自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间
一、单项选择题
1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ）
A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关
B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关
C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关
D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关
2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法
惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）
A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ）
A.α1，α3线性无关
B.α1，α2，α3，α4线性无关
C.α1，α2，α3，α4线性相关
D.α2，α3，α4线性相关
5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）
A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组
B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量
C ．s ααα,,,21 全是非零向量
D ．s ααα,,,21 全是零向量
6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ）
A.-32
B.-4
C.4
D.32
7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ）
A. α1，α2，α3，α4一定线性无关
B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出
C. α1，α2，α3，α4一定线性相关
D. α1，α2，α3一定线性无关
8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.下列命题中错误．．
的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关
B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）
A.α1必能由α2,α3，β线性表出
B.α2必能由α1,α3，β线性表出
C.α3必能由α1,α2，β线性表出
D.β必能由α1,α2,α3线性表出
11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( )
A.α1，α2，α3，α4线性无关
B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
二、填空题
1．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.
2.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =________.
3.向量组的秩为)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1(321-===ααα_____________。
4．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______.
5．设向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则向量组21,ββ的秩为______.
6.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________.
7.设4维向量=α（3,-1,0,2）T ,β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2+αγ=3β，则γ=__________.
8.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
9.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________.
三、计算题
1．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.
2.求向量组1α=(1,1,1,3)T ，2α=(-1,-3,5,1)T ，3α=(3,2,-1,4)T ，4α=(-2,-6,10,2)T 的一个极大无关
组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.
3.设向量组为 )3,1,0,2(1-=α
)1,1,2,3(2--=α
)9,5,6,5(3--=α )5,3,4,4(4--=α
求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。
4．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，
求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．
5.设向量α=（3，2），求（αT α）101.
6.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.
（1）求该向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.
7.设向量组,,,,T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1))(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)=α=α=α=α求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
8.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
四、证明题
1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量
组β1，β2，β3线性无关.
2. 证明：若向量组,,,,,,,3232121121 ααβααβααβααα+=+=+=n n 而线性无关 1-=n n αβ+αn ，则向量组为奇数线性无关的充要条件是n n βββ,,,21 。
3．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若1k ≠0，则向量组
32,,ααβ也线性无关．
4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.
5. 若α1，α2，α3是Ax=b (b ≠0)的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.。
线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第三章、向量空间x习题答案
15.解： 解
(α1 , α 2 , α 3 )T = ( β1 , β 2 , β 3 )
AT = B
特别提示
−1 1 0 T = A−1 B = 2 − 1 2 0 1 − 1
A−1 ( AM E ) → ( E M A−1 ) (1) −1 A B (2)( AM E ) → ( E M A−1 B)
a 1 (已知 α 4 = aα1 + bα 2 ⇒ α 2 = − α1 + α 4 已知) 已知 b b ac c α 5 = − α1 + dα 3 + α 4 b b R(α1 , α 3 , α 4 , α 5 ) < 4
再令 x1α1 + x2α 3 + x3α 4 = ϑ
x1α1 + x2α 3 + x3 (aα1 + bα 2 ) = ϑ ( x1 + ax3 )α1 + bx3α 2 + x2α 3 = ϑ
ε 1 , ε 2 Lε n 能由 α1 , α 2 Lα n 线性表出 定理） （定理） α1 , α 2 Lα n 能由 ε 1 , ε 2 Lε n 线性表出
α1 , α 2 Lα n 与 ε 1 , ε 2 Lε n 等价
R(α1 , α 2 Lα n ) = R(ε 1 , ε 2 Lε n ) = n
第三章
向量空间习题答案
1.设 v = (1,−1,1)T , v = (2,1,3)T , v = (2,1,3)T , 设 1 2 3 求 v1 − v2 , 及 3v1 − 2v2 + v3 . 解：
v1 − v2 = (1,−2,−1)T
线性代数第三章习题及答案
习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。
3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。
（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
自考线性代数第三章精讲
a1 n a2n a in a mn
T m
T 2
T 1
T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
2016/3/5
线性代数
第三章 向量空间
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组 1 , 2 , , m , 构成一个m n矩阵
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
k1 j k2 j （ 1 , 2 ,, m ) , k mj
2016/3/5
线性代数
第三章 向量空间
从而
k11 k 21 （ b1 , b2 ,, bs ) （ 1 , 2 ,, m ) k m1
第三章 向量空间
第一节
n维向量
n维向量的概念 n维向量的表示方法 向量空间
小结、思考题
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线性代数
第三章 向量空间
一、 n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这 n个数称为该向量的n个分量，
第i个数a i 称为第i个分量 .
