在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角
α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B 交 AC 于点 E，A1C1 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．
（1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？ 并证明你的结论；
）；（5×
﹣4，
）；17．
；
三、解答题（本题共 31 分，第 17 题 5 分，第 18～20 题每小题 6 分，第 21 题 8
分）
18．
；19．
；20．；21．；22．
；
四、解答题（本题 5 分）
23．
；24．
；
一、填空题（本题 6 分） 25．（﹣4，4﹣2 ）（﹣4，2 ）（﹣4，2）；
二、解答题（本题 14 分，每题 7 分）
．
10．（3 分）已知菱形的两条对角线长分别是 10 和 12，则菱形的面积是
．
11．（3 分）如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD 于点 E，
且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE=
．
12．（3 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 的长为 6，∠AOD=120°，则 AB 的长
（2）如图 2，当 α=30°时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求 ED 的长． 27．（7 分）如图，矩形 OABC 的边 OC，OA 分别与 x 轴，y 轴重合，点 B 的坐标
是（ ，1），点 D 是 AB 边上一个动点（与点 A 不重合），沿 OD 将△OAD 翻 折，点 A 落在点 P 处． （1）若点 P 在一次函数 y=2x﹣1 的图象上，求点 P 的坐标； （2）若点 P 在抛物线 y=ax2 图象上，并满足△PCB 是等腰三角形，求该抛物线解 析式； （3）当线段 OD 与 PC 所在直线垂直时，在 PC 所在直线上作出一点 M，使 DM+BM 最小，并求出这个最小值．
为
．
13．（3 分）受冷空气影响，今年我市入春时间晚于常年，据气象部门观测，4
月 1 日到 4 月 5 日这五天，北京每天的平均气温（单位：℃）依次为：10，9，
10，8，8，则这组数据的方差为
．
第2页（共8页）
14．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 DC 上一点，AE=AB，AB=2AD，则∠EBC
等腰直角三角形，将它们分别沿正方形 ABCD 的边翻折，可得到一个面积是原 正方形 ABCD 面积 2 倍的新正方形 EFGH． 请你在图 1，图 2，图 3 中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的 边翻折，分别得到面积是原矩形面积 2 倍的三个新的四边形：菱形、矩形、 一般的平行四边形．
四、解答题（本题 5 分） 23．（7 分）如图①，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上任意一点，DE⊥AG
于点 E，BF⊥AG 于点 F． （1）求证：DE﹣BF=EF； （2）若点 G 为 CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写
出此时 DE、BF、EF 之间的数量关系（不需要证明）； （3）若 AB=2a，点 G 为 BC 边中点时，试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系，
（2）当 b 值由小到大变化时，求 S 与 b 的函数关系式；
（3）若在直线 y=
上存在点 Q，使∠OQC 等于 90°，请直接写出 b
的取值范围．
一、填空题（本题 6 分）
25．（6 分）如图，正方形 ABCO 放在平面直角坐标系中，其中点 O 为坐标原点，
A、C 两点分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（﹣4，4）．已
和 x 轴上、已知 C1（1，﹣1），C2（ ， ），则点 A3 的坐标是
；点
An 的坐标是
．
17．（5 分）解方程：x2﹣6x﹣2=0．
三、解答题（本题共 31 分，第 17 题 5 分，第 18～20 题每小题 6 分，第 21 题 8 分）
18．（6 分）已知：如图，点 E，F 分别为▱ABCD 的边 BC，AD 上的点，且∠1=∠2． 求证：AE=CF．
第3页（共8页）
（2）求直线 CD 的解析式．
21．（8 分）已知△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2k+3） x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC=5．
（1）k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？ （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求此时△ABC 的周长． 22．（5 分）如图，正方形 ABCD 的两条对角线把正方形 ABCD 分割成四个全等的
第4页（共8页）
并通过计算来验证你的结论．
24．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=
分别交 x 轴、y
轴于 A、B 两点．点 C（4，0）、D（8，0），以 CD 为一边在 x 轴上方作矩形
CDEF，且 CF：CD=1：2．设矩形 CDEF 与△ABO 重叠部分的面积为 S．
（1）求点 E、F 的坐标；
第6页（共8页）
第7页（共8页）
北京四中九年级（上）开学数学试卷
参考答案
一、选择题（本题共 24 分，每小题 3 分） 1．B；2．D；3．A；4．C；5．C；6．B；7．D；8．B；
二、填空题（本题共 25 分，第 9～15 题每小题 3 分，第 16 题 4 分） 9．x1=0，x2=2；10．60；11． ；12．3；13．0.8；14．15°；15．2；16．（ ，
C．60°
D．70°
3．（3 分）用配方法解方程 x2﹣4x+2=0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2=2 B．（x﹣4）2=2
C．（x﹣2）2=0 D．（x﹣4）2=1
4．（3 分）下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC
B．AB∥CD，AB=CD