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
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线性代数
第三章 向量空间
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
定义２ 设有两个向量组
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) （ 1 , 2 ,, s ) b s1
线性代数第三章向量试题及答案
第三章 向量1、基本概念定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21 称为一个n 维向量，称这些数为它的分量。
分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成：=α[]n a a ,,a 21 ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21 称为列向量。
请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1⨯n 矩阵，右边是n ⨯1矩阵)。
习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。
一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21 ）。
矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。
两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.2、向量的线形运算3、向量组的线形相关性定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21 是一组n 维量,m k k k 21,是一组数，则m m k k k ααα ++2211为m ααα,,21 的线性组合。
n 维向量组的线性组合也是n 维向量。
定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21 的一个线性组合，即=βm m k k k ααα ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21 线性表示。
判别β是否可以用m ααα,,21 线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x 2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βααα m 21,为增广矩阵的线性方程组。
反之，判别“以()β A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。
线性代数自考(经管类)
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点 行列式的计算
解
测试点 个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以 且.
答案 且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,， ，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵， ，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵， ，则____________.
3．转置 对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（ ）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点 矩阵乘法的一个常用技巧
解 因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
线性代数第三章向量复习题答案
B 、向量组(Ⅰ)线性相关时,向量组(Ⅱ)线性相关C 、向量组(Ⅱ)线性相关时,向量组(Ⅰ)线性相关D 、向量组(Ⅱ)线性无关时,向量组(Ⅰ)线性相关4、 下列命题中正确的就是( C ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关5、 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ,则( D )(A)s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s <6、 n 维向量组 s ααα，，，Λ21(3≤ s ≤ n)线性无关的充要条件就是( B )、 (A)s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，，Λ21中不含零向量 7、 向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件就是(D ) A 、任意i α不为零向量B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中(A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示9、 设A 为n 阶方阵,且秩12() 1.,A n αα=-就是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( C )A 、1αkB 、2αkC 、)(21αα-kD 、)(21αα+k 10、 已知向量组()()()1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t ααα=-==--的秩为2,则=t ( A)、 A 、3 B 、-3 C 、2 D 、-2 11、 设A 为n 阶方阵,n r A R <=)(,则A 的行向量中( A ) A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示12、 设向量组A: 321,,ααα线性无关,则下列向量组线性无关的就是(C ) A 、321ααα++,321232ααα+-,321323ααα+- B 、21αα+,32αα+,13αα- C 、212αα+,3232αα+,133αα+ D 、12-αα+,32αα+,3212ααα++-14、 已知向量组A 线性相关,则在这个向量组中( C ) (A)必有一个零向量 、 (B)必有两个向量成比例 、(C)必有一个向量就是其余向量的线性组合 、 (D)任一个向量就是其余向量的线性组合 、15、 设A 为n 阶方阵,且秩()1R A n =-,12,a a 就是非齐次方程组Ax b =的两个不同的解向量, 则0Ax = 的通解为 ( )(A)12()k a a + (B) 12()k a a - (C) 1ka (D) 2ka 16、 已知向量组1,,m ααK 线性相关, 则(C ) (A)该向量组的任何部分组必线性相关 、 (B) 该向量组的任何部分组必线性无关 、(C) 该向量组的秩小于m 、 (D) 该向量组的最大线性无关组就是唯一的、 17.已知123234(,,)2,(,,)3,R R αααααα==则 ( C )(A)123,,ααα 线性无关 (B) 234,,ααα 线性相关(C) 1α能由23,αα 线性表示 (D) 4α能由123,,ααα 线性表示18、 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4第三题 计算题:1、 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα(1)求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组; (2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间一、单项选择题1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）的列向量构成的向量组，则必有( )A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）A 。
α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。
如果|A ｜=2，则|—2A |=（）A.-32B.-4C 。
4 D.327。
设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )A. α1，α2，α3，α4一定线性无关B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。
α1，α2，α3一定线性无关8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）A.1 B 。
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。
空间向量的习题及答案
空间向量的习题及答案空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在解决几何问题时起到了关键作用。
本文将通过一些典型的习题来探讨空间向量的性质和应用，并给出详细的答案解析。
1. 习题一：已知向量a = (1, 2, -3)，向量b = (-2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积和向量积。
解析：向量a与向量b的数量积为：a·b = 1*(-2) + 2*1 + (-3)*4 = -2 + 2 - 12 = -12。
向量a与向量b的向量积为：a×b = (2*(-3) - 1*4, 1*(-3) - (-2)*4, 1*1 - (-2)*(-3)) = (-6 - 4, -3 + 8, 1 + 6) = (-10, 5, 7)。
2. 习题二：已知向量a = (2, -1, 3)，向量b = (3, 4, -2)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
解析：向量a与向量b的夹角的余弦值为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)。
其中，a·b为向量a与向量b的数量积，|a|为向量a的模，|b|为向量b的模。
计算得到：a·b = 2*3 + (-1)*4 + 3*(-2) = 6 - 4 - 6 = -4，|a| = √(2^2 + (-1)^2+ 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14，|b| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(9 + 16 + 4)= √29。
代入公式得到：cosθ = (-4) / (√14 * √29)。
3. 习题三：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的和、差和模长。
解析：向量a与向量b的和为：a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。
向量a与向量b的差为：a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。